5.1 导数的概念及其意义

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5.1 导数的概念及其意义

在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多。进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题。

5.1.1 变化率问题

问题 1 跳水运动员的速度

探究

在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 $h$ （单位：m）与起跳后的时间 $t$ （单位：s）存在函数关系

$h (t) = - 4. 9 t ^ {2} + 4. 8 t + 1 1.$

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度 $\bar{v}$ 近似地描述他的运动状态。

例如，在 $0 \leqslant t \leqslant 0.5$ 这段时间里，

$\bar {v} = \frac {h (0 . 5) - h (0)}{0 . 5 - 0} = 2. 3 5 (\mathrm{m/s});$

在 $1 \leqslant t \leqslant 2$ 这段时间里，

$\bar {v} = \frac {h (2) - h (1)}{2 - 1} = - 9. 9 (\mathrm{m/s}).$

一般地，在 $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$ 这段时间里，

$\bar {v} = \frac {h (t _ {2}) - h (t _ {1})}{t _ {2} - t _ {1}} = - 4. 9 (t _ {1} + t _ {2}) + 4. 8.$

思考

计算运动员在 $0 \leqslant t \leqslant \frac{48}{49}$ 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

我们发现，运动员在 $0 \leqslant t \leqslant \frac{48}{49}$ 这段时间里的平均速度为0。显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态。因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态。

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）。

探究

瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在 $t = 1$ s时的瞬时速度吗？

设运动员在 $t_{0}$ 时刻附近某一时间段内的平均速度是 $\bar{v}$ ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么 $\bar{v}$ 将越来越趋近于运动员在 $t_{0}$ 时刻的瞬时速度.

• •

为了求运动员在 $t = 1$ 时的瞬时速度，我们在 $t = 1$ 之后或之前，任意取一个时刻 $1 + \Delta t$，$\Delta t$ 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。当 $\Delta t > 0$ 时，$1 + \Delta t$ 在1之后；当 $\Delta t < 0$ 时，$1 + \Delta t$ 在1之前。当 $\Delta t > 0$ 时，把运动员在时间段 $[1, 1 + \Delta t]$ 内近似看成做匀速直线运动，计算时间段 $[1, 1 + \Delta t]$ 内的平均速度 $\bar{v}$，用平均速度 $\bar{v}$ 近似表示运动员在 $t = 1$ 时的瞬时速度。当 $\Delta t < 0$ 时，在时间段 $[1 + \Delta t, 1]$ 内可作类似处理。为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）。

用运动变化的观点研究问题是微积分的重要思想.

观察

给出 $\Delta t$ 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 $\bar{v}$ 的值。当 $\Delta t$ 无限趋近于0时，平均速度 $\bar{v}$ 有什么变化趋势？

我们发现，当 $\Delta t$ 无限趋近于0，即无论 $t$ 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度 $\bar{v}$ 都无限趋近于-5.

事实上，由 $\bar{v} = \frac{h(1 + \Delta t) - h(1)}{(1 + \Delta t) - 1} = -4.9\Delta t - 5$ 可以发现，当 $\Delta t$ 无限趋近于0时，$-4.9\Delta t$ 也无限趋近于0，所以 $\bar{v}$ 无限趋近于-5。这与前面得到的结论一致。数学中，我们把-5叫做“当 $\Delta t$ 无限趋近于0时，$\bar{v} = \frac{h(1 + \Delta t) - h(1)}{\Delta t}$ 的极限”，记为

$\lim _ {\Delta t \to 0} \frac {h (1 + \Delta t) - h (1)}{\Delta t} = - 5.$

从物理的角度看，当时间间隔 $|\Delta t|$ 无限趋近于0时，平均速度 $\bar{v}$ 就无限趋近于 $t = 1$ 时的瞬时速度.因此，运动员在 $t = 1$ s时的瞬时速度 $v(1) = -5\mathrm{m / s}$

思考

(1) 求运动员在 $t=2 \, s$ 时的瞬时速度；

(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 $t_{0}$ 的瞬时速度?

练习

1. 求问题 1 中跳水运动员在 $t=0.5 \, s$ 时的瞬时速度.

2. 火箭发射 $t$ s 后，其高度（单位：m）为 $h(t) = 0.9t^2$。求：

(1) 在 $1 \leqslant t \leqslant 2$ 这段时间里，火箭爬高的平均速度；

(2) 发射后第 $10 \, s$ 时，火箭爬高的瞬时速度.

3. 一个小球从 $5\mathrm{m}$ 的高处自由下落，其位移 $y$ （单位： $\mathrm{m}$ ）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y(t) = -4.9t^2$ 求 $t = 1\mathrm{s}$ 时小球的瞬时速度.

问题 2 抛物线的切线的斜率

我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切。对于一般的曲线 $C$ ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线 $f(x) = x^{2}$ 为例进行研究。

探究

你认为应该如何定义抛物线 $f(x)=x^{2}$ 在点 $P_{0}(1,1)$ 处的切线？

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $P_0(1, 1)$ 处的切线，我们通常在点 $P_0(1, 1)$ 的附近任取一点 $P(x, x^2)$，考察抛物线 $f(x) = x^2$ 的割线 $P_0P$ 的变化情况.

观察

如图5.1-1，当点 $P(x, x^2)$ 沿着抛物线 $f(x) = x^2$ 趋近于点 $P_0(1, 1)$ 时，割线 $P_0P$ 有什么变化趋势？

利用信息技术工具，演示图 5.1-1 中 $P_{0}P$ 的动态变化趋势.

我们发现，当点 $P$ 无限趋近于点 $P_{0}$ 时，割线 $P_{0}P$ 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 $P_{0}T$ 称为抛物线 $f(x) = x^{2}$ 在点 $P_{0}(1,1)$ 处的切线.

探究

我们知道，斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $P_0(1, 1)$ 处的切线 $P_0T$ 的斜率 $k_0$ 呢？

从上述切线的定义可见，抛物线 $f(x)=x^{2}$ 在点 $P_{0}(1,1)$ 处的切线 $P_{0}T$ 的斜率与割线 $P_{0}P$ 的斜率有内在联系。记 $\Delta x=x-1$ ， $^{①}$ 则点 P 的坐标是 $(1+\Delta x,(1+\Delta x)^{2})$ 。于是，割线 $P_{0}P$ 的斜率

① $\Delta x$ 可以是正值， 也可以是负值，但不为0.

$k = \frac {f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac {(1 + \Delta x) ^ {2} - 1}{(1 + \Delta x) - 1} = \Delta x + 2.$

我们可以用割线 $P_{0}P$ 的斜率 k 近似地表示切线 $P_{0}T$ 的斜率 $k_{0}$ ，并且可以通过不断缩短横坐标间隔 $\left|\Delta x\right|$ 来提高近似表示的精确度，得到如下表格（表 5.1-2）.

观察

利用计算工具计算更多割线 $P_{0}P$ 的斜率 $k$ 的值，当 $\Delta x$ 无限趋近于0时，割线$P_{0}P$ 的斜率 $k$ 有什么变化趋势？

我们发现，当 $\Delta x$ 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 $P_{0}P$ 的斜率 k 都无限趋近于 2.

事实上，由 $k = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \Delta x + 2$ 可以直接看出，当 $\Delta x$ 无限趋近于0时， $\Delta x + 2$ 无限趋近于2. 我们把2叫做“当 $\Delta x$ 无限趋近于0时， $k = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$ 的极限”，记为

$\lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (1 + \Delta x) - f (1)}{\Delta x} = 2.$