文字转写

幂函数 $y = x^3$ 的导数为 $y' = 3x^2 > 0$ ($x \in (0, +\infty)$)，所以 $y = x^3$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上单调递增。当 $x$ 越来越大时，$y' = 3x^2$ 越来越大，函数 $y = x^3$ 递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”（如图5.3-7（2））。

一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”.

例4 设 $x > 0, f(x) = \ln x, g(x) = 1 - \frac{1}{x}$，两个函数的图象如图5.3-8所示。判断 $f(x), g(x)$ 的图象与 $C_1, C_2$ 之间的对应关系。

解：因为 $f(x) = \ln x$ ， $g(x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，所以

$f ^ {\prime} (x) = \frac {1}{x}, g ^ {\prime} (x) = \frac {1}{x ^ {2}}.$

当 $x = 1$ 时，$f'(x) = g'(x) = 1$;

当 0 < x < 1 时， $g'(x) > f'(x) > 1$ ;

当 $x > 1$ 时， $0 < g'(x) < f'(x) < 1.$

所以， $f(x),g(x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上都是增函数.在区间（0，1）内， $g(x)$ 的图象比 $f(x)$ 的图象要“陡峭”；在区间 $(1, + \infty)$ 上， $g(x)$ 的图象比 $f(x)$ 的图象要“平缓”.

所以， $f(x)$ ， $g(x)$ 的图象依次是图 5.3-8 中的 $C_{2}$ ， $C_{1}$ .

练习

1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： (1) $f(x)=3x-x^{3}$ ; (2) $f(x)=x^{3}-x^{2}-x$ .

2. 证明函数 $f(x) = 2x^{3} - 6x^{2} + 7$ 在区间（0，2）内单调递减.

3. 函数 $y = f'(x)$ 的图象如图所示，试画出函数 $y = f(x)$ 图象的大致形状.

5.3.2 函数的极值与最大（小）值

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减。如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？

1. 函数的极值

观察图5.3-9，我们发现，当 $t = a$ 时，跳水运动员距水面的高度最大。那么，函数$h(t)$ 在此点处的导数是多少呢？此点附近的图象有什么特点？相应地，导数的正负性有什么变化规律？

放大 $t = a$ 附近函数 $h(t)$ 的图象，如图5.3-10. 可以看出，$h'(a) = 0$；在 $t = a$ 的附近，当 $t < a$ 时，函数 $h(t)$ 单调递增，$h'(t) > 0$；当 $t > a$ 时，函数 $h(t)$ 单调递减，$h'(t) < 0$。这就是说，在 $t = a$ 附近，函数值先增（当 $t < a$ 时，$h'(t) > 0$）后减（当 $t > a$ 时，$h'(t) < 0$）。这样，当 $t$ 在 $a$ 的附近从小到大经过 $a$ 时，$h'(t)$ 先正后负，且 $h'(t)$ 连续变化，于是有 $h'(a) = 0$。

对于一般的函数 $y = f(x)$，是否也有同样的性质呢？

探究

如图5.3-11，函数 $y = f(x)$ 在 $x = a, b, c, d, e$ 等点处的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？ $y = f(x)$ 在这些点处的导数值是多少？在这些点附近， $y = f(x)$ 的导数的正负性有什么规律？

以 $x = a$ ， $b$ 两点为例，可以发现，函数 $y = f(x)$ 在点 $x = a$ 处的函数值 $f(a)$ 比它在点 $x = a$ 附近其他点处的函数值都小， $f^{\prime}(a) = 0$ ；而且在点 $x = a$ 附近的左侧 $f^{\prime}(x) < 0$右侧 $f'(x)>0$ 。类似地，函数 $y=f(x)$ 在点 x=b 处的函数值 $f(b)$ 比它在点 x=b 附近其他点处的函数值都大， $f'(b)=0$ ；而且在点 x=b 附近的左侧 $f'(x)>0$ ，右侧 $f'(x)<0$ 。

我们把 $a$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的极小值点，$f(a)$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的极小值；$b$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的极大值点，$f(b)$ 叫做函数 $y = f(x)$ 的极大值。极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值（extremum）。

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.

例 5 求函数 $f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-4x+4$ 的极值.

解：因为 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x + 4$，所以

$f ^ {\prime} (x) = x ^ {2} - 4 = (x + 2) (x - 2).$

令 $f^{\prime}(x) = 0$ ，解得 $x = -2$ ，或 $x = 2$

当 x 变化时， $f'(x)$ ， $f(x)$ 的变化情况如表 5.3-2 所示.

因此，当 $x = -2$ 时，$f(x)$ 有极大值，并且极大值为

$f (- 2) = \frac {2 8}{3};$

当 x=2 时， $f(x)$ 有极小值，并且极小值为

极大值一定大于极小值吗？

$f (2) = - \frac {4}{3}.$

函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x + 4$ 的图象如图5.3-12所示.

思考

导数值为0的点一定是函数的极值点吗？

导数值为0的点不一定是函数的极值点．例如，对于函数 $f(x) = x^3$ ，我们有 $f^{\prime}(x) = 3x^{2}$ ．虽然 $f^{\prime}(0) = 0$ ，但由于无论 $x > 0$ ，还是 $x < 0$ ，恒有 $f^{\prime}(x) > 0$ ，即函数 $f(x) = x^3$ 是增函数，所以0不是函数 $f(x) = x^3$ 的极值点．一般地，函数 $y = f(x)$ 在一点处的导数值为0是函数 $y = f(x)$ 在这点取极值的必要条件，而非充分条件.

一般地，可按如下方法求函数 $y=f(x)$ 的极值：

解方程 $f^{\prime}(x) = 0$ ，当 $f^{\prime}(x_0) = 0$ 时：

(1) 如果在 $x_{0}$ 附近的左侧 $f'(x) > 0$ ，右侧 $f'(x) < 0$ ，那么 $f(x_{0})$ 是极大值；

(2) 如果在 $x_{0}$ 附近的左侧 $f'(x) < 0$ ，右侧 $f'(x) > 0$ ，那么 $f(x_{0})$ 是极小值.

练习

1. 函数 $f(x)$ 的导函数 $y = f'(x)$ 的图象如图所示，试找出函数 $f(x)$ 的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.

2. 求下列函数的极值： (1) $f(x)=6x^{2}-x-2;$ (2) $f(x)=x^{3}-27x;$ (3) $f(x)=6+12x-x^{3};$ (4) $f(x)=3x-x^{3}.$

2. 函数的最大（小）值

我们知道，极值反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。也就是说，如果 $x_0$ 是函数 $y = f(x)$ 的极大（小）值点，那么在 $x = x_0$ 附近找不到比 $f(x_0)$ 更大（小）的值。但是，在解决实际问题或研究函数的性质时，我们往往更关心函数在某个区间上，哪个值最大，哪个值最小。如果 $x_0$ 是某个区间上函数 $y = f(x)$ 的最大（小）值点，那么 $f(x_0)$ 不小（大）于函数 $y = f(x)$ 在此区间上的所有函数值。

图 5.3-13 是函数 $y=f(x)$ ， $x\in[a,b]$ 的图象，你能找出它的极小值、极大值吗？

观察图象，我们发现， $f(x_{1})$ ， $f(x_{3})$ ， $f(x_{5})$ 是函数 $y=f(x)$ 的极小值， $f(x_{2})$ ， $f(x_{4})$ ， $f(x_{6})$ 是函数 $y=f(x)$ 的极大值.

探究

进一步地，你能找出函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最小值、最大值吗？

从图5.3-13可以看出，函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最小值是 $f(x_{3})$，最大值是 $f(a)$.

在图5.3-14、图5.3-15中，观察 $[a, b]$ 上的函数 $y = f(x)$ 和 $y = g(x)$ 的图象，它们在 $[a, b]$ 上有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？

一般地，如果在区间 $[a, b]$ 上函数 $y = f(x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值.

结合图 5.3-14、图 5.3-15，以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数 $y = f(x)$ 的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.

例6 求函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x + 4$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最大值与最小值.

解：由例5可知，在区间 $[0, 3]$ 上，当 $x = 2$ 时，函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x + 4$ 有极小值，并且极小值为 $f(2) = -\frac{4}{3}$.

又由于

$f (0) = 4, f (3) = 1,$

所以，函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x + 4$ 在区间 $[0, 3]$ 上的最大值是 4，最小值是 $-\frac{4}{3}$.

图5.3-16

上述结论可以从函数 $f(x) = \frac{1}{3} x^3 - 4x + 4$ 在区间[0, 3]上的图象（图5.3-16）得到直观验证.

一般地，求函数 $y = f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上的最大值与最小值的步骤如下：

(1) 求函数 $y=f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内的极值；

(2) 将函数 $y = f(x)$ 的各极值与端点处的函数值 $f(a)$ ， $f(b)$ 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.

观察例 4 中的图 5.3-8，我们发现，当 x>0 时，

1 - \frac {1}{x} \leqslant \ln x.\tag{①}

怎样证明这个结论呢？

我们将不等式①转化为

$\frac {1}{x} - 1 + \ln x \geqslant 0.$

设 $s(x) = \frac{1}{x} - 1 + \ln x$，那么

$s ^ {\prime} (x) = - \frac {1}{x ^ {2}} + \frac {1}{x} = \frac {x - 1}{x ^ {2}}.$

令 $s^{\prime}(x) = 0$ ，解得 $x = 1$

当 x 变化时， $s'(x)$ ， $s(x)$ 的变化情况如表 5.3-3 所示.

所以，当 $x = 1$ 时，$s(x)$ 取得最小值。所以

$s (x) \geqslant s (1) = 0,$

即

$\frac {1}{x} - 1 + \ln x \geqslant 0.$

所以，当 $x > 0$ 时， $1 - \frac{1}{x} \leqslant \ln x$.

练习

1. 参考求函数极值的练习，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：

(1) $f(x)=6x^{2}-x-2,\ x\in[0,2];$

(2) $f(x)=x^{3}-27x,\ x\in[-4,4];$

(3) $f(x) = 6 + 12x - x^3, x \in \left[-\frac{1}{3}, 3\right]$;

(4) $f(x)=3x-x^{3},\quad x\in[2,3].$

2. 证明不等式： $x-1 \geqslant \ln x, x \in (0, +\infty)$ .

下面我们通过实例说明如何利用导数解决与函数相关的问题.

例 7 给定函数 $f(x)=(x+1)\mathrm{e}^{x}$ .

(1) 判断函数 $f(x)$ 的单调性，并求出 $f(x)$ 的极值；

(2) 画出函数 $f(x)$ 的大致图象；

(3) 求出方程 $f(x)=a\ (a\in\mathbf{R})$ 的解的个数.

解：（1）函数的定义域为 R.

$\begin{array}{r l} f ^ {\prime} (x) & = (x + 1) ^ {\prime} \mathrm{e} ^ {x} + (x + 1) (\mathrm{e} ^ {x}) ^ {\prime} \\ & = \mathrm{e} ^ {x} + (x + 1) \mathrm{e} ^ {x} \\ & = (x + 2) \mathrm{e} ^ {x}. \end{array}$

令 $f'(x)=0$ ，解得 x=-2。

$f'(x)$ ， $f(x)$ 的变化情况如表5.3-4所示.

所以， $f(x)$ 在区间 $(-∞, -2)$ 上单调递减，在区间 $(-2, +∞)$ 上单调递增. 当 x = -2 时， $f(x)$ 有极小值 $f(-2) = -\frac{1}{e^{2}}$ .

(2) 令 $f(x)=0$ ，解得 x=-1.

当 $x < -1$ 时，$f(x) < 0$；当 $x > -1$ 时，$f(x) > 0$.

所以， $f(x)$ 的图象经过特殊点 $A\left(-2, - \frac{1}{\mathrm{e}^2}\right),B(-1,0),C(0,1).$

当 $x \to -\infty$ 时，与一次函数相比，指数函数 $y = \mathrm{e}^{-x}$ 呈爆炸性增长，从而 $f(x) = \frac{x + 1}{\mathrm{e}^{-x}} \to 0$；当 $x \to +\infty$ 时，$f(x) \to +\infty$，$f'(x) \to +\infty$.

根据以上信息，我们画出 $f(x)$ 的大致图象如图 5.3-17 所示.

(3) 方程 $f(x)=a\ (a\in\mathbf{R})$ 的解的个数为函数 $y=f(x)$ 的图象与直线 y=a 的交点个数.

由（1）及图5.3-17可得，当 $x = -2$ 时，$f(x)$ 有最小值 $f(-2) = -\frac{1}{\mathrm{e}^2}$.

所以，关于方程 $f(x) = a (a \in \mathbb{R})$ 的解的个数有如下结论：

当 $a < -\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ 时，解为0个；

当 $a = -\frac{1}{\mathrm{e}^2}$ 或 $a\geqslant 0$ 时，解为1个；

当 $-\frac{1}{e^{2}}<a<0$ 时，解为2个.

由例7可见，函数 $f(x)$ 的图象直观地反映了函数 $f(x)$ 的性质。通常，可以按如下步骤画出函数 $f(x)$ 的大致图象：

(1) 求出函数 $f(x)$ 的定义域；

(2) 求导数 $f'(x)$ 及函数 $f'(x)$ 的零点；

（3）用 $f^{\prime}(x)$ 的零点将 $f(x)$ 的定义域划分为若干个区间，列表给出 $f^{\prime}(x)$ 在各区间上的正负，并得出 $f(x)$ 的单调性与极值；

（4）确定 $f(x)$ 的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；

(5) 画出 $f(x)$ 的大致图象.

下面我们通过实例介绍导数在解决实际问题中的应用.

问题 饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？你想从数学上知道它的道理吗？

(2) 是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

例 8 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料。瓶子的制造成本是 $0.8\pi r^{2}$ 分，其中 r （单位：cm）是瓶子的半径。已知每出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6 cm。

(1) 瓶子半径多大时, 能使每瓶饮料的利润最大?

(2) 瓶子半径多大时, 每瓶饮料的利润最小?

解：由题意可知，每瓶饮料的利润是

$y = f (r) = 0. 2 \times \frac {4}{3} \pi r ^ {3} - 0. 8 \pi r ^ {2} = 0. 8 \pi \left(\frac {r ^ {3}}{3} - r ^ {2}\right), 0 < r \leqslant 6.$

所以

$f ^ {\prime} (r) = 0. 8 \pi (r ^ {2} - 2 r).$

令 $f^{\prime}(r) = 0$ ，解得 $r = 2$

当 $r \in (0, 2)$ 时，$f'(r) < 0$；当 $r \in (2, 6)$ 时，$f'(r) > 0$.

因此，当半径 $r > 2$ 时，$f'(r) > 0$，$f(r)$ 单调递增，即半径越大，利润越高；当半径 $r < 2$ 时，$f'(r) < 0$，$f(r)$ 单调递减，即半径越大，利润越低。

(1) 半径为 $6 \, cm$ 时，利润最大.

（2）半径为 $2\mathrm{cm}$ 时，利润最小，这时 $f(2) < 0$ ，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值.

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数 $f(r)$ 的图象（图5.3-18）上观察，你有什么发现？

从图象上容易看出，当 r=3 时， $f(3)=0$ ，即瓶子的半径是 3 cm 时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当 r>3 时，利润才为正值.

当 $r \in (0, 2)$ 时，$f(r)$ 单调递减，你能解释它的实际意义吗？

图 5.3-18

通过此问题的解决，我们很容易回答开始时的问题。请同学们自己作出回答。

练习

1. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：

$\sin x < x, x \in (0, \pi).$

2. 如图，用铁丝围成一个上面是半圆，下面是矩形的图形，其面积为 $a \mathrm{~m}^{2}$。为使所用材料最省，圆的直径应为多少？

习题 5.3

复习巩固

1. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：

(1) $f(x) = -2x + 1$; (2) $f(x) = x + \cos x, x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$;

(3) $f(x)=2x-4;$ (4) $f(x)=2x^{3}+4x.$

2. 判断下列函数的单调性，并求出单调区间： (1) $f(x)=x^{2}+2x-4;$ (2) $f(x)=2x^{2}-3x+3;$ (3) $f(x)=3x+x^{3};$ (4) $f(x)=x^{3}+x^{2}-x.$

3. 如图，已知汽车在笔直的公路上行驶.

(1) 如果 $y = f(t)$ 表示时刻 $t$ 时汽车与起点的距离, 请标出汽车速度等于 0 的点; (2) 如果 $y = f(t)$ 表示时刻 $t$ 时汽车的速度, 那么 (1) 中标出点的意义是什么?

4. 导函数 $y = f'(x)$ 的图象如图所示. 在标记的点中，在哪一点处 (1) 导函数 $y = f'(x)$ 有极大值? (2) 导函数 $y = f'(x)$ 有极小值? (3) 函数 $f(x)$ 有极大值? (4) 函数 $f(x)$ 有极小值?

5. 求下列函数的极值： (1) $f(x)=6x^{2}+x+2;$ (2) $f(x)=x^{3}-12x;$ (3) $f(x)=6-12x+x^{3};$ (4) $f(x)=48x-x^{3}.$

6. 参照第5题，求下列函数在给定区间上的最大值与最小值： (1) $f(x)=6x^{2}+x+2,\quad x\in[-1,1]$ ; (2) $f(x)=x^{3}-12x,\quad x\in[-3,3]$ ; (3) $f(x)=6-12x+x^{3},\quad x\in\left[-\frac{1}{3},\quad1\right]$ ; (4) $f(x)=48x-x^{3},\quad x\in[-3,5].$

综合运用

7. 将一条长为 $l$ 的铁丝截成两段, 分别弯成两个正方形. 要使两个正方形的面积和最小, 两段铁丝的长度分别是多少?

8. 将一个边长为 $a$ 的正方形铁片的四角截去四个边长均为 $x$ 的小正方形, 做成一个无盖方盒. (1) 试把方盒的容积 $V$ 表示为 $x$ 的函数; (2) $x$ 多大时, 方盒的容积 $V$ 最大?

9. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得 n 个数据 $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \cdots, a_{n}.$ 证明：用 n 个数据的平均值 $x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_{i}$ 表示这个物体的长度，能使这 n 个数据的方差 $f(x)=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x-a_{i})^{2}$ 最小.

10. 已知某商品的生产成本 $C$ 与产量 $q$ 之间的关系为 $C = 100 + 4q$，单价 $p$ 与产量 $q$ 之间的关系为 $p = 25 - \frac{1}{8} q$。产量 $q$ 为何值时，利润最大？

11. 已知某商品进价为 $a$ 元/件，根据以往经验，当售价是 $b\left(b \geqslant \frac{4}{3} a\right)$ 元/件时，可卖出 $c$ 件。市场调查表明，当售价下降 $10\%$ 时，销量可增加 $40\%$。现决定一次性降价，售价为多少时，可获得最大利润？

12. 利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证： (1) $e^{x}>1+x, x\neq0;$ (2) $\ln x<x<e^{x}, x>0.$

拓广探索

13. 利用信息技术工具，根据给定的 a, b, c, d 的值，可以画出函数

$f (x) = a x ^ {3} + b x ^ {2} + c x + d (a \neq 0)$

的图象，当 $a = -4, b = 1, c = 5, d = -1$ 时，$f(x)$ 的图象如图所示．改变 $a, b, c, d$ 的值，观察图象的形状：

(1) 你能归纳函数 $f(x)$ 图象的大致形状吗？它的图象有什么特点？你能从图象上大致估计它的单调区间吗？

(2) 运用导数研究它的单调性，并求出相应的单调区间.

信息技术应用

图形技术与函数性质

信息技术发展到今天，图形计算器、计算机软件的图形技术功能已经非常强大。函数作图和分析功能是图形技术的一个重要方面，主要包括：

1. 由函数 $f(x)$ 的解析式直接画出其图象；

2. 移动光标，显示函数 $f(x)$ 图象上任一点的坐标；

3. 由函数 $f(x)$ 的解析式及其图象求出其导函数 $f'(x)$ ，并画出其图象；

4. 显示并求出经过函数 $f(x)$ 图象上某点切线的斜率和切线的方程；

5. 求出并显示函数 $f(x)$ 的零点和极值点；

6. 对函数 $f(x)$ 图象的局部进行放大和缩小；

7. 求出函数 $f(x)$ 在定义域内某个闭区间上的最大值与最小值.

图 1、图 2 展示了上述部分功能.

图形计算器和计算机软件提供的函数作图和分析功能，对我们把握函数的性质有重要的帮助：一方面，通过画出函数的图象，对图象进行观察和分析，并作出猜想和发现，从而探讨函数的性质；另一方面，用导数研究函数的性质后，可用图形技术进行直观验证，两者相辅相成。

微积分的创立与发展

17世纪中叶，数学史上发生了一件具有划时代意义的重大事件，那就是微积分的诞生.

微积分的创立有深刻的时代背景。从欧洲文艺复兴时期到17世纪上半叶，社会、经济、科学、贸易、航运等的发展，对数学提出了新的要求。紧接着函数概念的引入，微积分应运而生，这是继欧氏几何后数学史上最伟大的创造。微积分的创立不仅是数学思想史上的里程碑，也是科学思想史上的里程碑。

微积分是如何创立的？又是如何发展的？它在数学史和人类社会的发展中起了什么作用？请你按以下要求，查阅与微积分有关的文献，自己选题，写一份研究报告或一篇数学小论文。

一、主题

1. 微积分创立与发展的过程.

2. 微积分对人类文明的主要贡献.

二、实施建议

1. 选题：根据个人兴趣，围绕主题，初步确定选题范围.

2. 分组：将相近选题的 5～6 人分为一个小组，确定一名组长.

3. 分配任务：根据个人的具体情况，经小组共同商议，由组长确定每人的具体任务。

4. 搜集资料：针对具体的研究报告或论文题目，通过网络、书店、图书馆等多种途径搜集素材，包括文字、图片、数据以及音像资料，并记录相关资料。

5. 素材汇总：用研究报告或论文的形式展现小组的实践成果.

6. 在全班范围内进行交流、讨论和总结.

三、参考选题

1. 微积分创立的背景与过程.

2. 微积分的完善与发展.

3. 微积分创立与发展的过程中，作出重要贡献的数学家以及他们的主要贡献.

4. 微积分在数学思想史和科学思想史上的价值.

一、本章知识结构

二、回顾与思考

在本章，我们通过丰富的实际背景，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，得到导数的概念及其几何意义。在此基础上给出导数的运算法则，进而运用导数研究函数的单调性、极值和最大（小）值等性质，并利用导数解决简单的实际问题。

导数是关于瞬时变化率的数学表达，客观世界中大量的变化率问题都可以用导数加以刻画，导数的几何意义直观地反映了函数的局部变化情况，学习时应注意体会导数的内涵与思想，并体会极限的思想。

对很多运动变化问题的研究最后都会归结为对各种函数的研究，其中函数的增减，以及增减的范围、增减的快慢等是最基本的问题。导数简明地回答了这些问题：由 $f'(x)$ 的正负可知函数 $f(x)$ 是增还是减，由 $f'(x)$ 绝对值的大小可知函数变化得急剧还是平缓。不仅如此，导数也是研究函数极值问题从而是解决优化问题的一种通法。导数定量地刻画了函数的局部变化规律，是研究函数性质的基本工具。利用导数研究函数的性质，思路清晰，步骤明确，既快捷又易于掌握。学习时应通过具体实例感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义。

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧。

1. 平均变化率与瞬时变化率之间有什么内在联系？有人说，“导数就是瞬时变化率”，对此你有什么认识？

2. 你能从物理和几何两方面解释导数的意义吗？

3. 利用导数定义推导函数 $y = f(x)$ 的导数时，其基本步骤是什么？

4. 导数的四则运算法则是什么？如何求简单复合函数的导数？

5. 利用导数研究函数性质的基本步骤是什么？

6. 通过本章的学习，你对“导数是研究函数性质的基本工具”有什么体会？

复习参考题 5

复习巩固

1. 已知点 $P$ 和点 $Q$ 是曲线 $y = x^2 - 2x - 3$ 上的两点，且点 $P$ 的横坐标是 1，点 $Q$ 的横坐标是 4. 求：

(1) 割线 PQ 的斜率； (2) 点 P 处的切线方程.

2. 求下列函数的导数： (1) $y=2x\tan x;$

(2) $y=2^{x}\ln x;$

(3) $y=(x-2)^{3}(3x+1)^{2};$

(4) $y=\frac{x^{2}}{(2x+1)^{3}};$

(5) $y=e^{-2x+1}\cos(-x^{2}+x);$

(6) $y=\frac{\sin 2x}{\sqrt{x}}.$

3. 已知函数 $y = f(x)$ 的图象是下列四个图象之一，且其导函数 $y = f'(x)$ 的图象如图所示，则该函数的图象是（ ）.

(第3题) (A) (B) (C) (D)

4. 求下列曲线在给定点处的切线方程： (1) $y = x - \frac{1}{x}$ , (1, 0); (2) $y = \frac{e^{2x-1}}{x^{2}}$ , $\left(\frac{1}{2}, 4\right)$ .

5. 一个距地心距离为 $r$，质量为 $m$ 的人造卫星，与地球之间的万有引力 $F$ 由公式 $F = \frac{GMm}{r^2}$ 给出，其中 $M$ 为地球质量，$G$ 为引力常量。求 $F$ 对于 $r$ 的瞬时变化率。

6. 一杯 $80^{\circ}$ C 的热红茶置于 $20^{\circ}$ C 的房间里，它的温度会逐渐下降，温度 $T(\text{单位: }^{\circ}\text{C})$ 与时间 t（单位：min）之间的关系由函数 $T = f(t)$ 给出.

(1) 判断 $f'(t)$ 的正负，并说明理由.

(2) $f^{\prime}(3) = -4$ 的实际意义是什么？如果 $f(3) = 65^{\circ}\mathrm{C}$，你能画出函数 $f(t)$ 在 $t = 3$ 时图象的大致形状吗？

7. 求函数 $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ 的单调区间.

8. 已知函数 $f(x) = x^{2} + px + q$，试确定 $p, q$ 的值，使得当 $x = 1$ 时，$f(x)$ 有最小值 4.

9. 已知函数 $f(x) = x(x - c)^2$ 在 $x = 2$ 处有极大值，求 $c$ 的值.

10. 如图，过点 $P(1, 1)$ 作直线 $AB$，分别与 $x$ 轴的正半轴、$y$ 轴的正半轴交于点 $A, B$。当直线 $AB$ 在什么位置时，$\triangle AOB$ 的面积最小？最小面积是多少？

综合运用

11. 如图，直线 $l$ 和圆 $P$ ，当 $l$ 从 $l_0$ 开始在平面上按逆时针方向绕点 $O$ 匀速转动（转动角度不超过 $90^{\circ}$ ）时，它扫过的圆内阴影部分的面积 $S$ 是时间 $t$ 的函数. 这个函数的图象大致是（ ）.

(A)

(B)

12. 当室内的有毒细菌开始增加时，就要使用杀菌剂。刚开始使用的时候，细菌数量还会继续增加，随着时间的增加，它增加的幅度逐渐变小，到一定时间，细菌数量开始减少。已知使用杀菌剂 $t \mathrm{~h}$ 后的细菌数量为 $b(t) = 10^{5} + 10^{4} t - 10^{3} t^{2}$。（1）求细菌数量在 $t = 5$ 与 $t = 10$ 时的瞬时变化率。（2）细菌数量在哪段时间增加，在哪段时间减少？为什么？

13. 已知曲线 $y = x + \ln x$ 在点（1，1）处的切线与曲线 $y = ax^2 + (2a + 3)x + 1$ 只有一个公共点，求 $a$ 的值.

14. 用总长 $14.8 \mathrm{~m}$ 的钢条制作一个长方体容器的框架, 如果所制容器底面一边的长比另一边的长多 $0.5 \mathrm{~m}$, 那么高为多少时容器的容积最大? 最大容积是多少?

15. 用半径为 $R$ 的圆形铁皮剪出一个圆心角为 $\alpha$ 的扇形，制成一个圆锥形容器。扇形的圆心角 $\alpha$ 为多大时，容器的容积最大？

拓广探索

16. 已知 A, B 两地的距离是 $130 \mathrm{~km}$. 根据交通法规, 两地之间的公路车速应限制在 $50 \sim 100 \mathrm{~km/h}$. 假设油价是 7 元/L, 以 $x \mathrm{~km/h}$ 的速度行驶时, 汽车的耗油率为 $\left(3 + \frac{x^2}{360}\right) \mathrm{L/h}$, 司机每小时的工资是 35 元. 那么最经济的车速是多少 (精确到 $1 \mathrm{~km/h}$)? 如果不考虑其他费用, 这次行车的总费用是多少 (精确到 1 元)?

17. 作函数 $y=\frac{\mathrm{e}^{x}(2x-1)}{x-1}$ 的大致图象.

18. 已知函数 $f(x) = \mathrm{e}^{x} - \ln (x + m)$. 当 $m \leqslant 2$ 时，求证 $f(x) > 0$.

19. 已知函数 $f(x) = a\mathrm{e}^{2x} + (a - 2)\mathrm{e}^x - x$.

(1) 讨论 $f(x)$ 的单调性；

(2) 若 $f(x)$ 有两个零点，求 a 的取值范围.

后记

本册教科书是人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材研究开发中心依据教育部《普通高中数学课程标准（2017年版）》编写的，经国家教材委员会2019年审查通过.

本册教科书的编写，集中反映了我国十余年来普通高中课程改革的成果，吸取了2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的编写经验，凝聚了参与课改实验的教育专家、学科专家、教材编写专家、教研人员和一线教师，以及教材设计装帧专家的集体智慧。本书插图绘制为王俊宏，为本书提供照片的有东方IC图片网（第39，58页各一张图）等。

我们感谢2004年版《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》的主编刘绍学，副主编钱珮玲、章建跃，以及所有编写人员。我们感谢所有对教科书的编写、出版、试教等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友。

本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品（包括照片、画作）的作者进行了联系，得到了他们的大力支持。对此，我们表示衷心的感谢！恳请未联系到的作者与我们联系，以便及时支付稿酬。

我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵意见。我们将集思广益，不断修订，使教科书趋于完善。

联系方式

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人民教育出版社 课程教材研究所

中学数学课程教材研究开发中心

2019年4月

人教版®

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