文字转写
= C 7 3 × 2 3 x 3 = 35 × 8 × x 3 = 280 x 3 . \begin{array}{l} = \mathrm{C} _ {7} ^ {3} \times 2 ^ {3} x ^ {3} = 3 5 \times 8 \times x ^ {3} \\ = 2 8 0 x ^ {3}. \end{array} = C 7 3 × 2 3 x 3 = 35 × 8 × x 3 = 280 x 3 .
因此，展开式第 4 项的系数是 280.
(2) ( 2 x − 1 x ) 6 \left(2\sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 ( 2 x − x 1 ) 6
C 6 k ( 2 x ) 6 − k ( − 1 x ) k = ( − 1 ) k 2 6 − k C 6 k x 3 − k . \mathrm{C} _ {6} ^ {k} (2 \sqrt {x}) ^ {6 - k} \Bigl (- \frac {1}{\sqrt {x}} \Bigr) ^ {k} = (- 1) ^ {k} 2 ^ {6 - k} \mathrm{C} _ {6} ^ {k} x ^ {3 - k}. C 6 k ( 2 x ) 6 − k ( − x 1 ) k = ( − 1 ) k 2 6 − k C 6 k x 3 − k .
根据题意，得
3 − k = 2 , 3 - k = 2, 3 − k = 2 ,
k = 1. k = 1. k = 1.
因此， x 2 x^{2} x 2
( − 1 ) × 2 5 × C 6 1 = − 192. (- 1) \times 2 ^ {5} \times \mathrm{C} _ {6} ^ {1} = - 1 9 2. ( − 1 ) × 2 5 × C 6 1 = − 192.
练习
写出 ( p + q ) 5 (p+q)^{5} ( p + q ) 5
求 ( 2 a + 3 b ) 6 (2a+3b)^{6} ( 2 a + 3 b ) 6
写出 ( x 3 − 1 2 x 3 ) n \left(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{2\sqrt[3]{x}}\right)^n ( 3 x − 2 3 x 1 ) n r + 1 r + 1 r + 1
( x − 1 ) 10 (x - 1)^{10} ( x − 1 ) 10 C 10 6 \mathrm{C}_{10}^{6} C 10 6 − C 10 6 -\mathrm{C}_{10}^{6} − C 10 6 C 10 5 \mathrm{C}_{10}^{5} C 10 5 − C 10 5 -\mathrm{C}_{10}^{5} − C 10 5
在 ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ( x − 4 ) ( x − 5 ) x 4 x^{4} x 4
6.3.2 二项式系数的性质
( a + b ) n (a + b)^{n} ( a + b ) n
C n 0 , C n 1 , C n 2 , … , C n k , … , C n n \mathrm{C} _ {n} ^ {0}, \mathrm{C} _ {n} ^ {1}, \mathrm{C} _ {n} ^ {2}, \dots , \mathrm{C} _ {n} ^ {k}, \dots , \mathrm{C} _ {n} ^ {n} C n 0 , C n 1 , C n 2 , … , C n k , … , C n n
有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究.
探究
用计算工具计算 ( a + b ) n (a + b)^n ( a + b ) n
从表 6.3-1 可以发现，每一行中的系数具有对称性。除此以外还有什么规律呢？为了便于发现规律，上表还可以写成如图 6.3-1 所示的形式。
• •
表示形式的变化常常能帮助我们发现某些规律.
观察图 6.3-1，你还能发现哪些规律？
对于 ( a + b ) n (a + b)^n ( a + b ) n
C n 0 , C n 1 , C n 2 , … , C n n , \mathrm{C} _ {n} ^ {0}, \mathrm{C} _ {n} ^ {1}, \mathrm{C} _ {n} ^ {2}, \dots , \mathrm{C} _ {n} ^ {n}, C n 0 , C n 1 , C n 2 , … , C n n ,
我们还可以从函数的角度分析它们. C n r C_{n}^{r} C n r f ( r ) f(r) f ( r )
{ 0 , 1 , 2 , … , n } . \{0, 1, 2, \dots , n \}. { 0 , 1 , 2 , … , n } .
对于确定的 n n n n = 6 n = 6 n = 6 f ( r ) = C n r ( r ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } ) f(r) = \mathrm{C}_n^r (r \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\}) f ( r ) = C n r ( r ∈ { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 })
探究
(1) 观察图 6.3-2，你发现了什么规律？
（2）请你分别画出 n = 7 , 8 , 9 n = 7, 8, 9 n = 7 , 8 , 9 f ( r ) = C n r f(r) = \mathrm{C}_n^r f ( r ) = C n r
分析图 6.3-1 和图 6.3-2，可以得到二项式系数的以下性质.
1. 对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 事实上，这一性质可直接由 C n m = C n n − m C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m} C n m = C n n − m
• •
直线 r = n 2 r=\frac{n}{2} r = 2 n f ( r ) = C n r f(r)=\mathrm{C}_{n}^{r} f ( r ) = C n r
①你能用组合的意义解释一下这个“组合等式”吗？
2. 增减性与最大值
因为
C n k = n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 2 ) ( n − k + 1 ) ( k − 1 ) ! k = C n k − 1 n − k + 1 k , \mathrm{C} _ {n} ^ {k} = \frac {n (n - 1) \cdots (n - k + 2) (n - k + 1)}{(k - 1) ! k} = \mathrm{C} _ {n} ^ {k - 1} \frac {n - k + 1}{k}, C n k = ( k − 1 )! k n ( n − 1 ) ⋯ ( n − k + 2 ) ( n − k + 1 ) = C n k − 1 k n − k + 1 ,
即
C n k C n k − 1 = n − k + 1 k , \frac {\mathrm{C} _ {n} ^ {k}}{\mathrm{C} _ {n} ^ {k - 1}} = \frac {n - k + 1}{k}, C n k − 1 C n k = k n − k + 1 ,
所以，当 n − k + 1 k > 1 \frac{n-k+1}{k}>1 k n − k + 1 > 1 k < n + 1 2 k<\frac{n+1}{2} k < 2 n + 1 C n k C_{n}^{k} C n k k > n + 1 2 k>\frac{n+1}{2} k > 2 n + 1 C n k C_{n}^{k} C n k C n n 2 C_{n}^{\frac{n}{2}} C n 2 n C n n − 1 2 C_{n}^{\frac{n-1}{2}} C n 2 n − 1 C n n + 1 2 C_{n}^{\frac{n+1}{2}} C n 2 n + 1
3. 各二项式系数的和
已知
( 1 + x ) n = C n 0 + C n 1 x + C n 2 x 2 + ⋯ + C n n x n , (1 + x) ^ {n} = \mathrm{C} _ {n} ^ {0} + \mathrm{C} _ {n} ^ {1} x + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} x ^ {2} + \dots + \mathrm{C} _ {n} ^ {n} x ^ {n}, ( 1 + x ) n = C n 0 + C n 1 x + C n 2 x 2 + ⋯ + C n n x n ,
令 x = 1 x = 1 x = 1
2 n = C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋯ + C n n . 2 ^ {n} = \mathrm{C} _ {n} ^ {0} + \mathrm{C} _ {n} ^ {1} + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} + \dots + \mathrm{C} _ {n} ^ {n}. 2 n = C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋯ + C n n .
这就是说， ( a + b ) n (a+b)^{n} ( a + b ) n 2 n 2^{n} 2 n
例3 求证：在 ( a + b ) n (a + b)^n ( a + b ) n
分析：奇数项的二项式系数的和为
C n 0 + C n 2 + C n 4 + … , \mathrm{C} _ {n} ^ {0} + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} + \mathrm{C} _ {n} ^ {4} + \dots , C n 0 + C n 2 + C n 4 + … ,
偶数项的二项式系数的和为
C n 1 + C n 3 + C n 5 + … . \mathrm{C} _ {n} ^ {1} + \mathrm{C} _ {n} ^ {3} + \mathrm{C} _ {n} ^ {5} + \dots . C n 1 + C n 3 + C n 5 + … .
由于
( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + ⋯ + C n n b n (a + b) ^ {n} = \mathrm{C} _ {n} ^ {0} a ^ {n} + \mathrm{C} _ {n} ^ {1} a ^ {n - 1} b + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} a ^ {n - 2} b ^ {2} + \dots + \mathrm{C} _ {n} ^ {n} b ^ {n} ( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + ⋯ + C n n b n
● ●
中的 a , b 2 a, b^{2} a , b 2 a , b a, b a , b
②实际上，a，b既可以取任意实数，也可以取任意多项式，还可以是别的。我们可以根据具体问题的需要灵活选取a，b的值。
证明：在展开式
( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + ⋯ + C n n b n (a + b) ^ {n} = \mathrm{C} _ {n} ^ {0} a ^ {n} + \mathrm{C} _ {n} ^ {1} a ^ {n - 1} b + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} a ^ {n - 2} b ^ {2} + \dots + \mathrm{C} _ {n} ^ {n} b ^ {n} ( a + b ) n = C n 0 a n + C n 1 a n − 1 b + C n 2 a n − 2 b 2 + ⋯ + C n n b n
中，令 a = 1 a = 1 a = 1 b = − 1 b = -1 b = − 1
( 1 − 1 ) n = C n 0 − C n 1 + C n 2 + ⋯ + ( − 1 ) k C n k + ⋯ + ( − 1 ) n C n n . (1 - 1) ^ {n} = \mathrm{C} _ {n} ^ {0} - \mathrm{C} _ {n} ^ {1} + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} + \dots + (- 1) ^ {k} \mathrm{C} _ {n} ^ {k} + \dots + (- 1) ^ {n} \mathrm{C} _ {n} ^ {n}. ( 1 − 1 ) n = C n 0 − C n 1 + C n 2 + ⋯ + ( − 1 ) k C n k + ⋯ + ( − 1 ) n C n n .
即
( C n 0 + C n 2 + C n 4 + … ) − ( C n 1 + C n 3 + C n 5 + … ) = 0. (\mathrm{C} _ {n} ^ {0} + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} + \mathrm{C} _ {n} ^ {4} + \dots) - (\mathrm{C} _ {n} ^ {1} + \mathrm{C} _ {n} ^ {3} + \mathrm{C} _ {n} ^ {5} + \dots) = 0. ( C n 0 + C n 2 + C n 4 + … ) − ( C n 1 + C n 3 + C n 5 + … ) = 0.
因此，
C n 0 + C n 2 + C n 4 + ⋯ = C n 1 + C n 3 + C n 5 + … , \mathrm{C} _ {n} ^ {0} + \mathrm{C} _ {n} ^ {2} + \mathrm{C} _ {n} ^ {4} + \dots = \mathrm{C} _ {n} ^ {1} + \mathrm{C} _ {n} ^ {3} + \mathrm{C} _ {n} ^ {5} + \dots , C n 0 + C n 2 + C n 4 + ⋯ = C n 1 + C n 3 + C n 5 + … ,
即在 ( a + b ) n (a+b)^{n} ( a + b ) n
练习
填空题
(1) C 11 1 + C 11 3 + C 11 5 + ⋯ + C 11 11 = C_{11}^{1} + C_{11}^{3} + C_{11}^{5} + \cdots + C_{11}^{11} = C 11 1 + C 11 3 + C 11 5 + ⋯ + C 11 11 =
(2) C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋯ + C n n C n + 1 0 + C n + 1 1 + C n + 1 2 + ⋯ + C n + 1 n + 1 = ‾ . \frac{\mathrm{C}_n^0 + \mathrm{C}_n^1 + \mathrm{C}_n^2 + \cdots + \mathrm{C}_n^n}{\mathrm{C}_{n+1}^0 + \mathrm{C}_{n+1}^1 + \mathrm{C}_{n+1}^2 + \cdots + \mathrm{C}_{n+1}^{n+1}} = \underline{\quad}. C n + 1 0 + C n + 1 1 + C n + 1 2 + ⋯ + C n + 1 n + 1 C n 0 + C n 1 + C n 2 + ⋯ + C n n = .
证明： C n 0 + C n 2 + C n 4 + ⋯ + C n n = 2 n − 1 C_{n}^{0}+C_{n}^{2}+C_{n}^{4}+\cdots+C_{n}^{n}=2^{n-1} C n 0 + C n 2 + C n 4 + ⋯ + C n n = 2 n − 1
写出 n 从 1 到 10 的二项式系数表.
若一个集合含有 n n n
习题6.3
复习巩固
选择题
(1) 在 ( 1 − x ) 5 + ( 1 − x ) 6 + ( 1 − x ) 7 + ( 1 − x ) 8 (1-x)^{5}+(1-x)^{6}+(1-x)^{7}+(1-x)^{8} ( 1 − x ) 5 + ( 1 − x ) 6 + ( 1 − x ) 7 + ( 1 − x ) 8 x 3 x^{3} x 3
(2) ( x + 1 ) n (x+1)^{n} ( x + 1 ) n x 2 x^{2} x 2
( x + y ) ( x − y ) 5 (x + y)(x - y)^{5} ( x + y ) ( x − y ) 5 x 3 y 3 x^{3}y^{3} x 3 y 3
用二项式定理展开：
(1) ( a + b 3 ) 9 (a+\sqrt[3]{b})^{9} ( a + 3 b ) 9 ( x 2 − 2 x ) 7 \left(\frac{\sqrt{x}}{2}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{7} ( 2 x − x 2 ) 7
化简：
(1) ( 1 + x ) 5 + ( 1 − x ) 5 (1+\sqrt{x})^{5}+(1-\sqrt{x})^{5} ( 1 + x ) 5 + ( 1 − x ) 5 ( 2 x 1 2 + 3 x − 1 2 ) 4 + ( 2 x 1 2 − 3 x − 1 2 ) 4 (2x^{\frac{1}{2}}+3x^{-\frac{1}{2}})^{4}+(2x^{\frac{1}{2}}-3x^{-\frac{1}{2}})^{4} ( 2 x 2 1 + 3 x − 2 1 ) 4 + ( 2 x 2 1 − 3 x − 2 1 ) 4
5.（1）求 ( 1 − 2 x ) 15 (1 - 2x)^{15} ( 1 − 2 x ) 15
(2) 求 ( 2 a 3 − 3 b 2 ) 10 (2a^{3}-3b^{2})^{10} ( 2 a 3 − 3 b 2 ) 10
(3) 求 ( x 3 − 3 x ) 12 \left(\frac{\sqrt{x}}{3}-\frac{3}{\sqrt{x}}\right)^{12} ( 3 x − x 3 ) 12
(4) 求 ( x y − y x ) 15 (x\sqrt{y}-y\sqrt{x})^{15} ( x y − y x ) 15
求下列各式的二项展开式中指定项的系数：
(1) ( 1 − 1 2 x ) 10 \left(1-\frac{1}{2x}\right)^{10} ( 1 − 2 x 1 ) 10 1 x 5 \frac{1}{x^{5}} x 5 1
(2) ( 2 x 3 − 1 2 x 3 ) 10 \left(2x^{3}-\frac{1}{2x^{3}}\right)^{10} ( 2 x 3 − 2 x 3 1 ) 10
综合运用
证明：
(1) ( x − 1 x ) 2 n \left(x-\frac{1}{x}\right)^{2n} ( x − x 1 ) 2 n ( − 2 ) n 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 n − 1 ) n ! (-2)^{n}\frac{1\times3\times5\times\cdots\times(2n-1)}{n!} ( − 2 ) n n ! 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 n − 1 )
(2) ( 1 + x ) 2 n (1 + x)^{2n} ( 1 + x ) 2 n 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 n − 1 ) n ! ( 2 x ) n \frac{1 \times 3 \times 5 \times \cdots \times (2n - 1)}{n!} (2x)^n n ! 1 × 3 × 5 × ⋯ × ( 2 n − 1 ) ( 2 x ) n
已知 ( 1 + x ) n (1+x)^{n} ( 1 + x ) n
用二项式定理证明：
(1) ( n + 1 ) n − 1 (n + 1)^{n} - 1 ( n + 1 ) n − 1 n 2 n^2 n 2
(2) 99 10 − 1 99^{10} - 1 9 9 10 − 1
拓广探索
求证： 2 n − C n 1 × 2 n − 1 + C n 2 × 2 n − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 C n n − 1 × 2 + ( − 1 ) n = 1. 2^{n}-C_{n}^{1}\times2^{n-1}+C_{n}^{2}\times2^{n-2}+\cdots+(-1)^{n-1}C_{n}^{n-1}\times2+(-1)^{n}=1. 2 n − C n 1 × 2 n − 1 + C n 2 × 2 n − 2 + ⋯ + ( − 1 ) n − 1 C n n − 1 × 2 + ( − 1 ) n = 1.
下图反映了二项式定理产生、完备和推广所走过的漫长历程：
（1）在上述发展过程中，无论是推广还是证明，都是从特殊到一般。如今，数学研究的一个发展趋势就是尽可能地一般化。请你试一试，从 ( a + b ) n (a+b)^{n} ( a + b ) n (a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{m})^{n}$$(m, n\in\mathbf{N}^{*}) 。
（2）请你查阅相关资料，细化上述历程中的某段过程，例如从3次到 n n n m m m
小结
一、本章知识结构
二、回顾与思考
本章我们首先学习了分类加法计数原理与分步乘法计数原理；然后，从一般到特殊，学习了两类特殊的计数问题——排列与组合，并用两个计数原理推导出排列数公式与组合数公式；最后，作为一个应用，根据多项式的乘法运算法则和计数原理推导出了二项式定理，并研究了二项式系数的一些性质.
当我们面对一个复杂问题时，通过分类或分步，将它分解成为一些简单的问题。先解决简单问题，然后再将它们整合起来得到整个问题的解答，达到以简驭繁的效果，这是一种重要而基本的思想方法。两个计数原理就是这种思想的体现。分类加法计数原理对应着“分类”活动，而且每一类方法都能完成相应的事情；分步乘法计数原理对应着“分步”活动，而且只有完成每一个步骤才能完成相应的事情。如果从集合的角度来考虑，那么分类加法计数原理表明了这样一个事实：将集合 U U U S 1 , S 2 , ⋯ , S k S_{1}, S_{2}, \cdots, S_{k} S 1 , S 2 , ⋯ , S k S i ( i = 1 , 2 , ⋯ , k ) S_{i} (i = 1, 2, \cdots, k) S i ( i = 1 , 2 , ⋯ , k ) n i n_{i} n i U U U
n = n 1 + n 2 + ⋯ + n k . n = n _ {1} + n _ {2} + \dots + n _ {k}. n = n 1 + n 2 + ⋯ + n k .
排列、组合是两类特殊的计数问题。排列的特殊性在于排列中元素的“互异性”和“有序性”，组合的特殊性在于它只有元素的“互异性”而不需要考虑顺序。我们看到，排列与组合之间有紧密的联系，从 n n n m ( m ⩽ n ) m(m \leqslant n) m ( m ⩽ n )
二项式定理是计数原理在多项式展开中的应用。把 ( a + b ) n (a+b)^{n} ( a + b ) n a n − k b k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n ) a^{n-k}b^{k}(k=0,1,\cdots,n) a n − k b k ( k = 0 , 1 , ⋯ , n ) 2 n 2^{n} 2 n a n − k b k a^{n-k}b^{k} a n − k b k ( a + b ) (a+b) ( a + b ) C n k C_{n}^{k} C n k
在本章中，无论是概念的得出还是数学公式的推导，都是从特殊到一般，从具体到抽象，通过归纳而得出的，这是代数中研究问题的基本方法，也是数学学习中经常使用的思维方法.
请你结合下面的问题，复习一下全章的内容吧！
在数学学习中，举例是理解一般原理的好方法。例如，进入一个院子要通过一道墙，这道墙左边有 m m m n n n m + n m + n m + n m m m n n n m m m n n n m × n m \times n m × n m m m n n n
加强数学知识间的联系，是深入理解知识的重要方法。例如，把本章的知识与集合的有关内容联系起来，可以简洁地表述有关原理。你能举例说明吗？
举例说明排列和组合的特殊性.
运用计数原理和组合知识推导二项式定理，是一个有奇趣、有意味的过程。请回味这个过程，并和同学谈谈你的学习体会。
请你回顾本章学习过程，结合具体知识，如计数原理、排列数公式、组合数公式或二项式定理，谈谈这些知识的获得是如何从特殊到一般，或从具体到抽象的？
复习参考题6
复习巩固
1. 填空题
（1）乘积 ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) ( b 1 + b 2 + ⋯ + b n ) (a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n})(b_{1}+b_{2}+\cdots+b_{n}) ( a 1 + a 2 + ⋯ + a n ) ( b 1 + b 2 + ⋯ + b n )
(2) 学生可从本年级开设的 7 门选修课中任意选择 3 门, 并从 6 种课外活动小组中选择 2 种, 不同的选法种数是 ____;
（3）安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是____；
（4）5个人分4张无座足球票，每人至多分1张，而且票必须分完，那么不同分法的种数是____；
（5）5名同学去听同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择听其中的1个讲座，不同选择的种数是____；
(6) 正十二边形的对角线的条数是 ____;
(7) ( 1 + x ) 2 n (1+x)^{2n} ( 1 + x ) 2 n
一个集合有 5 个元素.
(1) 这个集合的含有 3 个元素的子集有多少个?
(2) 这个集合的子集共有多少个?
3. 填空题
（1）已知 C n + 1 n − 1 = 21 C_{n+1}^{n-1}=21 C n + 1 n − 1 = 21
(2) 某班一天上午有 4 节课, 下午有 2 节课, 现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术 6 堂课的课程表, 要求数学课排在上午, 体育课排在下午, 不同排法种数是 ____;
(3) 某人设计的电脑开机密码由 2 个英文字母后接 4 个数字组成，且 2 个英文字母不相同，该密码可能的个数是 ____；
（4）以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是____；
(5) 在 ( 1 − 2 x ) n (1-2x)^{n} ( 1 − 2 x ) n
4.（1）平面内有 n n n
(2) 空间有 n 个平面，其中没有两个互相平行，也没有三个交于一条直线，共有多少条交线？
综合运用
5.（1）求 ( 1 − 2 x ) 5 ( 1 + 3 x ) 4 (1 - 2x)^{5}(1 + 3x)^{4} ( 1 − 2 x ) 5 ( 1 + 3 x ) 4 x x x
(2) 求 ( 9 x + 1 3 x ) 18 \left(9x+\frac{1}{3\sqrt{x}}\right)^{18} ( 9 x + 3 x 1 ) 18
（3）已知 ( 1 + x ) n (1 + \sqrt{x})^n ( 1 + x ) n n n n
(4) 求 ( 1 + x + x 2 ) ( 1 − x ) 10 (1+x+x^{2})(1-x)^{10} ( 1 + x + x 2 ) ( 1 − x ) 10 x 4 x^{4} x 4
(5) 求 ( x 2 + x + y ) 5 (x^{2}+x+y)^{5} ( x 2 + x + y ) 5 x 5 y 2 x^{5}y^{2} x 5 y 2
用二项式定理证明 55 55 + 9 55^{55} + 9 5 5 55 + 9 55 55 + 9 = ( 56 − 1 ) 55 + 9. 55^{55} + 9 = (56 - 1)^{55} + 9. 5 5 55 + 9 = ( 56 − 1 ) 55 + 9.
7.（1）平面内有两组平行线，一组有 m m m n n n
(2) 空间有三组平行平面，第一组有 m m m n n n l l l
某种产品的加工需要经过 5 道工序.
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
拓广探索
在 ( 1 + x ) 3 + ( 1 + x ) 4 + ⋯ + ( 1 + x ) n + 2 (1+x)^{3}+(1+x)^{4}+\cdots+(1+x)^{n+2} ( 1 + x ) 3 + ( 1 + x ) 4 + ⋯ + ( 1 + x ) n + 2 x 2 x^{2} x 2
你能构造一个实际背景，对等式 C n k ⋅ C n − k m − k = C n m ⋅ C m k \mathrm{C}_n^k \cdot \mathrm{C}_{n - k}^{m - k} = \mathrm{C}_n^m \cdot \mathrm{C}_m^k C n k ⋅ C n − k m − k = C n m ⋅ C m k
杨辉三角的性质与应用
在探究 ( a + b ) n (a + b)^n ( a + b ) n
杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》。在编写这些算书时，杨辉广泛引用古代数学典籍，使得我们能够了解许多已经失传的数学方法。杨辉在《详解九章算法》里指出，杨辉三角这种方法出于《释锁》 ① ^{①} ①
① “释锁” 和开方有关. 杨辉三角原名为 “开方作法本源图”, 也有人称它为 “乘方求廉图”, 在我国古代用来作为开方的工具.
早 500 年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.
杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题。下面让我们一起来探索吧！
一、探究的内容：杨辉三角的性质与应用
（一）杨辉三角的性质
观察杨辉三角的结构，即杨辉三角中数字排列的规律，例如每一行、相邻两行、斜行等，画一画，连一连，算一算，写出你发现的结论.
例如：
（1）结合图1和图2，可以发现，杨辉三角的第 n n n r r r C n r − 1 \mathrm{C}_n^{r - 1} C n r − 1 n n n ( a + b ) n (a + b)^n ( a + b ) n
（2）观察杨辉三角的相邻两行，可以发现，三角形的两个腰上的数都是1，其余的数都等于它肩上的两个数相加.
如图 4 所示， 2 = 1 + 1 2=1+1 2 = 1 + 1 3 = 1 + 2 3=1+2 3 = 1 + 2 4 = 1 + 3 4=1+3 4 = 1 + 3 6 = 3 + 3 6=3+3 6 = 3 + 3
\mathrm{C} _ {n} ^ {r} = \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {r - 1} + \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {r}.\tag{①}
利用已学知识，尝试对所得结论进行证明.
图 4
例如，对于①式，可按如下方式进行证明.
因为
C n − 1 r − 1 + C n − 1 r = ( n − 1 ) ! ( r − 1 ) ! ( n − r ) ! + ( n − 1 ) ! r ! ( n − 1 − r ) ! = ( n − 1 ) ! r ! ( n − r ) ! [ r + ( n − r ) ] = n ! r ! ( n − r ) ! , \begin{array}{r l} \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {r - 1} + \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {r} & = \frac {(n - 1) !}{(r - 1) ! (n - r) !} + \frac {(n - 1) !}{r ! (n - 1 - r) !} \\ & = \frac {(n - 1) !}{r ! (n - r) !} [ r + (n - r) ] \\ & = \frac {n !}{r ! (n - r) !}, \end{array} C n − 1 r − 1 + C n − 1 r = ( r − 1 )! ( n − r )! ( n − 1 )! + r ! ( n − 1 − r )! ( n − 1 )! = r ! ( n − r )! ( n − 1 )! [ r + ( n − r )] = r ! ( n − r )! n ! ,
又
C n r = n ! r ! ( n − r ) ! , \mathrm{C} _ {n} ^ {r} = \frac {n !}{r ! (n - r) !}, C n r = r ! ( n − r )! n ! ,
所以
C n r = C n − 1 r − 1 + C n − 1 r . \mathrm{C} _ {n} ^ {r} = \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {r - 1} + \mathrm{C} _ {n - 1} ^ {r}. C n r = C n − 1 r − 1 + C n − 1 r .
上式是杨辉三角最基本的性质，也是二项式系数和组合数的性质。 ① ^{①} ①
● ●
①利用数学知识间的联系性，我们可以从不同角度研究这些性质。结合已有知识，对比一下不同角度发现和证明性质的过程，说一说自己的体会。
（二）杨辉三角的应用
在我国古代，杨辉三角是解决很多数学问题的有力工具，像开方问题、数列问题等.
例如，开方古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
积一百三十三万六千三百三十六尺，问为三乘方几何.
在我国清中叶以前，称平方为自乘，立方为再自乘，四次方为三乘方．因此，这个问题相当于解方程 x 4 = 1336336 x^4 = 1336336 x 4 = 1336336
杨辉三角（图 2）中的五句话，前三句“左袤乃积数，右袤乃隅算，中藏者皆廉”分别说明了图中数字代表的意义，后两句“以廉乘商方，命实而除之”说明了如何应用各行系数进行开方.
你可以查阅相关书籍或上网搜索相关资料，探究一下开方算法的具体操作及其中蕴含的算法思想，感受我国古代数学的独特风格.
再如，数列古算题（出自杨辉《详解九章算法》）：
三角垛，下广，一面十二个，上尖，问计几何.
在我国古代，很多数学家研究数列的问题，并取得了辉煌的成就。就像通过研究“三角垛”这样的一类问题——垛积问题，发现了一系列数列的求和公式。上述三角垛问题一般化后，就相当于如下将圆球堆成三角垛的问题：
底层是每边堆 n 个圆球的三角形（如图 5），向上逐层每边减少 1 个，顶层是 1 个，求总数.
利用杨辉三角，就可以解决以上问题，并获得每层圆球数所构成的数列的一般求和公式。你可以试一试。
除此之外，你还可以通过查阅相关书籍或上网搜索相关资料，从杨辉三角出发，一步步探究，拓展到更多类数列的问题.
二、对探究活动的要求
以独立探究和小组合作相结合的方式开展探究活动。建议按如下步骤完成：
小组集体讨论探究方案，确定研究思路.
小组成员各自开展独立探究，并以专题作业的形式撰写研究报告.
小组内进行交流讨论，完善研究成果，并形成一份小组研究报告.
全班进行成果交流、评价.
三、研究报告的参考形式
第七章随机变量及其分布
概率是随机事件发生可能性大小的度量。在必修课程的概率学习中，我们结合古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质。本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率。
为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机试验的规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念。对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究。对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况。通过用随机变量描述和分析随机试验，解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点。
