5.1 导数的概念及其意义

必修第一册比较过一次函数、指数函数、对数函数的增长快慢，但那时只能说”谁比谁快”。 本节要把”快慢”变成一个能算出具体数字的量。做法只有一个： 先算一小段上的平均变化率，再让这一小段的长度趋近于零。 本节两个问题——跳水的瞬时速度、抛物线的切线斜率——看起来一个是物理一个是几何， 最后落到的却是同一个式子，这正是 §5.1.2 要把它抽象成”导数”的理由。

在必修第一册中，我们研究了函数的单调性，并利用函数单调性等知识定性地研究了一次函数、指数函数、对数函数增长速度的差异，知道“对数增长”是越来越慢的，“指数爆炸”比“直线上升”快得多。进一步地，能否精确定量地刻画变化速度的快慢呢？下面我们就来研究这个问题。

一、问题 1：平均速度为什么不够用

在一次跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度 $h$ （单位：m）与起跳后的时间 $t$ （单位：s）存在函数关系

$h (t) = - 4. 9 t ^ {2} + 4. 8 t + 1 1.$

如何描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度呢？

直觉告诉我们，运动员从起跳到入水的过程中，在上升阶段运动得越来越慢，在下降阶段运动得越来越快。我们可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度 $\bar{v}$ 近似地描述他的运动状态。

一般地，在 $t_1 \leqslant t \leqslant t_2$ 这段时间里，

$\bar {v} = \frac {h (t _ {2}) - h (t _ {1})}{t _ {2} - t _ {1}} = - 4. 9 (t _ {1} + t _ {2}) + 4. 8.$

这个一般公式自己推一遍，比背下来有用：

$$\bar v=\frac{h(t_2)-h(t_1)}{t_2-t_1} =\frac{-4.9\left(t_2^2-t_1^2\right)+4.8\left(t_2-t_1\right)}{t_2-t_1}$$

分子里 $t_2-t_1$ 是公因式，约掉之后就只剩

$\bar v=-4.9\left(t_1+t_2\right)+4.8$

注意这一步只有在 $t_1\neq t_2$ 时才允许——约分的前提是分母不为零。 这个”先约分”的动作，本节后面还要用两次，是全章最基础的技术动作。

平均速度的破绽

计算运动员在 $0 \leqslant t \leqslant \frac{48}{49}$ 这段时间里的平均速度，你发现了什么？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

我们发现，运动员在 $0 \leqslant t \leqslant \frac{48}{49}$ 这段时间里的平均速度为0。显然，在这段时间内，运动员并不处于静止状态。因此，用平均速度不能准确反映运动员在这一时间段里的运动状态。

为什么偏偏是 $\dfrac{48}{49}$，题目没说，但值得算一算。平均速度为零， 等价于这段时间里的位移为零，也就是 $h\left(\frac{48}{49}\right)=h(0)$：

$$-4.9t^2+4.8t=0\ \Longrightarrow\ t\left(4.8-4.9t\right)=0 \ \Longrightarrow\ t=0\ \text{或}\ t=\frac{48}{49}$$

也就是说，$t=\dfrac{48}{49}$ 正是运动员重新落回起跳高度的那一刻。 抛物线关于顶点对称，顶点在 $t=\dfrac{4.8}{9.8}=\dfrac{24}{49}$，恰好是 $\dfrac{48}{49}$ 的一半。 上升多高就下降多少，位移抵消得干干净净，平均速度当然是 $0$。

这个反例的杀伤力在于：它不是算错了，而是平均速度这个量本身就问不出想问的东西。 运动员在这一秒里又是上升又是下降，平均速度把两个方向抵消掉了。 要描述”某一时刻”的运动，必须换一个量。

为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念。我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneous velocity）。

二、瞬时速度：让时间段缩到一点

瞬时速度与平均速度有什么关系？你能利用这种关系求运动员在 $t = 1$ s时的瞬时速度吗？

设运动员在 $t_{0}$ 时刻附近某一时间段内的平均速度是 $\bar{v}$ ，可以想象，如果不断缩短这一时间段的长度，那么 $\bar{v}$ 将越来越趋近于运动员在 $t_{0}$ 时刻的瞬时速度.

为了求运动员在 $t = 1$ 时的瞬时速度，我们在 $t = 1$ 之后或之前，任意取一个时刻 $1 + \Delta t$，$\Delta t$ 是时间改变量，可以是正值，也可以是负值，但不为0。当 $\Delta t > 0$ 时，$1 + \Delta t$ 在1之后；当 $\Delta t < 0$ 时，$1 + \Delta t$ 在1之前。当 $\Delta t > 0$ 时，把运动员在时间段 $[1, 1 + \Delta t]$ 内近似看成做匀速直线运动，计算时间段 $[1, 1 + \Delta t]$ 内的平均速度 $\bar{v}$，用平均速度 $\bar{v}$ 近似表示运动员在 $t = 1$ 时的瞬时速度。当 $\Delta t < 0$ 时，在时间段 $[1 + \Delta t, 1]$ 内可作类似处理。为了提高近似表示的精确度，我们不断缩短时间间隔，得到如下表格（表5.1-1）。

$\Delta t$ 身上有三条规定，一条都不能少：

• 可以是正的，这时看的是 $t=1$ 之后那一小段 $[1,1+\Delta t]$；
• 可以是负的，这时看的是 $t=1$ 之前那一小段 $[1+\Delta t,1]$；
• 但绝不能等于 $0$，否则 $\bar v$ 的分母为零，式子根本没有意义。

第三条最要紧。”$\Delta t$ 无限趋近于 $0$“和"$\Delta t=0$"是两回事： 前者是一个过程，后者是一个（不允许出现的）取值。这个区别贯穿整章。

表 5.1-1（本站按扫描页重排）

课本用两栏并排，左栏 $\Delta t<0$、右栏 $\Delta t>0$。 两栏的第一行都在做同一件事：把 $\bar v$ 化简。 左栏是

$$\bar v=\frac{h(1)-h(1+\Delta t)}{1-(1+\Delta t)} =\frac{4.9(\Delta t)^2+5\Delta t}{-\Delta t}=-4.9\Delta t-5$$

右栏是

$$\bar v=\frac{h(1+\Delta t)-h(1)}{(1+\Delta t)-1} =\frac{-4.9(\Delta t)^2-5\Delta t}{\Delta t}=-4.9\Delta t-5$$

两栏化简到最后是同一个式子，这说明”从左边逼近”和”从右边逼近”用的是同一个函数， 表格分成两栏只是为了强调两个方向都要看。下面是数值：

给出 $\Delta t$ 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 $\bar{v}$ 的值。当 $\Delta t$ 无限趋近于0时，平均速度 $\bar{v}$ 有什么变化趋势？

我们发现，当 $\Delta t$ 无限趋近于0，即无论 $t$ 从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度 $\bar{v}$ 都无限趋近于-5.

事实上，由 $\bar{v} = \frac{h(1 + \Delta t) - h(1)}{(1 + \Delta t) - 1} = -4.9\Delta t - 5$ 可以发现，当 $\Delta t$ 无限趋近于0时，$-4.9\Delta t$ 也无限趋近于0，所以 $\bar{v}$ 无限趋近于-5。这与前面得到的结论一致。数学中，我们把-5叫做“当 $\Delta t$ 无限趋近于0时，$\bar{v} = \frac{h(1 + \Delta t) - h(1)}{\Delta t}$ 的极限”，记为

$\lim _ {\Delta t \to 0} \frac {h (1 + \Delta t) - h (1)}{\Delta t} = - 5.$

表格和代数分工不同，两样都不能省：表格让你看见趋势， 但看见多少行都不能证明极限是 $-5$；真正给出答案的是化简后的 $\bar v=-4.9\Delta t-5$—— $\Delta t$ 一趋近于 $0$，$-4.9\Delta t$ 就趋近于 $0$，剩下的常数 $-5$ 就是极限。 先化简、再取极限，这个顺序不能反。

从物理的角度看，当时间间隔 $|\Delta t|$ 无限趋近于0时，平均速度 $\bar{v}$ 就无限趋近于 $t = 1$ 时的瞬时速度.因此，运动员在 $t = 1$ s时的瞬时速度 $v(1) = -5\mathrm{m / s}$

思考两问

(1) 求运动员在 $t=2 \, s$ 时的瞬时速度；

(2) 如何求运动员从起跳到入水过程中在某一时刻 $t_{0}$ 的瞬时速度?

(1) 照搬 $t=1$ 的做法。$h(2)=-19.6+9.6+11=1$，而

$h(2+\Delta t)=1-14.8\Delta t-4.9(\Delta t)^2$

于是 $\bar v=-14.8-4.9\Delta t$，让 $\Delta t$ 趋近于 $0$ 得

$v(2)=-14.8\ \mathrm{m/s}$

（顺带一验：令 $h(t)=0$ 解得入水时刻约为 $2.07\ \mathrm s$，所以 $t=2$ 时人还在空中， 这个瞬时速度是有意义的。）

(2) 把 $1$ 换成 $t_0$ 走一遍。分子里的平方差仍然能约掉一个 $\Delta t$：

$h(t_0+\Delta t)-h(t_0)=\left(-9.8t_0+4.8\right)\Delta t-4.9(\Delta t)^2$

$\bar v=-9.8t_0+4.8-4.9\Delta t\ \Longrightarrow\ v(t_0)=-9.8t_0+4.8$

这一步是整节的收口：瞬时速度不再是一个个孤立的数， 而是 $t_0$ 的一个函数。把 $t_0=1$、$t_0=2$、$t_0=0.5$ 代进去， 分别得到 $-5$、$-14.8$、$-0.1$，与前面逐个算的结果全部吻合。 “导函数”的雏形就在这里。

三、问题 2：切线得重新定义

我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切。对于一般的曲线 $C$ ，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线 $f(x) = x^{2}$ 为例进行研究。

你认为应该如何定义抛物线 $f(x)=x^{2}$ 在点 $P_{0}(1,1)$ 处的切线？

为什么圆的那套定义搬不过来，值得用两个反例讲清楚：

• 只有一个公共点，却不是切线：直线 $x=1$ 与抛物线 $y=x^2$ 只交于 $(1,1)$ 这一点， 但它竖直穿过抛物线，谁也不会把它叫做切线。
• 是切线，公共点却不止一个：曲线 $y=x^3$ 在 $(1,1)$ 处的切线是 $y=3x-2$， 而 $x^3-3x+2=(x-1)^2(x+2)$，说明它还与曲线交于 $(-2,-8)$。

所以”公共点个数”这条判据对一般曲线两头都不灵，必须换一个刻画方式—— 课本选的是用割线的极限位置来定义切线。

与研究瞬时速度类似，为了研究抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $P_0(1, 1)$ 处的切线，我们通常在点 $P_0(1, 1)$ 的附近任取一点 $P(x, x^2)$，考察抛物线 $f(x) = x^2$ 的割线 $P_0P$ 的变化情况.

如图5.1-1，当点 $P(x, x^2)$ 沿着抛物线 $f(x) = x^2$ 趋近于点 $P_0(1, 1)$ 时，割线 $P_0P$ 有什么变化趋势？

我们发现，当点 $P$ 无限趋近于点 $P_{0}$ 时，割线 $P_{0}P$ 无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 $P_{0}T$ 称为抛物线 $f(x) = x^{2}$ 在点 $P_{0}(1,1)$ 处的切线.

割线斜率的极限

我们知道，斜率是确定直线的一个要素。如何求抛物线 $f(x) = x^2$ 在点 $P_0(1, 1)$ 处的切线 $P_0T$ 的斜率 $k_0$ 呢？

从上述切线的定义可见，抛物线 $f(x)=x^{2}$ 在点 $P_{0}(1,1)$ 处的切线 $P_{0}T$ 的斜率与割线 $P_{0}P$ 的斜率有内在联系。记 $\Delta x=x-1$ ， $^{\text{\textcircled{1}}}$ 则点 P 的坐标是 $(1+\Delta x,(1+\Delta x)^{2})$ 。于是，割线 $P_{0}P$ 的斜率

$k = \frac {f (x) - f (1)}{x - 1} = \frac {(1 + \Delta x) ^ {2} - 1}{(1 + \Delta x) - 1} = \Delta x + 2.$

这里的约分和瞬时速度那里一模一样：

$k=\frac{(1+\Delta x)^2-1}{(1+\Delta x)-1}=\frac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\Delta x+2$

同样地，$\Delta x\neq 0$ 才能约，约完之后的 $\Delta x+2$ 才可以让 $\Delta x$ 趋近于 $0$。

表 5.1-2（本站按扫描页重排）

我们发现，当 $\Delta x$ 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，割线 $P_{0}P$ 的斜率 k 都无限趋近于 2.

事实上，由 $k = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x} = \Delta x + 2$ 可以直接看出，当 $\Delta x$ 无限趋近于0时， $\Delta x + 2$ 无限趋近于2. 我们把2叫做“当 $\Delta x$ 无限趋近于0时， $k = \frac{f(1 + \Delta x) - f(1)}{\Delta x}$ 的极限”，记为

$\lim _ {\Delta x \to 0} \frac {f (1 + \Delta x) - f (1)}{\Delta x} = 2.$

四、两个问题其实是同一个式子

把本节的两条主线并排放，形式完全一样：

去掉物理和几何的外衣，剩下的是同一个东西： 函数值的改变量除以自变量的改变量，再让自变量的改变量趋近于零。 这个共同的量就是下一节要定义的导数， 而”瞬时速度”和”切线斜率”从此都成了它的一种解释。

五、常见错法

• 把 $\Delta t=0$ 代进没约分的式子。分母是 $\Delta t$，直接代会得到 $\dfrac00$。 必须先约分，约分的前提正是 $\Delta t\neq 0$。
• 只看表格就宣布极限。表格给的是证据不是证明； 真正的依据是化简后的表达式。
• 以为 $\Delta t$ 只能取正数。它可以为负，对应从左边逼近； 极限存在的意思是两边逼近得到同一个数。
• 把平均速度当成瞬时速度的近似就万事大吉。 近似要”越来越准”才有意义，所以必须让 $|\Delta t|$ 无限缩小， 单独一个 $\Delta t=0.01$ 说明不了任何事。
• 用”只有一个公共点”定义一般曲线的切线。上面两个反例说明这条判据两头都失效。
• 把 $\bar v$ 的负号丢掉。跳水问题里向下运动时速度是负的， $-5\ \mathrm{m/s}$ 和 $5\ \mathrm{m/s}$ 不是一回事，符号带着方向。

本节的练习共 3 道：第 1、2 题印在 page-0066（印刷第 61 页）， 第 3 题印在 page-0067（印刷第 62 页）。

三道题练的是同一套动作，一步都不能跳：

1. 写出平均变化率，分母是自变量的改变量 $\Delta t$；
2. 把分子展开、合并，约掉一个 $\Delta t$——这一步的前提是 $\Delta t\neq 0$；
3. 让 $\Delta t$ 趋近于 $0$，剩下的常数就是瞬时变化率。

练习（第 61 页）第 1 题

1. 求问题 1 中跳水运动员在 $t=0.5 \, s$ 时的瞬时速度.

问题 1 里的函数是 $h(t)=-4.9t^2+4.8t+11$，要求的是 $t_0=0.5$ 处的瞬时速度。

第一步：平均速度

先把分子整理出来。对任意 $t_0$，

$$h(t_0+\Delta t)-h(t_0)=-4.9\left[(t_0+\Delta t)^2-t_0^2\right]+4.8\Delta t =\left(-9.8t_0+4.8\right)\Delta t-4.9(\Delta t)^2$$

取 $t_0=0.5$，注意 $-9.8\times 0.5+4.8=-0.1$：

$h(0.5+\Delta t)-h(0.5)=-0.1\Delta t-4.9(\Delta t)^2$

第二步：约分

$\bar v=\frac{h(0.5+\Delta t)-h(0.5)}{\Delta t}=-0.1-4.9\Delta t\qquad(\Delta t\neq 0)$

第三步：取极限

当 $\Delta t$ 无限趋近于 $0$ 时，$-4.9\Delta t$ 无限趋近于 $0$，所以

$\lim_{\Delta t\to 0}\frac{h(0.5+\Delta t)-h(0.5)}{\Delta t}=-0.1$

即

$\boxed{v(0.5)=-0.1\ \mathrm{m/s}}$

这个”几乎为零”不是算错

答案的绝对值只有 $0.1$，比 $t=1$ 时的 $5$ 小了五十倍，看起来可疑，其实完全对得上： $h$ 的图象是开口向下的抛物线，顶点在

$t=\frac{4.8}{2\times 4.9}=\frac{24}{49}\approx 0.489\,8$

$t=0.5$ 就在顶点右边一点点，运动员几乎正处在最高点，速度当然接近零； 负号说明已经开始下落。把讲解里推出的通式 $v(t_0)=-9.8t_0+4.8$ 代入 $t_0=0.5$， 也是 $-0.1$，两条路对得上。

练习（第 61 页）第 2 题

2. 火箭发射 $t$ s 后，其高度（单位：m）为 $h(t) = 0.9t^2$。求：

(1) 在 $1 \leqslant t \leqslant 2$ 这段时间里，火箭爬高的平均速度；

(2) 发射后第 $10 \, s$ 时，火箭爬高的瞬时速度.

火箭的高度函数是 $h(t)=0.9t^2$，两问一个要平均、一个要瞬时，口径不同，不能混。

(1) 平均速度

平均速度是一段时间上的位移除以时间：

$\bar v=\frac{h(2)-h(1)}{2-1}=\frac{0.9\times 4-0.9\times 1}{1}=\frac{3.6-0.9}{1}=2.7$

$\boxed{\bar v=2.7\ \mathrm{m/s}}$

(2) 第 $10\ \mathrm s$ 时的瞬时速度

瞬时速度是一个时刻上的，要走三步。分子先展开：

$h(10+\Delta t)-h(10)=0.9\left[(10+\Delta t)^2-100\right]=18\Delta t+0.9(\Delta t)^2$

约掉 $\Delta t$：

$\bar v=\frac{h(10+\Delta t)-h(10)}{\Delta t}=18+0.9\Delta t\qquad(\Delta t\neq 0)$

让 $\Delta t$ 趋近于 $0$：

$\boxed{v(10)=18\ \mathrm{m/s}}$

一个能顺手用上的巧合

把 (2) 的做法推广到任意 $t_0$，得到 $v(t_0)=1.8t_0$。 拿它去核对 (1)：$[1,2]$ 的中点是 $t=1.5$，而

$v(1.5)=1.8\times 1.5=2.7$

恰好等于 (1) 算出的平均速度。这不是偶然，对任何二次函数都成立： 设 $h(t)=at^2+bt+c$，则 $[t_1,t_2]$ 上的平均变化率是 $a(t_1+t_2)+b$， 而中点 $\dfrac{t_1+t_2}{2}$ 处的瞬时变化率是 $2a\cdot\dfrac{t_1+t_2}{2}+b$， 两者一模一样。拿它当二次函数题的验算手段，很省事—— 但要记住这条只对二次函数成立，别推广到别的函数上去。

练习（第 62 页）第 3 题

3. 一个小球从 $5\mathrm{m}$ 的高处自由下落，其位移 $y$ （单位： $\mathrm{m}$ ）与时间 $t$ （单位：s）之间的关系为 $y(t) = -4.9t^2$ 求 $t = 1\mathrm{s}$ 时小球的瞬时速度.

位移函数是 $y(t)=-4.9t^2$，求 $t=1$ 处的瞬时速度。

三步走

$y(1+\Delta t)-y(1)=-4.9\left[(1+\Delta t)^2-1\right]=-9.8\Delta t-4.9(\Delta t)^2$

$\bar v=\frac{y(1+\Delta t)-y(1)}{\Delta t}=-9.8-4.9\Delta t\qquad(\Delta t\neq 0)$

$\boxed{v(1)=-9.8\ \mathrm{m/s}}$

三处值得说清楚的地方

其一，负号不能丢。 题面把位移写成 $y(t)=-4.9t^2$， 意思是取向上为正，小球往下掉所以位移是负的。 因此瞬时速度 $-9.8\ \mathrm{m/s}$ 里的负号表示方向向下， 它的大小（速率）是 $9.8\ \mathrm{m/s}$。答成 $9.8$ 就丢掉了方向。

其二，$t=1\ \mathrm s$ 时小球还没落地，这个答案才有意义。 下落 $5\ \mathrm m$ 需要

$4.9t^2=5\ \Longrightarrow\ t=\sqrt{\frac{5}{4.9}}\approx 1.010\ \mathrm s$

$t=1$ 时小球已经下落了 $4.9\ \mathrm m$，离地面还差 $0.1\ \mathrm m$，仍在空中。 凡是给了初始高度的自由落体题，都该顺手验一下所求时刻在不在飞行过程中。

其三，答案和物理常识严丝合缝。 自由落体的速度是 $v=-gt$， 取 $g=9.8\ \mathrm{m/s^2}$、$t=1\ \mathrm s$，正好是 $-9.8\ \mathrm{m/s}$。 位移公式里的系数 $4.9=\dfrac g2$ 也是同一个来源。 用瞬时速度算出来的结果与匀加速运动公式一致，说明这一套极限做法确实抓住了”某一时刻的速度”。