浙江 2018 · 数学 q11

题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2018 · 数学 q11 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案）

题面

  1. 我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为 x,y,zx, y, z，则 {x+y+z=100,5x+3y+13z=100,\left\{\begin{array}{l} x + y + z = 100, \\ 5x + 3y + \frac{1}{3}z = 100, \end{array} \right. 当 z=81z = 81 时，x=x = ____，y=y = ____.

当 z=81 时，x=8，y=11.

答案

8；11

本题的知识树

1 套路 · 最深 1 层。长链是构建期派生的，源文件里只有最小一步。

攻略（零基础 → 会做）

百鸡问题 · z=81z=81 后代入，解二元一次方程组 · 最终答案：8；11

题面在问什么

古文那段是著名的百鸡问题：公鸡每只 5 钱，母鸡每只 3 钱，小鸡 3 只 1 钱；100 钱买 100 只。设公鸡、母鸡、小鸡各 xx、yy、zz 只，就是

{x+y+z=100,5x+3y+13z=100.\begin{cases} x+y+z=100,\\ 5x+3y+\dfrac{1}{3}z=100. \end{cases}

本题不要求把整数解全部找出来，只问 z=81z=81 时 xx、yy 各是多少。把 z=81z=81 代进去，解一个二元一次方程组即可。

解法一：代入 z=81z=81 再加减消元

怎么想到的。 zz 已经给了具体值，两个方程里只剩 xx、yy。先把数字代进去，再把两个一次式对齐，减一次就消掉一个未知数。

① 代入。 z=81z=81 时

{x+y+81=100,5x+3y+13⋅81=100,即{x+y=19,5x+3y=73.\begin{cases} x+y+81=100,\\ 5x+3y+\dfrac{1}{3}\cdot 81=100, \end{cases} \quad\text{即}\quad \begin{cases} x+y=19,\\ 5x+3y=73. \end{cases}

② 消元。 第一个方程乘 3：3x+3y=573x+3y=57。用第二个减它：

(5x+3y)−(3x+3y)=73−57  ⟹  2x=16  ⟹  x=8.(5x+3y)-(3x+3y)=73-57\implies 2x=16\implies x=8.

再代回 x+y=19x+y=19，得 y=11y=11。

③ 代回原式核对。 8+11+81=1008+11+81=100。钱数：5⋅8+3⋅11+13⋅81=40+33+27=1005\cdot 8+3\cdot 11+\dfrac{1}{3}\cdot 81=40+33+27=100。两式都对，且 xx、yy、zz 都是非负整数。

所以 x=8x=8，y=11y=11。