5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

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5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

探究

类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？

根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等。另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的。

1. 周期性

观察正弦函数的图象，可以发现，在图象上，横坐标每隔 $2\pi$ 个单位长度，就会出现纵坐标相同的点，这就是正弦函数值具有的“周而复始”的变化规律。实际上，这一点既可从定义中看出，也能从诱导公式 $\sin (x + 2k\pi) = \sin x (k \in \mathbf{Z})$ 中得到反映，即自变量 $x$ 的值增加 $2\pi$ 整数倍时所对应的函数值，与 $x$ 所对应的函数值相等。数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律。

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，如果存在一个非零常数 $T$ ，使得对每一个 $x \in D$ 都有 $x + T \in D$ ，且

$f (x + T) = f (x),$

那么函数 $f(x)$ 就叫做周期函数（periodic function）。非零常数 $T$ 叫做这个函数的周期（period）。周期函数的周期不止一个。例如，$2\pi, 4\pi, 6\pi, \cdots$ 以及 $-2\pi, -4\pi, -6\pi, \cdots$ 都是正弦函数的周期。事实上，$\forall k \in \mathbf{Z}$ 且 $k \neq 0$，常数 $2k\pi$ 都是它的周期。

如果在周期函数 $f(x)$ 的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做$f(x)$ 的最小正周期.

根据上述定义，我们有：

正弦函数是周期函数， $2k\pi (k\in \mathbf{Z}$ 且 $k\neq 0)$ 都是它的周期，最小正周期是 $2\pi$

类似地，余弦函数也是周期函数， $2k\pi(k\in\mathbf{Z}$ 且 $k\neq0$ 都是它的周期，最小正周期是 $2\pi$ . $^{①}$

例 2 求下列函数的周期:

(1) $y = 3\sin x, x \in \mathbf{R};$

(2) $y = \cos 2x, x \in \mathbf{R};$

(3) $y = 2\sin \left(\frac{1}{2} x - \frac{\pi}{6}\right), x \in \mathbf{R}.$

①证明从略. 同学们可以从函数图象上观察出这一结论. 今后本书中所涉及的周期, 如果不加特别说明, 一般都是指函数的最小正周期.

分析：通常可以利用三角函数的周期性，通过代数变形，得出等式 $f(x + T) = f(x)$ 而求出相应的周期.

对于（2），应从余弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 $\cos 2(x + T) = \cos 2x, x \in \mathbb{R}$ ;

对于（3），应从正弦函数的周期性出发，通过代数变形得出 $\sin\left[\frac{1}{2}(x+T)-\frac{\pi}{6}\right]=\sin\left(\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}\right)$ ， $x\in R$ .

解：(1) $\forall x \in R$ ，有

$3 \sin (x + 2 \pi) = 3 \sin x.$

由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $2\pi$ .

(2) 令 z=2x，由 $x \in R$ 得 $z \in R$ ，且 $y = \cos z$ 的周期为 $2\pi$ ，即

$\cos (z + 2 \pi) = \cos z,$

于是

$\cos (2 x + 2 \pi) = \cos 2 x,$

所以

$\cos 2 (x + \pi) = \cos 2 x, x \in \mathbf {R}.$

由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $\pi$ .

(3) 令 $z=\frac{1}{2}x-\frac{\pi}{6}$ ，由 $x \in R$ 得 $z \in R$ ，且 $y=2\sin z$ 的周期为 $2\pi$ ，即

$2 \sin (z + 2 \pi) = 2 \sin z,$

于是

$2 \sin \left(\frac {1}{2} x - \frac {\pi}{6} + 2 \pi\right) = 2 \sin \left(\frac {1}{2} x - \frac {\pi}{6}\right),$

所以

$2 \sin \left[ \frac {1}{2} (x + 4 \pi) - \frac {\pi}{6} \right] = 2 \sin \left(\frac {1}{2} x - \frac {\pi}{6}\right).$

由周期函数的定义可知，原函数的周期为 $4\pi$ .

思考

回顾例2的解答过程，你能发现这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？

2. 奇偶性

观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点 $O$ 对称，余弦曲线关于 $y$ 轴对称。这个事实，也可由诱导公式

$\sin (- x) = - \sin x, \cos (- x) = \cos x$

得到. 所以

正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.

思考

知道一个函数具有周期性和奇偶性，对研究它的图象与性质有什么帮助？

练习

1. 等式 $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}\pi\right) = \sin \frac{\pi}{6}$ 是否成立？如果这个等式成立，能否说 $\frac{2}{3}\pi$ 是正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$ 的一个周期？为什么？

2. 求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验： (1) $y = \sin \frac{3}{4} x, x \in R;$ (2) $y = \cos 4x, x \in R;$ (3) $y=\frac{1}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), x\in\mathbb{R};$ (4) $y = \sin \left( \frac{1}{3} x + \frac{\pi}{4} \right), x \in \mathbb{R}.$

3. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？ (1) $y=2\sin x$ ; (2) $y=1-\cos x$ ; (3) $y=x+\sin x$ ; (4) $y=-\sin x\cos x$ .

4. 设函数 $f(x)(x \in \mathbb{R})$ 是以 2 为最小正周期的周期函数，且当 $x \in [0, 2]$ 时，$f(x) = (x - 1)^2$。求 $f(3)$，$f\left(\frac{7}{2}\right)$ 的值。

探究与发现

函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$ 及函数 $y = A\cos (\omega x + \varphi)$ 的周期

从前面的例子中可以看出，函数

$y = A \sin (\omega x + \varphi), x \in \mathbf {R}$

及函数

$y = A \cos (\omega x + \varphi), x \in \mathbf {R}$

(其中 $A, \omega, \varphi$ 为常数, 且 $A \neq 0, \omega > 0$) 的周期仅与自变量的系数有关. 那么, 如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢?

事实上，令 $z = \omega x + \varphi$ ，那么由 $x \in \mathbb{R}$ 得 $z \in \mathbb{R}$，且函数 $y = A \sin z$，$z \in \mathbb{R}$ 及函数 $y = A \cos z$，$z \in \mathbb{R}$ 的周期都是 $2\pi$.

因为

$z + 2 \pi = (\omega x + \varphi) + 2 \pi = \omega \left(x + \frac {2 \pi}{\omega}\right) + \varphi ,$

所以，自变量 $x$ 增加 $\frac{2\pi}{\omega}$，函数值就重复出现；并且增加量小于 $\frac{2\pi}{\omega}$ 时，函数值不会重复出现。即

$T = \frac {2 \pi}{\omega}$

是使等式

$A \sin [ \omega (x + T) + \varphi ] = A \sin (\omega x + \varphi),$

$A \cos [ \omega (x + T) + \varphi ] = A \cos (\omega x + \varphi)$

成立的最小正数. 从而, 函数

$y = A \sin (\omega x + \varphi), x \in \mathbf {R}$

及函数

$y = A \cos (\omega x + \varphi), x \in \mathbf {R}$

的周期 $T=\frac{2\pi}{\omega}$ .

根据这个结论，我们可以由这类函数的解析式直接写出函数的周期.

想一想：上述求函数 $y = A \sin(\omega x + \varphi)$ ， $x \in R$ 及函数 $y = A \cos(\omega x + \varphi)$ ， $x \in R$ 周期的方法是否能推广到求一般周期函数的周期？即命题“如果函数 $y = f(x)$ 的周期是 T，那么函数 $y = f(\omega x)$ ( $\omega > 0$ ) 的周期是 $\frac{T}{\omega}$ ”是否成立？

3. 单调性

根据正弦函数的周期性，我们可以先在它的一个周期的区间（如 $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ ）上讨论它的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域.

• •

观察图 5.4-8，可以看到：

根据三角函数的周期性，只要把握了它一个周期内的规律，就把握了整个三角函数的规律.

当 $x$ 由 $-\frac{\pi}{2}$ 增大到 $\frac{\pi}{2}$ 时，曲线逐渐上升，$\sin x$ 的值由-1增大到1；当 $x$ 由 $\frac{\pi}{2}$ 增大到 $\frac{3\pi}{2}$ 时，曲线逐渐下降，$\sin x$ 的值由1减小到-1.

$\sin x$ 的值的变化情况如表 5.4-2 所示：

这就是说，

正弦函数 $y = \sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在区间 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 上单调递减. 由正弦函数的周期性可得，

$[ - \frac {\pi}{2} + 2 k \pi , \frac {\pi}{2} + 2 k \pi ] (k \in \mathbf {Z})$

$\left[ \frac {\pi}{2} + 2 k \pi , \frac {3 \pi}{2} + 2 k \pi \right] (k \in \mathbf {Z})$

类似地，观察余弦函数在一个周期区间（如 $[- \pi, \pi]$）上函数值的变化规律，将看到的函数值的变化情况填入表5.4-3：

函数 $y = \cos x$，$x \in [-\pi, \pi]$ 在区间 ____ 上单调递增，其值从 -1 增大到 1；在区间 ____ 上单调递减，其值从 1 减小到 -1。

由余弦函数的周期性可得，

余弦函数在每一个闭区间 ____ 上都单调递增，其值从 -1 增大到 1；在每一个闭区间 ____ 上都单调递减，其值从 1 减小到 -1.

4. 最大值与最小值

从上述对正弦函数、余弦函数的单调性的讨论中容易得到，

正弦函数当且仅当 $x =$ ____时取得最大值1，当且仅当 $x =$ ____时取得最小值-1；

余弦函数当且仅当 $x =$ ____时取得最大值1，当且仅当 $x =$ ____时取得最小值-1.

例3 下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时自变量 $x$ 的集合，并求出最大值、最小值.

(1) $y=\cos x+1,\quad x\in\mathbf{R};$

(2) $y = -3 \sin 2x, x \in R.$

解：容易知道，这两个函数都有最大值、最小值.

（1）使函数 $y = \cos x + 1$，$x \in \mathbb{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合，就是使函数 $y = \cos x$，$x \in \mathbb{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合

$\{x \mid x = 2 k \pi , k \in \mathbf {Z} \};$

使函数 $y = \cos x + 1$，$x \in \mathbb{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合，就是使函数 $y = \cos x$，$x \in \mathbb{R}$ 取得最小值的 $x$ 的集合

$\{x \mid x = (2 k + 1) \pi , k \in \mathbf {Z} \}.$

函数 $y = \cos x + 1$，$x \in \mathbb{R}$ 的最大值是 $1 + 1 = 2$；最小值是 $-1 + 1 = 0$.

(2) 令 $z = 2x$ ，使函数 $y = -3\sin z$ ，$z \in \mathbf{R}$ 取得最大值的 $z$ 的集合，就是使 $y = \sin z$ ，$z \in \mathbf{R}$ 取得最小值的 $z$ 的集合

$\{z \mid z = - \frac {\pi}{2} + 2 k \pi , k \in \mathbf {Z} \}.$

由 $2x = z = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$，得 $x = -\frac{\pi}{4} + k\pi$。所以，使函数 $y = -3\sin 2x$，$x \in \mathbb{R}$ 取得最大值的 $x$ 的集合是

$\{x \mid x = - \frac {\pi}{4} + k \pi , k \in \mathbf {Z} \}.$

同理，使函数 $y = -3 \sin 2x, x \in R$ 取得最小值的 x 的集合是

$\{x \mid x = \frac {\pi}{4} + k \pi , k \in \mathbf {Z} \}.$

函数 $y=-3\sin2x,\quad x\in R$ 的最大值是 3，最小值是 -3.

例 4 不通过求值，比较下列各组数的大小：

(1) $\sin\left(-\frac{\pi}{18}\right)$ 与 $\sin\left(-\frac{\pi}{10}\right)$ ; (2) $\cos\left(-\frac{23\pi}{5}\right)$ 与 $\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right)$ .

分析：可利用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的大小。为此，先用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角，然后再比较大小。

解：(1) 因为

$- \frac {\pi}{2} < - \frac {\pi}{1 0} < - \frac {\pi}{1 8} < 0,$

正弦函数 $y = \sin x$ 在区间 $\left[-\frac{\pi}{2}, 0\right]$ 上单调递增，所以

$\sin (- \frac {\pi}{1 8}) > \sin (- \frac {\pi}{1 0}).$

(2) \cos\left(-\frac{23\pi}{5}\right)=\cos\frac{23\pi}{5}=\cos\frac{3\pi}{5},$$\cos\left(-\frac{17\pi}{4}\right)=\cos\frac{17\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}.

因为 $0 < \frac{\pi}{4} < \frac{3\pi}{5} < \pi$ ，且函数 $y = \cos x$ 在区间 $[0, \pi]$ 上单调递减，所以

$\cos \frac {\pi}{4} > \cos \frac {3 \pi}{5},$

即

$\cos (- \frac {1 7 \pi}{4}) > \cos (- \frac {2 3 \pi}{5}).$

你能借助单位圆直观地比较上述两对函数值的大小吗？试一试.

例 5 求函数 $y=\sin\left(\frac{1}{2}x+\frac{\pi}{3}\right)$ ， $x\in[-2\pi,2\pi]$ 的单调递增区间.

分析：令 $z = \frac{1}{2} x + \frac{\pi}{3}, x \in [-2\pi, 2\pi]$，当自变量 $x$ 的值增大时，$z$ 的值也随之增大，因此若函数 $y = \sin z$ 在某个区间上单调递增，则函数 $y = \sin \left(\frac{1}{2} x + \frac{\pi}{3}\right)$ 在相应的区间上也一定单调递增.

解：令 $z = \frac{1}{2} x + \frac{\pi}{3}, x \in [-2\pi, 2\pi]$，则 $z \in \left[-\frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi\right]$.

因为 $y = \sin z, z \in \left[-\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right]$ 的单调递增区间是 $\left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$，且由

$- \frac {\pi}{2} \leqslant \frac {1}{2} x + \frac {\pi}{3} \leqslant \frac {\pi}{2},$

得 $-\frac{5\pi}{3} \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{3}$.

所以，函数 $y = \sin \left(\frac{1}{2} x + \frac{\pi}{3}\right), x \in [-2\pi, 2\pi]$ 的单调递增区间是 $\left[-\frac{5\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]$.

思考

你能求出函数 $y = \sin \left(-\frac{1}{2} x + \frac{\pi}{3}\right)$，$x \in [-2\pi, 2\pi]$ 的单调递增区间吗？

练习

1. 观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 x 所在的区间： (1) $\sin x > 0;$ (2) $\sin x < 0;$ (3) $\cos x > 0;$ (4) $\cos x < 0.$

2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值. (1) $y=2\sin x, x \in R;$ (2) $y=2-\cos\frac{x}{3}, x \in R.$

3. 下列关于函数 $y = 4\sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的单调性的叙述，正确的是（ ）.

(A) 在 $[0, \pi]$ 上单调递增，在 $[\pi, 2\pi]$ 上单调递减

(B) 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ 上单调递减

(C) 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 及 $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 上单调递减

(D) 在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 及 $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ 上单调递减

4. 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(1) $\cos\frac{2}{7}\pi$ 与 $\cos\left(-\frac{3\pi}{5}\right)$ ;

(2) $\sin250^{\circ}$ 与 $\sin260^{\circ}$ .

5. 求函数 $y = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$，$x \in [0, \pi]$ 的单调递减区间.

探究与发现

利用单位圆的性质研究正弦函数、余弦函数的性质

根据三角函数的定义可知，“单位圆上点的坐标就是三角函数”。因此，单位圆的性质与三角函数的性质有天然的联系，单位圆是研究三角函数性质的好工具。例如，借助单位圆的对称性可以方便地得到诱导公式。借助单位圆研究三角函数的性质体现了数形结合的思想方法，有利于从整体上把握三角函数。

如图1，在直角坐标系 $uOv$ 中，角 $x$ 的顶点与原点重合，始边与 $Ou$ 轴重合，终边与单位圆交于点 $P(\cos x, \sin x)$。容易发现，当角 $x$ 的终边绕原点从 $Ou$ 轴的正半轴开始，按照逆时针方向旋转时，点 $P$ 的横坐标按照

$1 \rightarrow 0 \rightarrow - 1 \rightarrow 0 \rightarrow 1 \dots$

的规律连续地、周而复始地变化；同时，纵坐标按照

$0 \to 1 \to 0 \to - 1 \to 0 \dots$