浙江 2010 · 数学 q17

题面

(17) 有 4 位同学在同一天的上、下午参加 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力”、“台阶” 五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复，若上午不测 “握力” 项目，下午不测 “台阶，其余项目上、下午都各测试一人，则不同的安排方式共有种 ____（用数字作答）。

“台阶”五个项目的测试，每位同学上、下午各测试一个项目，且不重复。若上午不测“握力”项目，下午不测“台阶”项目，其余项目上、下午都各测试一人。则不同的安排方式共有____种（用数字作答）。

答案

$\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$

解析

本题主要考察了排列与组合的相关知识点，突出对分类讨论思想和数学思维能力的考察，属较难题

2010 年高考浙江理数学解析

1. B 解析: 本题考查了集合的运算、不等式的解法

$Q=(-2,2)$ ，故 $Q\subseteq P$

2. A 解析: 本题考查了流程图

$k = 2, S = 4; k = 3, S = 1 1; k = 4, S = 2 6; k = 5, S = 5 7;$

3. D 解析：本题考查了等比数列的通项、前 n 项和公式 $\because 8a_{2}+a_{5}=0,\quad\therefore q=-2,\quad\therefore\frac{S_{5}}{S_{2}}=-11$

4. B 解析: 本题考查了充要条件的判定、不等式 $x \sin x < 1 \Rightarrow x \sin^2 x < \sin x < 1$, 反之不能, 所以为必要不充分条件

5. D 解析: 本题考查了复数的运算法则、几何意义

（A） $\left|z-\bar{z}\right|=2\left|y\right|$ ；（B） $z^{2}=x^{2}-y^{2}+2xyi$ ；(C)由(A)知不好比较，故选D

6. B 解析: 本题考查了线线关系、线面关系的判定

作出可行域，因为有最大值，故 $m > 0$ ，联立方程组，得交点为 (\frac{12}{7},\frac{3}{7}),(\frac{3m - 3}{3 + m},\frac{4}{3 + m}),$$(\frac{3m + 1}{2m - 1},\frac{5}{2m - 1}) ，由 $\frac{3m + 1}{2m - 1} +\frac{5}{2m - 1} = 9$ 得 $m = 1$

8. C 解析: 本题考查了双曲线的定义、解三角形

易知 $PF_{2} = 4b$ ，则 $4b - 2c = 2a$ ，又 $c^2 = a^2 +b^2$ ，得 $3b = 4a$ ，故渐近线方程为 $4x\pm 3y = 0$

9. A 解析：本题考查了函数的零点，三角函数的图象与一次函数的交点问题，考查数形结合能力与分析推理能力。

分别作出函数 $h(x) = x$ 与 $g(x) = 4\sin (2x + 1)$ 的图象，要使函数 $f(x)$ 在区间中不存在零点，即两函数 $h(x) = x$ 与 $g(x) = 4\sin (2x + 1)$ 的图象没有交点，故选A；

（10）设函数的集合 $P = \left\{f(x) = \log_2(x + a) + b \mid a = -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1; b = -1, 0, 1\right\}$,

平面上点的集合 $Q = \left\{(x,y)\mid x = -\frac{1}{2},0,\frac{1}{2},1;y = -1,0,1\right\}$ ，则在同一直角坐标系中， $P$ 中函数 $f(x)$ 的图象恰好经过 $Q$ 中两个点的函数的个数是（A）4 (B）6 (C）8 (D）10

10. B 本题考查了对数的计算、列举思想

$a = -\frac{1}{2}$ 时，不符； $a = 0$ 时， $y = \log_2x$ 过点 $(\frac{1}{2}, - 1)$ ，(1,0)，此时 $b = 0$ ， $b = 1$ 符合；

$a = \frac{1}{2}$ 时， $y = \log_2(x + \frac{1}{2})$ 过点 $(0, -1)$，$(\frac{1}{2}, 0)$，此时 $b = 0$，$b = 1$ 符合；

$a = 1$ 时， $y = \log_2(x + 1)$ 过点 $(- \frac{1}{2}, -1)$， $(0, 0)$， $(1, 1)$，此时 $b = -1$， $b = 1$ 符合；共6个

11. $\pi$ 解析：本题考查了三角变换，周期化简得 $f(x) = \sin (2x + \frac{\pi}{4}) - \sqrt{2}$，故周期 $T = \frac{2\pi}{2} = \pi$

12. 144 解析：本题考查了三视图、几何体的体积由题意知该几何体由一个长方体和一个棱台构成，长方体体积为 32，棱台上底边长为 4，下底边长 8，高为 3，体积为 112，所以几何体体积为 144

13. $\frac{3\sqrt{2}}{4}$ 解析：本题考查了中点坐标公式、抛物线的准线方程

由题意得 $B\left(\frac{p}{4}, 1\right)$ 在抛物线上，可知 $p = \sqrt{2}$，$B$ 到准线的距离为 $\frac{3}{4} p = \frac{3\sqrt{2}}{4}$

14. $\left\{\begin{array}{ll}0 & n\text{为偶数}\\ \frac{1}{2^n} -\frac{1}{3^n} & n\text{为奇数} \end{array} \right.$ 解析：本题考查了二项式定理、函数的单调性

$\left|a_{k}\right|=C_{n}^{k}\left|2^{n-2k}-3^{n-2k}\right|$ ，当 n 为偶数时，取 $k=\frac{n}{2}$ ，此时 $T_{n}=0$ ；当 n 为奇数时，取 k=n， 此时 $T_{n}=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{3^{n}}$

15. $(-\infty, -2\sqrt{2}] \cup[2\sqrt{2}, +\infty)$ 解析：$2a_{1}^{2} + 9a_{1}d + 10d^{2} + 1 = 0$，此方程有解，所以 $\triangle = 81d^{2} - 8(10d^{2} + 1) > 0$，得 $d > 2\sqrt{2}$ 或 $d < -2\sqrt{2}$

（16）已知平面向量 $\vec{\alpha},\vec{\beta} (\vec{\alpha}\neq \vec{0},\vec{\alpha}\neq \vec{\beta})$ 满足 $\left|\vec{\beta}\right| = 1$ ，且 $\vec{\alpha}$ 与 $\vec{\beta} -\vec{\alpha}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ，则 $\left|\vec{\alpha}\right|$ 的取值范围是

利用题设条件及其几何意义表示在三角形中，即可迎刃而解，设 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{\alpha}$ ， $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{\beta}$ ，如图，由题意得： $\angle OAB = 60^{\circ}$ ， $\therefore 0^{\circ} < \angle OBA < 120^{\circ}$ ，

∴ $0 < \sin \angle OBA \leqslant 1$ ，在三角形 OAB 中，由正弦定理：

$|OA|=\frac{|OB|\sin\angle OBA}{\sin60^{0}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}\sin\angle OBA\in(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}]$ ，即 $\left|\vec{\alpha}\right|$ 的取值范围是 $\left(0,\frac{2\sqrt{3}}{3}\right]$ 。

【命题意图】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，突出考察了对问题的转化能力和数形结合的能力，属中档题。

17．264

本题考查了排列组合及其应用问题，关键是推理与分析的应用，以及分类讨论思维等。

先安排 4 位同学参加上午的 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“台阶” 测试，共有 $A_{4}^{4}$ 种不同安排方式；接下来安排下午的 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量”、“握力” 测试，假设 A、B、C 同学上午分别安排的是 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量” 测试，若 D 同学选择 “握力” 测试，安排 A、B、C 同学分别交叉测试，有 2 种；若 D 同学选择 “身高与体重”、“立定跳远”、“肺活量” 测试中的 1 种，有 $A_{3}^{1}$ 种方式，安排 A、B、C 同学进行测试有 3 种；根据计数原理共有安排方式的种数为 $A_{4}^{4}$ ($2 + A_{2}^{1} \times 3$) = 264，故填 264；