6.1.3 相等向量与共线向量

文字转写

我们仍以位移为例，小船以 $A$ 为起点，$B$ 为终点，我们可以用连接 $A$，$B$ 两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点 $B$ 处加上箭头表示小船行驶的方向。于是，这条“带有方向的线段”就可以用来表示位移。受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量的大小，箭头的指向表示向量的方向。

通常，在线段 $AB$ 的两个端点中，规定一个顺序，假设 $A$ 为起点，$B$ 为终点，我们就说线段 $AB$ 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段（directed line segment）（图6.1-3）。通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向。以 $A$ 为起点、$B$ 为终点的有向线段记作 $\overrightarrow{AB}$，线段 $AB$ 的长度也叫做有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 的长度，记作 $|\overrightarrow{AB}|$。

表示有向线段时，起点一定要写在终点的前面.

有向线段包含三个要素：起点、方向、长度. 知道了有向线段的起点、方向和长度，它的终点就唯一确定了.

向量可以用有向线段 $\overrightarrow{AB}$ 来表示，我们把这个向量记作向量 $\overrightarrow{AB}$ . 有向线段的长度 $|\overrightarrow{AB}|$ 表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向. 用有向线段表示向量，使向量有了直观形象.

图 6.1-3

向量 $\overrightarrow{AB}$ 的大小称为向量 $\overrightarrow{AB}$ 的长度（或称模），记作 $|\overrightarrow{AB}|$ 。长度为0的向量叫做零向量（zero vector），记作0。长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量（unit vector）。

向量也可以用字母 $a^{①}$ ，b，c，…表示.

• •

①印刷用黑体 a，书写用 $\overrightarrow{a}$ .

例 1 在图 6.1-4 中，分别用向量表示 A 地至 B，C 两地的位移，并根据图中的比例尺，求出 A 地至 B，C 两地的实际距离（精确到 1 km）.

解：$\overrightarrow{AB}$ 表示 $A$ 地至 $B$ 地的位移，且 $|\overrightarrow{AB}| \approx$ ____；$\overrightarrow{AC}$ 表示 $A$ 地至 $C$ 地的位移，且 $|\overrightarrow{AC}| \approx$ ____.

6.1.3 相等向量与共线向量

下面，我们通过向量之间的关系进一步认识向量.

方向相同或相反的非零向量叫做平行向量（parallel vectors）.如图6.1-5，用有向线段表示的向量a与b是两个平行向量.向量a与b平行，记作 $a \parallel b$ .

我们规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量 a，都有 $0 \parallel a$ .

长度相等且方向相同的向量叫做相等向量（equal vectors）。如图6.1-6，用有向线段表示的向量 a 与 b 相等，记作 a=b。

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关；同时，两条方向相同且长度相等的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的模和方向确定.

如图 6.1-7，a，b，c 是一组平行向量，任作一条与 a 所在直线平行的直线 l，在 l 上任取一点 O，则可在 l 上分别作出 $\overrightarrow{OA}=a$ ， $\overrightarrow{OB}=b$ ， $\overrightarrow{OC}=c$ 。这就是说，任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量（collinear vectors）。

例 2 如图 6.1-8，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心.

(1) 写出图中的共线向量;

(2) 分别写出图中与 $\overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{OC}$ 相等的向量.

解：（1） $\overrightarrow{OA}$ ， $\overrightarrow{CB}$ ， $\overrightarrow{DO}$ ， $\overrightarrow{FE}$ 是共线向量； $\overrightarrow{OB}$ ， $\overrightarrow{DC}$ ， $\overrightarrow{EO}$ ， $\overrightarrow{AF}$ 是共线向量； $\overrightarrow{OC}$ ， $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{ED}$ ， $\overrightarrow{FO}$ 是共线向量.

(2) $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DO}$; $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EO}$; $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{FO}$.

练习

悬挂物受到的拉力，压强，摩擦力，频率，加速度.

2. 画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为 $18 \mathrm{~N}$ 的力和一个水平向左、大小为 $28 \mathrm{~N}$ 的力。（用 $1 \mathrm{~cm}$ 长表示 $10 \mathrm{~N}$）

3. 指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）

4. 将向量用具有同一起点 O 的有向线段表示.

(1) 当 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 是相等向量时，判断终点 M 与 N 的位置关系；

(2) 当 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 是平行向量，且 $|\overrightarrow{OM}| = 2|\overrightarrow{ON}| = 1$ 时，求向量 $\overrightarrow{MN}$ 的长度，并判断 $\overrightarrow{MN}$ 的方向与 $\overrightarrow{ON}$ 的方向之间的关系.

(第3题)

复习巩固

1. 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：

(1) $|\overrightarrow{OA}| = 4$ ，点 $A$ 在点 $O$ 正南方向；

(2) $|\overrightarrow{OB}| = 2\sqrt{2}$，点 $B$ 在点 $O$ 北偏西 $45^{\circ}$ 方向；

(3) $|\overrightarrow{OC}| = 2$ ，点 $C$ 在点 $O$ 南偏西 $30^{\circ}$ 方向.

2. 如图，点 $O$ 是 $\square ABCD$ 的对角线的交点，且 $\overrightarrow{OA} = a$，$\overrightarrow{OB} = b$，$\overrightarrow{AB} = c$，分别写出 $\square ABCD$ 和折线 $MPQRST$ 中与 $a$，$b$，$c$ 相等的向量.

综合运用

3. 判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.

（1）若 $a$ 与 $b$ 都是单位向量，则 $a = b$ （ ）

(2) 方向为南偏西 $60^{\circ}$ 的向量与北偏东 $60^{\circ}$ 的向量是共线向量. （）

(3) 直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量. ()

(4) 若 a 与 b 是平行向量，则 a=b.

(5) 若用有向线段表示的向量 $\overrightarrow{AM}$ 与 $\overrightarrow{AN}$ 不相等, 则点 $M$ 与 $N$ 不重合. ( )

(6) 海拔、温度、角度都不是向量. （）

拓广探索

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2BC = 2$，$M$，$N$ 分别为边 $AB$，$CD$ 的中点，在以 $A$，$B$，$C$，$D$，$M$，$N$ 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？

? 阅读与思考

向量及向量符号的由来

向量最初应用于物理学，被称为矢量。很多物理量，如力、位移、速度、电场强度、磁感应强度等都是向量。向量的概念萌芽于两千多年前，大约在公元前350年，古希腊著名学者亚里士多德（Aristotle，公元前384—前322）就知道了力可以表示成向量。“向量”一词来自力学、解析几何中的有向线段。最先使用有向线段表示向量的是英国科学家牛顿（Isaac Newton，1642—1727）。

向量是一种带几何性质的量，除零向量外，总可以画出“箭头表示方向，线段长表示大小”的有向线段来表示它。1806年，瑞士人阿尔冈（J. R. Argand，1768—1822）以$\overrightarrow{AB}$表示有向线段或向量。1827年，默比乌斯（A. F. Möbius，1790—1868）以$\overrightarrow{AB}$表示起点为A，终点为B的向量，这种用法被数学家广泛接受。另外，哈密顿（W. R. Hamilton，1805—1865）、吉布斯（J. W. Gibbs，1839—1903）等人则以小写希腊字母表示向量。后来，字母上加箭头表示向量的方法逐渐流行，尤其用在手写稿中；为了方便印刷，人们又用粗黑体小写字母a，b等表示向量。这两种符号一直沿用至今。

莱布尼茨（G. W. Leibniz，1646—1716）曾经从位置几何学研究的视角进行过预想：“我已经发现了一些完全不同的有新特点的元素，即使在没有任何图形的情况下，它也能有利于表达思想、表达事物的本质。我的这个新系统能紧跟可见的图形，以一种自然的、分析的方式，通过一个确定的程序同时给出解、构造和几何的证明。”莱布尼茨所说的“有新特点的元素”和“新系统”就是逐渐形成和发展起来的向量及其理论。

向量进入数学并得到发展，是从复数的几何表示开始的。1797年，丹麦测量学家韦塞尔（Caspar Wessel，1745—1818）把复数表示为向量，并利用向量定义复数运算。他把坐标平面上的点用向量表示出来，并把向量的几何表示用于研究几何与三角问题。人们逐步接受了复数，也学会了利用复数表示、研究平面中的向量。

发展到现在，向量在数学、物理、计算机科学与技术等学科，以及社会生产、生活、经济、金融与贸易等各领域中都有广泛的应用，成为解决这些学科或领域中各种问题的有力工具。

你能说一说用符号表示向量所起的重要作用吗？