5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

上一小节画出了正弦曲线与余弦曲线。这一小节做的是从图上读性质——周期性、奇偶性、 单调性、最值——再用符号语言把它们钉死。

四条性质里周期性是新概念（前面从没出现过），其余三条都是第 3 章那一套在三角函数上的应用。 所以下面先把周期讲透，再把另外三条按”图 → 式”的顺序过一遍，最后给一套处理 $y = A\sin(\omega x + \varphi)$ 的通用做法——高考里考的几乎全是这种复合形式。

一、周期函数：定义里的每一个字

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。如果存在一个非零常数 $T$，使得对每一个 $x \in D$ 都有 $x + T \in D$，且

$f(x+T) = f(x),$

那么 $f(x)$ 叫做周期函数，$T$ 叫做它的一个周期。如果在所有周期中存在一个最小的正数， 那么这个最小正数叫做最小正周期。

三个字要抠：

① “每一个 $x$“——不是某一个。 这是本小节第一道练习的全部内容： $\sin\left(\frac{\pi}{6}+\frac{2\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{6}$ 这个等式确实成立， 但它只在 $x = \frac{\pi}{6}$ 这一点上验证过，推不出 $\frac{2\pi}{3}$ 是周期。 要否定它，举一个反例就够（取 $x=0$）。

② “非零常数”。 $T$ 可以是负数：若 $T$ 是周期，则 $-T$、$2T$、$kT$（$k$ 为非零整数）都是周期。 所以”周期”从来不唯一，值得记的是最小正周期。

③ “最小正周期”不一定存在。 常数函数 $f(x) = c$ 的任何非零实数都是周期， 其中没有最小的正数。所以”最小正周期”这四个字不能随口省成”周期”。

由公式一立刻得到：

$\sin(x + 2k\pi) = \sin x, \qquad \cos(x+2k\pi) = \cos x \qquad (k \in \mathbf{Z}),$

即 $2k\pi$（$k \neq 0$）都是 $y=\sin x$ 与 $y = \cos x$ 的周期，而最小正周期都是 $2\pi$。

复合形式的周期有现成公式（课本”探究与发现”给出）：

只与 $\omega$ 有关：$A$ 管高矮、$\varphi$ 管左右，都不影响周期；$|\omega|$ 越大， 图象被”压”得越密、周期越短。

二、另外三条性质

奇偶性。 由诱导公式 $\sin(-x) = -\sin x$、$\cos(-x) = \cos x$，且两者的定义域都是 $\mathbf{R}$ （关于原点对称），故

判断 $y = 2\sin x$、$y = x + \sin x$ 这类组合函数的奇偶性，仍按第 3 章的三步走： 先看定义域是否关于原点对称，再算 $f(-x)$，再比对。

最值与值域。 由单位圆上纵坐标、横坐标的取值范围立刻得到

$-1 \leqslant \sin x \leqslant 1, \qquad -1 \leqslant \cos x \leqslant 1,$

且

取到最值的不是一个点，是一个集合——写答案时要写成 $\{x \mid x = \frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\}$ 这样的形式，漏了 $k \in \mathbf{Z}$ 就只答了一个。

单调性。 从正弦曲线上直接读（每个周期内一升一降）：

每一条都带着 $2k\pi$：单调区间有无穷多段，答案必须写成带 $k$ 的通式， 而且这些段不能并起来（把两段递增区间写成并集就错了，理由同第 3 章）。

套一层绝对值：周期减半，峰谷全变峰

$y=|\sin x|$ 是把正弦曲线在 $x$ 轴下方的部分翻上来。原来的谷底 $-1$ 变成新的峰 $1$， 于是峰的个数翻倍、周期减半：

配上 $\omega$ 一起读：$y=|\sin\omega x|$ 的最小正周期是 $\dfrac{\pi}{|\omega|}$， 在一个周期里一个峰、两个零点。例如 $y=|\sin 2\pi x|$ 的周期是 $\dfrac12$， 在 $[0,1]$ 上是两个拱：峰在 $x=\dfrac14,\dfrac34$（值 $1$），零点在 $x=0,\dfrac12,1$。

别把周期背成 $\dfrac{2\pi}{|\omega|}$。 判据是「翻折之后，多久重复一次」—— $|\sin|$ 与 $|\cos|$ 都减半，而 $|\tan|$ 本来就以 $\pi$ 为周期，加绝对值不变。

三、$y = A\sin(\omega x+\varphi)$ 怎么处理：整体换元

高考里考的几乎都是复合形式。通用做法只有一句：把 $\omega x + \varphi$ 看成一个整体 $u$， 先对 $u$ 用上面那些结论，再解回 $x$。

求周期：直接套 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$。

求最值：$u$ 取遍实数时 $\sin u \in [-1,1]$，故 $y \in [-|A|, |A|]$； 取到最值的 $u$ 由 $u = \frac{\pi}{2}+2k\pi$ 等给出，再解出 $x$。

求单调区间（这一步最容易错）：

1. 写出 $\sin u$ 的单调递增（或递减）区间：$u \in \left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\right]$；
2. 把 $u = \omega x + \varphi$ 代进去，得到关于 $x$ 的不等式；
3. 解不等式（若 $\omega<0$，除以负数时不等号要变向，“增”与”减”随之互换）；
4. 若题目限定了 $x$ 的范围，最后与那个范围取交集——这一步漏掉，答案就会多出几段。

取交集那一步是本节最常见的失分点。 比如 $y = 3\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)$， $x \in [0,\pi]$，算出来的递减区间通式是 $\left[\frac{\pi}{8}+k\pi,\ \frac{5\pi}{8}+k\pi\right]$， 落在 $[0,\pi]$ 里的只有 $k=0$ 那一段。

四、易错清单

按失分频率排：

1. 只验一个 $x$ 就断言是周期（第一节 ①）。
2. 周期算成 $\frac{2\pi}{\omega}$ 而不是 $\frac{2\pi}{|\omega|}$。 $\omega<0$ 时会算出负数。
3. 单调区间忘了 $k \in \mathbf{Z}$，或把两段并起来。
4. 限定区间没取交集（第三节 4）。
5. $\omega<0$ 时增减没互换。 遇到 $y = \sin\left(-\frac12x+\frac{\pi}{3}\right)$ 这种， 先用 $\sin(-u) = -\sin u$ 把 $\omega$ 变正，比直接解不等式稳。
6. 取到最值的自变量只写一个数，没写成集合。
7. 套了绝对值还照抄原周期。 $y=|\sin\omega x|$ 的最小正周期是 $\frac{\pi}{|\omega|}$， 不是 $\frac{2\pi}{|\omega|}$——翻折把谷变成了峰，重复得更快（第二节末）。

五、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先做 2025 年第 5 题（周期偶函数求值）：周期 + 奇偶两条性质各用一次， 把待求的那个点搬进有解析式的一段。这道题是本节两条性质最直接的合用；
• 接着做 2015 年第 11 题（三角式化简后求最小正周期与单调递减区间）： 它是本节两条性质在一条标准正弦上的原样考法——最小正周期只看 $\omega$， 与振幅、相位、中线都无关；减区间则是「峰顶到紧随其后的谷底」那半个周期。 做它的关键动作是把 $\omega x+\varphi$ 看成一个整体，再把 $\sin$ 已知的减区间 $\left[2k\pi+\frac{\pi}{2},\,2k\pi+\frac{3\pi}{2}\right]$ 解回 $x$； 这与下一条 2023 年第 15 题的整体换元是同一个动作，一个用来定区间、一个用来数零点；
• 再看 2023 年第 15 题（$\cos\omega x - 1$ 在 $[0,2\pi]$ 上恰有 $3$ 个零点，求 $\omega$）： 它正是第三节”整体换元 + 与给定区间取交集”的考法——把 $\omega x$ 看成整体， 数它在给定范围里扫过几个周期；
• 然后是 2024 年第 7 题（两条正弦曲线的交点个数）：靠图象与周期分段数交点；
• 插一道只用”读形状”的：2014 年浙江卷（理）第 10 题里的 $f_3(x)=\frac13\lvert\sin 2\pi x\rvert$。整道题要的只有第二节末尾那一段： 周期 $\frac12$、在 $[0,1]$ 上两个拱、峰在 $\frac14$ 与 $\frac34$、零点在 $0,\frac12,1$。 把 $[0,1]$ 等分成 $99$ 份后，$f_3$ 的折返节点就落在离 $\frac14,\frac12,\frac34$ 最近的 $i=25,\,49/50,\,74$ 处，而由 $\frac{2\pi\cdot 49}{99}=\pi-\frac{\pi}{99}$、 $\frac{74}{99}=1-\frac{25}{99}$ 这两条诱导公式级的对称关系立刻得到 $\lvert\sin\frac{2\pi\cdot 49}{99}\rvert=\lvert\sin\frac{2\pi\cdot 50}{99}\rvert=\sin\frac{\pi}{99}$、 $\lvert\sin\frac{2\pi\cdot 74}{99}\rvert=\sin\frac{50\pi}{99}$。 这道题提醒的是：$\frac14,\frac12,\frac34$ 都不是 $99$ 等分的分点， 所以”峰值 $\frac13$、谷值 $0$“一个都取不到；
• 最后是 2025 年第 19 题（三角函数压轴）：其中用到周期把问题化归到一个周期内。 本节四条性质在压轴题里的角色是”把无穷多种情形压回一个周期”—— 没有周期性，那些题连有限步都做不完。

本节课本习题共 9 道：第 210 页「练习」4 道、第 214 页「练习」5 道，逐题全做。 本节没有开放式的实习作业或方案设计，因此没有不收的题。

有两道题带”借助信息技术画出图象检验”的字样。本站的详解不代画， 而是把该检验什么说清楚（图上相隔多远重复一次、峰谷落在哪里），读者用绘图工具一验即可。

下文反复用到的结论：$y=\sin x$、$y=\cos x$ 的最小正周期都是 $2\pi$，值域都是 $[-1,1]$； $y = A\sin(\omega x+\varphi)$ 与 $y = A\cos(\omega x+\varphi)$（$A\neq0$，$\omega\neq0$）的最小正周期是 $T = \frac{2\pi}{|\omega|}$。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 210 页）第 1 题

1. 等式 $\sin \left(\frac{\pi}{6} + \frac{2}{3}\pi\right) = \sin \frac{\pi}{6}$ 是否成立？如果这个等式成立，能否说 $\frac{2}{3}\pi$ 是正弦函数 $y = \sin x, x \in \mathbf{R}$ 的一个周期？为什么？

第一问：等式成立。 左边

右边也是 $\frac12$，两边相等。

第二问：不能。 周期的定义要求：对定义域内的每一个 $x$ 都有 $f(x+T) = f(x)$。 上面的等式只是在 $x = \frac{\pi}{6}$ 这一个点上成立，远不足以说明它对一切 $x$ 成立。

举一个反例就能否定它：取 $x = 0$，则

而 $\frac{\sqrt3}{2} \neq 0$。所以 $\frac{2}{3}\pi$ 不是 $y = \sin x$ 的周期。

这道题的关键动作：“对某一个 $x$ 成立”与”对每一个 $x$ 成立”是两回事—— 要肯定一条”对任意”的命题得证明，要否定它只需一个反例。 （顺带说明：$y = \sin x$ 的周期只能是 $2k\pi$（$k$ 为非零整数），最小正周期是 $2\pi$。）

练习（第 210 页）第 2 题

2. 求下列函数的周期，并借助信息技术画出下列函数的图象进行检验：

(1) $y = \sin \frac{3}{4} x, x \in R;$

(2) $y = \cos 4x, x \in R;$

(3) $y=\frac{1}{2}\cos\left(2x-\frac{\pi}{3}\right), x\in\mathbb{R};$

(4) $y = \sin \left( \frac{1}{3} x + \frac{\pi}{4} \right), x \in \mathbb{R}.$

四小问都是 $y = A\sin(\omega x+\varphi)$ 或 $y = A\cos(\omega x+\varphi)$ 的形状， 最小正周期只由 $\omega$ 决定：$T = \frac{2\pi}{|\omega|}$。

• (1) $\omega = \frac34$，故 $T = \dfrac{2\pi}{\frac34} = \dfrac{8\pi}{3}$。
• (2) $\omega = 4$，故 $T = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$。
• (3) $\omega = 2$（$A = \frac12$、$\varphi = -\frac{\pi}{3}$ 都不影响周期），故 $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$。
• (4) $\omega = \frac13$，故 $T = \dfrac{2\pi}{\frac13} = 6\pi$。

为什么与 $A$、$\varphi$ 无关：设 $f(x) = A\sin(\omega x+\varphi)$，则

$A$ 在外面提着、$\varphi$ 只是把角整体平移，两者都不参与”多久重复一次”这件事。

画图检验时看什么：把图象横向量一量，相邻两个最高点之间的水平距离就是周期。 (1) 约 $8.38$、(2) 约 $1.57$、(3) 约 $3.14$、(4) 约 $18.85$—— 与上面四个数一致就对了。注意 (2) 与 (4) 的对比：$|\omega|$ 大的图象被压得密，$|\omega|$ 小的拉得疏。

练习（第 210 页）第 3 题

3. 下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？

(1) $y=2\sin x$ ; (2) $y=1-\cos x$ ; (3) $y=x+\sin x$ ; (4) $y=-\sin x\cos x$ .

四个函数的定义域都是 $\mathbf{R}$（关于原点对称），所以第一步都过，直接算 $f(-x)$。

(1) 奇函数。

$f(-x) = 2\sin(-x) = -2\sin x = -f(x).$

(2) 偶函数。

$f(-x) = 1 - \cos(-x) = 1 - \cos x = f(x).$

(3) 奇函数。

$f(-x) = (-x) + \sin(-x) = -x - \sin x = -(x+\sin x) = -f(x).$

(4) 奇函数。

$f(-x) = -\sin(-x)\cos(-x) = -(-\sin x)(\cos x) = \sin x\cos x = -(-\sin x \cos x) = -f(x).$

结论：(1)(3)(4) 是奇函数，(2) 是偶函数。

核一组具体值：(4) 取 $x = \frac{\pi}{4}$，$f\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt2}{2} = -\frac12$； $f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cdot\frac{\sqrt2}{2} = \frac12$， 互为相反数 ✓。

规律：$\sin$ 是奇的、$\cos$ 是偶的；奇函数乘偶函数还是奇函数（第 (4) 问）， 奇函数加奇函数还是奇函数（第 (3) 问），而偶函数加常数还是偶函数（第 (2) 问）。

练习（第 210 页）第 4 题

4. 设函数 $f(x)(x \in \mathbb{R})$ 是以 2 为最小正周期的周期函数，且当 $x \in [0, 2]$ 时，$f(x) = (x - 1)^2$。求 $f(3)$，$f\left(\frac{7}{2}\right)$ 的值。

做法：用周期把自变量”搬”回已知解析式的那一段 $[0,2]$ 上。 由 $f$ 以 $2$ 为周期，对一切 $x$ 都有 $f(x) = f(x-2)$。

求 $f(3)$。 $3 - 2 = 1 \in [0,2]$，故

$f(3) = f(1) = (1-1)^2 = 0.$

求 $f\left(\frac72\right)$。 $\frac72 - 2 = \frac32 \in [0,2]$，故

$f\left(\frac72\right) = f\left(\frac32\right) = \left(\frac32 - 1\right)^2 = \left(\frac12\right)^2 = \frac14.$

注意”搬”要搬进已知的那一段：$3$ 减一次 $2$ 得 $1$，正好落在 $[0,2]$ 里，就停手； 若减成了负数（如再减一次得 $-1$），就得再加回来。每减一次都要检查落点在不在 $[0,2]$ 内。

练习（第 214 页）第 1 题

1. 观察正弦曲线和余弦曲线，写出满足下列条件的 x 所在的区间：

(1) $\sin x > 0;$ (2) $\sin x < 0;$ (3) $\cos x > 0;$ (4) $\cos x < 0.$

按定义读最快：$\sin x$ 是终边与单位圆交点的纵坐标，$\cos x$ 是横坐标。 纵坐标为正即终边在 $x$ 轴上方，横坐标为正即终边在 $y$ 轴右侧。 再把”一圈之内”的结论加上 $2k\pi$ 推广到全体实数（$k \in \mathbf{Z}$）。

• (1) $\sin x > 0$：终边在 $x$ 轴上方，即

  $x \in (2k\pi,\ \pi + 2k\pi), \qquad k \in \mathbf{Z}.$

• (2) $\sin x < 0$：终边在 $x$ 轴下方，即

  $x \in (\pi + 2k\pi,\ 2\pi + 2k\pi), \qquad k \in \mathbf{Z}.$

• (3) $\cos x > 0$：终边在 $y$ 轴右侧，即

  $x \in \left(-\frac{\pi}{2} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{2}+2k\pi\right), \qquad k \in \mathbf{Z}.$

• (4) $\cos x < 0$：终边在 $y$ 轴左侧，即

  $x \in \left(\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right), \qquad k \in \mathbf{Z}.$

四个区间都是开区间：端点处 $\sin x$ 或 $\cos x$ 恰好等于 $0$，不满足严格不等号。 $k \in \mathbf{Z}$ 一个也不能漏——每条都是无穷多段。

练习（第 214 页）第 2 题

2. 求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并求出最大值、最小值.

(1) $y=2\sin x, x \in R;$

(2) $y=2-\cos\frac{x}{3}, x \in R.$

(1) 因为 $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$，所以 $-2 \leqslant 2\sin x \leqslant 2$。

• 最大值 $2$，当且仅当 $\sin x = 1$，即 $x = \frac{\pi}{2}+2k\pi$。自变量的集合是

  $\left\{x \;\middle|\; x = \frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

• 最小值 $-2$，当且仅当 $\sin x = -1$，即 $x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi$。集合是

  $\left\{x \;\middle|\; x = -\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

(2) 令 $u = \frac{x}{3}$，则 $-1 \leqslant \cos u \leqslant 1$，故

$1 = 2 - 1 \leqslant 2 - \cos u \leqslant 2 + 1 = 3.$

注意前面是减号，所以 $\cos$ 取最小时 $y$ 取最大。

• 最大值 $3$，当且仅当 $\cos\frac{x}{3} = -1$，即 $\frac{x}{3} = \pi + 2k\pi$，解得 $x = 3\pi + 6k\pi$。集合是

  $\left\{x \mid x = 3\pi + 6k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

• 最小值 $1$，当且仅当 $\cos\frac{x}{3} = 1$，即 $\frac{x}{3} = 2k\pi$，解得 $x = 6k\pi$。集合是

  $\left\{x \mid x = 6k\pi,\ k \in \mathbf{Z}\right\}.$

核一遍：$x = 3\pi$ 时 $\cos\pi = -1$，$y = 3$ ✓；$x=0$ 时 $\cos 0 = 1$，$y = 1$ ✓。 另外这个函数的最小正周期是 $\frac{2\pi}{1/3} = 6\pi$，与两个集合里的”每隔 $6\pi$ 出现一次”相符 ✓。

练习（第 214 页）第 3 题

3. 下列关于函数 $y = 4\sin x$，$x \in [0, 2\pi]$ 的单调性的叙述，正确的是（ ）.

(A) 在 $[0, \pi]$ 上单调递增，在 $[\pi, 2\pi]$ 上单调递减

(B) 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ 上单调递减

(C) 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 及 $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ 上单调递增，在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 上单调递减

(D) 在 $\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\right]$ 上单调递增，在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 及 $\left[\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right]$ 上单调递减

答案：(C)。

系数 $4>0$，所以 $y = 4\sin x$ 的增减与 $y = \sin x$ 完全一致。在 $[0,2\pi]$ 这一整个周期上， 正弦曲线的走势是：从 $(0,0)$ 上升到最高点 $\left(\frac{\pi}{2}, 4\right)$， 再下降穿过 $(\pi, 0)$ 到最低点 $\left(\frac{3\pi}{2}, -4\right)$， 最后上升回到 $(2\pi, 0)$。所以

正是选项 (C)。

逐个排除其余三项：

• (A) 错。它把分界点放在了 $\pi$ 与 $2\pi$，但 $\sin x$ 在 $\frac{\pi}{2}$ 处就已经转向。 举反例：$\frac{\pi}{2} < \frac{2\pi}{3}$ 而 $4\sin\frac{\pi}{2} = 4 > 4\sin\frac{2\pi}{3} = 2\sqrt3$， 故在 $[0,\pi]$ 上并不递增。
• (B) 错。它的第一段”在 $\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$ 上单调递增”是对的， 但第二段”在 $\left[\frac{3\pi}{2},2\pi\right]$ 上单调递减”是错的—— 举反例：$\frac{3\pi}{2} < 2\pi$ 而 $4\sin\frac{3\pi}{2} = -4 < 0 = 4\sin 2\pi$， 那一段实为递增。有这一处说反就足以排除 (B)。 （它没有提到 $\left[\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right]$ 这一段，但选项并没有声称自己列全了， 所以”没列全”本身不算错，真正的错因只有上面那一处。）
• (D) 错。它把增与减整体说反了。

这道题的关键动作：分界点是最高点与最低点的横坐标（$\frac{\pi}{2}$ 与 $\frac{3\pi}{2}$）， 不是零点（$0$、$\pi$、$2\pi$）。把这两个位置记牢，四个选项一眼可判。

练习（第 214 页）第 4 题

4. 不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小：

(1) $\cos\frac{2}{7}\pi$ 与 $\cos\left(-\frac{3\pi}{5}\right)$ ;

(2) $\sin250^{\circ}$ 与 $\sin260^{\circ}$ .

做法：把两个角化到同一个单调区间里，再用单调性比较。

(1) 先用余弦是偶函数把负角变正：

$\cos\left(-\frac{3\pi}{5}\right) = \cos\frac{3\pi}{5}.$

于是要比的是 $\cos\frac{2\pi}{7}$ 与 $\cos\frac{3\pi}{5}$。两个角都落在 $[0,\pi]$ 内 （$\frac{2\pi}{7} \approx 0.29\pi$，$\frac{3\pi}{5} = 0.6\pi$）， 而 $y = \cos x$ 在 $[0,\pi]$ 上单调递减。

比较两个角的大小：$\frac{2}{7} = \frac{10}{35}$，$\frac{3}{5} = \frac{21}{35}$，故

$0 < \frac{2\pi}{7} < \frac{3\pi}{5} < \pi.$

由单调递减得

(2) 两个角 $250^\circ$、$260^\circ$ 都落在 $[90^\circ, 270^\circ]$ 内， 而 $y = \sin x$ 在这一段上单调递减（这一段正是 $\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi, \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$ 取 $k=0$）。

由 $90^\circ < 250^\circ < 260^\circ < 270^\circ$ 与单调递减得

$\sin 250^\circ > \sin 260^\circ.$

两小问的共同动作：先把两个角搬到同一个单调区间里（(1) 用偶性，(2) 本来就在同一段）， 再比角的大小、按单调性翻成函数值的大小。区间选错、或忘了那一段是”递减”，答案就反了。

练习（第 214 页）第 5 题

5. 求函数 $y = 3\sin \left(2x + \frac{\pi}{4}\right)$，$x \in [0, \pi]$ 的单调递减区间.

第一步：整体换元。 令 $u = 2x + \frac{\pi}{4}$。系数 $3 > 0$， 所以 $y$ 随 $\sin u$ 同增同减，只要找 $\sin u$ 递减的那些 $u$。

第二步：写出 $\sin u$ 的递减区间。

$u \in \left[\frac{\pi}{2}+2k\pi,\ \frac{3\pi}{2}+2k\pi\right], \qquad k \in \mathbf{Z}.$

第三步：解回 $x$。 把 $u = 2x+\frac{\pi}{4}$ 代入：

$\frac{\pi}{2}+2k\pi \leqslant 2x + \frac{\pi}{4} \leqslant \frac{3\pi}{2}+2k\pi.$

三边同减 $\frac{\pi}{4}$：

$\frac{\pi}{4}+2k\pi \leqslant 2x \leqslant \frac{5\pi}{4}+2k\pi;$

三边同除以 $2$（$2>0$，不等号方向不变）：

$\frac{\pi}{8}+k\pi \leqslant x \leqslant \frac{5\pi}{8}+k\pi, \qquad k \in \mathbf{Z}.$

第四步：与给定范围 $[0,\pi]$ 取交集。 逐个 $k$ 看：

• $k = 0$：$\left[\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{8}\right]$，整段都落在 $[0,\pi]$ 内 ✓；
• $k = 1$：$\left[\frac{9\pi}{8}, \frac{13\pi}{8}\right]$，左端 $\frac{9\pi}{8} > \pi$，与 $[0,\pi]$ 无交 ✗；
• $k = -1$：$\left[-\frac{7\pi}{8}, -\frac{3\pi}{8}\right]$，整段在 $0$ 左边，无交 ✗；
• $|k| \geqslant 2$ 时离得更远，同样无交。

所以所求的单调递减区间是 $\left[\dfrac{\pi}{8},\ \dfrac{5\pi}{8}\right]$。

核一遍两端：$x = \frac{\pi}{8}$ 时 $u = \frac{\pi}{2}$，$y = 3$（最高点）； $x = \frac{5\pi}{8}$ 时 $u = \frac{3\pi}{2}$，$y = -3$（最低点）—— 从最高点降到最低点，正是一段完整的递减 ✓。 再看区间外：$x \in \left[\frac{5\pi}{8}, \pi\right]$ 时 $u \in \left[\frac{3\pi}{2}, \frac{9\pi}{4}\right]$， $\sin u$ 在这一段上递增，确实不该算进来 ✓。

这道题最容易漏的就是第四步取交集——不取交集就会把 $k=1$、$k=-1$ 那两段也写进答案。