3.2.2 奇偶性

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3.2.2 奇偶性

前面我们用符号语言精确地描述了函数图象在定义域的某个区间上“上升”（或“下降”）的性质. 下面继续研究函数的其他性质.

画出并观察函数 $f(x) = x^2$ 和 $g(x) = 2 - |x|$ 的图象（图3.2-6），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？

可以发现，这两个函数的图象都关于 y 轴对称.

探究

类比函数单调性，你能用符号语言精确地描述“函数图象关于 $y$ 轴对称”这一特征吗？

不妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如表 3.2-1.

可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.

例如，对于函数 $f(x)=x^{2}$ ，有

$\begin{array}{l} f (- 3) = 9 = f (3); \\ f (- 2) = 4 = f (2); \\ f (- 1) = 1 = f (1). \end{array}$

实际上， $\forall x\in R$ ，都有 $f(-x)=(-x)^{2}=x^{2}=f(x)$ ，这时称函数 $f(x)=x^{2}$ 为偶函数.

请你仿照这个过程，说明函数 $g(x) = 2 - |x|$ 也是偶函数.

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，如果 $\forall x\in D$ ，都有 $-x\in D$ ，且 $f(-x) = f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫做偶函数（even function).

例如，函数 $f(x) = x^{2} + 1$，$g(x) = \frac{2}{x^{2} + 11}$ 都是偶函数，它们的图象分别如图3.2-7(1)(2)所示.

探究

观察函数 $f(x) = x$ 和 $g(x) = \frac{1}{x}$ 的图象（图3.2-8），你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗？你能用符号语言精确地描述这一特征吗？

可以发现, 两个函数的图象都关于原点成中心对称图形. 为了用符号语言描述这一特征, 不妨取自变量的一些特殊值, 看相应函数值的情况, 请完成表 3.2-2.

可以发现，当自变量 x 取一对相反数时，相应的函数值 $f(x)$ 也是一对相反数.

例如，对于函数 $f(x) = x$ ，有

$f (- 3) = - 3 = - f (3);$

$f (- 2) = - 2 = - f (2);$

$f (- 1) = - 1 = - f (1).$

实际上，$\forall x \in \mathbf{R}$，都有 $f(-x) = -x = -f(x)$。这时称函数 $f(x) = x$ 为奇函数。

一般地，设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ ，如果 $\forall x\in D$ ，都有 $-x\in D$ ，且 $f(-x) = -f(x)$ ，那么函数 $f(x)$ 就叫做奇函数（odd function).

例 6 判断下列函数的奇偶性:

(1) $f(x) = x^4$; (2) $f(x) = x^5$;

(3) $f(x) = x + \frac{1}{x}$; (4) $f(x) = \frac{1}{x^2}$.

解：（1）函数 $f(x)=x^{4}$ 的定义域为 R.

因为 $\forall x\in \mathbf{R}$ ，都有 $-x\in \mathbf{R}$ ，且

$f (- x) = (- x) ^ {4} = x ^ {4} = f (x),$

所以，函数 $f(x)=x^{4}$ 为偶函数.

(2) 函数 $f(x)=x^{5}$ 的定义域为 R.

因为 $\forall x\in \mathbf{R}$ ，都有 $-x\in \mathbf{R}$ ，且

$f (- x) = (- x) ^ {5} = - x ^ {5} = - f (x),$

所以，函数 $f(x)=x^{5}$ 为奇函数.

(3) 函数 $f(x)=x+\frac{1}{x}$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$ .

因为 $\forall x\in \{x|x\neq 0\}$ ，都有 $-x\in \{x|x\neq 0\}$ ，且

$f (- x) = - x + \frac {1}{- x} = - \left(x + \frac {1}{x}\right) = - f (x),$

所以，函数 $f(x) = x + \frac{1}{x}$ 为奇函数.

(4) 函数 $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ 的定义域为 $\{x \mid x \neq 0\}$ .

因为 $\forall x\in \{x|x\neq 0\}$ ，都有 $-x\in \{x|x\neq 0\}$ ，且

$f (- x) = \frac {1}{(- x) ^ {2}} = \frac {1}{x ^ {2}} = f (x),$

所以，函数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ 为偶函数.

•

请你仿照这个过程， 说明函数 $g(x)=\frac{1}{x}$ 也是奇函数.

• •

奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.

思考

(1) 判断函数 $f(x)=x^{3}+x$ 的奇偶性.

(2) 图 3.2-9 是函数 $f(x)=x^{3}+x$ 图象的一部分，你能根据 $f(x)$ 的奇偶性画出它在 y 轴左边的图象吗？

（3）一般地，如果知道 $y = f(x)$ 为偶（奇）函数，那么我们可以怎样简化对它的研究？

练习

1. 已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，试将下图补充完整.

2. 判断下列函数的奇偶性：

(1) $f(x) = 2x^4 + 3x^2$; (2) $f(x) = x^3 - 2x$.

3.（1）从偶函数的定义出发，证明函数 $y = f(x)$ 是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴对称；

(2) 从奇函数的定义出发，证明函数 $y=f(x)$ 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.

习题3.2

复习巩固

1. 根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.

2. 画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 $y = f(x)$ 的单调区间及在每一单调区间上的单调性. (1) $y = x^{2} - 5x - 6;$ (2) $y = 9 - x^{2}$ .

3. 证明：

(1) 函数 $f(x)=-2x+1$ 是减函数；

(2) 函数 $f(x)=x^{2}+1$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；

(3) 函数 $f(x)=1-\frac{1}{x}$ 在 $(-∞, 0)$ 上单调递增.

4. 某汽车租赁公司的月收益 $y$ (单位: 元)与每辆车的月租金 $x$ (单位: 元)间的关系为 $y = -\frac{x^2}{50} + 162x - 21000$，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

5. 判断下列函数的奇偶性： (1) $f(x)=x^{2}+1;$ (2) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.$

综合运用

6. 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高。画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）。

7. 已知函数 $f(x) = x^{2} - 2x$，$g(x) = x^{2} - 2x (x \in [2, 4])$，

(1) 求 $f(x)$ ， $g(x)$ 的单调区间；

(2) 求 $f(x)$ ， $g(x)$ 的最小值.

8.（1）根据函数单调性的定义证明函数 $y = x + \frac{9}{x}$ 在区间 $[3, +\infty)$ 上单调递增.
(2）讨论函数 $y = x + \frac{9}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性.
(3）讨论函数 $y = x + \frac{k}{x} (k > 0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性.

9. 设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$，记 $\Delta x = x_1 - x_2$，$\Delta y = f(x_1) - f(x_2)$。证明： (1) 函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增的充要条件是：$\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0$; (2) 函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减的充要条件是：$\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0$。

10. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 $30 \, m$ ，那么宽 x （单位：m）为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

11. 已知函数 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) = x(1 + x)$. 画出函数 $f(x)$ 的图象，并求出函数的解析式.

拓广探索

12. 已知函数 $f(x)$ 是偶函数，而且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，判断 $f(x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.

13. 我们知道，函数 $y = f(x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f(x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f(x)$ 的图象关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f(x + a) - b$ 为奇函数.

(1) 求函数 $f(x)=x^{3}-3x^{2}$ 图象的对称中心；

(2) 类比上述推广结论，写出“函数 $y=f(x)$ 的图象关于 y 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为偶函数”的一个推广结论.

信息技术应用

用计算机绘制函数图象

利用计算机软件可以便捷、迅速地绘制各种函数图象。不同的计算机软件绘制函数图象的具体操作不尽相同，但都是基于我们熟悉的描点作图，即给自变量赋值，用计算法则算出相应的函数值，再由这些对应值生成一系列的点，最后连接这些点描绘出函数图象。下面以软件《GeoGebra》为例，介绍用计算机软件绘制函数图象的方法。

一、直接输入函数绘制函数 $y = x^3$ 的图象

打开软件《GeoGebra》，在下方的输入框内直接输入“ $y=x^{3}$ ”，回车，在代数区就会显示该函数的解析式“ $f(x)=x^{3}$ ”，而在绘图区就会自动显示相应函数 $y=x^{3}$ 的图象（如图1）.

二、绘制含参数 $b$ 的函数 $y = bx^{2}(b\neq 0)$ 的图象

(1) 打开软件《GeoGebra》，在输入框内输入参数 “b”，回车，创建滑动条 b，选择 b 的 “属性”，依图 2 提示可自由设置其最小值、最大值、增量等后关闭.

(2) 在输入框内直接输入函数 “ $y = b * x^2$ ”，回车，在绘图区直接显示出当时参数 b 的值对应的函数 $y = bx^{2}$ 的图象（图 2）.

当你左右移动滑动条中点 $b$ 的位置时, 函数 $y = b{x}^{2}$ 的图象就会 “动” 起来, 如图 2.

如果有条件，请你绘制函数 $y=ax^{2}+bx+c(a\neq0)$ 的图象，并探究系数 a，b，c 对函数图象的影响.