浙江 2013 · 数学 q13

题面

13．（4分）（2013•浙江）设z=kx+y，其中实数x，y满足$\left\{{\begin{array}{l}{x + y - 2 \geqslant 0} \\ {x - 2 y + 4 \geqslant 0} \\ {2 x - y - 4 \leqslant 0} \end{array}} \right.$，若z的最大值为12，则实数k=1

答案

2

解析

分析

先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线${Z}^{=} k {X}^{+}{y}$得到最大值点A，即可得到答案

解答

解：可行域如图：

由$\left\{{\begin{array}{l}{x - 2 y + 4 = 0} \\ {2 x - y - 4 = 0} \end{array}} \right.$得：A（4，4），

同样地，得B（0，2），

①当$k > - \frac{1}{2} \mathbb{H} \div$，目标函数 z=kx+y 在$x {=} 4$，y=4时取最大值，即直线${Z}^{=} k {X}^{+}{y}$在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，

故 k=2

②当$k \ll_{-} - \frac{1}{2}$时，目标函数z=kx+y在x=0，y=2时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，$1 2 {=} 0 {\times} k {+} 2$

故 k 不存在

综上，k=2

故答案为：2