组合：把「顺序」这一维去掉

一、从同一个问题的两种问法说起

§6.2.1 的问题 1 是：从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名，1 名参加上午的活动、另 1 名参加下午的活动， 有多少种选法？答案是 $6$ 种。

现在把题面改一个字：从甲、乙、丙 3 名同学中选 2 名去参加一项活动，有多少种选法？

差别在于这次没有「上午 / 下午」这两个有区别的位置了，选出的两人是一伙的，不分先后。 于是原来的 $6$ 种要两两合并：

答案是 $3$ 种：甲乙、甲丙、乙丙。 把背景舍去，这个问题就是：

从 $3$ 个不同元素中取出 $2$ 个元素作为一组，一共有多少个不同的组？

二、组合的定义

定义：一般地，从 $n$ 个不同元素中取出 $m\ (m \leqslant n)$ 个元素作为一组， 叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合（combination）。

对照排列的定义看，只改了最后半句：

共同点是「从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个」，区别只有一条：顺序算不算数。 「甲乙」与「乙甲」是两个不同的排列，却是同一个组合——这一句就是整节的全部内容。

三、一个组合对应多少个排列

课本用图 6.2-7 画出的那个对应关系，是本节真正要带走的东西。

以「元素相同」为标准给排列分类：把元素完全相同的排列归成一类。 上面的例子里，$6$ 个排列分成 $3$ 类，每类恰好 $2$ 个；而每一类正好对应一个组合。所以

$$\text{排列数} = \text{组合数} \times \text{每一类里排列的个数}.$$

每一类里有多少个排列？ 一类里的所有排列元素完全相同，彼此只差一个顺序， 所以个数就是这 $m$ 个元素的全排列数 $\mathrm{A}_m^m = m!$。上例中 $m = 2$，$2! = 2$，与「每类 $2$ 个」相符。

$$\mathrm{A}_3^2 = 6 = 3 \times 2! \quad\Longrightarrow\quad \text{组合数} = \frac{\mathrm{A}_3^2}{2!} = 3 \ ✓.$$

这条关系就是下一小节组合数公式的全部来源：

$$\text{组合数} = \frac{\mathrm{A}_n^m}{\mathrm{A}_m^m} = \frac{\mathrm{A}_n^m}{m!}.$$

本节还没有给出符号 $\mathrm{C}_n^m$，也还不能直接套公式，所以练习里的题都要求「列出」「写出」—— 用有序列举把答案数清楚。但心里要清楚这条除法关系，它是列举时最好的验算工具。

四、例 5：有向线段与线段

平面内有 $A$、$B$、$C$、$D$ 共 $4$ 个点。

(1) 以其中 $2$ 个点为端点的有向线段有多少条？

有向线段要分起点和终点，$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 是不同的两条。所以这是排列问题：

$$\mathrm{A}_4^2 = 4\times3 = 12.$$

十二条是：$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{CA}$、$\overrightarrow{AD}$、$\overrightarrow{DA}$、 $\overrightarrow{BC}$、$\overrightarrow{CB}$、$\overrightarrow{BD}$、$\overrightarrow{DB}$、$\overrightarrow{CD}$、$\overrightarrow{DC}$。

(2) 以其中 $2$ 个点为端点的线段有多少条？

线段不分起点终点，$AB$ 与 $BA$ 是同一条。把 (1) 中端点相同、方向相反的两条并成一条，$12$ 条并成 $6$ 条：

$$AB,\ AC,\ AD,\ BC,\ BD,\ CD.$$

两问的关系正是第三节那条除法：$6 = \dfrac{12}{2!}$。

「有向」这两个字就是排列与组合的开关。 同样的四个点，问有向线段是排列，问线段是组合； 问「从 $9$ 辆共享单车中选 $3$ 辆」是组合，问「选 $3$ 辆给 $3$ 位同学」就是排列—— 因为三位同学彼此有区别，等于三个不同的位置。

五、怎么快速判断是排列还是组合

根本标准只有一条：把取出的两个元素互换位置，结果算不算变了。算变是排列，不算变是组合。

题面上常见的信号词：

最容易混的是「分给不同的人」。「从 $9$ 辆车中选 $3$ 辆」是组合； 一旦说「选 $3$ 辆给 $3$ 位同学」，三位同学就成了三个有区别的位置，变成排列。 判断时问自己一句：这三个被选中的对象，彼此之间有没有身份差别？

还有一个反向的坑：「单循环赛」是组合，「主客场双循环」是排列。 甲对乙这一场，在单循环里只打一次（甲乙与乙甲同一场），在主客场制里要打两次（主客不同）。

六、本节练习为什么都让「列出」

本节还没有组合数公式，所以练习第 1、2 题都要求把结果一个个写出来。 列举时一定要按固定的顺序走，否则必漏必重。常用的两种：

• 字典序：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁——先固定第一个，第二个只取排在它后面的， 这样「甲乙」写过之后就不会再写「乙甲」。
• 按「谁不在里面」分类：从 $4$ 个点取 $3$ 个组成三角形，等价于「挑一个点不要」， $4$ 个点各不要一次，正好 $4$ 个三角形。

列举完一定用公式核个数：组合数 $= \dfrac{\mathrm{A}_n^m}{m!}$。 比如 $4$ 支球队单循环的场数 $= \dfrac{\mathrm{A}_4^2}{2!} = \dfrac{12}{2} = 6$， 列出来数一数正好 $6$ 场，才算做完。

七、这一节在本章的位置

本节和 §6.2.1 一样，只立概念、不给公式。 但它给出的那个「一个组合对应 $m!$ 个排列」的对应关系， 下一小节直接变成公式。把这个对应关系想透，组合数公式就不用背。

本节目录里有两页（page-0026–page-0027，印刷页码第 21–22 页），印着 §6.2.3「组合」的全部正文 （探究、组合的定义、排列与组合的联系与区别、图 6.2-7 的对应关系）、例 5，以及节末「练习」的第 1、2 题。 两道都整道印在 page-0027 上，本份收 2 道，逐题全做。

「习题 6.2」印在 §6.2.4 的目录下，归那一份详解，这里不收。

本节还没有给出组合数符号 $\mathrm{C}_n^m$，所以两道题都要求「列出」「写出」。下面统一的做法是：

1. 先判断是排列还是组合——把两个被取的对象互换，结果算不算变了；
2. 用 §6.2.3 的对应关系先把个数算出来：排列数 $\mathrm{A}_n^m$；组合数 $= \dfrac{\mathrm{A}_n^m}{m!}$；
3. 按固定顺序（字典序）逐个列举，最后用第 2 步的个数核对，多一个少一个都能立刻发现。

练习（第 22 页）第 1 题

1. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛.

（1）列出所有各场比赛的双方；

(2) 列出所有冠、亚军的可能情况.

这道题把排列与组合放在同一个背景下对照：(1) 是组合，(2) 是排列。

(1)

先判性质。 「单循环赛」指每两支球队之间只赛 $1$ 场。一场比赛的「双方」是一对球队， 甲对乙与乙对甲是同一场（没有主客场之分），互换不产生新的比赛。所以这是组合问题： 从 $4$ 支球队中取 $2$ 支作为一组。

先算个数。 从 $4$ 支队中取 $2$ 支排成一列有 $\mathrm{A}_4^2 = 4\times 3 = 12$ 种； 每一对球队的两种顺序（甲乙、乙甲）算作同一场，即每 $2! = 2$ 个排列合并成 $1$ 场。所以

$$\frac{\mathrm{A}_4^2}{2!} = \frac{12}{2} = 6 \ \text{场}.$$

按字典序列出（固定第一支队，第二支只取排在它后面的，这样不会写出重复的一对）：

$$\text{甲—乙},\quad \text{甲—丙},\quad \text{甲—丁},\quad \text{乙—丙},\quad \text{乙—丁},\quad \text{丙—丁}.$$

共 $6$ 场，与算出的个数相符 ✓。

再换一条路核：每支队都要与其余 $3$ 支各赛 $1$ 场，$4$ 支队共「$4\times 3 = 12$ 个队次」， 而每场比赛被两支队各数了一次，所以场数为 $\dfrac{12}{2} = 6$ ✓。

(2)

先判性质。 冠军和亚军是两个有区别的名次：「甲冠乙亚」与「乙冠甲亚」是完全不同的两种结果。 互换算变，所以这是排列问题：从 $4$ 支队中取 $2$ 支，按「冠军、亚军」的顺序排成一列。

先算个数：

$$\mathrm{A}_4^2 = 4\times 3 = 12 \ \text{种}.$$

按冠军是谁分类列出（每类 $3$ 种，记号「甲—乙」表示甲冠军、乙亚军）：

$$\begin{array}{l} \text{冠军甲}:\quad \text{甲—乙},\ \text{甲—丙},\ \text{甲—丁}; \\ \text{冠军乙}:\quad \text{乙—甲},\ \text{乙—丙},\ \text{乙—丁}; \\ \text{冠军丙}:\quad \text{丙—甲},\ \text{丙—乙},\ \text{丙—丁}; \\ \text{冠军丁}:\quad \text{丁—甲},\ \text{丁—乙},\ \text{丁—丙}. \end{array}$$

共 $4$ 类、每类 $3$ 种，合计 $12$ 种 ✓。

两问对照着看，正好演示了那条除法关系：

$$6 = \frac{12}{2!}.$$

(2) 的 $12$ 种，按「参赛双方相同」两两归类，恰好并成 (1) 的 $6$ 场。 比如「甲—乙」与「乙—甲」在 (2) 里是两种冠亚军情况，在 (1) 里是同一场比赛。

题面里区分两者的关键词：(1) 的「双方」不分先后，(2) 的「冠、亚军」分先后。 日后遇到「单循环赛的场数」一律按组合算，遇到「名次」「主客场」一律按排列算。

练习（第 22 页）第 2 题

2. 已知平面内 $A, B, C, D$ 这 4 个点中任何 3 个点都不在一条直线上，写出以其中任意 3 个点为顶点的所有三角形.

先判性质。 一个三角形由它的三个顶点确定，顶点的书写次序不影响这个三角形是哪一个—— $\triangle ABC$、$\triangle BCA$、$\triangle CAB$ 是同一个三角形。互换不算变，所以这是组合问题： 从 $4$ 个点中取 $3$ 个作为一组。

「任何 3 个点都不在一条直线上」这个条件不能忽略。 它保证取出的任意 $3$ 个点都真的能围成三角形； 若有 $3$ 点共线，那一组就退化成一条线段，要从答案里剔除。有了这个条件，每一个组合都恰好给出一个三角形， 计数才能直接用组合数。

先算个数。 从 $4$ 个点中取 $3$ 个排成一列有 $\mathrm{A}_4^3 = 4\times3\times2 = 24$ 种； 同一组三个点的 $3! = 6$ 种书写次序对应同一个三角形，所以

$$\frac{\mathrm{A}_4^3}{3!} = \frac{24}{6} = 4 \ \text{个}.$$

列举用「挑一个点不要」最快：从 $4$ 个点里取 $3$ 个，等价于指定哪一个点不参加， $4$ 个点各不参加一次，正好 $4$ 种：

$$\begin{array}{l} \text{不要 } D:\quad \triangle ABC; \\ \text{不要 } C:\quad \triangle ABD; \\ \text{不要 } B:\quad \triangle ACD; \\ \text{不要 } A:\quad \triangle BCD. \end{array}$$

即全部三角形为

$$\triangle ABC,\quad \triangle ABD,\quad \triangle ACD,\quad \triangle BCD,$$

共 $4$ 个，与算出的个数相符 ✓。

用字典序再核一遍（每个三角形按顶点字母从小到大写，这样每个只会出现一次）： 以 $A$ 打头的有 $ABC$、$ABD$、$ACD$ 三个，不含 $A$ 的只有 $BCD$ 一个，合计 $4$ 个 ✓。

「取 $3$ 个」与「不取 $1$ 个」是同一件事，这个观察在下一小节会正式写成组合数的一条性质 （$\mathrm{C}_n^m = \mathrm{C}_n^{n-m}$）。这里的 $4$ 个三角形对应 $4$ 个「被排除的点」，就是它最小的一个例子。

顺带与例 5 对照：同样这 $4$ 个点，取 $2$ 个连成线段有 $\dfrac{\mathrm{A}_4^2}{2!} = 6$ 条， 取 $3$ 个围成三角形有 $\dfrac{\mathrm{A}_4^3}{3!} = 4$ 个。两者都是组合， 因为线段和三角形都不区分顶点的书写次序；而例 5 (1) 的有向线段区分起点终点，才是排列。