5.2.2 导数的四则运算法则

上一节把基本初等函数的导数查表就能得到了，可考卷上几乎见不到光秃秃的 $x^{3}$、$\cos x$、$2^{x}$—— 见到的是 $x^{3}-x+3$、$x^{3}\mathrm{e}^{x}$、$\dfrac{2\sin x}{x^{2}}$ 这种拼起来的函数。 这一节补的就是四种拼法（和、差、积、商）的求导法则；第五种拼法（把一个函数塞进另一个里）留给下一节。

课本的引子很实在：例 2 里 $p(t)=5\times 1.05^{t}$，可以看成 $f(t)=5$ 与 $g(t)=1.05^{t}$ 乘积的导数。 一般地，两个能求导的函数做四则运算之后，导数怎么算？

一、和差法则：唯一一条「照直觉」的

$$\bigl[f(x)\pm g(x)\bigr]'=f'(x)\pm g'(x).$$

课本让读者自己验一遍（探究）：取 $f(x)=x^{2}$、$g(x)=x$，$y=x^{2}+x$，

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{(x+\Delta x)^{2}+(x+\Delta x)-(x^{2}+x)}{\Delta x} =\frac{(\Delta x)^{2}+2x\cdot\Delta x+\Delta x}{\Delta x}=\Delta x+2x+1,$$

令 $\Delta x\to 0$ 得 $\left[f(x)+g(x)\right]'=2x+1$；而 $f'(x)=2x$、$g'(x)=1$，两者之和正是 $2x+1$。

这个验证的价值在于它揭示了原因：差商本身就是可以逐项拆的—— $\dfrac{\Delta(f+g)}{\Delta x}=\dfrac{\Delta f}{\Delta x}+\dfrac{\Delta g}{\Delta x}$， 再用「和的极限等于极限的和」就得到法则。这是四条法则里唯一一条能这样一眼看穿的， 下面两条都不能。

例 3 重讲。 (1) $y=x^{3}-x+3$：逐项求导，

$$y'=(x^{3})'-(x)'+(3)'=3x^{2}-1+0=3x^{2}-1 .$$

（常数项的导数是 $0$，别把 $3$ 抄下来。）(2) $y=2^{x}+\cos x$：

$$y'=(2^{x})'+(\cos x)'=2^{x}\ln 2-\sin x .$$

这里最容易串的是两张公式：$(x^{n})'=nx^{n-1}$（幂函数，指数降一档）与 $(a^{x})'=a^{x}\ln a$（指数函数，形状不变、多乘一个 $\ln a$）。 同一道题里两种同时出现时，先看谁在底数的位置上。

法则可以用到有限多项：$\bigl[f_1\pm f_2\pm\cdots\pm f_n\bigr]'=f_1'\pm f_2'\pm\cdots\pm f_n'$， 所以多项式求导就是一项一项来。

二、积法则：为什么不是 $f'g'$

课本先用一个反例把「想当然」堵死（思考）：还取 $f(x)=x^{2}$、$g(x)=x$，

$$\bigl[f(x)g(x)\bigr]'=(x^{3})'=3x^{2},\qquad f'(x)g'(x)=2x\cdot 1=2x,$$

两者不等。同样地，商的导数也不等于导数的商。这个反例要记住，它是本节最高频的错源。

正确的两条：

$$\bigl[f(x)g(x)\bigr]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);$$ $$\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{\bigl[g(x)\bigr]^{2}}\quad(g(x)\neq 0).$$

积法则的口诀：「前导后不导 $+$ 前不导后导」。 两项，加号，谁都别漏。

为什么会是这个形状（课本没证，这里补一个能自己想明白的说法）：把自变量从 $x$ 挪到 $x+\Delta x$， 乘积的增量是

$$\Delta(fg)=(f+\Delta f)(g+\Delta g)-fg=\Delta f\cdot g+f\cdot\Delta g+\Delta f\cdot\Delta g .$$

除以 $\Delta x$ 之后，前两项给出 $f'g+fg'$，最后一项是 $\dfrac{\Delta f}{\Delta x}\cdot\Delta g$—— $\Delta x\to 0$ 时它趋于 $f'\cdot 0=0$。「两个都在变，所以要变两次；两个一起变的那一点点可以忽略」， 这就是两项相加的来源。

常数倍是积法则的直接推论。 取 $f(x)=c$（常数），由 $c'=0$，

$$\bigl[c f(x)\bigr]'=c'f(x)+cf'(x)=cf'(x).$$

也就是说，常数因子可以拎到求导号外面：$(5\times 1.05^{t})'=5\times 1.05^{t}\ln 1.05$。 课本一开头那个 $p(t)=5\times 1.05^{t}$ 到这里就算完了——它根本不需要完整的积法则。

例 4(1) 重讲。 $y=x^{3}\mathrm{e}^{x}$ 是两个都在变的函数的乘积，套口诀：

$$y'=(x^{3})'\mathrm{e}^{x}+x^{3}(\mathrm{e}^{x})'=3x^{2}\mathrm{e}^{x}+x^{3}\mathrm{e}^{x}.$$

（能提公因式就提：$=x^{2}\mathrm{e}^{x}(3+x)$。求导之后化简不是多余功——后面判单调性要看的正是因式的符号。）

三、商法则：三个位置都不能错

$$\left[\frac{f}{g}\right]'=\frac{f'g-fg'}{g^{2}}\quad(g\neq 0)$$

三处要死记：分子是减号（顺序不能颠倒，减法有方向）、减号前面是「分子先导」、 分母是 $g$ 的平方（不是 $g$，也不是 $g'$）。

一个常用特例（$f\equiv 1$）：

$$\left(\frac{1}{g}\right)'=\frac{0\cdot g-1\cdot g'}{g^{2}}=-\frac{g'}{g^{2}} .$$

例 4(2) 重讲。 $y=\dfrac{2\sin x}{x^{2}}$：

$$y'=\frac{(2\sin x)'x^{2}-2\sin x\,(x^{2})'}{(x^{2})^{2}} =\frac{2x^{2}\cos x-4x\sin x}{x^{4}} =\frac{2x\cos x-4\sin x}{x^{3}} .$$

最后一步约掉了一个 $x$——分子分母有公因式就约，课本自己也约了。（这里 $x\neq 0$ 本来就是定义域要求。）

例 5 重讲（净化费用）。 把 $1\ \mathrm{t}$ 水净化到纯净度 $x\%$ 的费用是 $c(x)=\dfrac{5284}{100-x}\ (80<x<100)$，问净化到 $90\%$、$98\%$ 时费用的瞬时变化率。 「瞬时变化率」就是导数，所以先求 $c'$。用商法则（$f=5284$ 是常数，$g=100-x$）：

$$c'(x)=\frac{5284'\times(100-x)-5284\times(100-x)'}{(100-x)^{2}} =\frac{0\times(100-x)-5284\times(-1)}{(100-x)^{2}}=\frac{5284}{(100-x)^{2}} .$$

于是

$$c'(90)=\frac{5284}{10^{2}}=52.84,\qquad c'(98)=\frac{5284}{2^{2}}=1321 .$$

答案要带单位、要会读：净化到 $90\%$ 时费用的瞬时变化率是 $52.84$ 元/吨，到 $98\%$ 时是 $1321$ 元/吨。 课本紧接着点出这两个数的关系：$c'(98)=25\,c'(90)$——纯净度越高，费用不但更多，涨得还更快。 这就是导数在应用题里的读法：导数的大小 = 变化的快慢。

（例 5 的解答印在第 $83$ 页，在本站的目录树里那一页归 §5.2.3 那一节；本节页上只有题面。）

四、混用时的次序：先问「最后一步是什么运算」

一个式子该用哪条法则，看它最外层的运算是什么：

两条实战经验：

1. 能先化简就先化简。 $(x^{2}+2x)\sqrt{x}$ 展开成 $x^{\frac52}+2x^{\frac32}$，用和差法则两行就完； 套积法则要多写一行还容易漏项。$\dfrac{2\sin x}{x^{2}}$ 也可以先把 $2$ 提到外面。
2. 法则可以套着用。 一个式子里同时有乘、有加，就从最外层往里剥： $\bigl[x^{2}(\sin x+1)\bigr]'=2x(\sin x+1)+x^{2}\cos x$——外层用积法则，里层的 $(\sin x+1)'$ 用和差法则。

$\tan x$ 那一行值得单独记下来：

$$(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^{2}x} =\frac{\cos^{2}x+\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}\quad\Bigl(x\neq k\pi+\frac{\pi}{2}\Bigr).$$

它是商法则最漂亮的一次应用，也是公式表的一条常用补充。

五、易错清单（按丢分频率排）

1. 积、商法则写成 $f'g'$、$\dfrac{f'}{g'}$。 课本专门用一个 思考 堵这个口子， $(x^{2}\cdot x)'=3x^{2}\neq 2x$ 这个反例要能随手举出来。
2. 商法则分子写反、或分母忘平方。 分子恒是「分子先导减「分母后导」」，分母恒是 $g^{2}$。 检查办法：拿 $\left(\dfrac{1}{x}\right)'$ 试一下，正确结果 $-\dfrac{1}{x^{2}}$，写反就会得 $+\dfrac{1}{x^{2}}$。
3. 常数的导数当成它自己。 $(3)'=0$；$\bigl[cf\bigr]'=cf'$ 里那个 $c$ 不参与求导。
4. 和差写成了「先求导再随便配」。 逐项求导时符号跟着原式：$-x$ 的导数是 $-1$。
5. 求完不化简。 $3x^{2}\mathrm{e}^{x}+x^{3}\mathrm{e}^{x}$ 不提成 $x^{2}\mathrm{e}^{x}(x+3)$， 到了 §5.3 判单调性时就看不出符号。
6. 定义域被丢在半路。 商法则要 $g(x)\neq 0$；$\dfrac{\ln x}{x}$ 从一开始就只在 $x>0$ 上有意义。 写单调区间、写切线时都得带着这个前提。

六、这一节在整章里的位置，以及往后怎么用

• 往前：§5.2.1 的基本初等函数导数公式表——那是零件，本节是装配说明。 两者合起来，才让「初等函数都能求导」这句话在高中范围内成立。
• 紧接着：§5.2.3 的链式法则补上第五种拼法。装配说明到那时就齐了， 而混用的次序（先看最外层是四则运算还是复合）正是那一节真正的失分处。
• 往后：§5.3 用导数判单调、求极值与最值。到那里求导只是解答的第一行， 但那一行错了后面全错——所以本节的四条法则要练到不用想。

本节的练习在哪儿。 本节自己的页（第 $81$–$82$ 页）只印了例 3、例 4、例 5； 本节的 练习 三道印在第 $83$ 页上，在本站的目录树里那一页归 §5.2.3 那一节， 所以那三道题的详解写在 §5.2.3 的习题详解里（连同第 $86$ 页的 练习 与 习题5.2）。 本节这一份因此只有讲解，没有单独的习题详解——不是漏了，是题不在这几页上。

真题读法。 页面下方那份「考过本节的真题」是构建期派生的完整清单；这里只给一个读的顺序：

1. 先读 2019 年第 9 题（分段函数减去一条直线之后恰有三个零点）——它的第一步就是本节： $\left[\frac13x^{3}-\frac12(a+1)x^{2}+ax-ax-b\right]'$ 用和差法则加常数倍逐项算出 $x^{2}-(a+1)x$，而看出 $+ax$ 与 $-ax$ 抵消，比会背法则更值钱。
2. 再读 2024 年第 10 题（三次函数的四个命题逐项判断）与 2021 年第 7 题（由图象选函数）—— 两道都是「求完导数之后拿它读单调性」，本节的和差法则是入场券。
3. 然后是 2023 年第 19 题与 2024 年第 18 题：含参函数，求导后要分类讨论。 求导那一行如果把 $\mathrm{e}^{x}$ 的系数弄丢，后面整题作废。
4. 上限是 2021 年第 22 题（含参指数函数的单调性、零点与放缩）：本节的法则在那里只是第一步， 但那一步必须又快又准——四则运算法则是这一章所有大题的公共起跑线。