8.1.2 样本相关系数

上一节（§8.1.1）把散点图讲完了：看一眼点云，能说出”有没有相关性""正相关还是负相关” “线性还是曲线”。但那三句话全是定性的。图（1）和图（4）都正相关，谁更强？ 两个人看同一张图，可能给出不同的答案。

这一节要做的事只有一件：给”相关程度”造一个数，让判断从”看着像”变成”算出来是多少”。 造出来的这个数叫样本相关系数 $r$。

本节的思路很值得记住，因为它是统计学里造数字特征的通用套路：

找规律（正相关时点落在一、三象限） $\to$ 把规律写成一个量（$L_{xy}$） $\to$ 发现这个量有毛病（依赖单位） $\to$ 消掉毛病（标准化） $\to$ 得到 $r$ $\to$ 再研究 $r$ 的取值范围和含义。

一、第一步：把散点平移到均值处

设成对样本数据是 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$，两个分量的均值分别是 $\overline{x}$ 和 $\overline{y}$。

为什么要平移？ 因为我们关心的不是”$x$ 有多大”，而是”$x$ 比它自己的平均水平高还是低”。 把坐标原点搬到 $(\overline{x},\overline{y})$，也就是把每个点换成

$$(x_i-\overline{x},\; y_i-\overline{y}),\qquad i=1,2,\dots,n,$$

之后，点的横坐标的正负，直接就读作”这个 $x_i$ 在平均之上还是之下”，纵坐标同理。

平移之后，正相关与负相关立刻显出了不同的象限分布：

课本图 8.1-3（脂肪含量与年龄的数据平移后）就是第一种情形，图 8.1-4 把两种情形并排画出来了。

二、第二步：把”同号居多”写成一个量

“同号”这件事，用乘法一句话就能表达：同号则积为正，异号则积为负。 于是把 $n$ 对乘积加起来求平均：

$$L_{xy}=\frac{1}{n}\Big[(x_1-\overline{x})(y_1-\overline{y})+(x_2-\overline{x})(y_2-\overline{y})+\dots+(x_n-\overline{x})(y_n-\overline{y})\Big].$$

• $L_{xy}>0$：正的乘积占了上风 $\Rightarrow$ 成对样本数据正相关；
• $L_{xy}<0$：负的乘积占了上风 $\Rightarrow$ 成对样本数据负相关。

注意这里的措辞。 正负号是靠”哪一边占上风”定的，个别点落在”错误”的象限完全正常—— 统计量看的是整体，不是每一个点都得听话。

三、第三步：$L_{xy}$ 的毛病与标准化

$L_{xy}$ 的符号靠得住，大小却靠不住，因为它随着度量单位一起变。

课本给的例子最清楚：研究体重与身高的相关程度，把身高的单位由米改成厘米， 每个 $x_i-\overline{x}$ 都乘以 $100$，于是 $L_{xy}$ 也变成原来的 $100$ 倍。 可是换个单位并不会让体重和身高的关系变紧或变松。所以 $L_{xy}$ 的绝对大小没有意义。

修法是标准化：让每个偏差除以它自己那一列的标准差，把量纲除掉。记

$$s_x=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2},\qquad s_y=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2},$$

把成对数据换成

$$x_i'=\frac{x_i-\overline{x}}{s_x},\qquad y_i'=\frac{y_i-\overline{y}}{s_y},\qquad i=1,2,\dots,n.$$

$x_i'$ 是一个纯数——它读作”第 $i$ 个观测值偏离均值多少个标准差”。 身高用米还是用厘米，$x_i'$ 一模一样。这一步就把单位彻底赶了出去。

仿照 $L_{xy}$ 的构造，对标准化后的数据再做一次同样的事，就得到

$$r=\frac{1}{n}\big(x_1'y_1'+x_2'y_2'+\dots+x_n'y_n'\big) =\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})} {\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2}\;\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^2}}. \tag{1}$$

这个 $r$ 就是变量 $x$ 和变量 $y$ 的样本相关系数（sample correlation coefficient）。

（中间那两个 $\frac{1}{n}$ 与 $s_x s_y$ 里的 $\frac{1}{n}$ 恰好约掉了，所以最终式子里 分子分母都是不带 $\frac{1}{n}$ 的求和，验算时不必担心系数问题。）

手算时更好用的等价形式是把括号展开：

$$r=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_iy_i-n\,\overline{x}\,\overline{y}} {\sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-n\,\overline{x}^{2}}\; \sqrt{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}y_i^{2}-n\,\overline{y}^{2}}}.$$

这个形式只要求 $\sum x_i$、$\sum y_i$、$\sum x_iy_i$、$\sum x_i^2$、$\sum y_i^2$ 五个和， 边读数据边累加即可，不必先算出均值再回头逐个减。课本例 1 用的就是它。

四、$r$ 的取值范围：一个漂亮的向量论证

$r$ 的分子是”一串乘积之和”，分母是”两个平方和的算术平方根之积”。 这正是数量积与模长的样子——课本由此把向量推广到 $n$ 维：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n,\qquad \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\cos\theta .$$

把标准化后的第一分量、第二分量各自拼成 $n$ 维向量

$$\boldsymbol{x}'=(x_1',x_2',\dots,x_n'),\qquad \boldsymbol{y}'=(y_1',y_2',\dots,y_n'),$$

就有 $r=\dfrac{1}{n}\boldsymbol{x}'\cdot\boldsymbol{y}'=\dfrac{1}{n}|\boldsymbol{x}'||\boldsymbol{y}'|\cos\theta$。

关键的一步在模长上。 标准化恰好把两个向量的长度钉死了：

$$|\boldsymbol{x}'|^2=\sum_{i=1}^{n}\left(\frac{x_i-\overline{x}}{s_x}\right)^2 =\frac{1}{s_x^{2}}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^2 =\frac{1}{s_x^{2}}\cdot n s_x^{2}=n,$$

即 $|\boldsymbol{x}'|=|\boldsymbol{y}'|=\sqrt{n}$。代回去，$\dfrac{1}{n}\cdot\sqrt{n}\cdot\sqrt{n}=1$，于是

$$r=\cos\theta ,$$

其中 $\theta$ 是 $\boldsymbol{x}'$ 与 $\boldsymbol{y}'$ 的夹角。由 $-1\leqslant\cos\theta\leqslant 1$ 立得

$$-1\leqslant r\leqslant 1.$$

这一段值得多看两眼：标准化原本是为了消掉单位，结果顺手把向量长度统一成了 $\sqrt{n}$， $r$ 于是退化成一个纯粹的夹角余弦。取值范围不是硬凑出来的，是这个几何身份自带的。

五、$\lvert r\rvert=1$ 意味着什么

$\lvert r\rvert=1$ $\iff$ $\cos\theta=\pm 1$ $\iff$ $\theta=0$ 或 $\pi$ $\iff$ $\boldsymbol{x}'$ 与 $\boldsymbol{y}'$ 共线，即存在实数 $\lambda$ 使 $\boldsymbol{y}'=\lambda\boldsymbol{x}'$，写开就是

$$\frac{y_i-\overline{y}}{s_y}=\lambda\,\frac{x_i-\overline{x}}{s_x},\qquad i=1,2,\dots,n.$$

整理得

$$y-\overline{y}=\frac{\lambda s_y}{s_x}(x-\overline{x}),$$

也就是说：$n$ 个样本点全部落在同一条直线上，一个不落。

所以 $\lvert r\rvert=1$ 是”完全线性”的精确刻画。$\theta=0$（$r=1$）对应斜率为正， $\theta=\pi$（$r=-1$）对应斜率为负。

顺着这条线索，$\lvert r\rvert$ 的一般含义就清楚了：

课本图 8.1-5 的四张图给了标尺：$r=0.97$（正线性相关很强）、$r=-0.85$（负线性相关比较强）， 以及两张 $\lvert r\rvert$ 很小的图（线性相关程度很弱、极弱）。把这几个数记在心里当参照， 以后看到一个 $r$ 就知道大概是什么样的点云。

六、一个必须记牢的边界：$r$ 只管”线性”

课本在这里写了一句容易被读漏的话——$r$ 有时也称样本线性相关系数。这个”线性”两个字是要害：

• $r=0$ 只表明没有线性相关关系，不排除有其他相关关系。 最干净的反例是半圆形的点：$(2,0),(1,\sqrt3),(0,2),(-1,\sqrt3),(-2,0)$， 它们全落在 $x^2+y^2=4$ 上，$y$ 由 $x$ 完全决定，可是算出来 $r=0$。 原因是这组点关于 $x=0$ 对称，正的乘积和负的乘积恰好抵消；
• 反过来，$\lvert r\rvert$ 大也不等于”关系是直线”。取 $y=x^2$ 上的五个点 $(0,0),(1,1),(2,4),(3,9),(4,16)$， 算得 $r\approx 0.96$，但那明明是条抛物线。原因是在这一段上 $y$ 随 $x$ 单调上升， 直线也能”大致跟上”，$r$ 只看跟得紧不紧，不看该不该用直线。

结论：$r$ 永远和散点图配合使用。 先用散点图判断该不该谈线性，再用 $r$ 量化线性相关程度。 只报一个 $r$ 而不看图，是统计里最常见的错误之一。

七、样本相关系数与总体相关系数

还有一层区分要分清：

• 如果能拿到总体中所有的成对数据，把它们代进公式（1），算出来的就是这两个变量的总体相关系数， 它确切地反映两个变量的相关程度，是一个定数；
• 实际中拿到全部数据往往不可能，于是抽一个样本，用样本算出 $r$，拿 $r$ 去估计总体相关系数。

于是有了一句必须说清的话：样本相关系数 $r$ 本身是随机的。 换一个样本就换一个 $r$。所以

由简单随机抽样得到的 $r$，不一定能确切地反映变量之间的相关关系； 一般地，样本容量越大，用 $r$ 估计相关系数的效果越好。

样本量只有两三对的时候，$r$ 甚至可以精确等于 $\pm 1$ 而毫无说服力—— 任意两个点必然共线，三个点共线也不算稀奇。这一点在本节练习第 2 题里会被专门考。

八、课本的三个例子

例 1（脂肪含量与年龄，$n=14$）：先画散点图，看出点集中在一条直线附近，判定线性相关； 再用展开式代入 $\overline{x}\approx 48.07$、$\overline{y}\approx 27.26$、$\sum x_iy_i=19403.2$、 $\sum x_i^{2}=34181$、$\sum y_i^{2}=11051.77$，算得 $r\approx 0.97$。 结论：正线性相关，且相关程度很强。

例 2（居民年收入与 A 商品销售额，10 年数据）：散点图呈线性，$r\approx 0.95$。 结论：正线性相关、相关程度很强，且变化趋势相同（一个涨另一个也涨）。

例 3（25 名男生的体重、臂展与身高）：两张散点图都呈线性特征，但 体重与身高的 $r\approx 0.34$，臂展与身高的 $r\approx 0.78$。两者都是正线性相关， 臂展与身高的相关程度更高。

例 3 是三个例子里最有信息量的一个：同一个 $x$（身高），换一个 $y$，相关程度可以差很多。 这正是造出 $r$ 的意义——没有这个数，”$0.34$ 和 $0.78$ 谁更强”这种问题只能靠眼力去猜。

课本还提示了工具：Excel 用函数 CORREL，R 用函数 cor。考试当然要手算， 但知道现实里这一步是软件干的，有助于把注意力放回”该不该算”和”算完怎么解释”上。

九、小结与易错点

• 构造链：平移 $\to$ 乘积和 $L_{xy}$（定正负） $\to$ 标准化（去单位） $\to$ $r$（定强弱）；
• 两个公式：定义式（1）用来理解，展开式用来手算；
• $r=\cos\theta$：取值范围 $[-1,1]$ 由此而来，$\lvert r\rvert=1$ 当且仅当所有点共线；
• 符号看方向，绝对值看强弱；
• $r$ 只度量线性相关，$r=0$ 不等于”没有关系”，$\lvert r\rvert$ 大也不等于”是直线”；
• $r$ 是统计量，带随机性，样本越大越可靠；小样本的 $\lvert r\rvert=1$ 说明不了问题；
• 相关不等于因果——两个变量 $r$ 很大，可能只是被同一个第三变量同时推动。 本节习题的”天鹅与婴儿出生率”就是为这一点准备的。

下一节 §8.2 会往前再走一步：知道了”线性相关且相关程度强”之后， 怎么把那条直线具体求出来，用它做预测。那就是一元线性回归模型。

本节目录里有九页（page-0101–page-0109，印刷页码第 96–104 页）。本份收 9 道： 上一小节 §8.1.1「练习」跨页留在本目录里的第 3 题 1 道、本小节「练习」4 道、 节末「习题 8.1」4 道（复习巩固 1 道、综合运用 2 道、拓广探索 1 道）。

第一道要说明一下归属。§8.1.1 的「练习」印在 page-0100（归上一节目录）和 page-0101（归本目录）两页上： 第 1、2 题的题干在上一页，第 3 题的题干与数据表印在本目录的 page-0101 上。 引文门只认本节自己的转写，所以第 3 题只能落在这一份里；第 1、2 题在 §8.1 那一份。 page-0101 的规范化转写原本把页首整块吞了，第 3 题是靠 page-0101-fix.md 校订层补回来的。

另有三处数据表（练习第 4 题、习题第 2、3 题）和五幅散点图（练习第 2 题的四幅在上一节， 习题复习巩固第 1 题的四幅在 page-0108/page-0109）在课本里是插图， digest 没有抽成文字。下面凡是用到这些数据或图形的地方，都是按扫描图读出后转述， 正文里会逐处点明，不是课本原文。

页码用的是印刷页码（page-0108 的页脚印着 103）；全仓口径不一见 #534。

§8.1.1 练习（第 96 页）第 3 题

3. 下表给出了一些地区的鸟的种类数与该地区的海拔高度的数据，鸟的种类数与海拔高度是否存在相关关系？如果是，那么这种相关关系有什么特点？

地区	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J	K
海拔高度/m	1250	1158	1067	457	701	731	610	670	1493	762	549
鸟的种类/种	36	30	37	11	11	13	17	13	29	4	15

这道题出在 §8.1.1 末尾，那时还没有样本相关系数，课本要的是画图后的定性判断。 下面先按那个要求答，再用本小节的 $r$ 把”相关程度”补成一个数——这正好演示了这两小节的分工。

第一步：画散点图。 以海拔高度为横坐标 $x$、鸟的种类数为纵坐标 $y$，把 11 个点描上去。 按海拔从小到大重排，趋势看得更清楚：

第二步：三层判读。

• 有没有相关性：海拔在 $457\sim 762$ m 的七个地区，鸟的种类都在 $4\sim 17$ 之间； 海拔在 $1067\sim 1493$ m 的四个地区，鸟的种类都在 $29\sim 37$ 之间。 两组之间几乎不重叠，点云明显有走向 $\Rightarrow$ 存在相关关系；
• 正还是负：海拔高的一组种类数整体更大 $\Rightarrow$ 正相关；
• 线性还是曲线：散点大致沿一条自左下向右上的直线分布，没有拐弯、没有先升后降 $\Rightarrow$ 可以按线性相关来看待，但点相对直线的上下摆动不小。

答：存在相关关系，是正相关，并且呈现出线性相关的特征——海拔越高，该地区鸟的种类数往往越多。

第三步（本小节的补充）：把”程度”算成数。 用展开式

$$r=\frac{\sum\limits_{i=1}^{11}x_iy_i-11\,\overline{x}\,\overline{y}} {\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{11}x_i^{2}-11\,\overline{x}^{2}}\; \sqrt{\sum\limits_{i=1}^{11}y_i^{2}-11\,\overline{y}^{2}}}.$$

五个和分别是

$$\sum x_i=9448,\quad \sum y_i=216,\quad \sum x_iy_i=215120,\quad \sum x_i^{2}=9208658,\quad \sum y_i^{2}=5516,$$

于是 $\overline{x}=\dfrac{9448}{11}\approx 858.91$，$\overline{y}=\dfrac{216}{11}\approx 19.64$，

$$\sum x_iy_i-11\overline{x}\,\overline{y}\approx 29595.6,\qquad \sum x_i^{2}-11\overline{x}^{2}\approx 1093684.9,\qquad \sum y_i^{2}-11\overline{y}^{2}\approx 1274.5,$$ $$r\approx\frac{29595.6}{\sqrt{1093684.9}\times\sqrt{1274.5}} \approx\frac{29595.6}{1045.8\times 35.70}\approx 0.79 .$$

$r\approx 0.79$，正线性相关，相关程度较强但不算很强——和课本例 1 的 $0.97$ 比， 明显松一截，这与散点图上”点绕着直线上下摆动不小”的印象一致。

摆动主要来自 J 地区：海拔 762 m，却只有 4 种鸟，在同海拔段里是个明显的低点。 把 J 去掉重算，$r$ 从 $0.79$ 升到约 $0.85$。这说明一个偏离点就能可观地拉低 $r$， 所以报告相关系数时，最好同时说明散点图上有没有这样的点。

（一句题外的提醒：这里得到的是”海拔与鸟的种类数正相关”，不等于”海拔高导致鸟的种类多”。 真实原因可能是这些高海拔地区恰好植被更完整、人类干扰更少。相关不是因果，本节最后一题专讲这件事。）

练习（第 103 页）第 1 题

1. 由简单随机抽样得到的成对样本数据的样本相关系数是否一定能确切地反映变量之间的相关关系？为什么？

答：不一定。 有两条各自独立的理由，缺一条答案都不完整。

理由一：$r$ 是统计量，带随机性。 我们真正想知道的是总体的相关系数—— 它要用总体里所有的成对数据代入公式才能算出来，是一个确定的数。 但实际中拿不到全部数据，只能抽样，用样本算出的 $r$ 去估计它。 既然样本是随机抽的，换一个样本就换一个 $r$，任何一次抽样都可能偏离真值。 一般地，样本容量越大，用 $r$ 估计相关系数的效果越好；样本很小时，$r$ 几乎说明不了问题 （下一题就是极端例子）。

理由二：$r$ 只度量线性相关。 即使样本足够大、$r$ 算得很准，它反映的也仅仅是 “散点集中于一条直线的程度”。所以

• $r$ 接近 $0$，只能说没有线性相关关系，不能说两个变量没有关系——它们完全可能沿一条曲线走 （见本节练习第 3 题的第 (4) 组数据：点全在半圆上，$y$ 由 $x$ 完全决定，$r$ 却等于 $0$）；
• 反过来，$\lvert r\rvert$ 很大也不保证关系就是直线（第 3 题的第 (2)、(3) 组数据）。

合起来： 题干里「确切地反映变量之间的相关关系」这句话在两个方向上都太强了—— 一是样本代替不了总体，二是线性代替不了全部相关关系。 正确的用法是：先看散点图判断该不该谈线性，再用 $r$ 量化线性相关的程度，并且记住这只是一个估计。

练习（第 103 页）第 2 题

2. 已知变量 $x$ 和变量 $y$ 的3对随机观测数据（2，2），（3，-1），（5，-7），计算成对样本数据的样本相关系数。能据此推断这两个变量线性相关吗？为什么？

第一问：算 $r$。

$n=3$，$\overline{x}=\dfrac{2+3+5}{3}=\dfrac{10}{3}$，$\overline{y}=\dfrac{2-1-7}{3}=-2$。

列出偏差：

于是

$$\sum_{i=1}^{3}(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=-\frac{16}{3}-\frac{1}{3}-\frac{25}{3}=-14,$$ $$\sum_{i=1}^{3}(x_i-\overline{x})^{2}=\frac{16}{9}+\frac{1}{9}+\frac{25}{9}=\frac{42}{9}=\frac{14}{3}, \qquad \sum_{i=1}^{3}(y_i-\overline{y})^{2}=16+1+25=42,$$ $$r=\frac{-14}{\sqrt{\dfrac{14}{3}}\cdot\sqrt{42}}=\frac{-14}{\sqrt{\dfrac{14}{3}\times 42}} =\frac{-14}{\sqrt{196}}=\frac{-14}{14}=-1 .$$

$r=-1$，是精确值，不是近似。 验证一下：三点确实共线——由 $(2,2)$ 到 $(3,-1)$ 斜率为 $-3$， 由 $(3,-1)$ 到 $(5,-7)$ 斜率也是 $-3$，直线是 $y=-3x+8$，把 $x=5$ 代入得 $y=-7$，吻合。 这正是 $\lvert r\rvert=1$ 的几何含义：所有样本点严格落在同一条直线上，且斜率为负故 $r=-1$。

第二问：能不能据此推断两个变量线性相关？不能。

理由是样本容量太小（只有 3 对），$r$ 的随机性极大，$r=-1$ 这件事本身几乎没有信息量：

• 任意两个横坐标不同的点必然共线，所以 $n=2$ 时永远有 $\lvert r\rvert=1$，这纯属必然，与变量之间有没有关系无关；
• $n=3$ 时只多了一个点，“恰好也落在那条线上”并不稀奇，碰巧发生的概率不低；
• $r$ 是对总体相关系数的估计，样本越小估计越不可靠。用 3 对数据下”线性相关”的结论， 等于拿一次抽样的偶然结果当总体规律。

答：算得 $r=-1$，但不能据此推断两个变量线性相关。 $r=-1$ 只说明这 3 个样本点恰好共线； 要判断变量之间是否线性相关，必须增大样本容量，再结合散点图和 $r$ 一起看。

（把这道题和上一题连起来读：上一题说”$r$ 不一定确切反映相关关系”，这道题就给了一个 $r$ 取到极端值 $-1$ 却仍然说明不了问题的实例。）

练习（第 103 页）第 3 题

3. 画出下列成对数据的散点图，并计算样本相关系数。据此，请你谈谈样本相关系数在刻画成对样本数据相关关系上的特点。

(1) $(-2, -3)$, $(-1, -1)$, $(0, 1)$, $(1, 3)$, $(2, 5)$, $(3, 7)$;

(2) $(0, 0)$, (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16);

(3) $(-2, -8)$, $(-1, -1)$, $(0, 0)$, $(1, 1)$, $(2, 8)$, $(3, 27)$;

(4) $(2, 0)$, $(1, \sqrt{3})$, $(0, 2)$, $(-1, \sqrt{3})$, $(-2, 0)$.

这四组数据是精心挑过的：每一组都落在一条现成的曲线上，所以画图不必逐点描， 认出那条曲线即可。四组合起来正好把 $r$ 的性质说透。

(1) $y=2x+1$ 上的六个点

散点图：六个点自左下 $(-2,-3)$ 到右上 $(3,7)$ 严格排在一条直线上。

$\overline{x}=\dfrac{-2-1+0+1+2+3}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$， $\overline{y}=\dfrac{-3-1+1+3+5+7}{6}=\dfrac{12}{6}=2$。

偏差 $x_i-\overline{x}$ 依次为 $-\dfrac52,-\dfrac32,-\dfrac12,\dfrac12,\dfrac32,\dfrac52$， 而 $y_i-\overline{y}$ 依次为 $-5,-3,-1,1,3,5$，恰好是前者的 $2$ 倍。于是

$$\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=2\sum(x_i-\overline{x})^{2}=2\times\frac{35}{2}=35, \qquad \sum(y_i-\overline{y})^{2}=4\times\frac{35}{2}=70,$$ $$r=\frac{35}{\sqrt{\dfrac{35}{2}}\cdot\sqrt{70}}=\frac{35}{\sqrt{1225}}=\frac{35}{35}=1 .$$

$r=1$。 这正是”所有点共线且斜率为正”的标准情形。 （注意到 $y_i-\overline{y}=2(x_i-\overline{x})$ 之后，其实不必算数： $\boldsymbol{y}'$ 与 $\boldsymbol{x}'$ 同向共线 $\Rightarrow\theta=0\Rightarrow r=\cos 0=1$。）

(2) $y=x^{2}$ 上的五个点

散点图：五个点落在抛物线 $y=x^{2}$ 的右半支上，随 $x$ 增大而上升，且越升越陡，明显是曲线不是直线。

$\overline{x}=\dfrac{0+1+2+3+4}{5}=2$，$\overline{y}=\dfrac{0+1+4+9+16}{5}=6$。

$$\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=40,\qquad \sum(x_i-\overline{x})^{2}=10,\qquad \sum(y_i-\overline{y})^{2}=174,$$ $$r=\frac{40}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{174}}=\frac{40}{\sqrt{1740}}\approx\frac{40}{41.71}\approx 0.96 .$$

$r\approx 0.96$——很接近 $1$，可点明明在抛物线上。 这是本题最要紧的一处。

(3) $y=x^{3}$ 上的六个点

散点图：六个点落在三次曲线上，$x$ 从 $-2$ 到 $3$ 时 $y$ 从 $-8$ 冲到 $27$， 弯曲比 (2) 更厉害（右端骤然拉高）。

$\overline{x}=\dfrac{-2-1+0+1+2+3}{6}=\dfrac{1}{2}$， $\overline{y}=\dfrac{-8-1+0+1+8+27}{6}=\dfrac{27}{6}=\dfrac{9}{2}$。

$$\sum(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})=101.5,\qquad \sum(x_i-\overline{x})^{2}=17.5,\qquad \sum(y_i-\overline{y})^{2}=737.5,$$ $$r=\frac{101.5}{\sqrt{17.5}\cdot\sqrt{737.5}}=\frac{101.5}{\sqrt{12906.25}}=\frac{101.5}{113.61}\approx 0.89 .$$

$r\approx 0.89$，比 (2) 小。 弯得越厉害，$\lvert r\rvert$ 掉得越多——但仍然不小。

(4) 半圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 上的五个点

先验证：$2^{2}+0^{2}=4$，$1^{2}+(\sqrt3)^{2}=4$，$0^{2}+2^{2}=4$， $(-1)^{2}+(\sqrt3)^{2}=4$，$(-2)^{2}+0^{2}=4$。五个点都在圆 $x^{2}+y^{2}=4$ 上， 且 $y\geqslant 0$，所以散点图是上半圆上的五个点，左右对称、中间高两边低的拱形。

$\overline{x}=\dfrac{2+1+0-1-2}{5}=0$，$\overline{y}=\dfrac{0+\sqrt3+2+\sqrt3+0}{5}=\dfrac{2+2\sqrt3}{5}$。

因为 $\overline{x}=0$，分子可以直接用 $\sum x_iy_i-n\overline{x}\,\overline{y}=\sum x_iy_i$：

$$\sum_{i=1}^{5}x_iy_i=2\times 0+1\times\sqrt3+0\times 2+(-1)\times\sqrt3+(-2)\times 0=0 .$$

分母显然是正数（$x$ 与 $y$ 都不是常数列），所以

$$r=0 .$$

$r=0$，可 $y$ 由 $x$ 完全决定（$y=\sqrt{4-x^{2}}$），关系严丝合缝。 原因看得很清楚：数据关于 $x=0$ 左右对称，$x=1$ 与 $x=-1$ 这一对贡献的乘积 $\sqrt3$ 与 $-\sqrt3$ 恰好抵消，$x=\pm 2$ 那一对贡献 $0$。 正负乘积互相抵消，是 $r=0$ 的典型成因，绝不意味着”两个变量没关系”。

四组合起来说明了什么

样本相关系数的特点，就是这张表读出来的三句话：

• $\lvert r\rvert=1$ 当且仅当所有点严格共线。 这一头是精确的，(1) 就是；
• $\lvert r\rvert$ 大不等于”关系是线性的”。 (2)(3) 的 $r$ 分别到了 $0.96$ 和 $0.89$， 可它们是抛物线和三次曲线。原因是在所给的取值范围内 $y$ 随 $x$ 单调上升， 一条直线也能大致跟住；$r$ 只问”跟得紧不紧”，不问”该不该用直线跟”。 弯得越狠，$r$ 掉得越多——这也解释了为什么 (3) 比 (2) 小；
• $r=0$ 只表明没有线性相关关系，不排除有其他相关关系。 (4) 是最干净的反例： 关系强到 $y$ 被 $x$ 唯一确定，$r$ 照样是 $0$。

所以 $r$ 必须和散点图一起用。 先画图，判断该不该谈线性；再算 $r$，量化线性相关的程度。 只报一个数字而不看图，(2) 会被误判成”线性相关很强”，(4) 会被误判成”两者无关”，两头都错。

练习（第 103 页）第 4 题

4. 随机抽取 7 家超市，得到其广告支出与销售额数据如下：

请推断超市的销售额与广告支出之间的相关关系的类型、相关程度和变化趋势的特征.

数据表在课本里是插图，digest 没有抽成文字。按 page-0108.png 扫描图读出如下 （以下数值是本份对扫描图的转述，不是课本原文）：

第一步：画散点图，先看形状。 以广告支出为 $x$、销售额为 $y$。 点自左下向右上走，但上升的速度一路变慢：

• $x$ 从 $1$ 到 $6$（增加 $5$），$y$ 从 $19$ 涨到 $40$ 上下（涨了约 $21$）；
• $x$ 从 $10$ 到 $20$（增加 $10$），$y$ 只从 $52$ 涨到 $54$（涨了 $2$）。

点云是一条向上凸的曲线，右端几乎压平在 $52\sim 54$ 一带。 中间 $(4,44)$ 与 $(6,40)$ 还出现了一次回落，说明数据本身也有波动。

第二步：算 $r$。 $n=7$，五个和为

$$\sum x_i=57,\quad \sum y_i=294,\quad \sum x_iy_i=2841,\quad \sum x_i^{2}=753,\quad \sum y_i^{2}=13350 ,$$

故 $\overline{x}=\dfrac{57}{7}\approx 8.14$，$\overline{y}=\dfrac{294}{7}=42$，

$$\sum x_iy_i-7\overline{x}\,\overline{y}=2841-57\times 42=2841-2394=447,$$ $$\sum x_i^{2}-7\overline{x}^{2}=753-\frac{57^{2}}{7}=753-\frac{3249}{7}\approx 288.86, \qquad \sum y_i^{2}-7\overline{y}^{2}=13350-7\times 42^{2}=13350-12348=1002,$$ $$r\approx\frac{447}{\sqrt{288.86}\times\sqrt{1002}} =\frac{447}{16.996\times 31.654}\approx\frac{447}{537.99}\approx 0.83 .$$

答（三问分开答）：

• 相关关系的类型：$r\approx 0.83>0$，销售额与广告支出正相关。 但从散点图看，点是沿一条上凸的曲线分布的，并不是很好的线性关系—— 把它当成线性相关来处理是有损失的；
• 相关程度：$\lvert r\rvert\approx 0.83$，正线性相关程度较强（比课本例 1 的 $0.97$ 弱一截， 比例 3 中体重与身高的 $0.34$ 强得多）；
• 变化趋势的特征：同向变化——广告支出多的超市，销售额往往也高； 但增幅递减，广告支出小的时候多投一点，销售额涨得很快； 广告支出已经很大之后再加钱，销售额几乎不再上升（$14$ 万到 $20$ 万只换来 $1$ 万销售额）。 这在经济上就是边际效益递减。

一句提醒：这道题恰好是第 3 题结论的现实版——$r\approx 0.83$ 看着不低， 但散点图告诉我们真实的规律是条曲线。先看图，再看数，两者一起才能把话说准。

习题 8.1 复习巩固 第 1 题

1. 在以下4幅散点图中，推断哪些图中的 $y$ 和 $x$ 之间存在相关关系？其中哪些正相关，哪些负相关？哪些图所对应的成对样本数据呈现出线性相关关系？哪些图所对应的成对样本数据呈现出非线性相关关系？

四幅散点图在课本里是插图（(1)(2) 在 page-0108，(3)(4) 在 page-0109），digest 没有抽成文字。 下面四段形态描述是本份按扫描图逐幅读出的转述，不是课本原文。四幅图的横轴范围都是 $-3\leqslant x\leqslant 2$ 上下，纵轴范围都是 $-2\leqslant y\leqslant 2$ 上下，每幅约四十个点。

图（1）：点在整个矩形区域里铺开，$x=-2$ 附近有高有低，$x=1$ 附近同样有高有低， 看不出任何走向。$\Rightarrow$ 看不出 $y$ 与 $x$ 有相关关系。

图（2）：点排成一条自左下向右上的斜带——$x\approx-2.5$ 处 $y$ 在 $-1$ 附近， $x\approx 2$ 处 $y$ 在 $2$ 附近，带子宽度大体均匀。 $\Rightarrow$ 存在相关关系，正相关，且呈线性相关。

图（3）：点排成一条自左上向右下的斜带——$x\approx-2.5$ 处 $y$ 在 $2$ 附近， $x\approx 2$ 处 $y$ 在 $-1.5$ 附近，同样贴着一条直线。 $\Rightarrow$ 存在相关关系，负相关，且呈线性相关。

图（4）：左半段（$-3\leqslant x\leqslant 0$）点几乎横着走，$y$ 一直在 $-0.5$ 上下； 过了 $x=0$ 之后开始抬头，越往右升得越快，到 $x\approx 2$ 时 $y$ 冲到 $2$ 以上。 整条点云是一条向下凸（上翘）的曲线，而不是直线。 $\Rightarrow$ 存在相关关系，正相关，但呈非线性（曲线）相关。

答：

判读时按三层顺序走，不要跳步：先问有没有走向（分出图（1））， 再看走向朝上还是朝下（分出图（3）），最后看点贴的是直线还是曲线（分出图（4））。

两个常见错误：

• 把图（4）也判成线性相关。它确实是正相关，但”正相关”和”线性相关”是两回事—— 前者说方向，后者说形状。图（4）左平右陡，用一条直线去拟合，两端都会系统性地偏；
• 把图（1）说成”负相关但很弱”或”正相关但很弱”。图（1）压根看不出方向， 该说的是看不出相关关系，而不是硬给一个方向再补一句”很弱”。

习题 8.1 综合运用 第 2 题

2. 随机抽取 10 家航空公司，对其最近一年的航班正点率和顾客投诉次数进行调查，所得数据如下：

顾客投诉次数和航班正点率之间是否呈现出线性相关关系？它们之间的相关程度如何？变化趋势有何特征？

数据表在课本里是插图，按 page-0109.png 扫描图读出如下 （以下数值是本份对扫描图的转述，不是课本原文）：

取航班正点率为 $x$、顾客投诉次数为 $y$。

第一步：画散点图。 按正点率从小到大重排后趋势一目了然：

点自左上向右下走，大体贴着一条下降的直线，没有拐弯 $\Rightarrow$ 呈现出线性相关关系，且是负相关。

第二步：算 $r$。 $n=10$，五个和为

$$\sum x_i=758.8,\quad \sum y_i=736,\quad \sum x_iy_i=53978.3,\quad \sum x_i^{2}=57975.10,\quad \sum y_i^{2}=65796 ,$$

故 $\overline{x}=75.88$，$\overline{y}=73.6$，

$$\sum x_iy_i-10\overline{x}\,\overline{y}=53978.3-10\times 75.88\times 73.6=53978.3-55847.68=-1869.38,$$ $$\sum x_i^{2}-10\overline{x}^{2}=57975.10-57577.74\approx 397.36, \qquad \sum y_i^{2}-10\overline{y}^{2}=65796-54169.6=11626.4,$$ $$r\approx\frac{-1869.38}{\sqrt{397.36}\times\sqrt{11626.4}} =\frac{-1869.38}{19.934\times 107.826}\approx\frac{-1869.38}{2149.4}\approx -0.87 .$$

答（三问分开答）：

• 是否线性相关：散点大致沿一条直线分布，$r\approx-0.87$， 顾客投诉次数与航班正点率呈现出线性相关关系（负线性相关）；
• 相关程度：$\lvert r\rvert\approx 0.87$，比较接近 $1$，负线性相关程度较强 （和课本图 8.1-5 中 $r=-0.85$ 那一幅差不多）；
• 变化趋势的特征：变化趋势相反——正点率越高的航空公司，顾客投诉次数往往越少； 正点率越低，投诉越多。9 号公司正点率 $91.4\%$ 只有 18 次投诉， 10 号公司正点率 $68.5\%$ 却有 125 次投诉，是这条趋势的两个端点。

一句提醒：这里同样只能说”相关”，不能直接说”正点率低导致投诉多”。 虽然这个因果方向在常识上说得通，但支持它的是航空业的常识，不是这个 $r$。 $r$ 本身只报告两个变量同向还是反向、贴得紧不紧。

习题 8.1 综合运用 第 3 题

3. 根据物理中的胡克定律，在弹性限度内，弹簧伸长的长度与所受的外力成正比。在弹性限度内，测得一根弹簧伸长长度 $x$ 和相应所受外力 $F$ 的一组数据如下：

两个变量的样本相关系数是否为 1？请你解释其中的原因.

数据表在课本里是插图，按 page-0109.png 扫描图读出如下 （以下数值是本份对扫描图的转述，不是课本原文）：

答：不为 $1$，但非常接近 $1$。

第一步：证明这 10 个点不共线。

$\lvert r\rvert=1$ 的充要条件是所有样本点落在同一条直线上—— 注意是任意一条直线，不要求过原点。所以只看 $\dfrac{F}{x}$ 是不是常数不够： $\dfrac{F}{x}$ 不是常数，只说明这些点不在过原点的直线 $F=kx$ 上， 它们仍可能落在某条带截距的直线 $F=bx+a$ 上。

要排除一切直线，最省事的办法是比相邻两点的斜率（共线的点，任意相邻两段斜率必须相同）：

$$k_{12}=\frac{3.76-3.08}{1.2-1}=\frac{0.68}{0.2}=3.4, \qquad k_{23}=\frac{4.31-3.76}{1.4-1.2}=\frac{0.55}{0.2}=2.75 .$$

$k_{12}\neq k_{23}$，所以 $(1,3.08)$、$(1.2,3.76)$、$(1.4,4.31)$ 这三个点已经不共线， 十个点当然更不共线。因此 $\lvert r\rvert\neq 1$，即 $r\neq 1$。

顺带看一眼比值也很说明问题（它解释的是”为什么连过原点的直线都不成立”）：

比值在 $3.05$ 到 $3.14$ 之间上下跳（$3.08\to 3.13\to 3.08$，不单调）， 说明这些点也不在任何一条形如 $F=bx+a$ 的直线上—— 因为若 $F=bx+a$ 且 $a\neq 0$，则 $\dfrac{F}{x}=b+\dfrac{a}{x}$ 在 $x>0$ 上是单调的， 不会这样来回跳。两条路都堵死了，点确实不共线。

第二步：算出 $r$ 到底是多少。 $n=10$，

$$\sum x_i=19.4,\quad \sum F_i=59.85,\quad \sum x_iF_i=128.296,\quad \sum x_i^{2}=41.64,\quad \sum F_i^{2}=395.3199 ,$$

$\overline{x}=1.94$，$\overline{F}=5.985$，

$$\sum x_iF_i-10\overline{x}\,\overline{F}=128.296-116.109=12.187,$$ $$\sum x_i^{2}-10\overline{x}^{2}=41.64-37.636=4.004, \qquad \sum F_i^{2}-10\overline{F}^{2}=395.3199-358.2023\approx 37.1176,$$ $$r\approx\frac{12.187}{\sqrt{4.004}\times\sqrt{37.1176}} =\frac{12.187}{\sqrt{148.6191}}\approx\frac{12.187}{12.1910}\approx 0.9997 .$$

$r\approx 0.9997$，小于 $1$，但差得极少（四舍五入到两位小数就是 $1.00$）。

第三步：解释原因——这正是本题的考点。

• 胡克定律给的是函数关系：在弹性限度内，$F$ 与 $x$ 成正比，$F=kx$，一个 $x$ 唯一定出一个 $F$， 是确定性关系。若数据完美服从它，点全在过原点的直线上，$r$ 就该等于 $1$；
• 但实测数据不是理论值。测量中必然带有误差：刻度尺读数只能读到 $0.1$ cm 量级， 力的示数也有读数与仪器误差；弹簧本身的匝距不完全均匀，温度、悬挂方式、 甚至前几次拉伸留下的微小塑性变形都会让实际值偏离 $kx$；
• 这些误差是随机的，它们把本该在直线上的点推到直线附近而非直线上， 于是共线性被破坏，$r$ 从 $1$ 掉下来一点点。

一句话回答： $r\neq 1$，因为样本点不严格共线；不严格共线是因为实测值带有随机的测量误差。 但误差很小，所以 $r\approx 0.9997$ 非常接近 $1$。 这恰恰说明 $x$ 与 $F$ 的线性相关程度极强，实验数据很好地支持了胡克定律。

要点辨析：不能因为 $r\neq 1$ 就说”胡克定律不成立”。 $r$ 描述的是这一组样本数据贴直线的程度，不是物理定律本身。 反过来，如果真有人拿实测数据算出 $r$ 恰好等于 $1$，倒该怀疑数据是不是编的。

习题 8.1 拓广探索 第 4 题

4. 某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍. 有人发现了一个有趣的现象, 该地区有 5 个村庄, 其中 3 个村庄附近栖息的天鹅较多, 婴儿出生率也较高; 2 个村庄附近栖息的天鹅较少, 婴儿的出生率也较低. 有人认为婴儿出生率和天鹅数之间存在相关关系, 并得出一个结论: 天鹅能够带来孩子. 你同意这个结论吗? 为什么?

答：不同意。 这个结论至少有三处站不住，从轻到重排列如下。

其一，样本太小、观测太粗，“存在相关关系”这句话本身就不牢靠。 一共只有 5 个村庄，而且天鹅数与出生率都只分了两档——“较多/较高”和”较少/较低”， 没有任何定量的观测值。没有数值就算不出样本相关系数 （把两档编成 $0$、$1$ 画在两列格子里当然画得出点，但那不是本节意义下的散点图， $r$ 也失去了度量”线性相关程度”的含义）。 5 个村庄恰好这样分布，碰巧的可能性完全不能排除 （回想本节练习第 2 题：3 对数据算出 $r=-1$ 也说明不了问题）。 样本容量越大、观测越精细，用样本判断相关关系才越可靠。

其二，即使真的相关，相关关系也不等于因果关系。 相关关系说的是”两个变量同增同减（或一增一减）“，它是对称的： 从”天鹅多的地方婴儿也多”同样可以反过来编一个故事——“婴儿多的地方天鹅也多”。 数据本身不含方向信息，谁引起谁，相关系数一个字也没说。 按”天鹅能够带来孩子”的逻辑，也可以同样振振有词地说”孩子能够招来天鹅”， 这就说明这种推理方式本身有毛病。

其三，最可能的真实原因是有第三个变量同时影响了两者。 这个第三变量在统计上叫潜在变量（也叫混杂因素）。

找潜在变量时，必须盯住题面给的那两个量：天鹅的”数”和婴儿的”出生率”。 出生率是比值（出生数除以人口），所以”村子大、人口多”这条推不动它—— 人口多只会把出生数抬上去，出生率未必变。这是最容易踩的坑。

更贴题的共同原因是环境与生活方式：

• 周边水域湿地条件好、人类干扰少 $\Rightarrow$ 适合天鹅栖息 $\Rightarrow$ 天鹅多；
• 同样这些村子以农业为主、生活方式更传统、育龄人口留在本地不外出务工 $\Rightarrow$ 婴儿出生率也较高。

于是”天鹅多”和”出生率高”这两件事被同一批环境条件同时推高，看上去就手拉手一起变， 形成了一种虚假的相关。要检验这层解释，应当把环境与生活方式这一类变量控制住 （例如只在环境条件相近的村庄之间比较），看相关是否还在。

要点小结（这是本章反复要用的一条）：

$$\text{相关}\;\not\Rightarrow\;\text{因果}.$$

看到两个变量相关时，至少要先排查三种解释：

1. 巧合（样本太小或抽样偶然）；
2. 反向因果（其实是 $y$ 影响 $x$）；
3. 共同原因（存在潜在变量 $z$ 同时影响 $x$ 和 $y$）。

三种都排除掉，才轮得到”$x$ 导致 $y$“。而要真正确认因果，靠观察数据往往不够， 需要随机对照实验或者在分析时把混杂变量控制住。

最后说一句相关的正当用处（本题的数据还够不上，但道理要清楚）： 如果一层相关是在足够多的样本、足够精细的观测上确认下来的， 那么即便说不清因果，它仍然可以用来预测。 统计里”能预测”和”能干预”是两件事：相关支持预测，因果才支持干预。 本题只有 5 个村庄、两档定性观测，连”能预测”都还谈不上， 更不用说拿它去指导行动。 指望多放几只天鹅来提高出生率，那是把预测当成了干预，必然落空。