6.2.3 组合

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6.2.3 组合

探究

从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题与6.2.1节的问题1有什么联系与区别？

在6.2.1节问题1的6种选法中，存在“甲上午、乙下午”和“乙上午、甲下午”2种不同顺序的选法，我们可以将它看成是先选出甲、乙2名同学，然后再分配上午和下午而得到的。同样，先选出甲、丙或乙、丙，再分配上午和下午也都各有2种方法。而从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，就只需考虑将选出的2名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，在6.2.1节问题1的6种选法中，将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况：

甲乙，甲丙，乙丙.

将具体背景舍去，上述问题可以概括为：

从 3 个不同元素中取出 2 个元素作为一组，一共有多少个不同的组？

这就是我们要研究的问题.

一般地，从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素作为一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合（combination）.

思考

你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？

从排列与组合的定义可以知道，两者都是从 $n$ 个不同元素中取出 $m(m \leqslant n)$ 个元素，这是它们的共同点。但排列与元素的顺序有关，而组合与元素的顺序无关。只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的；而两个组合只要元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的。例如，在上述探究问题中，“甲乙”与“乙甲”的元素完全相同，但元素的排列顺序不同，因此它们是相同的组合，不同的排列。这样，以“元素相同”为标准分类，就可以建立起排列和组合之间的对应关系，如图6.2-7所示。

由此，6.2.1节问题1的6个排列可以分成每组有2个不同排列的3个组，也就是上面探究问题的3个组合.

思考

校门口停放着9辆共享自行车，下面的问题是排列问题，还是组合问题？

(1) 从中选 3 辆，有多少种不同的方法？

(2) 从中选 3 辆给 3 位同学，有多少种不同的方法？

例 5 平面内有 A, B, C, D 共 4 个点.

(1) 以其中 2 个点为端点的有向线段共有多少条?

(2) 以其中 2 个点为端点的线段共有多少条?

分析：（1）确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题；（2）确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题.

解：（1）一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为

$\mathrm{A} _ {4} ^ {2} = 4 \times 3 = 1 2.$

这 12 条有向线段分别为

$\overrightarrow {A B}, \overrightarrow {B A}, \overrightarrow {A C}, \overrightarrow {C A}, \overrightarrow {A D}, \overrightarrow {D A}, \overrightarrow {B C}, \overrightarrow {C B}, \overrightarrow {B D}, \overrightarrow {D B}, \overrightarrow {C D}, \overrightarrow {D C}.$

（2）由于不考虑两个端点的顺序，因此将（1）中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段，就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条：

$\begin{array}{l} A B, A C, A D, B C, B D, C D. \end{array}$

思考

利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5（1）中排列和（2）中组合之间的对应关系吗？进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数？

练习

1. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛.

（1）列出所有各场比赛的双方；

(2) 列出所有冠、亚军的可能情况.

2. 已知平面内 $A, B, C, D$ 这 4 个点中任何 3 个点都不在一条直线上，写出以其中任意 3 个点为顶点的所有三角形.