浙江 2021 · 数学 q14

这道题在问什么

$\triangle ABC$ 中给了三个条件：$\angle B=60°$、$AB=2$、$M$ 是 $BC$ 中点且 $AM=2\sqrt{3}$。要求 $AC$ 和 $\cos\angle MAC$。

关键观察：$M$ 是 $BC$ 的中点，所以 $BM=MC=\dfrac{BC}{2}$。一旦知道 $BM$，整个三角形的尺寸就定死了。问题变成：怎么从 $\angle B$、$AB$、$AM$ 三个量把 $BM$ 解出来？

解法一：余弦定理逐次展开

怎么想到的

看到「两边 + 夹角」的组合——$AB$、$BM$、$\angle B$ 围成 $\triangle ABM$，而对边 $AM$ 已知——这正是余弦定理的标准使用场景：已知两边及夹角求第三边。只不过这里第三边是已知的，要求的是其中一边 $BM$，所以会列出一个关于 $BM$ 的方程。

第一步：在 △ABM 中用余弦定理求 BM

$\triangle ABM$ 中，$\angle ABM = \angle B = 60°$（$M$ 在 $BC$ 上，所以 $\angle ABM$ 就是 $\angle B$），$AB=2$，$AM=2\sqrt{3}$。

由余弦定理：

$$AM^2 = AB^2 + BM^2 - 2\cdot AB\cdot BM\cdot\cos B$$

代入：

$$12 = 4 + BM^2 - 2\times 2\times BM\times\frac{1}{2}$$ $$BM^2 - 2BM - 8 = 0$$

解得 $BM = 4$ 或 $BM = -2$。边长为正，取 $BM=4$。

避坑：解二次方程得到两个根，负根必须舍去。这不是可有可无的检验——如果题目条件换一组数，两个正根都出现时就需要额外判断哪个符合几何约束。

第二步：在 △ABC 中用余弦定理求 AC

$BC = 2BM = 8$。在 $\triangle ABC$ 中，$AB=2$，$BC=8$，$\angle B = 60°$：

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2\cdot AB\cdot BC\cdot\cos B = 4 + 64 - 2\times 2\times 8\times\frac{1}{2} = 52$$ $$AC = 2\sqrt{13}$$

第三步：在 △AMC 中用余弦定理求 cos∠MAC

$\triangle AMC$ 的三边全已知：$AM=2\sqrt{3}$，$MC=4$，$AC=2\sqrt{13}$。用余弦定理的推论：

$$\cos\angle MAC = \frac{AM^2 + AC^2 - MC^2}{2\cdot AM\cdot AC} = \frac{12 + 52 - 16}{2\times 2\sqrt{3}\times 2\sqrt{13}} = \frac{48}{8\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$$

解法二：坐标法

怎么想到的

$\angle B = 60°$ 是一个「好角」——$\cos 60°=\dfrac{1}{2}$，$\sin 60°=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$——把 $B$ 放在原点、$BC$ 放在 $x$ 轴上，$A$ 的坐标立刻写出来。之后所有距离都只是两点间距离公式，不需要记余弦定理。

第一步：建坐标

取 $B$ 为原点，$BC$ 方向为 $x$ 轴正方向。

$$A = (AB\cos 60°, \; AB\sin 60°) = (1, \;\sqrt{3})$$

设 $C=(a, 0)$（$a>0$），则 $M = \left(\dfrac{a}{2},\; 0\right)$。

第二步：用 AM = 2√3 列方程

$$AM^2 = \left(\frac{a}{2}-1\right)^2 + (\sqrt{3})^2 = \frac{a^2}{4} - a + 1 + 3 = \frac{a^2}{4} - a + 4$$

令 $AM^2 = 12$：

$$\frac{a^2}{4} - a + 4 = 12 \quad\Longrightarrow\quad a^2 - 4a - 32 = 0$$

解得 $a = 8$ 或 $a = -4$。$a > 0$，取 $a = 8$。

所以 $BC = 8$，$M = (4, 0)$，$C = (8, 0)$。

第三步：求 AC

$$AC = \sqrt{(8-1)^2 + (0-\sqrt{3})^2} = \sqrt{49+3} = \sqrt{52} = 2\sqrt{13}$$

第四步：用向量求 cos∠MAC

$\overrightarrow{AM} = (4-1,\; 0-\sqrt{3}) = (3,\; -\sqrt{3})$

$\overrightarrow{AC} = (8-1,\; 0-\sqrt{3}) = (7,\; -\sqrt{3})$

$$\cos\angle MAC = \frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{AC}}{|AM|\cdot|AC|} = \frac{21+3}{2\sqrt{3}\times 2\sqrt{13}} = \frac{24}{4\sqrt{39}} = \frac{6}{\sqrt{39}} = \frac{2\sqrt{39}}{13}$$

两条路的比较

• 余弦定理：每一步都在一个确定的三角形里操作，不需要建坐标系，适合「角度好算、边长待求」的场景。本题三步各用一个三角形，链条清晰。
• 坐标法：把几何问题变成代数运算，好处是不需要记余弦定理的公式形式，坏处是最后求角时仍然要做向量内积（本质上就是余弦定理的坐标形式）。

对本题来说两条路计算量相当。如果 $\angle B$ 不是特殊角（比如 $\cos B = \dfrac{3}{7}$），坐标法的优势会更明显——不用反复展开余弦定理的代数式。