6.1.3 相等向量与共线向量

本节页面上的四页承担两件事：先把向量怎么画出来讲完（§6.1.2 有向线段那一段接着上一节的页往下写）， 再讲两个向量之间的三种关系——平行、相等、共线（§6.1.3）。页尾还有一篇”阅读与思考”，讲向量符号的由来。

这一节的内容看起来只是几个定义，但它埋着整章最要紧的一句话：向量与它的起点无关。 后面所有”把箭头平移到一起再算”的做法，根都在这里。

一、有向线段：向量的画法

有向线段：在线段 $AB$ 的两个端点中规定一个顺序，$A$ 为起点、$B$ 为终点， 这条线段就有了方向，记作 $\overrightarrow{AB}$；它的长度记作 $|\overrightarrow{AB}|$。

三个要素：起点、方向、长度。这三样定了，终点就唯一确定。

写法上只有一条硬规矩：起点写在终点前面。 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 长度相同、方向相反，是两条不同的有向线段。

用有向线段表示向量时，线段按一定标度画出：长短表示大小，箭头指向表示方向。 比如”用 $1\ \mathrm{cm}$ 表示 $10\ \mathrm{N}$“，那么 $18\ \mathrm{N}$ 的力就画成 $1.8\ \mathrm{cm}$ 长的箭头。 标度是题目给的换算率，不是画得好看不好看的问题——它把物理量的大小翻译成纸上的长度。

二、这一节真正的分水岭：向量与有向线段不是一回事

课本这句话值得抄下来读三遍：

任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关。

拆开说是两句：

• 有向线段有起点，向量没有。 有向线段是画在纸上的一个具体对象，换个地方画就是另一条； 向量只由模与方向两样东西确定，别的都不管。
• 于是同一个向量有无穷多条有向线段可以表示它——平面上任何一条”方向相同、长度相等”的箭头都行。

这条性质就是向量可以自由平移的许可证。高考题里”把两支箭头首尾接起来”、 “把散在各处的向量搬到同一个起点”，用的都是它。不承认这一条，向量就只是画在图上的箭头，加不起来。

三、三种关系：平行、相等、共线

三条要点，逐条抠：

① 平行的定义里”或相反”三个字不能漏。 日常说”平行”想到的是同向， 数学里方向相反的两个向量同样叫平行。所以"$a \parallel b$"给出的信息只有”方向相同或相反”， 推不出 $a = b$。

② 零向量与任意向量平行。 课本明写了这条规定：对任意向量 $a$，都有 $\mathbf{0} \parallel a$。 这是一条约定，不是推出来的——零向量没有确定的方向，为了让”平行”这个关系不出现例外， 干脆规定它与谁都平行。代价是：由 $a \parallel b$ 与 $b \parallel c$ 推不出 $a \parallel c$ （当 $b = \mathbf{0}$ 时反例立现）。这一条在后面判”三点共线”时会咬人。

③ 平行向量为什么又叫共线向量。 课本给了构造：设 $a$、$b$、$c$ 是一组平行向量， 任作一条与 $a$ 所在直线平行的直线 $l$，在 $l$ 上任取一点 $O$，就能在 $l$ 上分别作出 $\overrightarrow{OA} = a$、$\overrightarrow{OB} = b$、$\overrightarrow{OC} = c$。 任一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以叫共线向量。

这个”叫法二”不是同义反复的废话——它把”平行”这个方向上的关系， 翻译成了”落在同一条直线上”这个位置上的图像。后面判三点共线，用的正是这个翻译。

特别提醒：向量”共线”与几何里点”共线”是两回事。$\overrightarrow{AB} \parallel \overrightarrow{CD}$ 只说明两条线段所在直线平行或重合；要断言 $A$、$B$、$C$、$D$ 四点共线，还得再验一个公共点。

四、一个范例：正六边形里数向量（课本例 2）

设 $O$ 是正六边形 $ABCDEF$ 的中心。课本要求写出图中的共线向量、以及与 $\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$ 相等的向量。

这道例题的价值在于它示范了怎么系统地找，而不是靠眼睛扫：

1. 先按方向分组。 正六边形的中心到六个顶点、以及六条边，方向只有三大类（每类两个相反方向）。 把方向相同或相反的全部归成一组，组内就是共线向量。
2. 再在组内按长度筛。 同组里长度也相同、且方向相同（不是相反）的，才是相等向量。

课本给的答案是：$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{DO}$； $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{EO}$； $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{ED} = \overrightarrow{FO}$。

留意 $\overrightarrow{DO}$ 而不是 $\overrightarrow{OD}$：$O$ 是 $AD$ 的中点， 从 $D$ 走到 $O$ 才与从 $O$ 走到 $A$ 同向。方向一反，相等就变成了相反。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 由”平行”推”相等”。 平行只管方向（还允许相反），长度完全没说。
2. 忘了零向量与谁都平行。 涉及"$a \parallel b$"的推理，先问一句有没有可能是零向量。
3. 把向量共线当成点共线。 前者是两个向量的关系，后者要额外的公共点。
4. 相等向量写反了方向。 $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{DO}$ 而不是 $\overrightarrow{OD}$， 在中点、平行四边形里最容易出错。
5. 认为单位向量只有一个。 模为 $1$ 的向量有无穷多个，方向各异；同理”与 $a$ 平行的单位向量”有两个。
6. 把坐标轴当成向量。 直线没有确定的长度，不是向量。
7. 画图时不按标度。 题目给了”$1\ \mathrm{cm}$ 表示 $10\ \mathrm{N}$“就要按它换算，不能随手画。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”是构建期派生的完整清单。这一节是概念层，真题不会单考定义， 但每道向量题的第一步都踩在这里。给一个读的顺序：

• 先看 2025 年第 6 题（帆船视风求真风）：它的几何解法就是”把两支箭头接起来”， 而箭头能搬到一起，靠的正是本节那句”向量与起点无关”。
• 再看 2022 年第 17 题（正八边形上八段距离平方和）：正多边形里数向量， 与本节例 2 的正六边形是同一个动作——先按方向分组，再在组内筛； 它的第二条解法把顶点配成四条直径，用的是”方向相反、长度相等”这一对关系。
• 最后是 2023 年第 3 题与 2024 年第 3 题：两道向量小题走的是坐标路线， 但”两个向量相等 $\iff$ 坐标相同”这条判据，源头就是本节”相等向量”的定义。

本节页面上共有 8 道课本习题：第 11 页「练习」4 道、第 12 页「习题 6.1」4 道 （复习巩固 1—2、综合运用 3、拓广探索 4）。这里做其中 7 道。

未收的一道：第 11 页「练习」第 1 题。它的问句「下列量中哪些是向量？」在本节的转写里被 转写引擎吞掉了，只剩下后面那一串量名；题面引文必须逐字引转写、不许补字，所以这一道无法在这里逐字引全。 读者可以在页顶那张第 11 页的扫描图上读到它的完整题面。

其余 7 道逐题全做。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 11 页）第 2 题

2. 画两条有向线段，分别表示一个竖直向下、大小为 $18 \mathrm{~N}$ 的力和一个水平向左、大小为 $28 \mathrm{~N}$ 的力。（用 $1 \mathrm{~cm}$ 长表示 $10 \mathrm{~N}$）

这道题考的是标度：题目给了换算率”$1\ \mathrm{cm}$ 长表示 $10\ \mathrm{N}$”， 所以纸上画多长完全由它算出来，不是随手画。

换算。 设力的大小为 $F$（单位 $\mathrm{N}$），对应的线段长为 $\ell$（单位 $\mathrm{cm}$），则

$$\ell = \frac{F}{10\ \mathrm{N}} \times 1\ \mathrm{cm} .$$

• 竖直向下、大小 $18\ \mathrm{N}$ 的力：$\ell_1 = \dfrac{18}{10} \times 1\ \mathrm{cm} = 1.8\ \mathrm{cm}$；
• 水平向左、大小 $28\ \mathrm{N}$ 的力：$\ell_2 = \dfrac{28}{10} \times 1\ \mathrm{cm} = 2.8\ \mathrm{cm}$。

画法。

1. 在纸上取一点 $A$ 作起点，从 $A$ 沿竖直向下方向量取 $1.8\ \mathrm{cm}$ 得点 $B$， 连 $AB$ 并在 $B$ 处画箭头，得有向线段 $\overrightarrow{AB}$——它表示那个 $18\ \mathrm{N}$ 的力。
2. 另取一点 $C$ 作起点，从 $C$ 沿水平向左方向量取 $2.8\ \mathrm{cm}$ 得点 $D$， 连 $CD$ 并在 $D$ 处画箭头，得有向线段 $\overrightarrow{CD}$——它表示那个 $28\ \mathrm{N}$ 的力。

于是 $|\overrightarrow{AB}| = 1.8\ \mathrm{cm}$、方向竖直向下；$|\overrightarrow{CD}| = 2.8\ \mathrm{cm}$、方向水平向左。

两处值得说明的：

• 起点可以随便取。 向量与起点无关，所以两条有向线段画在纸上哪个位置都不影响它们表示的力； 题目也没有要求它们共起点。
• 箭头必须画在终点处。 有向线段的方向由箭头指出；只画一条线段而不画箭头，就只是线段、不是有向线段。

这道题的关键动作：先把标度算成具体的厘米数，再画。$18\ \mathrm{N} \to 1.8\ \mathrm{cm}$、 $28\ \mathrm{N} \to 2.8\ \mathrm{cm}$，这两个数才是答案的实质。

练习（第 11 页）第 3 题

3. 指出图中各向量的长度.（规定小方格的边长为0.5）

题面里的图在页顶第 11 页的扫描图上（第 3 题图）：一张方格纸上画了四个向量 $\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{EF}$、$\overrightarrow{GH}$。 按图上数格，它们相对方格的位置是：

• $\overrightarrow{AB}$：水平向右，跨 $4$ 个小方格；
• $\overrightarrow{CD}$：水平向右，跨 $5$ 个小方格；
• $\overrightarrow{EF}$：竖直向上，跨 $6$ 个小方格；
• $\overrightarrow{GH}$：斜向右上，水平跨 $4$ 格、竖直跨 $4$ 格（恰好沿方格的对角线方向）。

题目规定小方格的边长为 $0.5$。水平或竖直的向量，长度就是”格数 $\times$ 边长”； 斜的那一个要用勾股定理先算出它跨过的对角线长度。

逐个算。

$$|\overrightarrow{AB}| = 4 \times 0.5 = 2 ;$$ $$|\overrightarrow{CD}| = 5 \times 0.5 = 2.5 ;$$ $$|\overrightarrow{EF}| = 6 \times 0.5 = 3 .$$

$\overrightarrow{GH}$ 的水平位移是 $4 \times 0.5 = 2$，竖直位移也是 $4 \times 0.5 = 2$，由勾股定理

$$|\overrightarrow{GH}| = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2.83 .$$

自检：$\overrightarrow{GH}$ 是一个正方形（边长 $2$）的对角线，长度应当是边长的 $\sqrt2$ 倍， 即 $2\sqrt2$，与算出的一致；而且 $2\sqrt2 \approx 2.83$ 介于 $2.5$ 与 $3$ 之间， 与图上”$GH$ 比 $CD$ 长、比 $EF$ 略短”的观感相符。

这道题的关键动作：先数格数，再乘边长；斜向的向量不能直接数格数， 要把水平与竖直两个位移分别算出来再用勾股定理。

练习（第 11 页）第 4 题

4. 将向量用具有同一起点 O 的有向线段表示.

(1) 当 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 是相等向量时，判断终点 M 与 N 的位置关系；

(2) 当 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 是平行向量，且 $|\overrightarrow{OM}| = 2|\overrightarrow{ON}| = 1$ 时，求向量 $\overrightarrow{MN}$ 的长度，并判断 $\overrightarrow{MN}$ 的方向与 $\overrightarrow{ON}$ 的方向之间的关系.

（1）$M$ 与 $N$ 重合。

理由：有向线段有三个要素——起点、方向、长度，这三样定了，终点就唯一确定。 现在 $\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 是相等向量，即长度相等、方向相同； 它们又有同一个起点 $O$。三个要素完全一致，终点必然是同一个点，所以 $M$ 与 $N$ 重合。

（反过来也对：同起点时 $M$ 与 $N$ 重合 $\iff \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{ON}$。 这条”同起点的相等向量终点重合”是后面很多证明的落脚点。）

（2） 先把条件读清楚。$|\overrightarrow{OM}| = 2|\overrightarrow{ON}| = 1$ 是一串等式，意思是

$$|\overrightarrow{OM}| = 1, \qquad 2|\overrightarrow{ON}| = 1 \ \Longrightarrow\ |\overrightarrow{ON}| = \frac{1}{2}.$$

两个向量都不是零向量，且它们平行。平行的定义是”方向相同或相反”，所以这里必须分两种情形讨论， 题目没有指定是哪一种。

情形一：$\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 方向相同。

此时 $M$、$N$ 都在从 $O$ 出发的同一条射线上。由于 $|\overrightarrow{ON}| = \frac12 < 1 = |\overrightarrow{OM}|$， 点 $N$ 在 $O$ 与 $M$ 之间。于是 $M$、$N$ 与 $O$ 共线，且

$$|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{OM}| - |\overrightarrow{ON}| = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.$$

方向：从 $M$ 走向 $N$ 是朝着 $O$ 的方向走，而 $\overrightarrow{ON}$ 是从 $O$ 往外走， 两者方向相反。

情形二：$\overrightarrow{OM}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 方向相反。

此时 $M$ 与 $N$ 分居 $O$ 的两侧，$O$ 在线段 $MN$ 上，于是

$$|\overrightarrow{MN}| = |\overrightarrow{OM}| + |\overrightarrow{ON}| = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.$$

方向：从 $M$ 出发，先走到 $O$，再从 $O$ 继续走到 $N$；后半段正是 $\overrightarrow{ON}$ 的方向， 而前半段（$M \to O$）与 $\overrightarrow{OM}$ 相反、也就是与 $\overrightarrow{ON}$ 相同。 整条 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 方向相同。

结论：$|\overrightarrow{MN}| = \dfrac12$（此时 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 方向相反）， 或 $|\overrightarrow{MN}| = \dfrac32$（此时 $\overrightarrow{MN}$ 与 $\overrightarrow{ON}$ 方向相同）。

用一条数轴核一遍：把 $\overrightarrow{ON}$ 的方向取作正方向，则 $N$ 的坐标是 $\frac12$。 情形一中 $M$ 的坐标是 $1$，$\overrightarrow{MN}$ 对应 $\frac12 - 1 = -\frac12$，长度 $\frac12$、方向为负（与 $\overrightarrow{ON}$ 相反）； 情形二中 $M$ 的坐标是 $-1$，$\overrightarrow{MN}$ 对应 $\frac12 - (-1) = \frac32$，长度 $\frac32$、方向为正（与 $\overrightarrow{ON}$ 相同）。 两种情形都与上面的结论相符。

这道题的关键动作：“平行”包含方向相反这一支，所以必须分两类； 读 $|\overrightarrow{OM}| = 2|\overrightarrow{ON}| = 1$ 这种连等式时，先把它拆成两个独立的等式再用。

习题 6.1（第 12 页）复习巩固 第 1 题

1. 在如图所示的坐标纸（规定小方格的边长为1）中，用直尺和圆规画出下列向量：

(1) $|\overrightarrow{OA}| = 4$ ，点 $A$ 在点 $O$ 正南方向；

(2) $|\overrightarrow{OB}| = 2\sqrt{2}$，点 $B$ 在点 $O$ 北偏西 $45^{\circ}$ 方向；

(3) $|\overrightarrow{OC}| = 2$ ，点 $C$ 在点 $O$ 南偏西 $30^{\circ}$ 方向.

方格纸上”上北、下南、左西、右东”，小方格边长为 $1$。三个向量的起点都是 $O$， 关键是把每个方位角翻译成向西走几格、向南（北）走几格。

（1）$|\overrightarrow{OA}| = 4$，$A$ 在 $O$ 正南方向。

正南就是竖直向下，不用分解。从 $O$ 沿竖直方向向下数 $4$ 格得点 $A$，连 $OA$、在 $A$ 处画箭头。 只用直尺即可（终点落在格点上）。

（2）$|\overrightarrow{OB}| = 2\sqrt2$，$B$ 在 $O$ 北偏西 $45^\circ$ 方向。

“北偏西 $45^\circ$“是从正北方向朝西转 $45^\circ$，即正西北方向。把 $\overrightarrow{OB}$ 分解成 向北与向西两个分量，两个分量都是

$$2\sqrt2 \times \cos 45^\circ = 2\sqrt2 \times \frac{\sqrt2}{2} = 2 .$$

所以 $B$ 在 $O$ 的正西 $2$ 格、正北 $2$ 格处，恰好是一个格点。 画法：从 $O$ 向左数 $2$ 格、再向上数 $2$ 格定出 $B$，连 $OB$ 并在 $B$ 处画箭头。 这一条也只用直尺——$45^\circ$ 方向正好是小方格的对角线方向。

（3）$|\overrightarrow{OC}| = 2$，$C$ 在 $O$ 南偏西 $30^\circ$ 方向。

“南偏西 $30^\circ$“是从正南方向朝西转 $30^\circ$。分解：

$$\text{向西的分量} = 2\sin 30^\circ = 2 \times \frac{1}{2} = 1, \qquad \text{向南的分量} = 2\cos 30^\circ = 2 \times \frac{\sqrt3}{2} = \sqrt3 .$$

向南的分量 $\sqrt3 \approx 1.73$ 不是整数，所以 $C$ 不落在格点上——这正是题目要求用圆规的原因。

画法（直尺 + 圆规）：

1. 从 $O$ 向左（正西）数 $1$ 格得点 $P$，过 $P$ 沿竖直方向向下作一条直线 $\ell$（这条线上的点到 $O$ 的水平距离恒为 $1$）；
2. 以 $O$ 为圆心、$2$ 格长为半径作圆弧，交 $\ell$ 于 $O$ 下方的一点，即为 $C$；
3. 连 $OC$，在 $C$ 处画箭头。

验一下这样画出来的 $C$ 对不对：由作法，$|OC| = 2$（圆规半径）；$C$ 到 $O$ 的水平距离是 $1$， 于是 $\sin(\angle\text{与正南的夹角}) = \dfrac{1}{2}$，该角为 $30^\circ$，且 $C$ 在 $O$ 的西南侧， 正是”南偏西 $30^\circ$“。两个条件都满足。 （竖直距离由勾股定理是 $\sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt3$，与上面分解出的一致。）

这道题的关键动作：把方位角分解成”东西”与”南北”两个分量；分量是整数就只用直尺， 出现无理数就用圆规去截那个长度。

习题 6.1（第 12 页）复习巩固 第 2 题

2. 如图，点 $O$ 是 $\square ABCD$ 的对角线的交点，且 $\overrightarrow{OA} = a$，$\overrightarrow{OB} = b$，$\overrightarrow{AB} = c$，分别写出 $\square ABCD$ 和折线 $MPQRST$ 中与 $a$，$b$，$c$ 相等的向量.

先看平行四边形那一半——它不依赖图上的具体画法，纯靠性质就能定。

平行四边形 $ABCD$ 的两条对角线是 $AC$ 与 $BD$，$O$ 是它们的交点。 平行四边形的对角线互相平分，所以 $O$ 既是 $AC$ 的中点，也是 $BD$ 的中点。

• $O$ 是 $AC$ 的中点 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{CO}$ 与 $\overrightarrow{OA}$ 长度相等（都等于 $\frac12 AC$）、 方向相同（都是从 $C$ 那一侧指向 $A$ 那一侧），故

$$\overrightarrow{CO} = \overrightarrow{OA} = a .$$

• $O$ 是 $BD$ 的中点 $\Rightarrow$ 同理

$$\overrightarrow{DO} = \overrightarrow{OB} = b .$$

• $ABCD$ 是平行四边形 $\Rightarrow$ $AB$ 与 $DC$ 是一组对边，平行且相等，且 $A \to B$ 与 $D \to C$ 同向，故

$$\overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB} = c .$$

注意方向别写反：是 $\overrightarrow{CO}$ 不是 $\overrightarrow{OC}$，是 $\overrightarrow{DO}$ 不是 $\overrightarrow{OD}$， 是 $\overrightarrow{DC}$ 不是 $\overrightarrow{CD}$——写反了就成了相反向量。

再看折线 $MPQRST$ 那一半。 这一半的数据全在图上，读者可以在页顶第 12 页的扫描图（第 2 题图）上核。 图画在方格纸上，把每个点的位置按格记下来（向右为正，向下为正，取 $A$ 所在的格点为参照）：

$$A(3,7),\quad B(1,11),\quad C(9,11),\quad D(11,7),\quad O(6,9),$$ $$M(1,5),\quad P(6,3),\quad Q(9,5),\quad R(11,1),\quad S(14,3),\quad T(12,7).$$

（$O(6,9)$ 同时是 $A$、$C$ 的中点与 $B$、$D$ 的中点，与”对角线交点”相符，可作读数无误的自检。）

三个基准向量按格数写出来是

$$a = \overrightarrow{OA} = (3-6,\ 7-9) = (-3,-2), \quad b = \overrightarrow{OB} = (1-6,\ 11-9) = (-5,2), \quad c = \overrightarrow{AB} = (1-3,\ 11-7) = (-2,4).$$

折线上按箭头方向画出的五个向量分别是

$$\overrightarrow{QP} = (6-9,\ 3-5) = (-3,-2), \qquad \overrightarrow{SR} = (11-14,\ 1-3) = (-3,-2),$$ $$\overrightarrow{PM} = (1-6,\ 5-3) = (-5,2),$$ $$\overrightarrow{RQ} = (9-11,\ 5-1) = (-2,4), \qquad \overrightarrow{ST} = (12-14,\ 7-3) = (-2,4).$$

逐个与 $a$、$b$、$c$ 比对（两个向量相等 $\iff$ 水平位移与竖直位移分别相同）：

• 与 $a$ 相等的是 $\overrightarrow{QP}$ 与 $\overrightarrow{SR}$；
• 与 $b$ 相等的是 $\overrightarrow{PM}$；
• 与 $c$ 相等的是 $\overrightarrow{RQ}$ 与 $\overrightarrow{ST}$。

答案汇总：

这道题的关键动作：判相等只看两样——长度与方向。在平行四边形里，这两样由”对角线互相平分” 与”对边平行且相等”直接给出；在方格纸上，则化成”水平走几格、竖直走几格”两个数完全相同。

习题 6.1（第 12 页）综合运用 第 3 题

3. 判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由.

（1）若 $a$ 与 $b$ 都是单位向量，则 $a = b$ （ ）

(2) 方向为南偏西 $60^{\circ}$ 的向量与北偏东 $60^{\circ}$ 的向量是共线向量. （）

(3) 直角坐标平面上的 x 轴、y 轴都是向量. ()

(4) 若 a 与 b 是平行向量，则 a=b.

(5) 若用有向线段表示的向量 $\overrightarrow{AM}$ 与 $\overrightarrow{AN}$ 不相等, 则点 $M$ 与 $N$ 不重合. ( )

(6) 海拔、温度、角度都不是向量. （）

逐条判。判断的依据只有一条：向量由”模”与”方向”两样共同确定，相等要求两样都相同。

（1）×。 单位向量只规定了模等于 $1$，方向完全没有限制。 例如指向正东的单位向量与指向正北的单位向量都是单位向量，但方向不同，因而不相等。 模相等只是相等的一半条件。

（2）√。 “南偏西 $60^\circ$“是从正南朝西转 $60^\circ$；“北偏东 $60^\circ$“是从正北朝东转 $60^\circ$。 以正北方向为 $0^\circ$、顺时针度量方位角，前者是 $180^\circ + 60^\circ = 240^\circ$，后者是 $60^\circ$， 两者相差 $180^\circ$，即方向正好相反。方向相同或相反的非零向量叫平行向量， 平行向量也叫共线向量，所以这两个向量是共线向量。 （这一条正是”平行不等于同向”的正面例子。）

（3）×。 $x$ 轴、$y$ 轴是直线，向两端无限延伸，没有确定的长度，也没有起点与终点， 因此不是向量。可以说”$x$ 轴的正方向”是一个方向，但方向不是向量—— 向量必须同时有大小。

（4）×。 平行向量的定义是”方向相同或相反的非零向量”，对长度没有任何要求。 两处都可能破例：方向相反时（如 $b = -a$）不相等；方向相同但长度不同时（如 $b = 2a$）也不相等。

（5）√。 用逆否命题来看最省事：原命题等价于”若点 $M$ 与 $N$ 重合，则 $\overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AN}$”。 而 $M$ 与 $N$ 重合时，$\overrightarrow{AM}$ 与 $\overrightarrow{AN}$ 是同一条有向线段（同起点 $A$、同终点）， 自然相等。逆否命题成立，原命题成立。

（6）√。 海拔、温度、角度都只有大小、没有方向，是数量而不是向量。 （海拔与温度可以取负值，但那个正负说的是”在基准点的哪一侧”这一刻度上的大小， 不是空间中的方向；角度同理。）

结论：（1）×　（2）√　（3）×　（4）×　（5）√　（6）√。

这道题的关键动作：每一条都回到”模 + 方向”这两样去核。 凡是只谈模不谈方向的（如”都是单位向量”）、或只谈方向不谈模的（如”平行""坐标轴”）， 都推不出”相等”或”是向量”。

习题 6.1（第 12 页）拓广探索 第 4 题

4. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 2BC = 2$，$M$，$N$ 分别为边 $AB$，$CD$ 的中点，在以 $A$，$B$，$C$，$D$，$M$，$N$ 为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有多少对？

先把六个点摆成坐标，把”相等”变成可数的东西。

由 $AB = 2BC = 2$ 得 $AB = 2$、$BC = 1$。建立直角坐标系，取 $A$ 为原点、$AB$ 所在直线为 $x$ 轴、 $AD$ 所在直线为 $y$ 轴，则

$$A(0,0),\quad B(2,0),\quad C(2,1),\quad D(0,1),$$

$M$ 是 $AB$ 的中点，$N$ 是 $CD$ 的中点，于是

$$M(1,0), \qquad N(1,1).$$

六个点排成一个 $3 \times 2$ 的格点阵：横坐标取 $0,1,2$，纵坐标取 $0,1$，相邻点的间距都是 $1$。

把问题翻译清楚。 以这六个点为起点和终点的有向线段共有 $6 \times 5 = 30$ 条 （起点终点必须不同，否则是零向量、不由”有向线段”表示）。 两个向量相等当且仅当它们的位移相同，即横向位移与纵向位移都相同。 所以：把这 30 个向量按位移 $(\Delta x, \Delta y)$ 分类，每一类里若有 $n$ 个向量， 就贡献 $\dbinom{n}{2}$ 对相等的向量；总对数就是各类之和。

逐类点数。 位移 $(\Delta x, \Delta y)$ 中 $\Delta x \in \{0, \pm 1, \pm 2\}$、$\Delta y \in \{0, \pm 1\}$， 且不能同时为 $0$。给定位移，向量的个数 = 能作为起点的格点数，等于

$$(\text{横向可行的起点列数}) \times (\text{纵向可行的起点行数}).$$

横向：$\Delta x = 0$ 时 $3$ 列都行；$\Delta x = \pm 1$ 时 $2$ 列；$\Delta x = \pm 2$ 时 $1$ 列。 纵向：$\Delta y = 0$ 时 $2$ 行都行；$\Delta y = \pm 1$ 时 $1$ 行。

先核总数：$4+4+2+2+3+3+2+2+2+2+1+1+1+1 = 30$，与 $6 \times 5 = 30$ 相符，说明没有漏类也没有重复。

再求和：

$$6 + 6 + 1 + 1 + 3 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 = 24 .$$

所以相等的向量共有 $\boxed{24}$ 对。

一处容易出错的地方：本题问的是”相等的向量共有多少对”， 所以同一类里的 $n$ 个向量要按 $\dbinom{n}{2}$ 数无序对，不是数 $n$ 个向量， 也不是数有序对 $n(n-1)$。例如位移 $(1,0)$ 那一类有 $4$ 个向量，它们两两相等， 贡献的是 $\dbinom{4}{2} = 6$ 对，不是 $4$ 或 $12$。

另一处：方向相反的两类（如 $(1,0)$ 与 $(-1,0)$）是不同的类，各自计数、不能合并—— 相反向量不是相等向量。

这道题的关键动作：把六个点摆成格点，把”相等”化成”位移相同”，再按位移分类计数。 分类之后先用”各类个数之和 $= 30$“核一遍，能一次性挡住漏类与重数。