8.1 成对数据的统计相关性

这一章要处理的是”有关系，但不是函数关系”

函数关系是”给一个 $x$ 就唯一定出一个 $y$“。可现实里有大量这样的情形：两个变量明明有关系， 却达不到函数关系那么紧。人的体重与身高就是——个子高的人往往体重大， 但知道一个人身高 $175$ cm，你定不出他的体重。

课本给这种关系起了名字：相关关系。定义里有两个要点，缺一不可：

1. 两个变量确实有关系（不是毫不相干）；
2. 但没有确切到能由其中一个精确决定另一个。

之所以”决定不了”，是因为影响的因素不止一个。身高只是影响体重的因素之一， 饮食习惯、体育锻炼、睡眠、遗传都在起作用。课本举的四个例子都是这个结构：

注意第四个例子里那句”在一定范围内”：施肥超过某个限度，亩产反而会掉下来。 相关关系的趋势常常只在某个范围内成立，这一点后面判断散点图形态时还会遇到。

为什么不能只靠经验，要用数据

既然 $y$ 不能由 $x$ 唯一定出，函数就直接用不上了。那怎么办？人的本能是凭经验推断—— “经验之中有规律”，这话没错，经验确实能给决策提供依据。但课本紧接着指出经验的两处不足：

• 不同经验的人对同一情形可能得出不同结论（没有公共标准）；
• 不是所有情形都有经验可循（新问题就没经验）。

所以研究相关关系的路子是：通过样本数据分析 → 从数据中提取信息 → 构建适当的模型 → 用模型估计或推断。 这一整章（散点图、样本相关系数、回归模型、独立性检验）都是在把这条路子走实。

散点图：把成对数据画成点

研究相关关系，数据不能再是一列数，而必须是成对的：同一个个体上同时测两个量， 得到 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\dots,(x_n,y_n)$。课本的例子是”同一个人的年龄与脂肪含量”—— “同一个体”这四个字是关键，把甲的年龄和乙的脂肪含量凑成一对是没有意义的。

把每一对数据当成直角坐标系里的一个点画出来，得到的统计图叫散点图。 它与直方图是同一个思路的两级：直方图描述单个变量的分布特征，散点图描述成对数据的变化特征。

从散点图能读出什么：三层判断

看一张散点图，按这三层依次问，问完这道题就做完了：

第一层：有没有相关性？ 散点若杂乱无章、看不出任何规律，就说明看不出这两个变量有相关性。

第二层：是正相关还是负相关？

• 一个变量的值增加时，另一个的相应值也呈现增加的趋势 $\Rightarrow$ 正相关；
• 一个变量的值增加时，另一个的相应值呈现减小的趋势 $\Rightarrow$ 负相关。

散点图上，正相关的点云整体从左下走向右上，负相关的从左上走向右下。

注意”呈现趋势”不是”每一点都如此”：允许个别点反着来，看的是整体走向。这正是相关关系与函数关系的分野。

第三层：是线性相关还是曲线相关？

• 呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近 $\Rightarrow$ 线性相关；
• 有相关性但不是线性相关 $\Rightarrow$ 非线性相关，也叫曲线相关。

课本用图 8.1-2 的三张图把边界划清楚了：

图（2）最值得琢磨：散点先降后升（或先升后降），整体上你既不能说”$x$ 增大时 $y$ 增大”， 也不能说”$x$ 增大时 $y$ 减小”——趋势在中途拐了弯。所以”正相关 / 负相关”这对概念不是非此即彼， 存在两者都不是的情形。判断时别被”不是正相关”直接推到”那就是负相关”。

几个容易混的说法，摆在一起

“线性相关”包含”正相关或负相关”这个前提——先得有单向趋势，才谈得上是不是贴着直线。 所以图 8.1-2 的图（2）虽然点贴着一条折线，也不叫线性相关。

这一小节的局限，与下一小节要补的东西

散点图是直观的方法，好用，但它只能给出定性的判断：“大致像正相关""大致落在直线附近”。 它没法回答”到底有多相关”——两张都呈正相关的散点图，哪一张的点更贴近直线？靠眼睛比不出精确结果， 不同的人还可能看出不同答案，这就又回到了”经验因人而异”的老问题。

所以下一小节（§8.1.2）要做的事，是给相关程度找一个数字特征——就像用均值、方差刻画单个变量那样， 用样本相关系数把”有多相关”量化成一个数。

本节目录里有三页（page-0098–page-0100，印刷页码第 93–95 页），印着 §8.1.1「变量的相关关系」 的全部正文（相关关系的概念、四个例子、散点图、正相关与负相关、线性相关与曲线相关）、 图 8.1-1 与图 8.1-2，以及节末「练习」的第 1、2 题。本份收 2 道。

「练习」是跨页的：第 1 题与第 2 题的题干印在 page-0100（本节最后一页）， 而第 2 题的四张散点图、以及第 3 题的题干与数据表都印在次页 page-0101，那一页归 §8.1.2 的目录。 所以第 3 题归 §8.1.2 那一份，这里不收；第 2 题的题干在本节，图在次页， 下面第 2 题会专门说明这个缺口怎么处理。

页码用的是印刷页码（page-0100 的页脚印着 95）；全仓口径不一见 #534。

练习（第 95 页）第 1 题

1. 举例说明什么叫相关关系. 相关关系与函数关系有什么区别?

这道题问的是概念，答案不唯一，但必须答到两件事：举一个合格的例子，说清一条本质区别。

先举例。 举本节正文之外的一个：每天的复习时长 $x$ 与考试成绩 $y$。 一般来说复习时间越长，成绩往往越好；但复习时长并不能决定成绩——学习方法、基础、 考试当天的状态、题目难度都在起作用。所以同样复习 3 小时的两个人，成绩可以差很多。 这就是相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中一个精确决定另一个的程度。

（正文里的四个例子同样合格：父亲身高与子女身高、广告支出与销售收入、 汽车保有量与空气污染指数、施肥量与粮食亩产量。举例时关键是要把”还有别的因素在起作用”说出来， 只说”有关系”不算说明白。）

再说区别。 最本质的一条是能不能唯一确定：

一句话概括：函数关系里 $x$ 说了算，相关关系里 $x$ 只说了一部分，剩下的交给别的因素和随机性。

一个常被忽略的补充：两者不是并列的两类，而是紧密程度的两端。相关关系”紧”到极致， 就退化成函数关系；反过来说，正因为影响 $y$ 的因素不止 $x$ 一个，关系才松开成相关关系。 所以学这一章的目的，就是给”松到什么程度”找一把尺子（§8.1.2 的样本相关系数）， 再据此建立可用的模型（§8.2 的回归模型）。

练习（第 95 页）第 2 题

2. 根据下面的散点图，推断图中的两个变量是否存在相关关系.

先说明一处缺口，免得读者以为漏了。 这道题的四张散点图印在次页 page-0101（印刷第 96 页）上， 图注是「(第 2 题)」。那一页的规范化转写把页首整块吞了，而散点图是插图、校订层只能补文字造不出图， 所以本仓的转写里现在没有这四张图，已在 page-0101-fix.md 里把这件事记为已知缺口。 下面的解答按 page-0101.png 扫描图逐张读出四图的形态再作答—— 四图各自长什么样，是本份对扫描图的转述，不是课本原文，这一点先讲明。

判读的三层顺序（见本节讲解）：先问有没有相关性，再问正相关还是负相关，最后问线性还是曲线。

图（1）：散点从左上 $(1,10)$ 附近一路密集地落到右下 $(10,0)$ 附近，围着一条下降的直线上下小幅摆动。

• 有相关性；
• $x$ 增大时 $y$ 呈现减小的趋势 $\Rightarrow$ 负相关；
• 散点紧贴一条直线 $\Rightarrow$ 线性相关。

结论：存在相关关系，是线性负相关，而且相关程度看上去很强。

图（2）：散点先随 $x$ 上升，在 $x$ 约 $2$ 到 $6$ 之间抬到 $y\approx 9\sim 10$ 的高位并大致走平， $x$ 超过 $7$ 之后掉头向下，到 $x\approx 10$ 时落到 $y\approx 2$。整体是一条先升后降的拱形。

• 有相关性（点绝不是杂乱的，明显贴着一条曲线）；
• 但 $x$ 增大时 $y$ 先增后减，趋势在中途拐了弯，所以既不是正相关，也不是负相关；
• 自然也不是线性相关，而是非线性相关（曲线相关）。

结论：存在相关关系，是曲线相关；不能说它是正相关或负相关。

图（3）：散点在整个矩形区域里铺开，$x$ 小的地方 $y$ 有大有小，$x$ 大的地方 $y$ 也有大有小， 看不出任何走向。

结论：看不出这两个变量有什么相关性。

图（4）：散点整体从左下 $(1,1)$ 附近升到右上 $(10,8)$ 附近，但上升的速度越来越慢—— $x$ 从 $1$ 到 $4$ 时 $y$ 大约从 $1$ 抬到 $6$，而 $x$ 从 $4$ 到 $10$ 时 $y$ 只从 $6$ 抬到 $8$ 出头。 点云贴着一条向上凸的曲线。

• 有相关性；
• $x$ 增大时 $y$ 始终呈现增加的趋势 $\Rightarrow$ 正相关；
• 但散点贴的是曲线不是直线 $\Rightarrow$ 非线性相关（曲线相关）。

结论：存在相关关系，是正相关，且为曲线相关。

四图并排一看，正好覆盖了本节全部四种判读结果：

两个容易踩的坑：

• “不是正相关”推不出”是负相关”。图（2）就是反例：趋势拐了弯，两个都不是。 正相关与负相关不是互补的一对；
• “有相关性”推不出”线性相关”。图（2）和图（4）都有明显的相关性，但都不线性。 线性相关是相关关系里更强的一类，判它之前先得有单向趋势，再看点是不是贴着直线。

最后说一句这道题的局限，它正是下一小节的引子：图（1）和图（4）的”相关程度”谁更强？ 靠眼睛只能说”图（1）看起来更紧”，说不出紧多少，不同的人还可能给出不同判断。 要把这件事说准，就得有一个数——§8.1.2 的样本相关系数。