3.2.2 奇偶性

奇偶性是对称性的符号版本：图象关于 $y$ 轴对称叫偶函数，图象关于原点对称叫奇函数。 上一小节的单调性说的是”沿着 $x$ 轴走，函数值怎么变”，这一小节说的是”把 $x$ 换成 $-x$，函数值怎么变”。 两件事都是整体性质，但整体的范围不同：单调性对区间说，奇偶性对整个定义域说。

这一小节的讲法按”怎么用”排：先把定义的两句话拆开（其中一句最常被漏），再给判断的三步流程， 最后讲奇偶性真正的价值——把研究范围砍掉一半，以及它与单调性合用时的那条结论。

一、定义：两句话，漏了第一句就全错

设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。

偶函数：如果 $\forall x \in D$ 都有 $-x \in D$，且

$f(-x) = f(x),$

那么 $f(x)$ 叫做偶函数。

奇函数：如果 $\forall x \in D$ 都有 $-x \in D$，且

$f(-x) = -f(x),$

那么 $f(x)$ 叫做奇函数。

两个定义都由两句话组成，第二句人人记得，第一句常被跳过：

$\forall x \in D$ 都有 $-x \in D$——定义域必须关于原点对称。

这一句是前提，不是附注：只要定义域不对称，$f(-x)$ 里的 $-x$ 就可能压根不在定义域里， 后面那个等式无从谈起。所以 $f(x) = x^2$（$x \in [-1, 2]$）不是偶函数—— 取 $x = 2$，而 $-2 \notin [-1,2]$，第一句就没过。

为什么定义写成 $f(-x) = f(x)$ 而不是”图象关于 $y$ 轴对称”？ 因为后者是几何语言、 没法拿来算。两者其实等价（这正是第 92 页练习第 3 题要证的事），但符号版本能直接代数字、 能参与推导，几何版本只能看。几何给直觉，符号给证明，两个都要有。

二、判断奇偶性：三步，顺序不能换

1. 求定义域，并检查它是否关于原点对称。 不对称就立刻下结论：既不是奇函数也不是偶函数。
2. 算 $f(-x)$，把 $-x$ 代进解析式并化简。
3. 与 $f(x)$ 和 $-f(x)$ 比对：等于 $f(x)$ 是偶函数，等于 $-f(x)$ 是奇函数， 两个都不等于就是非奇非偶，两个都等于则 $f(x) \equiv 0$（在对称定义域上）。

课本例 6 的四个函数正好把四种典型形状走了一遍：

从这四个可以读出一条实用的速判规律：只由 $x$ 的偶次幂（含常数项）搭成的函数是偶函数， 只由奇次幂搭成的函数是奇函数，奇次幂与偶次幂混在一起（如 $x^2 + x$）一般非奇非偶。 “奇函数""偶函数”这两个名字就是从 $x^n$ 中 $n$ 的奇偶来的。

但速判只能用来猜，写答案仍要按三步走——尤其是第一步，形如 $\sqrt{1-x}$、$\frac{1}{x-1}$、 $\log$ 的函数定义域常常不对称，速判看不出来。

三、奇偶性的用处：研究范围砍掉一半

这是这一小节真正的价值，也是课本”思考”第 (3) 问的答案：

如果知道 $y=f(x)$ 是奇函数或偶函数，那么只研究 $x \geqslant 0$ 那一半就够了， 另一半由对称性直接得到。

具体地：

• 求解析式：知道 $x \geqslant 0$ 上的表达式，$x<0$ 时取 $-x>0$ 代进去，再按 $f(x) = f(-x)$（偶）或 $f(x) = -f(-x)$（奇）翻回来。
• 画图象：画好 $y$ 轴右边，偶函数把它沿 $y$ 轴翻折，奇函数把它绕原点旋转 $180^\circ$。
• 求函数值：$f(-3)$ 就是 $f(3)$（偶）或 $-f(3)$（奇）。
• 判单调性：偶函数在对称的两个区间上单调性相反，奇函数在对称的两个区间上单调性相同。 这一条是第 94 页习题第 12 题，值得当结论记住：$f(x)=x^2$ 在 $(0,+\infty)$ 上递增、 在 $(-\infty,0)$ 上递减（偶，相反）；$f(x)=x^3$ 两边都递增（奇，相同）。

还有一条常被单独考的小结论：若奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处有定义，则 $f(0) = 0$。 证明只有一行：在 $f(-x) = -f(x)$ 里取 $x=0$ 得 $f(0) = -f(0)$，故 $2f(0)=0$，$f(0)=0$。 含参数的题目里，这一行常常就是定参数的那个方程。

四、推广：换一个对称中心

第 94 页习题第 13 题给出了一个值得记住的推广：

$$y=f(x) \text{ 的图象关于点 } P(a,b) \text{ 成中心对称} \iff y = f(x+a) - b \text{ 为奇函数}.$$

读法很直白：把对称中心平移到原点，就回到了奇函数。$x$ 换成 $x+a$ 是把图象左移 $a$， 减去 $b$ 是把图象下移 $b$，两步合起来正好把 $P(a,b)$ 搬到原点。 与之对称的一条是：图象关于直线 $x=a$ 成轴对称 $\iff y = f(x+a)$ 为偶函数。

这条推广不是花招，它是高考里”求对称中心”这一类题的通用做法， 也是把三次函数、对数型函数的对称性问题一次性解决的工具。

五、易错清单

按失分频率排：

1. 不看定义域就代 $f(-x)$。 定义域不关于原点对称时，函数既不是奇函数也不是偶函数， 哪怕解析式看起来很”偶”。
2. 把”既不是奇函数也不是偶函数”写成”非奇非偶函数”以外的说法，或者忘了还有第三种可能。
3. 认为 $f(0)=0$ 是奇函数的充分条件。 它只是必要条件（在 $0$ 处有定义时）， $f(x)=x^2$ 也满足 $f(0)=0$。
4. 偶函数两侧单调性记反。 偶函数两侧相反、奇函数两侧相同—— 用 $x^2$ 与 $x^3$ 各验一次就不会记反。
5. 分段函数只写了一半的解析式。 用奇偶性求解析式时，最后要把两段（有时是三段，含 $x=0$） 合起来写成分段函数，并核对分界点。
6. 在不对称的区间上谈奇偶性。 奇偶性是整个定义域上的性质，不能说”$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上是偶函数”。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单，这里只说读的顺序：

• 先做 2025 年第 5 题（周期偶函数求值）：它就是第三节”求函数值”那一条的直接使用—— 用偶性与周期性把待求的那个点搬进有解析式的那一段。这道题是本节最标准的一道；
• 接着做 2020 年第 4 题（$y=x\cos x+\sin x$ 在 $[-\pi,\pi]$ 上的图象大致为哪一张）： 它练的是本节的另一种读法——把 $f(-x)=-f(x)$ 直接读成”图象关于原点中心对称”， 拿去和四张备选图比。四个选项正是两张中心对称、两张轴对称，判一次奇偶就砍掉一半。 这道题也是”奇偶性记反”的现场：记成”奇函数关于 $y$ 轴对称”，会精确地选中被排掉的那两张；
• 再看 2023 年第 11 题（抽象函数 $f(xy) = y^2f(x) + x^2f(y)$ 的多选题）： 其中一个选项要判断 $f$ 的奇偶性，做法是赋特殊值——取 $y=-1$ 之类， 直接从函数方程里挤出 $f(-x)$ 与 $f(x)$ 的关系。没有解析式时，奇偶性靠赋值挤；
• 最后是 2025 年第 19 题（三角函数压轴）：其中一问要用到函数的对称性来造点。 它是本节的上限：奇偶性在压轴题里从不是问题本身，而是把复杂对象的研究范围减半的那一步。

本节页面覆盖第 89–95 页，课本习题共 16 道：第 92 页「练习」3 道，第 92–94 页「习题 3.2」13 道 （复习巩固 5 道、综合运用 6 道、拓广探索 2 道），逐题全做。本节没有开放式的实习作业或方案设计， 因此没有不收的题。

「习题 3.2」是给整个 §3.2 配的一组，题面整组印在本节页面上，所以一并在这里做： 其中第 5、11、12、13 题考的是本小节的奇偶性，第 1–4、6–10 题考的是上一小节 §3.2.1 的单调性与最大（小）值。

有五道题要求”画出图象”。本站的详解不代画，而是把该画成什么样逐段说清楚 （哪一段升、哪一段降、顶点与零点在哪、端点取不取得到），并把题目真正要的那个结论写出来。

每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 92 页）第 1 题

1. 已知 $f(x)$ 是偶函数，$g(x)$ 是奇函数，试将下图补充完整.

题面里的”下图”是本节页面上方第 92 页扫描图里第 1 题的两幅小图。 先把图上读到的条件列出来（读者可对着那张图核）：

1. 两幅图给出的都是 $y$ 轴右边（$x \geqslant 0$）的同一条曲线，一幅标着 $f(x)$、一幅标着 $g(x)$；
2. 曲线从原点出发（即 $x=0$ 处函数值为 $0$），先较快上升到一个高峰；
3. 再下降到一个低谷，低谷仍在 $x$ 轴上方；
4. 之后又缓慢上升，直到图的右端；整条右半支都在 $x$ 轴上方或与之相接。

要补的是 $y$ 轴左边那一半。注意：下面的做法与右半支具体长什么样无关—— 无论那条曲线是什么形状，补法只由”偶函数”与”奇函数”这两个条件决定， 上面四条读数只用来把补出来的形状说得具体些。

补 $f(x)$（偶函数）：把右半支沿 $y$ 轴翻折过去。

依据是 $f(-x) = f(x)$：右边横坐标为 $x_0$ 的点 $(x_0, f(x_0))$， 在左边对应的点是 $(-x_0, f(x_0))$——横坐标取相反数、纵坐标不变。 所以左半支与右半支关于 $y$ 轴成轴对称。从左往右读补出来的左半支： 先由较高处缓慢下降（对应右半支最右端那段缓慢上升的镜像），到达一个低谷（$x$ 轴上方）， 再上升到一个高峰，最后下降回到原点。整条曲线呈”两峰夹一谷再夹一谷两峰”的左右对称形状， 两个高峰等高、两个低谷等深，且都在 $x$ 轴上方。

补 $g(x)$（奇函数）：把右半支绕原点旋转 $180^\circ$。

依据是 $g(-x) = -g(x)$：右边的点 $(x_0, g(x_0))$ 在左边对应 $(-x_0, -g(x_0))$—— 横、纵坐标同时取相反数。因为右半支整条都在 $x$ 轴上方（$g \geqslant 0$）， 所以左半支整条都在 $x$ 轴下方。从左往右读补出来的左半支： 先由较低处缓慢上升，到达一个局部最高点（仍在 $x$ 轴下方，是右半支低谷的相反数）， 再下降到一个局部最低点（是右半支高峰的相反数），最后上升回到原点。 整条曲线关于原点成中心对称。

核一处细节：两条曲线在 $x=0$ 处的取值都是 $0$（图上右半支从原点出发）， 偶函数这一侧左右两支在原点相接、奇函数这一侧也在原点相接，补出来的图都是连贯的一条曲线。 顺带印证了那条小结论：奇函数在 $0$ 处有定义时必有 $g(0)=0$。

练习（第 92 页）第 2 题

2. 判断下列函数的奇偶性：

(1) $f(x) = 2x^4 + 3x^2$; (2) $f(x) = x^3 - 2x$.

两小问都按三步走：定义域 → 算 $f(-x)$ → 比对。

(1) 偶函数。 $f(x) = 2x^4 + 3x^2$ 是多项式，定义域为 $\mathbf{R}$， 显然 $\forall x \in \mathbf{R}$ 都有 $-x \in \mathbf{R}$，定义域关于原点对称。又

$f(-x) = 2(-x)^4 + 3(-x)^2 = 2x^4 + 3x^2 = f(x),$

（这里用到 $(-x)^4 = x^4$、$(-x)^2 = x^2$，偶次幂把负号吃掉。） 所以 $f(x) = 2x^4 + 3x^2$ 是偶函数。

(2) 奇函数。 定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。又

$f(-x) = (-x)^3 - 2(-x) = -x^3 + 2x = -(x^3 - 2x) = -f(x),$

（这里用到 $(-x)^3 = -x^3$，奇次幂保留负号。） 所以 $f(x) = x^3 - 2x$ 是奇函数。

核一遍具体数：(1) 取 $x=1$，$f(1) = 2+3 = 5$，$f(-1) = 2+3 = 5$，相等 ✓； (2) 取 $x=1$，$f(1) = 1-2 = -1$，$f(-1) = -1+2 = 1$，互为相反数 ✓。

这道题印证了那条速判规律：全是偶次幂 → 偶函数，全是奇次幂 → 奇函数。 但写答案时第一步”定义域关于原点对称”仍要交代，它是定义的一半。

练习（第 92 页）第 3 题

3.（1）从偶函数的定义出发，证明函数 $y = f(x)$ 是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴对称；

(2) 从奇函数的定义出发，证明函数 $y=f(x)$ 是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称.

先把两个几何说法写成点的语言。记 $f$ 的定义域为 $D$，图象为点集

$G = \{(x, f(x)) \mid x \in D\}.$

• ”$G$ 关于 $y$ 轴对称”的意思是：$G$ 上任一点 $(x_0, y_0)$ 关于 $y$ 轴的对称点 $(-x_0, y_0)$ 也在 $G$ 上；
• ”$G$ 关于原点对称”的意思是：$G$ 上任一点 $(x_0, y_0)$ 关于原点的对称点 $(-x_0, -y_0)$ 也在 $G$ 上。

还要用到一条图象与函数的对应关系：点 $(u, v) \in G$ 当且仅当 $u \in D$ 且 $v = f(u)$。 （这正是”函数图象”的定义，下面两问反复用它。）

先认清题面里谁是”条件”：题目说”$f$ 是偶函数的充要条件是它的图象关于 $y$ 轴对称”， 所以，“图象关于 $y$ 轴对称”是条件、”$f$ 是偶函数”是结论。于是

$\textbf{充分性：图象对称} \Rightarrow \textbf{偶函数}, \qquad \textbf{必要性：偶函数} \Rightarrow \textbf{图象对称}.$

（读成”有了条件就够了”是充分性，“没有条件就没有结论”是必要性。标签与方向必须对上， 写反了等于把这一对概念用反。）

(1) 偶函数 $\iff$ 图象关于 $y$ 轴对称。

必要性（偶函数 $\Rightarrow$ 图象关于 $y$ 轴对称）：设 $f$ 是偶函数。 任取 $G$ 上一点 $(x_0, y_0)$，则 $x_0 \in D$ 且 $y_0 = f(x_0)$。由偶函数定义的第一句， $-x_0 \in D$；由第二句，$f(-x_0) = f(x_0) = y_0$。于是点 $(-x_0, y_0) = (-x_0, f(-x_0)) \in G$。 而 $(-x_0, y_0)$ 正是 $(x_0,y_0)$ 关于 $y$ 轴的对称点，所以 $G$ 关于 $y$ 轴对称。

充分性（图象关于 $y$ 轴对称 $\Rightarrow$ 偶函数）：设 $G$ 关于 $y$ 轴对称。 任取 $x_0 \in D$，则 $(x_0, f(x_0)) \in G$；由对称性，它关于 $y$ 轴的对称点 $(-x_0, f(x_0))$ 也在 $G$ 上。由上面那条对应关系，$(-x_0, f(x_0)) \in G$ 意味着 $-x_0 \in D$ 且 $f(-x_0) = f(x_0)$。由于 $x_0 \in D$ 是任取的， 这两句正好就是偶函数定义的两句，所以 $f$ 是偶函数。

(2) 奇函数 $\iff$ 图象关于原点对称。 证法与 (1) 逐句平行，只把对称点换掉； 两段的名称也照 (1)：充分性是”图象关于原点对称 $\Rightarrow$ 奇函数”， 必要性是”奇函数 $\Rightarrow$ 图象关于原点对称”。

必要性：设 $f$ 是奇函数。任取 $(x_0,y_0) \in G$，则 $x_0 \in D$、$y_0 = f(x_0)$。 由定义 $-x_0 \in D$ 且 $f(-x_0) = -f(x_0) = -y_0$，故 $(-x_0, -y_0) \in G$。 而 $(-x_0,-y_0)$ 正是 $(x_0,y_0)$ 关于原点的对称点，所以 $G$ 关于原点对称。

充分性：设 $G$ 关于原点对称。任取 $x_0 \in D$，则 $(x_0, f(x_0)) \in G$， 其关于原点的对称点 $(-x_0, -f(x_0))$ 也在 $G$ 上，于是 $-x_0 \in D$ 且 $f(-x_0) = -f(x_0)$。 两句合起来即 $f$ 是奇函数。

这道题真正要注意的是”充分性”那一半（图象对称 $\Rightarrow$ 奇偶函数）为什么能把定义域也带出来： 点 $(-x_0, f(x_0))$ 在函数图象上，本身就蕴含”$-x_0$ 在定义域里”。 所以几何上的一句”关于 $y$ 轴对称”，同时管住了定义的两句——这也说明定义里那句 ”$\forall x \in D$ 都有 $-x \in D$“不是多余的。

习题 3.2 第 1 题

1. 根据下图说出函数的单调区间及在每一单调区间上的单调性.

题面里的”下图”就是本节页面上方第 92 页扫描图里第 1 题那一幅。 先把图上读到的条件逐条列出来，读者可以对着那张图一条一条核。先交代两条坐标轴： 横轴上写出的刻度是 $-1,1,2,3,4,5$，原点另标作 $O$（所以 $x=0$ 也在轴上）； 纵轴的刻度一路标到 $7$，但那只是坐标框留的高度——曲线本身最高只到 $5$ 附近（见读数 2、6）， $6$ 与 $7$ 这两格图上是空的。

1. 图象画在 $-1 \leqslant x \leqslant 5$ 上，是一条连续曲线；
2. 左端有一条竖直虚线，底脚在横轴刻度 $-1$ 上，顶端连到曲线左端、略低于刻度 $5$，故左端坐标 $(-1, \approx 5)$；
3. 曲线从左端一路下降，在原点 $O$ 处触到 $x$ 轴：接触点就是原点本身，横、纵坐标一次定死，$(0,0)$；
4. 从原点起上升，在 $x=2$ 处到达一个高点：那里有一条竖直虚线，底脚在横轴刻度 $2$ 上定横坐标，顶端正对纵轴刻度 $4$ 定纵坐标，故高点 $(2,4)$；
5. 从高点起下降，在 $x=4$ 处再次触到 $x$ 轴：接触点正落在横轴刻度 $4$ 的正上方（与刻度水平对齐），故横坐标为 $4$；触到轴则纵坐标为 $0$，即 $(4,0)$；
6. 从接触点起上升，右端又有一条竖直虚线，底脚在刻度 $5$ 上，顶端同样略低于 $5$，故右端 $(5, \approx 5)$。

结论只用到三个单调性分界点的横坐标 $0$、$2$、$4$，三者的依据都能在图上指认：左分界点是原点 $O$ 本身， 中分界点靠虚线底脚对着刻度 $2$，右分界点是正落在刻度 $4$ 上方的接触点。注意”触到 $x$ 轴”只定纵坐标 $0$， 横坐标要靠接触点与刻度的水平对齐来读，两件事不能混。两端点的纵坐标 $\approx 5$ 只描述图形有多高， 不参与单调性的判断——它读成 $4.9$ 还是 $5$，答案都一样。

以下解答只用这六条读数，不再另加条件。按读数 3–6，图象被 $x = 0, 2, 4$ 三点分成四段。

$$\text{单调递减区间：}[-1, 0] \text{ 与 } [2, 4];$$ $$\text{单调递增区间：}[0, 2] \text{ 与 } [4, 5].$$

即：函数在 $[-1,0]$ 上单调递减，在 $[0,2]$ 上单调递增，在 $[2,4]$ 上单调递减， 在 $[4,5]$ 上单调递增。

两点提醒：① 四个区间要分别列出，不能把两个递减区间写成并集 （$[-1,0] \cup [2,4]$ 上函数并不递减：取 $x_1 = 0$、$x_2 = 2$ 就反了）； ② 分界点 $0$、$2$、$4$ 归给相邻哪一段都可以，按闭区间写时四段正好拼成整个定义域 $[-1,5]$。

习题 3.2 第 2 题

2. 画出下列函数的图象，并根据图象说出函数 $y = f(x)$ 的单调区间及在每一单调区间上的单调性.

(1) $y = x^{2} - 5x - 6;$

(2) $y = 9 - x^{2}$ .

(1) 先配方定出顶点：

$y = x^2 - 5x - 6 = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} - 6 = \left(x-\frac52\right)^2 - \frac{49}{4}.$

图象该画成什么样：开口向上的抛物线，顶点 $\left(\frac52, -\frac{49}{4}\right)$， 对称轴是直线 $x = \frac52$；与 $x$ 轴的交点由 $x^2-5x-6 = (x-6)(x+1) = 0$ 得 $x=-1$ 与 $x=6$； 与 $y$ 轴交于 $(0,-6)$。

单调区间：

$\text{单调递减区间 } \left(-\infty, \tfrac52\right]; \qquad \text{单调递增区间 } \left[\tfrac52, +\infty\right).$

(2) $y = 9 - x^2 = -x^2 + 9$。

图象该画成什么样：开口向下的抛物线，顶点 $(0, 9)$（也是最高点）， 对称轴是 $y$ 轴；与 $x$ 轴交于 $(-3,0)$ 与 $(3,0)$。

单调区间：

$\text{单调递增区间 } (-\infty, 0]; \qquad \text{单调递减区间 } [0, +\infty).$

通用结论：二次函数 $y = ax^2+bx+c$ 的单调分界点就是对称轴 $x = -\frac{b}{2a}$； $a>0$ 时”左减右增”，$a<0$ 时”左增右减”。两小问各是一个方向。

习题 3.2 第 3 题

3. 证明：

(1) 函数 $f(x)=-2x+1$ 是减函数；

(2) 函数 $f(x)=x^{2}+1$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增；

(3) 函数 $f(x)=1-\frac{1}{x}$ 在 $(-∞, 0)$ 上单调递增.

三小问都按”取点 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论”五步写。

(1) “是减函数”指在定义域 $\mathbf{R}$ 上单调递减。

$\forall x_1, x_2 \in \mathbf{R}$，且 $x_1 < x_2$。作差：

$f(x_1) - f(x_2) = (-2x_1+1) - (-2x_2+1) = -2(x_1 - x_2).$

由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$；又 $-2<0$，两负相乘得

$f(x_1) - f(x_2) = -2(x_1-x_2) > 0, \qquad \text{即} \qquad f(x_1) > f(x_2).$

由定义，$f(x) = -2x+1$ 在 $\mathbf{R}$ 上单调递减，即它是减函数。

(2) $\forall x_1, x_2 \in (0,+\infty)$，且 $x_1<x_2$。作差并分解：

$f(x_1) - f(x_2) = (x_1^2+1) - (x_2^2+1) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1-x_2)(x_1+x_2).$

由 $x_1<x_2$ 得 $x_1-x_2<0$；由 $x_1>0$、$x_2>0$ 得 $x_1+x_2>0$。所以

$f(x_1)-f(x_2) < 0, \qquad \text{即} \qquad f(x_1) < f(x_2).$

由定义，$f(x)=x^2+1$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。

(3) $\forall x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$，且 $x_1 < x_2$。作差并通分：

$$f(x_1) - f(x_2) = \left(1 - \frac{1}{x_1}\right) - \left(1 - \frac{1}{x_2}\right) = \frac{1}{x_2} - \frac{1}{x_1} = \frac{x_1 - x_2}{x_1x_2}.$$

由 $x_1<x_2$ 得分子 $x_1-x_2<0$；由 $x_1<0$、$x_2<0$ 得分母 $x_1x_2>0$。所以

$f(x_1) - f(x_2) < 0, \qquad \text{即} \qquad f(x_1) < f(x_2).$

由定义，$f(x) = 1-\frac1x$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

核一遍 (3)：取 $x_1=-2$、$x_2=-1$，$f(-2) = 1+\frac12 = 1.5$，$f(-1) = 1+1 = 2$， 确实 $1.5 < 2$，相符。

习题 3.2 第 4 题

4. 某汽车租赁公司的月收益 $y$ (单位: 元)与每辆车的月租金 $x$ (单位: 元)间的关系为 $y = -\frac{x^2}{50} + 162x - 21000$，那么，每辆车的月租金为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？

这是一个二次函数求最大值的问题。二次项系数 $-\frac{1}{50} < 0$，开口向下，顶点即最高点。

顶点横坐标：

$x = -\frac{b}{2a} = -\frac{162}{2 \times \left(-\frac{1}{50}\right)} = -\frac{162}{-\frac{1}{25}} = 162 \times 25 = 4050.$

顶点纵坐标（直接代入求，比套公式稳）：$4050^2 = 16\,402\,500$，故

$$y = -\frac{16\,402\,500}{50} + 162 \times 4050 - 21\,000 = -328\,050 + 656\,100 - 21\,000 = 307\,050.$$

核实际意义：$x = 4050 > 0$，月租金为正，合乎实际；$y = 307\,050 > 0$，收益为正。

所以每辆车的月租金为 $4050$ 元时租赁公司的月收益最大，最大月收益是 $307\,050$ 元。

核一遍：把 $x$ 挪动一点看收益是否变小。取 $x = 4000$： $y = -\frac{16\,000\,000}{50} + 648\,000 - 21\,000 = -320\,000 + 648\,000 - 21\,000 = 307\,000 < 307\,050$； 取 $x = 4100$：$4100^2 = 16\,810\,000$， $y = -336\,200 + 664\,200 - 21\,000 = 307\,000 < 307\,050$。 两侧都更小，与”顶点是最高点”相符。

习题 3.2 第 5 题

5. 判断下列函数的奇偶性：

(1) $f(x)=x^{2}+1;$

(2) $f(x)=\frac{x}{x^{2}+1}.$

(1) 偶函数。 定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。

$f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2+1 = f(x),$

故 $f(x) = x^2+1$ 是偶函数。

(2) 奇函数。 先定定义域：分母 $x^2+1$ 对任意实数都有 $x^2 \geqslant 0$， 故 $x^2+1 \geqslant 1 > 0$，分母恒不为零，定义域为 $\mathbf{R}$，关于原点对称。

$f(-x) = \frac{-x}{(-x)^2+1} = \frac{-x}{x^2+1} = -\frac{x}{x^2+1} = -f(x),$

故 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ 是奇函数。

(2) 的定义域这一步不能省：分式函数要先确认分母不为零。这里恰好分母恒正， 所以定义域是全体实数、关于原点对称；若分母换成 $x^2-1$，定义域就成了 $\{x \mid x \neq \pm 1\}$——它仍然关于原点对称，但必须核过才能往下走。

习题 3.2 第 6 题

6. 一名心率过速患者服用某种药物后心率立刻明显减慢，之后随着药力的减退，心率再次慢慢升高。画出自服药那一刻起，心率关于时间的一个可能的图象（示意图）。

图象该画成什么样。 以服药那一刻为时间原点，横轴是时间 $t$（$t \geqslant 0$）、 纵轴是心率 $y$，画一条连续曲线，分两段：

1. $0 \leqslant t \leqslant t_0$：下降，而且下降得快。 起点 $(0, y_0)$ 处的 $y_0$ 要画得偏高 （患者心率过速），曲线陡峭地降到 $t = t_0$ 处的最低点——题目说的”立刻明显减慢”， 要用”陡”体现出来。
2. $t \geqslant t_0$：上升，而且上升得慢。 从最低点开始平缓地回升—— 题目说的”随着药力的减退……慢慢升高”，要用”缓”体现出来。

整条曲线呈先降后升的谷形，谷底在 $t = t_0$。

单调区间与最值：在 $[0, t_0]$ 上单调递减，在 $[t_0, +\infty)$ 上单调递增； $t = t_0$ 处取得最小值，即药效最强的那一刻心率最低。

这只是”一个可能的图象”：题目没有给出任何数值，$y_0$ 的高低、$t_0$ 的早晚、 两段的陡缓都可以自己定，只要”先陡降、后缓升”这个次序与快慢对比对上就行。 如果还想画得更贴近实际，可以让上升那一段逐渐趋于平缓、最后接近患者服药前的水平—— 药力退尽后心率回到原状。

习题 3.2 第 7 题

7. 已知函数 $f(x) = x^{2} - 2x$，$g(x) = x^{2} - 2x (x \in [2, 4])$，

(1) 求 $f(x)$ ， $g(x)$ 的单调区间；

(2) 求 $f(x)$ ， $g(x)$ 的最小值.

两个函数的解析式完全相同，定义域不同——这正是本题的考点。 $f$ 没写定义域，按约定取使解析式有意义的最大范围，即 $\mathbf{R}$；$g$ 的定义域是 $[2,4]$。

先配方：

$x^2 - 2x = (x-1)^2 - 1,$

所以两条抛物线开口向上、对称轴都是 $x = 1$、顶点都是 $(1,-1)$。

(1) 单调区间。

• $f(x)$（定义域 $\mathbf{R}$）：以对称轴 $x=1$ 为界， 单调递减区间 $(-\infty, 1]$，单调递增区间 $[1, +\infty)$。
• $g(x)$（定义域 $[2,4]$）：因为 $[2,4] \subseteq [1,+\infty)$，整个定义域都落在递增的那一侧， 所以 $g(x)$ 的单调递增区间是 $[2,4]$，没有单调递减区间。

（顺带一验：$\forall x_1,x_2 \in [2,4]$，$x_1<x_2$， $g(x_1)-g(x_2) = (x_1-x_2)(x_1+x_2-2)$，其中 $x_1-x_2<0$、 $x_1+x_2-2 \geqslant 2+2-2 = 2 > 0$，故差为负，确实递增。）

(2) 最小值。

• $f(x)$：开口向上，顶点是最低点，且 $x=1$ 在定义域 $\mathbf{R}$ 内，故 最小值是 $f(1) = -1$，在 $x=1$ 处取到。
• $g(x)$：在 $[2,4]$ 上单调递增，故最小值在左端点取到：

$g(2) = 2^2 - 2\times 2 = 0,$

即 $g(x)$ 的最小值是 $0$，在 $x=2$ 处取到。

注意 $g$ 的最小值不是 $-1$：顶点 $x=1$ 根本不在 $g$ 的定义域里。 求最值必须先看定义域与对称轴的相对位置——这是二次函数在区间上求最值的固定第一步。

习题 3.2 第 8 题

8.（1）根据函数单调性的定义证明函数 $y = x + \frac{9}{x}$ 在区间 $[3, +\infty)$ 上单调递增.

(2）讨论函数 $y = x + \frac{9}{x}$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性.

(3）讨论函数 $y = x + \frac{k}{x} (k > 0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上的单调性.

三小问共用同一个作差结果，先把它算出来。

设 $y = x + \frac{c}{x}$（$c>0$ 为常数），$x_1$、$x_2$ 是同一个区间里的两点且 $x_1 \neq 0 \neq x_2$：

$$y_1 - y_2 = \left(x_1 + \frac{c}{x_1}\right) - \left(x_2 + \frac{c}{x_2}\right) = (x_1 - x_2) + c \cdot \frac{x_2 - x_1}{x_1x_2} = (x_1-x_2)\left(1 - \frac{c}{x_1x_2}\right) = \frac{(x_1-x_2)(x_1x_2 - c)}{x_1x_2}.$$

符号完全由 $x_1x_2$ 与 $c$ 的大小决定（因为在 $(0,+\infty)$ 上 $x_1x_2>0$， 而取点时总有 $x_1-x_2<0$）。

(1) 取 $c = 9$。$\forall x_1, x_2 \in [3,+\infty)$，且 $x_1 < x_2$。 则 $x_1 \geqslant 3$、$x_2 > x_1 \geqslant 3$，于是

$x_1x_2 \geqslant 3x_2 > 3 \times 3 = 9, \qquad \text{即} \qquad x_1x_2 - 9 > 0;$

又 $x_1x_2 > 0$、$x_1 - x_2 < 0$。所以

$y_1 - y_2 = \frac{(x_1-x_2)(x_1x_2-9)}{x_1x_2} < 0, \qquad \text{即} \qquad y_1 < y_2.$

由定义，$y = x+\frac9x$ 在 $[3,+\infty)$ 上单调递增。

(2) 仍取 $c=9$，在 $(0,+\infty)$ 上分两段看：

• 在 $(0, 3]$ 上单调递减。 $\forall x_1,x_2 \in (0,3]$ 且 $x_1<x_2$， 则 $0 < x_1 < x_2 \leqslant 3$，于是 $x_1x_2 < 3 \times 3 = 9$，即 $x_1x_2 - 9 < 0$； 又 $x_1-x_2<0$、$x_1x_2>0$，故 $y_1-y_2 > 0$，即 $y_1 > y_2$，单调递减。
• 在 $[3, +\infty)$ 上单调递增，即 (1) 已证。

所以 $y = x + \frac9x$ 在 $(0,+\infty)$ 上先减后增，分界点是 $x=3$， 并在 $x=3$ 处取得最小值 $3 + \frac93 = 6$。

（这与基本不等式给出的结论一致：$x>0$ 时 $x+\frac9x \geqslant 2\sqrt9 = 6$， 取等条件 $x = \frac9x$ 即 $x=3$。两条路互相印证。）

(3) 把 $9$ 换成任意的 $k>0$，推理一字不改，只把分界点换成使 $x_1x_2 - k$ 变号的那个位置。 因为 $x>0$，$x \cdot x = k$ 的正根是 $x = \sqrt{k}$，所以：

• 在 $\left(0, \sqrt{k}\,\right]$ 上单调递减：$0<x_1<x_2\leqslant\sqrt k$ 时 $x_1x_2 < \sqrt k \cdot \sqrt k = k$，故 $x_1x_2-k<0$，$y_1-y_2>0$；
• 在 $\left[\sqrt{k}, +\infty\right)$ 上单调递增：$\sqrt k \leqslant x_1 < x_2$ 时 $x_1x_2 > \sqrt k \cdot \sqrt k = k$，故 $x_1x_2-k>0$，$y_1-y_2<0$。

所以 $y = x + \frac{k}{x}$（$k>0$）在 $(0,+\infty)$ 上先减后增， 分界点是 $x=\sqrt k$，最小值是 $\sqrt k + \frac{k}{\sqrt k} = 2\sqrt k$。

第 (1)(2) 问只是 (3) 在 $k=9$ 时的样子（$\sqrt 9 = 3$）。 这个函数就是常说的”对勾函数”，分界点在 $\sqrt k$、最小值 $2\sqrt k$ 值得记住。

习题 3.2 第 9 题

9. 设函数 $y = f(x)$ 的定义域为 $D$，区间 $I \subseteq D$，记 $\Delta x = x_1 - x_2$，$\Delta y = f(x_1) - f(x_2)$。证明：

(1) 函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递增的充要条件是：$\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0$;

(2) 函数 $y = f(x)$ 在区间 $I$ 上单调递减的充要条件是：$\forall x_1, x_2 \in I, x_1 \neq x_2$，都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0$。

先说清 $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 有意义：题设 $x_1 \neq x_2$，故 $\Delta x = x_1-x_2 \neq 0$， 分母不为零。又两个数的商为正当且仅当它们同号，商为负当且仅当它们异号—— 下面两问全靠这一句。

(1)

必要性（单调递增 $\Rightarrow$ $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$）：设 $f$ 在 $I$ 上单调递增。 任取 $x_1, x_2 \in I$ 且 $x_1 \neq x_2$，分两种情形：

• 若 $x_1 < x_2$：则 $\Delta x = x_1-x_2 < 0$；由单调递增得 $f(x_1) < f(x_2)$， 即 $\Delta y = f(x_1)-f(x_2) < 0$。两者同为负，商为正。
• 若 $x_1 > x_2$：则 $\Delta x > 0$；把定义用在 $x_2 < x_1$ 上得 $f(x_2) < f(x_1)$， 即 $\Delta y > 0$。两者同为正，商为正。

两种情形穷尽（$x_1 \neq x_2$ 只有这两种），都得 $\frac{\Delta y}{\Delta x} > 0$。

充分性（$\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$ $\Rightarrow$ 单调递增）：设对任意 $x_1 \neq x_2 \in I$ 都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$。要按定义验单调递增，任取 $x_1, x_2 \in I$ 且 $x_1 < x_2$。 此时 $\Delta x = x_1 - x_2 < 0$，而商 $\frac{\Delta y}{\Delta x}>0$ 要求分子与分母同号， 故 $\Delta y < 0$，即 $f(x_1) - f(x_2) < 0$，$f(x_1) < f(x_2)$。 由单调递增的定义，$f$ 在 $I$ 上单调递增。

(2) 把上面每一处”同号”换成”异号”即可。

必要性：设 $f$ 在 $I$ 上单调递减，任取 $x_1 \neq x_2 \in I$。 若 $x_1<x_2$，则 $\Delta x<0$ 而 $f(x_1)>f(x_2)$ 给出 $\Delta y>0$，一负一正，商为负； 若 $x_1>x_2$，则 $\Delta x>0$ 而 $f(x_1)<f(x_2)$ 给出 $\Delta y<0$，一正一负，商为负。 两种情形都得 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$。

充分性：设对任意 $x_1 \neq x_2 \in I$ 都有 $\frac{\Delta y}{\Delta x}<0$。 任取 $x_1<x_2$，则 $\Delta x<0$；商为负要求分子与分母异号，故 $\Delta y>0$， 即 $f(x_1) > f(x_2)$。由定义，$f$ 在 $I$ 上单调递减。

这道题的意义：它把”$x_1<x_2$ 时 $f(x_1)<f(x_2)$“这条带方向的定义， 换成了一条不带方向的判据——$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 的正负与谁大谁小无关， 所以用起来不必再声明”不妨设 $x_1<x_2$”。$\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 就是图象上两点连线的斜率， 这条判据读作：递增等价于任意两点连线的斜率都为正。

习题 3.2 第 10 题

10. 如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间面积相同的矩形熊猫居室，如果可供建造围墙的材料总长是 $30 \, m$ ，那么宽 x （单位：m）为多少时才能使所建造的每间熊猫居室面积最大？每间熊猫居室的最大面积是多少？

题面里的”如图”是本节页面上方第 93 页扫描图里第 10 题那一幅。 先把图上读到的条件列出来（读者可对着那张图核）：

1. 整块场地是一个矩形，上边靠墙（图上用一条木色的墙表示），这一边不需要围墙材料；
2. 场地被一道隔墙从中间竖着分成左右两间，两间大小相同；
3. 图上标注的 $x$ 是垂直于墙的那个方向的边长（图右侧的箭头标着 $x$），即题面所说的”宽”。

由读数 1–3，要用材料建的墙一共是四段：与墙平行的那一条，左右两条边，中间的隔墙。 以下解答只用这三条读数。

设与墙平行的那条边长为 $a\ \mathrm{m}$，则 $a>0$、$x>0$。 需要用材料建造的墙有：与墙平行的那一条（长 $a$）、左右两条边（各长 $x$）、中间的隔墙（长 $x$）， 一共

$a + 3x = 30 \ (\text{定值}), \qquad \text{即} \qquad a = 30 - 3x.$

由 $a>0$ 得 $x < 10$，所以 $0 < x < 10$。

每间居室的面积是整块场地面积的一半：

$S = \frac{1}{2} a x = \frac{1}{2}(30-3x)x = \frac{3}{2}x(10-x).$

求最大值。在 $0<x<10$ 上 $x>0$、$10-x>0$（一正），且两者之和 $x + (10-x) = 10$ 是常数（二定），由 $uv \leqslant \left(\frac{u+v}{2}\right)^2$ 得

$x(10-x) \leqslant \left(\frac{10}{2}\right)^2 = 25,$

于是

$S = \frac{3}{2}x(10-x) \leqslant \frac{3}{2} \times 25 = 37.5.$

取等（三相等）：取等条件是 $x = 10-x$，即 $x = 5$，它落在 $(0,10)$ 内，取得到。 此时 $a = 30 - 15 = 15 > 0$，方案可行。

所以当宽 $x = 5\ \mathrm{m}$ 时每间熊猫居室的面积最大，每间的最大面积是 $37.5\ \mathrm{m}^2$ （此时与墙平行的边长 $15\ \mathrm{m}$，整块场地 $75\ \mathrm{m}^2$）。

核一遍：取 $x=4$，$a = 18$，每间面积 $\frac{18 \times 4}{2} = 36 < 37.5$； 取 $x=6$，$a=12$，每间面积 $\frac{12\times6}{2} = 36 < 37.5$。两侧都更小，相符。

这道题最容易错的一处是数错要建几道墙：靠墙那一边不算，中间的隔墙要算， 所以是 $a + 3x$ 而不是 $a+2x$ 或 $2a+3x$。先在图上把要花材料的每一段描一遍再列式。

习题 3.2 第 11 题

11. 已知函数 $f(x)$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的奇函数，当 $x \geqslant 0$ 时，$f(x) = x(1 + x)$. 画出函数 $f(x)$ 的图象，并求出函数的解析式.

求 $x<0$ 那一半的解析式。 这是”用奇偶性把研究范围减半”的标准操作：

设 $x < 0$，则 $-x > 0$，可以用已知的那一段公式算 $f(-x)$：

$f(-x) = (-x)\left(1 + (-x)\right) = -x(1-x).$

再用奇函数的定义 $f(-x) = -f(x)$，即 $f(x) = -f(-x)$：

$f(x) = -\left[-x(1-x)\right] = x(1-x).$

合起来写成分段函数：

$$f(x) = \begin{cases} x(1+x), & x \geqslant 0, \\[2pt] x(1-x), & x < 0. \end{cases}$$

核分界点：$x=0$ 时按第一段算 $f(0) = 0 \times 1 = 0$； 把 $x=0$ 代进第二段的公式也得 $0$，两段在 $0$ 处接得上。 这也符合”奇函数在 $0$ 处有定义则 $f(0)=0$”。

再核一组具体值：$f(1) = 1 \times 2 = 2$，$f(-1) = (-1)\times 2 = -2$， 两者互为相反数 ✓；$f(2) = 2\times3 = 6$，$f(-2) = (-2)\times 3 = -6$ ✓。

图象该画成什么样。 分两段：

• $x \geqslant 0$：$y = x^2+x = \left(x+\frac12\right)^2 - \frac14$ 的右半部分。 抛物线开口向上、顶点在 $\left(-\frac12, -\frac14\right)$，但那个顶点在 $x<0$ 一侧， 所以在 $x \geqslant 0$ 上这一段是从原点 $(0,0)$ 出发单调递增的一支，过 $(1,2)$、$(2,6)$。
• $x<0$：$y = x - x^2 = -\left(x-\frac12\right)^2 + \frac14$ 的左半部分。 抛物线开口向下、顶点在 $\left(\frac12, \frac14\right)$（在 $x>0$ 一侧）， 所以在 $x<0$ 上这一段是单调递增的一支，从左下方升到原点，过 $(-1,-2)$、$(-2,-6)$。

两段拼起来是一条关于原点中心对称的连续曲线，整体在 $\mathbf{R}$ 上单调递增。 把 $x \geqslant 0$ 那一支绕原点转 $180^\circ$，得到的正是 $x<0$ 那一支—— 这就是奇函数图象的画法。

习题 3.2 第 12 题

12. 已知函数 $f(x)$ 是偶函数，而且在 $(0, +\infty)$ 上单调递减，判断 $f(x)$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增还是单调递减，并证明你的判断.

判断：$f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 上单调递增。

证明。 $\forall x_1, x_2 \in (-\infty, 0)$，且 $x_1 < x_2$。

第一步：把两点搬到正半轴上。 由 $x_1 < x_2 < 0$，两边同乘 $-1$（不等号反向）得

$-x_1 > -x_2 > 0,$

即 $-x_1$、$-x_2$ 都属于 $(0,+\infty)$，且 $-x_2 < -x_1$。

第二步：在正半轴上用已知的单调性。 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递减， 把定义用在 $-x_2 < -x_1$ 这一对上，得

$f(-x_2) > f(-x_1).$

第三步：用偶性翻回来。 由 $f$ 是偶函数，$f(-x_1) = f(x_1)$、$f(-x_2) = f(x_2)$，代入上式得

$f(x_2) > f(x_1), \qquad \text{即} \qquad f(x_1) < f(x_2).$

对 $(-\infty,0)$ 内任意两点 $x_1<x_2$ 都有 $f(x_1)<f(x_2)$，由定义， $f(x)$ 在 $(-\infty,0)$ 上单调递增。

记成一条结论：偶函数在关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数则相同。 用两个熟悉的例子各验一次就不会记反——$f(x)=x^2$ 是偶函数，在 $(0,+\infty)$ 上递增、 在 $(-\infty,0)$ 上递减（相反）；$f(x)=x^3$ 是奇函数，两边都递增（相同）。

（奇函数那一半的证法完全平行：第三步把 $f(-x_1) = -f(x_1)$ 代进去， 不等号会再翻一次，于是单调性保持不变。）

习题 3.2 第 13 题

13. 我们知道，函数 $y = f(x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f(x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数 $y = f(x)$ 的图象关于点 $P(a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f(x + a) - b$ 为奇函数.

(1) 求函数 $f(x)=x^{3}-3x^{2}$ 图象的对称中心；

(2) 类比上述推广结论，写出“函数 $y=f(x)$ 的图象关于 y 轴成轴对称图形的充要条件是函数 $y=f(x)$ 为偶函数”的一个推广结论.

(1) 按题目给的推广结论：设对称中心为 $P(a,b)$，则

$g(x) = f(x+a) - b$

必须是奇函数。先把 $g(x)$ 展开成 $x$ 的多项式。

$$f(x+a) = (x+a)^3 - 3(x+a)^2.$$

逐项展开：$(x+a)^3 = x^3 + 3ax^2 + 3a^2x + a^3$， $3(x+a)^2 = 3x^2 + 6ax + 3a^2$。相减得

$$f(x+a) = x^3 + (3a-3)x^2 + (3a^2-6a)x + (a^3 - 3a^2),$$

于是

$$g(x) = x^3 + (3a-3)x^2 + (3a^2-6a)x + (a^3-3a^2-b).$$

$g$ 是定义域为 $\mathbf{R}$ 的多项式函数，定义域关于原点对称，故只需 $g(-x) = -g(x)$。 把 $-x$ 代入：

$g(-x) = -x^3 + (3a-3)x^2 - (3a^2-6a)x + (a^3-3a^2-b),$

而

$-g(x) = -x^3 - (3a-3)x^2 - (3a^2-6a)x - (a^3-3a^2-b).$

两式对一切 $x$ 相等，比较偶次项（$x^2$ 项与常数项）的系数得

$3a-3 = -(3a-3) \ \Rightarrow\ 3a-3 = 0 \ \Rightarrow\ a = 1;$

$a^3-3a^2-b = -(a^3-3a^2-b) \ \Rightarrow\ a^3-3a^2-b = 0 \ \Rightarrow\ b = a^3-3a^2.$

（奇次项 $x^3$ 与 $x$ 的系数在两式中本来就自动相反，不给出新条件。）

把 $a=1$ 代入第二式：$b = 1 - 3 = -2$。所以

$\textbf{对称中心是 } (1, -2).$

核一遍：$a=1$、$b=-2$ 时

$g(x) = f(x+1) + 2 = x^3 + 0 \cdot x^2 + (3-6)x + 0 = x^3 - 3x,$

而 $g(-x) = -x^3+3x = -g(x)$，确实是奇函数 ✓。 另外 $f(1) = 1 - 3 = -2 = b$，对称中心落在曲线上，也符合中心对称图形的常识。

(2) 推广结论：

函数 $y=f(x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称图形的充要条件是函数 $y = f(x+a)$ 为偶函数。

为什么是这个形状。 把两条推广并排看就清楚了：

轴对称这一行不需要竖直方向的平移：对称轴是一条竖直直线，上下移动不改变它与 $y$ 轴是否重合， 所以只用把 $x$ 换成 $x+a$。这也是两条推广形状不同的原因。

顺带给一个直接的等价说法：$y=f(x)$ 的图象关于直线 $x=a$ 对称， 等价于对定义域内任意 $x$ 都有 $f(a+x) = f(a-x)$——把它记成”离对称轴一样远的两点函数值相等”， 用起来比换元更快。