8.1 成对数据的统计相关性

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8.1 成对数据的统计相关性

我们知道，如果变量 $y$ 是变量 $x$ 的函数，那么由 $x$ 就可以唯一确定 $y$ 。然而，现实世界中还存在这样的情况：两个变量之间有关系，但密切程度又达不到函数关系的程度。例如，人的体重与身高存在关系，但由一个人的身高值并不能确定他的体重值。那么，该如何刻画这两个变量之间的关系呢？下面我们就来研究这个问题。

8.1.1 变量的相关关系

我们知道，一个人的体重与他的身高有关系。一般而言，个子高的人往往体重值较大，个子矮的人往往体重值较小。但身高并不是决定体重的唯一因素，例如生活中的饮食习惯、体育锻炼、睡眠时间以及遗传因素等也是影响体重的重要因素。像这样，两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系（correlation）。

两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在. 例如:

子女身高 $y$ 与父亲身高 $x$ 之间的关系。一般来说，父亲的个子高，其子女的个子也会比较高；父亲个子矮，其子女的个子也会比较矮。但影响子女身高的因素，除父亲身高外还有其他因素，例如母亲身高、饮食结构、体育锻炼等，因此父亲身高又不能完全决定子女身高。
商品销售收入 $y$ 与广告支出 $x$ 之间的关系. 一般来说, 广告支出越多, 商品销售收入越高. 但广告支出并不是决定商品销售收入的唯一因素, 商品销售收入还与商品质量、居民收入等因素有关.
空气污染指数 $y$ 与汽车保有量 $x$ 之间的关系. 一般来说, 汽车保有量增加, 空气污染指数会上升. 但汽车保有量并不是造成空气污染的唯一因素, 气象条件、工业废气排放、居民生活和取暖、垃圾焚烧等都是影响空气污染指数的因素.
粮食亩产量 $y$ 与施肥量 $x$ 之间的关系. 在一定范围内, 施肥量越大, 粮食亩产量就越高. 但施肥量并不是决定粮食亩产量的唯一因素, 粮食亩产量还要受到土壤质量、降水量、田间管理水平等因素的影响.

因为在相关关系中，变量 $y$ 的值不能随变量 $x$ 的值的确定而唯一确定，所以我们无法直接用函数去描述变量之间的这种关系。对上述各例中两个变量之间的相关关系，我们往往会根据自己以往积累的经验作出推断。“经验之中有规律”，经验的确可以为我们的决策提供一定的依据，但仅凭经验推断又有不足。例如，不同经验的人对同一情形可能会得出不同结论，不是所有的情形都有经验可循等。因此，在研究两个变量之间的相关关系时，我们需要借助数据说话，即通过样本数据分析，从数据中提取信息，并构建适当的模型，再利用模型进行估计或推断。

探究

在对人体的脂肪含量和年龄之间关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如表8.1-1所示。表中每个编号下的年龄和脂肪含量数据都是对同一个体的观测结果，它们构成了成对数据。

为了更加直观地描述上述成对样本数据中脂肪含量与年龄之间的关系，类似于用直方图描述单个变量样本数据的分布特征，我们用图形展示成对样本数据的变化特征。用横轴表示年龄，纵轴表示脂肪含量，则表8.1-1中每个编号下的成对样本数据都可用直角坐标系中的点表示出来，由这些点组成了如图8.1-1所示的统计图。我们把这样的统计图叫做散点图（scatter plot）。

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利用统计软件画散点图，Excel 软件可以通过插入图表，从图表类型中选取散点图；R 软件可以用函数 plot.

观察图8.1-1，可以发现，这些散点大致落在一条从左下角到右上角的直线附近，表明随年龄值的增加，相应的脂肪含量值呈现增加的趋势。这样，由成对样本数据的分布规律，我们可以推断脂肪含量变量和年龄变量之间存在着相关关系。

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋势，我们就称这两个变量正相关（positive correlation）；当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值呈现减小的趋势，则称这两个变量负相关（negative correlation）.

由图 8.1-1，能够推断脂肪含量与年龄这两个变量正相关.

思考

（1）两个变量负相关时，成对样本数据的散点图有什么特点？

(2) 你能举出生活中两个变量正相关或负相关的一些例子吗?

散点图是描述成对数据之间关系的一种直观方法．观察散点图8.1-1，从中我们不仅可以大致看出脂肪含量和年龄呈现正相关，而且从整体上可以看出散点落在某条直线附近．一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.

观察散点图8.1-2，我们发现：图（1）中的散点落在某条曲线附近，而不是落在一条直线附近，说明这两个变量具有相关性，但不是线性相关；类似地，图（2）中的散点落在一条折线附近，这两个变量也具有相关性，但它们既不是正相关，也不是负相关；图（3）中的散点杂乱无章，无规律可言，看不出这两个变量有什么相关性.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关.

练习

举例说明什么叫相关关系. 相关关系与函数关系有什么区别?
根据下面的散点图，推断图中的两个变量是否存在相关关系.