3.3.2 抛物线的简单几何性质

这一节在做什么：把同一张表格再填一遍

椭圆、双曲线的几何性质，课本是按同一个顺序过的：范围 → 对称性 → 顶点 → 离心率。 到了抛物线，还是这四栏——方法一模一样：拿方程说话。

$$y^2=2px\quad(p>0)$$

之所以只研究这一个方程，是因为另外三种（$y^2=-2px$、$x^2=2py$、$x^2=-2py$） 都能由它经过坐标轴的翻转得到，性质照搬、只换方向。

填出来的表格比椭圆那张短得多，短的地方恰恰是要点：

抛物线没有中心，所以它不叫「有心圆锥曲线」；它的离心率不是参数而是定值 $1$， 所以「求离心率」这类题在抛物线这里不存在——抛物线只有一个形状参数 $p$， 而 $p$ 管的是张口的宽窄，不是形状的类别。

四条性质，逐条从方程读出来

范围。 $p>0$，方程给 $x=\dfrac{y^2}{2p}\geqslant0$，而 $y$ 可取一切实数。 所以曲线整个在 $y$ 轴右侧（含原点），开口朝 $x$ 轴正方向；$|y|$ 增大时 $x$ 也增大， 曲线向右上、右下无限延伸。注意「无限延伸」不等于「越来越平」—— 抛物线没有渐近线，它的斜率 $\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\dfrac{p}{y}$ 随 $|y|$ 增大趋于 $0$， 但曲线本身不趋近任何直线。

对称性。 以 $-y$ 代 $y$，$(-y)^2=y^2$，方程不变，所以图形关于 $x$ 轴对称。 这条对称轴就叫抛物线的轴。以 $-x$ 代 $x$ 方程会变，所以关于 $y$ 轴不对称； 两次都代则更不对称，所以没有对称中心。

顶点。 轴与曲线的交点叫顶点。令 $y=0$ 得 $x=0$，顶点就是原点——只有一个。

离心率。 抛物线上的点 $M$ 到焦点 $F$ 的距离与到准线的距离 $d$ 之比

$$e=\frac{|MF|}{d}=1 .$$

这不是算出来的，这就是抛物线的定义本身。它同时说明：圆锥曲线的统一定义 「到定点与到定直线距离之比为常数 $e$」里，$e<1$ 给椭圆、$e>1$ 给双曲线、$e=1$ 给抛物线—— 抛物线是那条分界线。

$p$ 到底是什么：三句话记牢

$p$ 是本节唯一的参数，三个位置都要认得：

$$\text{焦点}\ F\!\left(\frac p2,0\right),\qquad \text{准线}\ x=-\frac p2,\qquad \text{焦点到准线的距离}=p .$$

最常见的错：把 $y^2=2px$ 里的 $p$ 直接当成焦点横坐标。焦点横坐标是 $\dfrac p2$， $p$ 是焦准距。判断题里换个写法就容易翻车：$y^2=4x$ 中 $2p=4$、$p=2$、焦点 $(1,0)$； $x^2=2y$ 中 $2p=2$、$p=1$、焦点 $\left(0,\dfrac12\right)$。

$p$ 越大开口越宽。 把 $y^2=\dfrac12x$、$y^2=x$、$y^2=2x$、$y^2=4x$ 画在同一坐标系里， $x$ 的系数越大、开口越宽——因为同一个 $x$ 对应的 $|y|=\sqrt{2px}$ 随 $p$ 增大。 量化这件事的是通径：过焦点且垂直于轴的弦。把 $x=\dfrac p2$ 代进方程得 $y=\pm p$，所以

$$\text{通径长}=2p .$$

通径是抛物线所有焦点弦里最短的一条（后面会看到焦点弦长 $=x_1+x_2+p$， 而 $x_1+x_2\geqslant2\sqrt{x_1x_2}=p$）。记住「通径 $=2p$」，画草图时开口宽窄一眼就定。

全节最值钱的一条：焦半径公式

抛物线上任一点 $M(x_0,y_0)$ 到焦点的距离，等于它到准线的距离（定义），而到准线 $x=-\dfrac p2$ 的距离是横坐标加 $\dfrac p2$：

$$|MF|=x_0+\frac p2 .$$

一个根号都不用开。 椭圆的焦半径要记两条、双曲线要分支讨论，抛物线只有这一条， 而且是定义的直接翻译。凡是题目里出现「到焦点的距离」，第一反应就是把它换成横坐标。

立刻能用的两个推论：

• $|MF|=2p\ \Longrightarrow\ x_0=2p-\dfrac p2=\dfrac{3p}{2}$，再代方程得 $y_0=\pm\sqrt{3}\,p$。
• 「到焦点距离最小的点」就是「横坐标最小的点」，即顶点，最小值 $\dfrac p2$。

对 $x^2=2py$ 型的抛物线，公式换成 $|MF|=y_0+\dfrac p2$——永远是「沿开口方向的那个坐标」加 $\dfrac p2$。

焦点弦：把长度换成横坐标之和

设过焦点的直线交抛物线于 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$，两次用焦半径公式：

$$|AB|=|AF|+|BF|=\left(x_1+\frac p2\right)+\left(x_2+\frac p2\right)=x_1+x_2+p .$$

于是「求弦长」退化成「求两根之和」——联立之后只要韦达，不必解出交点、不必开根号。 课本例 4（$y^2=4x$、斜率 $1$ 的焦点弦）就是这么做的：$y=x-1$ 代入得 $x^2-6x+1=0$， $x_1+x_2=6$，故 $|AB|=6+2=8$。

两个必须分清的边界：

1. 这条公式只对焦点弦成立。 直线不过焦点时，$|AF|$ 不再等于 $A$ 到准线的距离与 $|AB|$ 的拼接关系也就断了，必须老老实实用弦长公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|$。
2. 竖直的焦点弦要单独算（就是通径，长 $2p$）——设 $y=kx+b$ 的那一刻就把它漏掉了。

焦点弦的另外两条常用结论（设直线过 $F\left(\dfrac p2,0\right)$，写成 $x=my+\dfrac p2$ 代入 $y^2=2px$ 得 $y^2-2pmy-p^2=0$）：

$$y_1y_2=-p^2,\qquad x_1x_2=\frac{(y_1y_2)^2}{4p^2}=\frac{p^2}{4} .$$

这两个乘积与直线的倾斜角无关，是判定「弦是否过焦点」的现成标尺。 反过来，若已知 $y_1y_2=-p^2$，则弦必过焦点——很多题的突破口就在这一步。

例 5 那类题：坐标法怎么用

课本例 5：过焦点的弦 $AB$，直线 $OA$ 交准线于 $D$，求证 $DB$ 平行于对称轴。 证明「平行于 $x$ 轴」就是证明「两个纵坐标相等」——先把目标翻译成坐标，再动笔。

设 $A\left(\dfrac{y_0^2}{2p},y_0\right)$（$y_0\neq0$）。直线 $OA$ 的斜率是 $\dfrac{y_0}{y_0^2/(2p)}=\dfrac{2p}{y_0}$， 与准线 $x=-\dfrac p2$ 联立得 $D$ 的纵坐标 $-\dfrac{p^2}{y_0}$； 另一边由焦点弦的 $y_1y_2=-p^2$ 直接得 $B$ 的纵坐标也是 $-\dfrac{p^2}{y_0}$。两数相等，$DB\parallel x$ 轴。

用 $y_1y_2=-p^2$ 一步到位，比课本原文联立解方程短得多——这也是上一段那两条乘积结论值钱的地方。 课本原文写成解方程 $(y-y_0)(y_0y+p^2)=0$，本质是同一件事，只是把韦达展开了。

注意课本那句「当 $y_0^2=p^2$ 时，易知结论成立」：这不是废话。$y_0^2=p^2$ 意味着 $A$ 的横坐标是 $\dfrac{p}{2}$，即 $AB$ 是通径、直线 $AF$ 竖直、斜率不存在，前面写的 $AF$ 的方程失效， 必须单独交代。「设斜率」的地方就有一个漏解口子，本节里它出现了不止一次。

直线与抛物线：公共点个数为什么会是「1」两次

把 $y=kx+b$ 代入 $y^2=2px$，消 $y$ 得

$$k^2x^2+(2kb-2p)x+b^2=0 .$$

这个方程未必是二次的，这正是抛物线与椭圆最不同的地方：

• $k=0$（直线平行于轴）：方程退化成一次，恰有一个公共点，但直线不是切线，是穿过去的。
• $k\neq0$：真二次，$\Delta>0$ 两个交点、$\Delta=0$ 一个交点（此时才是相切）、$\Delta<0$ 无交点。
• 直线竖直（$x=a$）：$a>0$ 交两点，$a=0$ 交一点（顶点），$a<0$ 无交点。

所以「只有一个公共点」对应两种完全不同的几何情形：相切，或平行于对称轴。 课本习题 3.3 第 12 题（直线绕 $P(-2,1)$ 旋转）问的就是这件事， 而「方程组解的个数 $=$ 公共点个数」在这里是成立的——但要记住： 解的个数为 $1$ 并不等于相切。

椭圆没有这个麻烦，因为椭圆的联立方程二次项系数 $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{k^2}{b^2}$ 恒不为零。 抛物线是唯一会退化的那一个。

中点弦：点差法在抛物线上格外便宜，但那道门也格外容易漏

设弦 $AB$ 的端点 $A(x_1,y_1)$、$B(x_2,y_2)$ 都在 $y^2=2px$ 上，中点是 $Q(x_0,y_0)$（$y_0\neq0$）。 两式相减：

$$y_1^2-y_2^2=2p(x_1-x_2)\ \Longrightarrow\ (y_1+y_2)(y_1-y_2)=2p(x_1-x_2),$$ $$k=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{2p}{y_1+y_2}=\frac{p}{y_0} .$$

抛物线的中点弦斜率只和中点的纵坐标有关，与横坐标无关。 椭圆、双曲线的同一条公式要同时用上 $x_0$ 和 $y_0$（因为它们有中心，$k$ 里带着 $\frac{y_0}{x_0}$）， 抛物线没有中心，这里就白省一个字母——这是本节最实用的一条「便宜」。

两种用法：

• 已知中点求弦：$k=\dfrac{p}{y_0}$ 直接写出直线，不必设斜率联立。

• 已知弦过定点、求中点轨迹：把 $k$ 的两种写法对齐。 以 $y^2=4x$（$p=2$）、弦过 $P(-1,0)$ 为例，一边 $k=\dfrac{2}{y_0}$，另一边 $k=\dfrac{y_0-0}{x_0+1}$，两者相等给出

  $$y_0^2=2(x_0+1),$$

  中点走在另一条抛物线上。整题不出现一次联立、一次韦达。

代价在于点差法只用了「两个端点都在曲线上」这一件事——它没有用「两点不重合」， 也没有用「这条直线真的和曲线交于两点」。所以必须补一道门：

点差法算出中点（或中点的轨迹）之后，回头验 $\Delta>0$； 几何上等价的说法是中点必须落在抛物线内部（张口那一侧）。

对 $y^2=2px$，点 $(x_0,y_0)$ 在内部的判据就是 $y_0^2<2px_0$。把上面那条轨迹代进去： $y_0^2=2(x_0+1)$ 与 $y_0^2<4x_0$ 联立得 $2x_0+2<4x_0$，即

$$x_0>1 .$$

轨迹上 $x_0\leqslant1$ 的那一段是假的：$x_0=1$ 对应 $A$、$B$ 重合（弦退化成切点）， $x_0<1$ 对应直线压根不与曲线交于两点。画轨迹时这一段要画成虚线，或者干脆不画。

顺着这道门读一道真题：浙江 2013 年第 15 题

题目：抛物线 $y^2=4x$，焦点 $F(1,0)$，过 $P(-1,0)$ 的直线交抛物线于 $A$、$B$， $Q$ 是 $AB$ 的中点，$|FQ|=2$，求这条直线的斜率。

上一段已经把轨迹算出来了：$y_0^2=2(x_0+1)$，有效段 $x_0>1$。在这条轨迹上

$$|FQ|^2=(x_0-1)^2+y_0^2=(x_0-1)^2+2(x_0+1)=x_0^2+3 ,$$

于是 $|FQ|=\sqrt{x_0^2+3}$ 在 $x_0>1$ 上严格递增，取值范围是 $(2,+\infty)$—— $2$ 是够不着的下确界。题目偏偏给 $|FQ|=2$，所以满足条件的直线不存在。

这个 $2$ 不是随手挑的，下一段就是它的来历。

准线上的一点看抛物线：两条切线必垂直，切点弦必过焦点

把抛物线上的点写成参数形式会让这一段透明得多。$y^2=2px$ 上的点可统一写成

$$M(t)=\left(\frac{p}{2}t^2,\ pt\right)\qquad(t\in\mathbf{R}),$$

代回去 $y^2=p^2t^2=2p\cdot\frac{p}{2}t^2=2px$，确实在曲线上；$t$ 跑遍实数就跑遍整条抛物线。

过 $M(t_1)$、$M(t_2)$ 的弦，两点式整理后是

$$x=\frac{t_1+t_2}{2}\,y-\frac{p\,t_1t_2}{2},$$

它与 $x$ 轴的交点横坐标是 $-\dfrac{p\,t_1t_2}{2}$。于是两条常考的判据一眼可见：

• 弦过焦点 $\left(\dfrac p2,0\right)\iff t_1t_2=-1$（这正是前面 $y_1y_2=p^2t_1t_2=-p^2$ 的参数写法）；
• 弦过准线与轴的交点 $\left(-\dfrac p2,0\right)\iff t_1t_2=1$。

切线也一样便宜。 由切线模板，$M(t)$ 处的切线是 $ty=x+\dfrac p2t^2$，斜率 $\dfrac1t$； 两条切线 $t_1$、$t_2$ 的交点解出来是

$$\left(\frac{p}{2}t_1t_2,\ \frac{p}{2}(t_1+t_2)\right).$$

横坐标只由乘积 $t_1t_2$ 决定，于是三件事被绑成同一个条件 $t_1t_2=-1$：

$$\text{交点在准线上}\iff \text{两切线垂直}\left(\tfrac1{t_1}\cdot\tfrac1{t_2}=-1\right)\iff \text{切点弦过焦点}.$$

一句话记法：从准线上任一点向抛物线作的两条切线永远互相垂直，两个切点的连线永远过焦点。

回到浙江 2013 年第 15 题：$y^2=4x$ 的准线是 $x=-1$，题目给的 $P(-1,0)$ 正在准线上。 从它作的两条切线是 $y=\pm(x+1)$，切点 $T_\pm(1,\pm2)$ 恰是通径的两端，而

$$|FT_\pm|=2 .$$

题目给的那个 $2$，就是弦退化成切点时 $|FQ|$ 的极限值——$Q$ 沿轨迹滑向 $T$ 的过程中 $|FQ|\to|FT|=2$，可 $Q$ 永远到不了 $T$（到了就不是弦了）。 所以「$|FQ|=2$」问的是一个正好被挖掉的点，答案只能是不存在。

出题人把边界值当条件给你，是常见的一手。 遇到「求出来的根全被 $\Delta>0$ 挡回去」， 先别急着找计算错误——先算一次目标量的取值范围，看给定值是不是恰好落在开端点上。

抛物拱：建系是第一步，也是唯一一步

课本例 6 推出的 $x^2=-\dfrac{a^2}{h}y$ 是抛物拱的方程。桥拱、隧道顶、卫星天线、 铅球轨迹，都是它。这类应用题的全部技术含量在建系：

• 把顶点放在原点、轴放在坐标轴上——这样方程只剩一个待定的 $p$，一个条件就能定死。
• 若题目给的是「宽 $w$、高 $h$」，就用点 $\left(\dfrac w2,-h\right)$（开口朝下时）代方程求 $p$。
• 算完一定回代验一次：把另一个已知点代进去看等不等，能挡住绝大多数符号错。

习题 3.3 第 7 题（鱼腹梁，宽 $7$、高 $0.7$）与第 8 题（拱桥水面下降）都是这个套路； 第 8 题还多一步「下降后求宽」，那是把 $y$ 换个值再解 $x$，不涉及新方法。

光学性质：为什么手电筒是抛物面

从焦点发出的光线经抛物线反射后，反射光线平行于轴（习题 3.3 第 13 题要证的就是它）。 反过来，平行于轴射入的光线会汇聚到焦点——太阳灶、卫星天线、反射式望远镜都用这一条。

证明的关键是抛物线在点 $M(x_0,y_0)$ 处的切线与两条线（$MF$ 与过 $M$ 平行于轴的射线）夹角相等。 本节不要求推导切线方程，但它的形状值得记：$y^2=2px$ 在 $M(x_0,y_0)$ 处的切线是

$$y_0y=p(x+x_0),$$

即「把 $y^2$ 换成 $y_0y$、把 $2px$ 换成 $p(x+x_0)$」。椭圆、双曲线的切线也是同一种换法， 这是圆锥曲线切线方程的统一模板。

这一节要带走的清单

1. 四条性质：范围（一支、$x\geqslant0$）、对称性（一条轴、无中心）、顶点（一个）、离心率（恒为 $1$）。
2. $p$ 的三个身份：焦点 $\left(\dfrac p2,0\right)$、准线 $x=-\dfrac p2$、焦准距 $p$；通径 $2p$。
3. 焦半径 $|MF|=x_0+\dfrac p2$——本节唯一必须背下来的公式。
4. 焦点弦 $|AB|=x_1+x_2+p$，且 $y_1y_2=-p^2$、$x_1x_2=\dfrac{p^2}{4}$。
5. 直线与抛物线联立会退化：$k=0$ 时一个交点但不相切。
6. 应用题先建系（顶点在原点、轴在坐标轴上），算完回代验证。
7. 中点弦斜率 $k=\dfrac{p}{y_0}$（只用中点的纵坐标）；点差法算完必验中点在曲线内部（$y_0^2<2px_0$），等价于 $\Delta>0$。
8. 参数点 $M(t)=\left(\dfrac p2t^2,\,pt\right)$：弦过焦点 $\iff t_1t_2=-1$，过 $\left(-\dfrac p2,0\right)\iff t_1t_2=1$；准线上一点的两条切线必垂直、切点弦必过焦点。

3.3.2 抛物线的简单几何性质 · 习题详解

本节印了四组题：第 141 页练习 4 道、第 143 页练习 5 道、习题 3.3 十三道，以及印在本节页面上的复习参考题 3 十六道（第 150、151 页）。下面逐题给出解答。

练习（第 141 页）第 1 题

1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 关于 x 轴对称，并且经过点 $M(5, -4)$ ;

(2) 关于 y 轴对称，准线经过点 $E(5, -5)$ ;

(3) 准线在 y 轴的右侧，顶点到准线的距离是 4；

(4) 焦点 F 在 y 轴负半轴上，经过横坐标为 16 的点 P，且 FP 平行于准线.

四问都只做一件事：先定开口方向（也就是标准方程的形状），再由一个条件定 $p$。

(1) 关于 $x$ 轴对称、顶点在原点，故方程形如 $y^2=\pm2px$。点 $M(5,-4)$ 的横坐标为正， 曲线必须伸到 $x>0$ 那一侧，只能是 $y^2=2px$。代入 $M$：

$$(-4)^2=2p\cdot5\ \Longrightarrow\ p=\frac{8}{5},$$

所求方程 $y^2=\dfrac{16}{5}x$。

(2) 关于 $y$ 轴对称，故 $x^2=\pm2py$，准线是水平直线 $y=\mp\dfrac p2$。 准线过 $E(5,-5)$，故准线是 $y=-5$，在原点下方，开口朝上：$x^2=2py$，$-\dfrac p2=-5$， $p=10$，方程 $x^2=20y$。

(3) 准线在 $y$ 轴右侧 $\Rightarrow$ 准线是竖直直线 $x=$ 正数 $\Rightarrow$ 开口朝左：$y^2=-2px$， 准线 $x=\dfrac p2$。顶点到准线的距离就是 $\dfrac p2=4$，故 $p=8$，方程 $y^2=-16x$。

(4) 焦点在 $y$ 轴负半轴 $\Rightarrow$ 开口朝下：$x^2=-2py$，焦点 $F\left(0,-\dfrac p2\right)$， 准线 $y=\dfrac p2$（水平）。$FP$ 平行于准线，就是说 $FP$ 水平，于是 $P$ 与 $F$ 同纵坐标， $P\left(16,-\dfrac p2\right)$。代入方程：

$$16^2=-2p\cdot\left(-\frac p2\right)=p^2\ \Longrightarrow\ p=16,$$

方程 $x^2=-32y$。（验：焦点 $(0,-8)$，$P(16,-8)$，$256=-2\cdot16\cdot(-8)$ ✓。）

这一题的通用流程：对称轴定形状 → 已知点或已知距离定 $p$ → 回代验一次。 第 (3)(4) 问的坑都在方向：准线在右就开口向左，焦点在下就开口向下，别照着 $y^2=2px$ 一路硬套。

练习（第 141 页）第 2 题

2. 在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中 $x$ 的系数的关系：(1）$y^{2} = \frac{1}{2} x$；(2）$y^{2} = x$；(3）$y^{2} = 2x$；(4）$y^{2} = 4x$。

四条抛物线都是 $y^2=2px$ 型，开口都朝右、顶点都在原点，差别只在 $x$ 的系数 $2p$：

画出来是四条一层套一层的曲线：系数越大，同一个 $x$ 对应的 $|y|$ 越大，开口越宽。

结论：$x$ 的系数（即 $2p$）越大，抛物线开口越大。 理由不必靠眼睛—— 同一条竖线 $x=x_0$ 上截得的宽度是 $2\sqrt{2px_0}$，它随 $2p$ 单调递增； 更简洁的量化是通径 $=2p$，$2p$ 就是 $x$ 的系数本身。

别记反了：椭圆里分母越大越「胖」，抛物线里系数越大越「张」，两者的参数含义完全不同—— 抛物线的 $p$ 不是半轴长，是焦点到准线的距离。

练习（第 141 页）第 3 题

3. 过点 $M(2,0)$ 作斜率为1的直线 $l$，交抛物线 $y^{2} = 4x$ 于 $A, B$ 两点，求 $|AB|$.

这道题专门用来提醒：$|AB|=x_1+x_2+p$ 只对焦点弦成立。 $y^2=4x$ 的焦点是 $(1,0)$， 而 $l$ 过 $M(2,0)$、斜率为 $1$，方程 $y=x-2$，把 $x=1$ 代进去得 $y=-1\neq0$——$l$ 不过焦点， 所以只能用一般的弦长公式。

联立 $\begin{cases}y=x-2\\ y^2=4x\end{cases}$，消 $y$：

$$(x-2)^2=4x\ \Longrightarrow\ x^2-8x+4=0 .$$

判别式 $\Delta=64-16=48>0$，两交点存在，且

$$x_1+x_2=8,\qquad x_1x_2=4 .$$

于是 $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=64-16=48$，弦长

$$|AB|=\sqrt{1+k^2}\,|x_1-x_2|=\sqrt2\cdot\sqrt{48}=\sqrt2\cdot4\sqrt3=4\sqrt6 .$$

对照一下就知道公式用错会差多少：若误用焦点弦公式，会算成 $x_1+x_2+p=8+2=10$， 而真值是 $4\sqrt6\approx9.80$——数值很接近，所以这种错最难自己发现。 养成习惯：写 $x_1+x_2+p$ 之前，先把焦点坐标代进直线方程验一次。

练习（第 141 页）第 4 题

4. 垂直于 $x$ 轴的直线交抛物线 $y^{2} = 4x$ 于 $A, B$ 两点，且 $|AB| = 4\sqrt{3}$，求直线 $AB$ 的方程.

垂直于 $x$ 轴的直线设为 $x=a$。它与 $y^2=4x$ 有两个交点，要求 $a>0$，此时

$$y^2=4a\ \Longrightarrow\ y=\pm2\sqrt a,$$

两点关于 $x$ 轴对称，故

$$|AB|=2\cdot2\sqrt a=4\sqrt a .$$

由 $|AB|=4\sqrt3$ 得 $\sqrt a=\sqrt3$，$a=3$。所求直线 $AB$ 的方程是

$$x=3 .$$

顺带认一下通径：若 $|AB|=4$，则 $a=1$，直线正是 $x=1$（过焦点）， 这条弦就是通径，长 $2p=4$。本题的 $4\sqrt3>4$，所以 $a=3>1$， 交点在焦点右侧，与 $|AB|=4\sqrt a$ 随 $a$ 单调递增相符。

通径最短，说的是”焦点弦里最短”，不是”竖直弦里最短”。 这两句差一个字，含义天差地别： 本题刚算出竖直弦长 $|AB|=4\sqrt a$ 在 $a\in(0,+\infty)$ 上严格递增、取值遍历 $(0,+\infty)$， 竖直弦根本没有最短的一条（取 $a=\frac14$ 就得到长 $2$ 的竖直弦，比通径的 $4$ 还短）。 通径的极小性只在”过焦点”这个限制下成立：过焦点的弦长 $\geqslant 2p$，等号当且仅当弦垂直于对称轴。 $x=1$ 之所以特殊，是因为它恰好过焦点，不是因为它竖直。

练习（第 143 页）第 1 题

1. 求适合下列条件的抛物线的标准方程:

(1) 焦点 F 关于准线的对称点为 $M(0, -9)$ ;

(2) 关于 y 轴对称，与直线 y = -12 相交所得线段的长为 12；

（3）关于 $x$ 轴对称，以焦点和准线上的两点为顶点的三角形是边长为 $2\sqrt{3}$ 的等边三角形.

(1) $M(0,-9)$ 在 $y$ 轴上，故对称轴是 $y$ 轴，方程形如 $x^2=\pm2py$。 设开口朝上：$x^2=2py$，焦点 $F\left(0,\dfrac p2\right)$，准线 $y=-\dfrac p2$。 $F$ 关于准线（一条水平线）的对称点，纵坐标是

$$2\cdot\left(-\frac p2\right)-\frac p2=-\frac{3p}{2},$$

令 $-\dfrac{3p}{2}=-9$ 得 $p=6$，方程 $x^2=12y$。 （若设开口朝下，同样算得对称点纵坐标为 $+\dfrac{3p}{2}>0$，与 $-9$ 矛盾，故舍。） 验：$F(0,3)$、准线 $y=-3$，$F$ 关于它的对称点是 $(0,-9)$ ✓。

(2) 关于 $y$ 轴对称：$x^2=\pm2py$。要与 $y=-12$ 相交，曲线得伸到 $y<0$，故开口朝下：$x^2=-2py$。 把 $y=-12$ 代入：$x^2=24p$，$x=\pm\sqrt{24p}$，弦长 $2\sqrt{24p}=12$，得 $\sqrt{24p}=6$、$p=\dfrac32$。 方程 $x^2=-3y$。验：$y=-12$ 时 $x^2=36$、$x=\pm6$，长 $12$ ✓。

(3) 关于 $x$ 轴对称：$y^2=\pm2px$。等边三角形的三个顶点是焦点 $F$ 与准线上的两点， 底边落在准线上，$F$ 到准线的距离正是这个等边三角形的高：

$$h=\frac{\sqrt3}{2}\times2\sqrt3=3 .$$

而焦点到准线的距离恒等于 $p$，故 $p=3$，方程

$$y^2=6x\quad\text{或}\quad y^2=-6x .$$

两个都要写：题目只说「关于 $x$ 轴对称」，没说开口朝哪边。

练习（第 143 页）第 2 题

2. 点 $M(m, 4)$ 在抛物线 $y^{2} = 24x$ 上，$F$ 为焦点，直线 $MF$ 与准线相交于点 $N$，求 $|FN|$.

$y^2=24x$ 中 $2p=24$，$p=12$，焦点 $F(6,0)$，准线 $x=-6$。

$M(m,4)$ 在抛物线上：$16=24m$，$m=\dfrac23$，即 $M\left(\dfrac23,4\right)$。

直线 $MF$ 的斜率

$$k=\frac{4-0}{\frac23-6}=\frac{4}{-\frac{16}{3}}=-\frac34,$$

方程 $y=-\dfrac34(x-6)$。令 $x=-6$（准线）得 $y=-\dfrac34\times(-12)=9$，故 $N(-6,9)$。于是

$$|FN|=\sqrt{(6+6)^2+(0-9)^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15 .$$

换个不算斜率的走法（更能看清结构）：设 $M$ 在准线上的射影为 $M'(-6,4)$，则 $MM'\parallel FN'$… 更直接的是用相似：$M'M\perp$ 准线、$F$ 到准线的距离为 $12$， 由 $\triangle NM'M\sim$ 「$N$、$F$ 与 $F$ 在准线上的射影」构成的直角三角形， $\dfrac{|NM'|}{|NF'|}=\dfrac{|MM'|}{12}$，其中 $|MM'|=|MF|=m+\dfrac p2=\dfrac23+6=\dfrac{20}{3}$。 焦半径 $|MF|=x_0+\dfrac p2$ 是这一步的钥匙，能省掉一次两点间距离的开方。

练习（第 143 页）第 3 题

3. 设抛物线 $x^{2} = 2py (p > 0)$ 上的点 $M$ 与焦点 $F$ 的距离为4，点 $M$ 到 $y$ 轴的距离为 $\sqrt{3p}$，求抛物线的方程和点 $M$ 的坐标.

$x^2=2py$（$p>0$）开口朝上，焦点 $F\left(0,\dfrac p2\right)$，准线 $y=-\dfrac p2$， 焦半径公式此时是 $|MF|=y_0+\dfrac p2$（沿开口方向的那个坐标加 $\dfrac p2$）。

设 $M(x_0,y_0)$。「$M$ 到 $y$ 轴的距离」就是 $|x_0|=\sqrt{3p}$，故

$$x_0^2=3p .$$

又 $M$ 在抛物线上：$x_0^2=2py_0$，所以 $2py_0=3p$，$p>0$ 可约去，得

$$y_0=\frac32 .$$

再由 $|MF|=y_0+\dfrac p2=4$：

$$\frac32+\frac p2=4\ \Longrightarrow\ p=5 .$$

于是抛物线的方程是

$$x^2=10y,$$

而 $x_0^2=3p=15$，$x_0=\pm\sqrt{15}$，故

$$M\left(\sqrt{15},\ \frac32\right)\quad\text{或}\quad M\left(-\sqrt{15},\ \frac32\right).$$

两个点都要给：条件只限定了 $M$ 到 $y$ 轴的距离，没限定它在哪一侧。

练习（第 143 页）第 4 题

4. 两条直线 $y = kx$ 和 $y = -kx$ 分别与抛物线 $y^2 = 2px$ ($p > 0$) 相交于不同于原点的 $A$, $B$ 两点, $k$ 为何值时, 直线 $AB$ 经过抛物线的焦点?

先求 $A$、$B$。把 $y=kx$ 代入 $y^2=2px$（$k\neq0$，否则直线就是 $x$ 轴，只交于原点）：

$$k^2x^2=2px\ \Longrightarrow\ x\left(k^2x-2p\right)=0 ,$$

非原点的根 $x=\dfrac{2p}{k^2}$，故 $A\left(\dfrac{2p}{k^2},\ \dfrac{2p}{k}\right)$。

把 $y=-kx$ 代入，同理得 $B\left(\dfrac{2p}{k^2},\ -\dfrac{2p}{k}\right)$。

关键的观察：$A$ 与 $B$ 的横坐标相同。 这是因为 $y=kx$ 与 $y=-kx$ 关于 $x$ 轴对称， 而抛物线本身也关于 $x$ 轴对称，所以 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称。于是直线 $AB$ 是竖直线

$$x=\frac{2p}{k^2} .$$

它经过焦点 $\left(\dfrac p2,0\right)$ 当且仅当

$$\frac{2p}{k^2}=\frac p2\ \Longrightarrow\ k^2=4\ \Longrightarrow\ k=\pm2 .$$

所以 $k=2$ 或 $k=-2$。 此时 $AB$ 就是通径，长 $2p$—— 把 $k=\pm2$ 代回可得 $|AB|=2\times\dfrac{2p}{2}=2p$ ✓，与「通径长 $=2p$」自洽。

练习（第 143 页）第 5 题

5. 已知圆心在 $y$ 轴上移动的圆经过点 $A(0, 5)$，且与 $x$ 轴、$y$ 轴分别交于 $B(x, 0)$，$C(0, y)$ 两个动点，求点 $M(x, y)$ 的轨迹方程.

设圆心为 $(0,b)$、半径为 $r$。

用「过 $A(0,5)$」定半径：圆心在 $y$ 轴上，$A$ 也在 $y$ 轴上，故 $r=|b-5|$，即

$$r^2=(b-5)^2 .$$

用「交 $y$ 轴于 $C(0,y)$」定 $y$：圆与 $y$ 轴的两个交点是 $(0,b-r)$ 与 $(0,b+r)$， 其中一个就是 $A(0,5)$，另一个是 $C$。两交点关于圆心对称，故

$$y=2b-5 .$$

用「交 $x$ 轴于 $B(x,0)$」定 $x$：把 $(x,0)$ 代入 $x^2+(0-b)^2=r^2$：

$$x^2=r^2-b^2=(b-5)^2-b^2=-10b+25 .$$

消去参数 $b$：由上式 $b=\dfrac{25-x^2}{10}$，代进 $y=2b-5$：

$$y=\frac{25-x^2}{5}-5=-\frac{x^2}{5},$$

即点 $M(x,y)$ 的轨迹方程

$$x^2=-5y\qquad(x\neq0).$$

这是一条顶点在原点、开口朝下的抛物线（$2p=5$，焦点 $\left(0,-\dfrac54\right)$）。

为什么要去掉 $x=0$：$x=0$ 对应 $b=\dfrac52$，此时圆与 $x$ 轴相切于原点， $B$ 与 $C$ 都退化成原点，题设的「两个动点」不成立。

验一个具体的圆：取 $b=0$，圆 $x^2+y^2=25$ 过 $A(0,5)$，交 $x$ 轴于 $(\pm5,0)$、 交 $y$ 轴于 $(0,-5)$，即 $x=\pm5$、$y=-5$，代入 $x^2=-5y$ 得 $25=25$ ✓。

习题 3.3 第 1 题

1. 求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

(1) $x^{2} = 2y$； (2) $4x^{2} + 3y = 0$； (3) $2y^{2} + x = 0$； (4) $y^{2} - 6x = 0$.

先把每个方程化成标准形，读出 $2p$，再套「焦点在开口方向上、离顶点 $\dfrac p2$」。

(1) $x^2=2y$：对称轴是 $y$ 轴，开口朝上，$2p=2$、$p=1$。

$$\text{焦点}\ \left(0,\frac12\right),\qquad \text{准线}\ y=-\frac12 .$$

(2) $4x^2+3y=0\Longrightarrow x^2=-\dfrac34y$：对称轴 $y$ 轴，开口朝下，$2p=\dfrac34$、$p=\dfrac38$。

$$\text{焦点}\ \left(0,-\frac{3}{16}\right),\qquad \text{准线}\ y=\frac{3}{16} .$$

(3) $2y^2+x=0\Longrightarrow y^2=-\dfrac12x$：对称轴 $x$ 轴，开口朝左，$2p=\dfrac12$、$p=\dfrac14$。

$$\text{焦点}\ \left(-\frac18,0\right),\qquad \text{准线}\ x=\frac18 .$$

(4) $y^2-6x=0\Longrightarrow y^2=6x$：对称轴 $x$ 轴，开口朝右，$2p=6$、$p=3$。

$$\text{焦点}\ \left(\frac32,0\right),\qquad \text{准线}\ x=-\frac32 .$$

唯一要小心的一步：$2p$ 是一次项的系数（带符号看开口方向），而焦点坐标是 $\dfrac p2$， 也就是一次项系数的四分之一。$x^2=2y$ 里 $2p=2$ 但焦点纵坐标是 $\dfrac12$ 不是 $1$—— 把这一条记成「系数除以 $4$」最省事。

习题 3.3 第 2 题

2. 填空题.

（1）准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 ____；

(2) 抛物线 $y^{2}=8x$ 上与焦点的距离等于 6 的点的坐标是 ____.

(1) 准线 $x=2$ 是竖直线且在 $y$ 轴右侧，所以开口朝左：$y^2=-2px$，准线 $x=\dfrac p2=2$， 得 $p=4$，标准方程

$$y^2=-8x .$$

(2) $y^2=8x$ 中 $2p=8$、$p=4$，焦点 $(2,0)$，准线 $x=-2$。由焦半径公式

$$|MF|=x_0+\frac p2=x_0+2=6\ \Longrightarrow\ x_0=4 ,$$

代回方程 $y_0^2=8\times4=32$，$y_0=\pm4\sqrt2$。所以点的坐标是

$$(4,\ 4\sqrt2)\quad\text{与}\quad(4,\ -4\sqrt2).$$

这一小问是焦半径公式的最短示范：若老实用两点距离 $\sqrt{(x_0-2)^2+8x_0}=6$，也能解出 $x_0=4$，但要平方一次、还要检验； 用 $x_0+\dfrac p2$ 则是一步加法。凡是「到焦点的距离」，先换成横坐标。

习题 3.3 第 3 题

3. 抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上一点 M 与焦点 F 的距离 $\left|MF\right|=2p$ ，求点 M 的坐标.

设 $M(x_0,y_0)$。由焦半径公式

$$|MF|=x_0+\frac p2=2p\ \Longrightarrow\ x_0=2p-\frac p2=\frac{3p}{2} .$$

代回抛物线方程：

$$y_0^2=2p\cdot\frac{3p}{2}=3p^2\ \Longrightarrow\ y_0=\pm\sqrt3\,p .$$

所以

$$M\left(\frac{3p}{2},\ \sqrt3\,p\right)\quad\text{或}\quad M\left(\frac{3p}{2},\ -\sqrt3\,p\right).$$

两个都要（抛物线关于 $x$ 轴对称，条件里没有任何一句能把上下分开）。

顺带一个尺度感：$|MF|=2p$ 是通径长，而通径的两个端点横坐标是 $\dfrac p2$； 这里 $x_0=\dfrac{3p}{2}=3\times\dfrac p2$，说明 $M$ 在通径端点的右边不少—— 焦半径越大，点越靠右，这条单调性可以用来快速验算。

习题 3.3 第 4 题

4. 根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画出图形：

（1）顶点在原点，对称轴是 $x$ 轴，并且顶点与焦点的距离等于6；

(2) 顶点在原点，对称轴是 y 轴，并经过点 $P(-6, -3)$ .

(1) 顶点在原点、对称轴是 $x$ 轴，故方程为 $y^2=\pm2px$，焦点到顶点的距离是 $\dfrac p2$。 由 $\dfrac p2=6$ 得 $p=12$，故

$$y^2=24x\quad\text{或}\quad y^2=-24x .$$

两条都要：题目没说开口朝哪边。图形是两条关于 $y$ 轴对称的抛物线， 焦点分别是 $(6,0)$ 与 $(-6,0)$，准线分别是 $x=-6$ 与 $x=6$。

(2) 顶点在原点、对称轴是 $y$ 轴，故 $x^2=\pm2py$。点 $P(-6,-3)$ 的纵坐标为负， 曲线要伸到 $y<0$，故开口朝下：$x^2=-2py$。代入 $P$：

$$(-6)^2=-2p\times(-3)=6p\ \Longrightarrow\ p=6 ,$$

所求方程

$$x^2=-12y .$$

图形是顶点在原点、开口朝下的抛物线，焦点 $(0,-3)$，准线 $y=3$，过点 $(-6,-3)$ 与 $(6,-3)$—— 焦点恰在 $P$ 的正右方，因为 $P$ 的纵坐标 $-3$ 正是焦点的纵坐标，$P$ 是通径的一个端点。

习题 3.3 第 5 题

5. 如图，M 是抛物线 $y^{2}=4x$ 上的一点，F 是抛物线的焦点，以 Fx 为始边、FM 为终边的角 $\angle xFM=60^{\circ}$ ，求 $\left|FM\right|$ .

$y^2=4x$ 中 $2p=4$、$p=2$，焦点 $F(1,0)$，准线 $x=-1$。设 $|FM|=r$。

把 $M$ 的横坐标用 $r$ 表示两次，然后让它们相等——这是焦半径题最快的套路。

一方面，$\angle xFM=60^\circ$ 说明从 $F$ 出发、沿与 $x$ 轴正向成 $60^\circ$ 的方向走 $r$ 到达 $M$，故

$$x_M=1+r\cos60^\circ=1+\frac r2 .$$

另一方面，由焦半径公式

$$r=x_M+\frac p2=x_M+1 .$$

两式联立：$r=\left(1+\dfrac r2\right)+1=2+\dfrac r2$，解得

$$\frac r2=2,\qquad |FM|=r=4 .$$

验算：$x_M=3$，$y_M^2=12$，$|FM|=\sqrt{(3-1)^2+12}=\sqrt{16}=4$ ✓。

这条思路的一般形式（焦点弦的极坐标式）：对 $y^2=2px$，从焦点出发与 $x$ 轴正向成 $\theta$ 角的焦半径

$$r=\frac{p}{1-\cos\theta}\qquad(\theta\neq0),$$

代 $p=2$、$\theta=60^\circ$ 得 $r=\dfrac{2}{1-\frac12}=4$，与上面一致。

习题 3.3 第 6 题

6. 如图，直线 $y = x - 2$ 与抛物线 $y^{2} = 2x$ 相交于 $A$，$B$ 两点，求证： $OA \perp OB$.

要证 $OA\perp OB$，就是要证 $\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=0$——两个乘积都能从韦达直接读出来，不必解出 $A$、$B$。

联立 $\begin{cases}y=x-2\\ y^2=2x\end{cases}$，消 $y$：

$$(x-2)^2=2x\ \Longrightarrow\ x^2-6x+4=0 .$$

判别式 $\Delta=36-16=20>0$，两交点存在，且

$$x_1+x_2=6,\qquad x_1x_2=4 .$$

再算 $y_1y_2$（用直线方程换掉 $y$，不要再联立一次）：

$$y_1y_2=(x_1-2)(x_2-2)=x_1x_2-2(x_1+x_2)+4=4-12+4=-4 .$$

于是

$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=x_1x_2+y_1y_2=4-4=0 ,$$

故 $OA\perp OB$。

另一条更快的路：把直线写成 $x=y+2$ 代入 $y^2=2x$ 得 $y^2-2y-4=0$， 直接读出 $y_1y_2=-4$；再由 $x_i=\dfrac{y_i^2}{2}$ 得 $x_1x_2=\dfrac{(y_1y_2)^2}{4}=4$。 把直线写成 $x=my+t$ 是抛物线题的默认动作——既避开「斜率不存在」的分类， 又让 $y_1y_2$ 一步到手。

背后的定理：对 $y^2=2px$，$OA\perp OB\iff y_1y_2=-4p^2\iff$ 直线 $AB$ 过定点 $(2p,0)$。 本题 $2p=2$、$p=1$，$y_1y_2=-4=-4p^2$ ✓，而 $y=x-2$ 确实过 $(2,0)=(2p,0)$ ✓。

习题 3.3 第 7 题

7. 如图, 吊车梁的鱼腹部分 $AOB$ 是抛物线的一段, 宽为 $7 \mathrm{~m}$, 高为 $0.7 \mathrm{~m}$. 根据图中的坐标系, 求这条抛物线的方程.

先读图定坐标系：图中 $O$ 是鱼腹的最低点（抛物线顶点）且是原点，$x$ 轴水平、$y$ 轴竖直向上， $A$、$B$ 是鱼腹两端、在 $O$ 的上方。所以开口朝上，方程形如

$$x^2=2py\qquad(p>0).$$

再把「宽 $7$、高 $0.7$」翻译成一个点：鱼腹宽 $7\ \mathrm{m}$ 指 $A$、$B$ 的水平距离， 由对称性它们的横坐标是 $\pm3.5$；高 $0.7\ \mathrm{m}$ 指端点比顶点高 $0.7\ \mathrm{m}$，故

$$B(3.5,\ 0.7)\ \text{在抛物线上}.$$

代入：

$$3.5^2=2p\times0.7\ \Longrightarrow\ 12.25=1.4p\ \Longrightarrow\ p=8.75 ,$$

所以

$$x^2=17.5\,y=\frac{35}{2}y\qquad(-3.5\leqslant x\leqslant3.5).$$

验一次另一端：$A(-3.5,0.7)$ 代入得 $12.25=17.5\times0.7=12.25$ ✓。

这类应用题的全部技术含量都在建系那一步：顶点放原点、对称轴放坐标轴， 方程就只剩一个 $p$，一个已知点就定死了。别忘了写定义域—— 实际的鱼腹只是抛物线的一段，$x$ 超出 $[-3.5,3.5]$ 就没有实物对应。

习题 3.3 第 8 题

8. 图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 m，水面宽 4 m。水面下降 1 m 后，水面宽多少？（精确到 0.1 m）

建系：以拱顶为原点、竖直向上为 $y$ 轴正向，拱是开口朝下的抛物线

$$x^2=-2py\qquad(p>0).$$

用「水面在 $l$ 时」的数据定 $p$：此时拱顶离水面 $2\ \mathrm{m}$，说明水面所在的高度是 $y=-2$； 水面宽 $4\ \mathrm{m}$，说明水面与拱的两个交点横坐标是 $\pm2$。把 $(2,-2)$ 代入：

$$4=-2p\times(-2)=4p\ \Longrightarrow\ p=1 ,$$

拱的方程

$$x^2=-2y .$$

再问下降 $1\ \mathrm{m}$ 后的宽度：水面降到 $y=-3$，

$$x^2=-2\times(-3)=6\ \Longrightarrow\ x=\pm\sqrt6 ,$$

水面宽

$$2\sqrt6\approx4.9\ (\mathrm{m}).$$

两个常见错：一是把「拱顶离水面 $2\ \mathrm{m}$」写成 $y=2$（原点在拱顶、水面在下方，应当是 $y=-2$）； 二是最后忘了乘 $2$——解出的 $x=\sqrt6$ 只是半宽。

习题 3.3 第 9 题

9. 从抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上各点向 x 轴作垂线段，求垂线段的中点的轨迹方程，并说明它是什么曲线.

这是标准的「相关点法」（代入法）求轨迹：动点由抛物线上的点带动，就把带动它的那个点用动点表示出来，再代回原方程。

设抛物线上的点为 $M(x_0,y_0)$，它向 $x$ 轴作的垂线段的垂足是 $(x_0,0)$，故中点为

$$P\left(x_0,\ \frac{y_0}{2}\right).$$

设 $P(x,y)$，则

$$x=x_0,\qquad y=\frac{y_0}{2}\ \Longrightarrow\ x_0=x,\quad y_0=2y .$$

代入 $y_0^2=2px_0$：

$$(2y)^2=2px\ \Longrightarrow\ 4y^2=2px\ \Longrightarrow\ y^2=\frac{p}{2}x .$$

它仍是一条抛物线：顶点在原点、对称轴是 $x$ 轴、开口朝右，其 $2p'=\dfrac p2$， 即 $p'=\dfrac p4$，焦点 $\left(\dfrac p8,0\right)$、准线 $x=-\dfrac p8$。

一句话的几何解释：这个变换是「纵坐标压缩一半、横坐标不动」， 它把 $y^2=2px$ 变成 $y^2=\dfrac p2x$——抛物线在纵向压缩下仍是抛物线，只是开口变窄了 （$2p$ 从 $2p$ 缩到 $\dfrac p2$，正好是四分之一）。

习题 3.3 第 10 题

10. 已知等边三角形的一个顶点位于原点，另外两个顶点在抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 上，求这个等边三角形的边长.

先用对称性把未知量砍到一个。 等边三角形的一个顶点在原点 $O$，另两个顶点在抛物线上。 抛物线关于 $x$ 轴对称，而 $O$ 在对称轴上，故另两个顶点必关于 $x$ 轴对称 （否则三角形的三条边不可能等长——$O$ 到这两点的距离相等，逼得它们到 $x$ 轴的距离相等且异侧）。

设它们为 $A(x_0,y_0)$、$B(x_0,-y_0)$，$y_0>0$。于是 $AB$ 竖直、边长

$$|AB|=2y_0 .$$

$x$ 轴是这个等边三角形的对称轴，故 $\angle AOx=30^\circ$：

$$\tan30^\circ=\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sqrt3}{3}\ \Longrightarrow\ x_0=\sqrt3\,y_0 .$$

代入 $y_0^2=2px_0$：

$$y_0^2=2p\sqrt3\,y_0\ \Longrightarrow\ y_0=2\sqrt3\,p\quad(y_0\neq0),$$

所以边长

$$|AB|=2y_0=4\sqrt3\,p .$$

验算：$x_0=\sqrt3\times2\sqrt3p=6p$，$|OA|=\sqrt{36p^2+12p^2}=\sqrt{48p^2}=4\sqrt3p=|AB|$ ✓， 三边确实等长。

习题 3.3 第 11 题

11. 已知 $A, B$ 两点的坐标分别是 $(-1, 0)$, $(1, 0)$, 直线 $AM, BM$ 相交于点 $M$, 且直线 $AM$ 的斜率与直线 $BM$ 的斜率的差是 2, 求点 $M$ 的轨迹方程.

设 $M(x,y)$。由 $A(-1,0)$、$B(1,0)$，

$$k_{AM}=\frac{y}{x+1},\qquad k_{BM}=\frac{y}{x-1}\qquad(x\neq\pm1).$$

「斜率的差是 $2$」即

$$\frac{y}{x+1}-\frac{y}{x-1}=2 .$$

通分：分子 $y\left[(x-1)-(x+1)\right]=-2y$，分母 $x^2-1$，故

$$\frac{-2y}{x^2-1}=2\ \Longrightarrow\ -2y=2(x^2-1)\ \Longrightarrow\ x^2=1-y ,$$

即所求轨迹方程

$$x^2=-(y-1)\qquad(x\neq\pm1).$$

它是一条抛物线：把顶点平移到 $(0,1)$、开口朝下，$2p=1$。 去掉 $x=\pm1$（即点 $(\pm1,0)$）是因为那两处 $M$ 与 $A$ 或 $B$ 重合、斜率无从谈起。

验一个点：$M(0,1)$，$k_{AM}=\dfrac{1}{1}=1$、$k_{BM}=\dfrac{1}{-1}=-1$，差为 $2$ ✓， 而 $0^2=-(1-1)=0$ ✓。

与复习参考题第 9 题对照着看：那道题把「差是 $2$」换成「和是 $2$」， 分子就从 $-2y$ 变成 $2xy$，轨迹从抛物线变成双曲线型的 $x^2-xy=1$—— 一个加号一个减号，曲线的种类就换了，这正是坐标法的说服力所在。

习题 3.3 第 12 题

12. 已知抛物线的方程为 $y^{2} = 4x$，直线 $l$ 绕其上一点 $P(-2, 1)$ 旋转，讨论直线 $l$ 与抛物线 $y^{2} = 4x$ 的公共点个数，并回答下列问题：

（1）画出图形表示直线 $l$ 与抛物线的各种位置关系，从图中你发现直线 $l$ 与抛物线只有一个公共点时是什么情况？

(2) $y^{2} = 4x$ 与直线 $l$ 的方程组成的方程组解的个数与公共点的个数是什么关系？

$P(-2,1)$ 在抛物线外侧（$y^2=4x$ 要求 $x\geqslant0$，而 $P$ 的横坐标是 $-2$）， 所以过 $P$ 的直线可能与抛物线交 $0$、$1$ 或 $2$ 个点。分两类讨论，别漏竖直线。

类别一：$l$ 竖直，$x=-2$。 与 $y^2=4x$ 无交点（右边为负）。$0$ 个公共点。

类别二：$l$ 有斜率 $k$，$y=k(x+2)+1$。 为了不被「二次项系数是否为零」绊住， 把直线写成 $x$ 关于 $y$ 的式子会更麻烦（$P$ 不在抛物线上），这里直接消 $x$： 由 $y^2=4x$ 得 $x=\dfrac{y^2}{4}$，代入直线得

$$y=k\left(\frac{y^2}{4}+2\right)+1\ \Longrightarrow\ ky^2-4y+(8k+4)=0 .$$

• $k=0$（$l$ 平行于对称轴）：方程退化成 $-4y+4=0$，$y=1$、$x=\dfrac14$。恰 $1$ 个公共点，但不是相切——直线从抛物线内部穿过去。
• $k\neq0$：真二次，

$$\Delta=16-4k(8k+4)=16-16k-32k^2=-16(2k-1)(k+1) .$$

• $\Delta>0\iff(2k-1)(k+1)<0\iff-1<k<\dfrac12$（且 $k\neq0$）：$2$ 个公共点。
• $\Delta=0\iff k=\dfrac12$ 或 $k=-1$：$1$ 个公共点，且是相切。 $k=\dfrac12$ 时切点 $(4,4)$；$k=-1$ 时切点 $(1,-2)$。
• $\Delta<0\iff k<-1$ 或 $k>\dfrac12$：$0$ 个公共点。

汇总：

(1) 只有一个公共点时有两种几何情形：相切（$k=\dfrac12$ 或 $k=-1$）， 或直线平行于抛物线的对称轴（$k=0$）。后者是抛物线独有的—— 椭圆没有这种情形，因为椭圆的联立方程二次项系数恒不为零。

(2) 方程组解的个数等于公共点个数。每一组解 $(x,y)$ 恰对应一个公共点，反之亦然； $k=0$ 时方程退化为一次、只有一解，公共点也只有一个，仍然对应。 但要注意：「解的个数为 $1$」不等于「相切」——这正是第 (1) 问要看清的事。

习题 3.3 第 13 题

13. 设抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点为 $F$，从点 $F$ 发出的光线经过抛物线上的点 $M$（不同于抛物线的顶点）反射，证明反射光线平行于抛物线的对称轴.

这就是抛物面反射镜（手电筒、探照灯、卫星天线）的原理。核心是一条等腰三角形。

设抛物线为 $y^2=2px$（$p>0$），焦点 $F\left(\dfrac p2,0\right)$，准线 $x=-\dfrac p2$， $M(x_0,y_0)$ 是抛物线上不同于顶点的点（故 $y_0\neq0$、$x_0>0$）。

第一步：写出 $M$ 处的切线。 抛物线 $y^2=2px$ 在 $M(x_0,y_0)$ 处的切线是

$$y_0y=p(x+x_0).$$

（验证：$M$ 在其上，因为 $y_0^2=2px_0=p(x_0+x_0)$；斜率 $\dfrac{p}{y_0}$ 与 $y^2=2px$ 两边对 $x$ 求导得的 $\dfrac{p}{y}$ 一致，故确为切线。）

第二步：求切线与 $x$ 轴的交点 $T$。 令 $y=0$ 得 $x=-x_0$，故

$$T(-x_0,\ 0).$$

第三步：发现 $\triangle TFM$ 是等腰三角形。

$$|TF|=\frac p2-(-x_0)=x_0+\frac p2,\qquad |MF|=x_0+\frac p2\ (\text{焦半径公式}),$$

故 $|TF|=|MF|$，$\triangle TFM$ 以 $F$ 为顶角、底边 $TM$，于是

$$\angle FTM=\angle FMT .$$

第四步：收口。 过 $M$ 作平行于 $x$ 轴、朝抛物线开口方向的射线 $MN$（即 $+x$ 方向）， 再把切线上与 $MT$ 反向的那条射线记作 $MT'$。

$MN$ 与射线 $T\to F$ 同向（都指向 $+x$），所以以直线 $TM$ 为截线时，$\angle NMT$ 与 $\angle FTM$ 是同旁内角（不是内错角），于是 $\angle NMT+\angle FTM=180^{\circ}$。改用 $MT'$ 来量这个角就正过来了：

$$\angle NMT'=180^{\circ}-\angle NMT=\angle FTM=\angle FMT .$$

这一行就是反射定律要的那句话：入射光线 $FM$ 与切线所成的角 $\angle FMT$，等于射线 $MN$ 与切线（另一侧）所成的角 $\angle NMT'$；而 $\angle FMT$ 与 $\angle NMT'$ 分别贴在 $MT$、$MT'$ 两侧，故 $MF$ 与 $MN$ 关于 $M$ 处的法线（切线的垂线）互为镜像，且两者在切线的同一侧 （$F$ 与 $M$ 右方的点都落在切线的凹侧）。所以从 $F$ 射到 $M$ 的光线，反射线正是沿 $MN$：

$$\text{反射光线}\parallel x\ \text{轴（抛物线的对称轴）} .$$

证毕。

这一步最容易写错的地方：顺手写成「$MN\parallel TF$，故 $\angle NMT=\angle FTM$（内错角）」。 两条边同向的那一对是同旁内角，互补而不相等。拿 $p=2$（即 $y^{2}=4x$，$F(1,0)$）在 $M(1,2)$ 处验一眼：切线 $y=x+1$，$T(-1,0)$，$\angle FTM=\angle FMT=45^{\circ}$，而 $\angle NMT=135^{\circ}$ ——写成相等就当场对不上。 同一个坑还有一句话版本：平分 $\angle FMN$ 的是法线，切线平分的是它的外角 （本例 $\angle FMN=90^{\circ}$，法线方向 $\dfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)$ 正是它的平分线）。 若真按「$\angle NMT=\angle FMT$」去理解，$MF$ 与 $MN$ 就落到切线的两侧去了，反射线会穿进镜子里。

反过来也成立：平行于对称轴射入的光线，反射后全部汇聚到焦点—— 太阳灶、射电望远镜、卫星锅用的都是这一条。

复习参考题 3 第 1 题

1. 如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心） $F_{2}$ 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点（离地面最近的点）A 距地面 439 km，远地点（离地面最远的点）B 距地面 2384 km，并且 $F_{2}$ ，A，B 在同一直线上，地球半径约为 6371 km。求：（1）卫星运行的轨道方程（精确到 1 km）；（2）卫星轨道的离心率。

近地点与远地点分别是长轴的两个端点，它们到焦点（地心）的距离就是 $a-c$ 与 $a+c$。 题给的是到地面的距离，所以都要加上地球半径 $6371$：

$$a-c=439+6371=6810,\qquad a+c=2384+6371=8755 .$$

两式相加、相减：

$$a=\frac{6810+8755}{2}=7782.5,\qquad c=\frac{8755-6810}{2}=972.5 .$$

(1) 以长轴所在直线为 $x$ 轴、椭圆中心为原点，

$$b^2=a^2-c^2=(a-c)(a+c)=6810\times8755=59\,621\,550 ,$$

$b=\sqrt{59\,621\,550}\approx7721.5$。精确到 $1\ \mathrm{km}$：$a\approx7783$、$b\approx7721$， 轨道方程

$$\frac{x^2}{7783^2}+\frac{y^2}{7721^2}=1 .$$

用 $b^2=(a-c)(a+c)$ 而不是 $a^2-c^2$：两个四位数相乘远比两个八位数相减稳， 也不会因为中途四舍五入把有效数字磨掉。

(2) 离心率

$$e=\frac ca=\frac{972.5}{7782.5}=\frac{1945}{15565}\approx0.125 .$$

这个数很小，说明卫星轨道很接近圆——近地点与远地点相差近 $2000\ \mathrm{km}$， 可放在近 $7800\ \mathrm{km}$ 的半长轴上仍只偏心 $12.5\%$。

复习参考题 3 第 2 题

2. 选择题.

(1) 椭圆 $\frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1$ 与椭圆 $\frac{x^2}{25 - k} + \frac{y^2}{9 - k} = 1 (k < 9)$ 的 ( ). (A) 长轴长相等 (B) 短轴长相等 (C) 离心率相等 (D) 焦距相等

(2) 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 及圆 $x^{2} + y^{2} - 8x + 12 = 0$ 都外切的圆的圆心在 ( ) . (A) 椭圆上 (B) 双曲线的一支上 (C) 抛物线上 (D) 圆上

(1) 选 (D)。 第一个椭圆 $a^2=25$、$b^2=9$，故 $c^2=25-9=16$。 第二个椭圆的分母是 $25-k$ 与 $9-k$（$k<9$ 保证两个都为正），故

$$c^2=(25-k)-(9-k)=16 .$$

$k$ 被减掉了：两个椭圆的 $c^2$ 都是 $16$，焦距 $2c=8$ 相等，选 (D)。 其余三项都随 $k$ 变：长轴长 $2\sqrt{25-k}$、短轴长 $2\sqrt{9-k}$、 离心率 $\dfrac{4}{\sqrt{25-k}}$，取 $k=-16$ 一验即知都不相等。

这是「同焦点椭圆系」：$\dfrac{x^2}{25-k}+\dfrac{y^2}{9-k}=1$ 的全体（$k<9$）共用焦点 $(\pm4,0)$。 记住这个形状，以后遇到「与某椭圆共焦点」直接设它，比设 $a$、$b$ 再列方程省一半功夫。

(2) 选 (B)。 第一个圆 $x^2+y^2=1$：圆心 $O(0,0)$、半径 $1$； 第二个圆 $x^2+y^2-8x+12=0$ 配方得 $(x-4)^2+y^2=4$：圆心 $C(4,0)$、半径 $2$。

设动圆圆心 $P$、半径 $R$。与两圆都外切：

$$|PO|=R+1,\qquad |PC|=R+2 .$$

相减消去 $R$：

$$|PC|-|PO|=1 .$$

这是「到两定点距离之差为定值」，且 $1<|OC|=4$，故 $P$ 在以 $O$、$C$ 为焦点、 $2a=1$ 的双曲线的一支上（靠近 $O$ 的那一支，因为 $|PO|$ 更小）。选 (B)。

注意是「一支」不是「双曲线」：差取了定号（$|PC|-|PO|=+1$，不是 $\pm1$）， 只能是其中一支。

复习参考题 3 第 3 题

3. 当 $\alpha$ 从 $0^{\circ}$ 到 $180^{\circ}$ 变化时，方程 $x^{2} + y^{2}\cos \alpha = 1$ 表示的曲线的形状怎样变化？

把方程写成 $x^2+y^2\cos\alpha=1$，按 $\cos\alpha$ 的符号分段看。$\alpha$ 从 $0^\circ$ 到 $180^\circ$， $\cos\alpha$ 从 $1$ 单调减到 $-1$。

$\alpha=0^\circ$（$\cos\alpha=1$）：$x^2+y^2=1$，单位圆。

$0^\circ<\alpha<90^\circ$（$0<\cos\alpha<1$）：化成

$$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{\cos\alpha}}=1 ,$$

而 $\dfrac{1}{\cos\alpha}>1$，故是焦点在 $y$ 轴上的椭圆。 $\alpha$ 增大时 $\dfrac{1}{\cos\alpha}$ 增大，椭圆沿 $y$ 方向越拉越长， 离心率 $\sqrt{1-\cos\alpha}$ 从 $0$ 增到 $1$——从圆一路「抻」成无限长的椭圆。

$\alpha=90^\circ$（$\cos\alpha=0$）：方程退化为 $x^2=1$，即

$$x=1\ \text{与}\ x=-1$$

两条平行直线。这是椭圆被抻断的那一瞬间。

$90^\circ<\alpha<180^\circ$（$-1<\cos\alpha<0$）：记 $t=-\cos\alpha\in(0,1)$，方程化成

$$\frac{x^2}{1}-\frac{y^2}{\frac1t}=1 ,$$

是焦点在 $x$ 轴上的双曲线，实半轴恒为 $1$、虚半轴 $\dfrac{1}{\sqrt t}$。 $\alpha$ 增大时 $t$ 增大、虚半轴变小，渐近线斜率 $\pm\dfrac{1}{\sqrt t}$ 变小，双曲线越来越「收拢」。

$\alpha=180^\circ$（$\cos\alpha=-1$）：$x^2-y^2=1$，等轴双曲线，渐近线是 $y=\pm x$。

一句话总结：圆 $\to$ 焦点在 $y$ 轴上越来越扁长的椭圆 $\to$ 两条平行直线 $\to$ 焦点在 $x$ 轴上开口越来越窄的双曲线 $\to$ 等轴双曲线。

复习参考题 3 第 4 题

4. 已知直线 $y = kx - 1$ 与双曲线 $x^{2} - y^{2} = 4$ 没有公共点，求 $k$ 的取值范围.

联立 $\begin{cases}y=kx-1\\ x^2-y^2=4\end{cases}$，消 $y$：

$$x^2-(kx-1)^2=4\ \Longrightarrow\ (1-k^2)x^2+2kx-5=0 .$$

必须先看二次项系数是否为零——这是直线与双曲线（以及抛物线）联立特有的一步。

情形一：$1-k^2=0$，即 $k=\pm1$（直线平行于渐近线 $y=\pm x$）。方程退化成一次：

$$k=1:\ 2x-5=0;\qquad k=-1:\ -2x-5=0 ,$$

各有一个实根，即各有一个公共点。故 $k=\pm1$ 不合题意。

情形二：$1-k^2\neq0$。 无公共点当且仅当

$$\Delta=(2k)^2+20(1-k^2)=20-16k^2<0\ \Longleftrightarrow\ k^2>\frac54 .$$

所以

$$k<-\frac{\sqrt5}{2}\quad\text{或}\quad k>\frac{\sqrt5}{2} .$$

（$\dfrac{\sqrt5}{2}\approx1.118>1$，所以这个范围里不含 $k=\pm1$，两种情形不冲突。）

答案：$k\in\left(-\infty,-\dfrac{\sqrt5}{2}\right)\cup\left(\dfrac{\sqrt5}{2},+\infty\right)$。

最容易漏的就是情形一：只算 $\Delta<0$ 会把 $k=\pm1$ 也放进来（那时根本没有 $\Delta$）， 而事实上平行于渐近线的直线与双曲线恰有一个公共点。

复习参考题 3 第 5 题

5. 设抛物线的顶点为 $O$，经过焦点且垂直于对称轴的直线交抛物线于 $B$，$C$ 两点，经过抛物线上一点 $P$ 且垂直于轴的直线与轴交于点 $Q$。求证：$|PQ|^2 = |BC||OQ|$。

把三段长度都换成坐标，等式就是一个恒等式。

以抛物线的顶点 $O$ 为原点、对称轴为 $x$ 轴建系，设

$$y^2=2px\qquad(p>0).$$

$|BC|$ 是通径。 $BC$ 过焦点 $\left(\dfrac p2,0\right)$ 且垂直于对称轴，即 $x=\dfrac p2$， 代入得 $y=\pm p$，故

$$|BC|=2p .$$

$|PQ|$ 与 $|OQ|$。 设 $P(x_0,y_0)$ 在抛物线上。过 $P$ 垂直于轴的直线是 $x=x_0$， 与轴交于 $Q(x_0,0)$，故

$$|PQ|=|y_0|,\qquad |OQ|=x_0 .$$

收口。 $P$ 在抛物线上给出 $y_0^2=2px_0$，即

$$|PQ|^2=y_0^2=2p\cdot x_0=|BC|\cdot|OQ| .$$

证毕。

这条等式其实就是抛物线方程本身换了身衣服：$y^2=2px$ 里的 $2p$ 是通径长、 $x$ 是到顶点的横向距离、$y$ 是纵向半宽。所以它对任何抛物线、任何 $P$ 都成立， 不需要额外条件——这也是判断一条曲线是不是抛物线的一个几何判据。

复习参考题 3 第 6 题

6. 已知等边三角形的一个顶点位于抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点，另外两个顶点在抛物线上，求这个等边三角形的边长.

答案：$(4+2\sqrt3)p$ 与 $(4-2\sqrt3)p$ 两个。 这道题有两解，而它与习题 3.3 第 10 题 （顶点在原点）最大的差别正在这里：原点是抛物线的端点，曲线只在它右边，三角形只能朝右张口； 焦点是抛物线内部的点，三角形朝左朝右都摆得下。

设抛物线 $y^2=2px$（$p>0$），焦点 $F\left(\dfrac p2,0\right)$。

第一步：对称性是证出来的，不是「由对称性」宣布的。 设另两个顶点为 $A(x_A,y_A)$、$B(x_B,y_B)$。 由焦半径公式 $|FA|=x_A+\dfrac p2$、$|FB|=x_B+\dfrac p2$，等边给出 $|FA|=|FB|$，故 $x_A=x_B$； 代回 $y^2=2px$ 得 $y_B=\pm y_A$，而 $y_B=y_A$ 会使 $A=B$，故 $y_B=-y_A$。记 $y_0=|y_A|>0$、 $x_0=x_A$，则 $A$、$B$ 关于 $x$ 轴对称，且

$$|AB|=2y_0 .$$

第二步：把等边条件写成不含配置假设的一条方程。 用焦半径（它对抛物线上任何点都成立， 与 $A$ 在焦点左边还是右边无关）：

$$|FA|=x_0+\frac p2=|AB|=2y_0 ,\qquad x_0=\frac{y_0^{2}}{2p} .$$

代入并乘 $2p$：

$$y_0^{2}+p^{2}=4p\,y_0\ \Longrightarrow\ y_0^{2}-4p\,y_0+p^{2}=0 .$$

第三步：两个根都是正的，都要留。 判别式 $16p^{2}-4p^{2}=12p^{2}>0$，

$$y_0=(2\pm\sqrt3)\,p\ (>0\ \text{两者皆是}),\qquad |AB|=2y_0=(4\pm2\sqrt3)p .$$

数值上是 $\approx7.46p$ 与 $\approx0.54p$。

第四步：两解各是什么样子（回代验一遍）。

取 $p=1$ 把小根验到底：$y_0\approx0.2679$，$x_0\approx0.0359$，点在抛物线上 ✓； $|FA|=\sqrt{(0.5-0.0359)^{2}+0.2679^{2}}\approx0.5359$，$|AB|=2y_0\approx0.5359$ ✓ 相等。 小根是真解，不是增根。

🕳️ 这道题最容易丢的那一半解。 常见写法是用顶角 $\angle AFB=60^\circ$ 推 $\tan30^\circ=\dfrac{y_0}{x_0-\frac p2}$，即 $x_0-\dfrac p2=\sqrt3\,y_0$—— 这一步偷偷假设了 $x_0>\dfrac p2$（$A$ 在焦点右边）。不带假设的写法是 $\left|x_0-\dfrac p2\right|=\sqrt3\,y_0$，本来就该分两类：另一支 $\dfrac p2-x_0=\sqrt3\,y_0$ 给出 $y_0^{2}+2\sqrt3\,p\,y_0-p^{2}=0$，正根正是 $(2-\sqrt3)p$， 与上面第三步的小根一致。 判据：所求点在某条竖线的哪一侧没被题面钉住时，$\tan$ 那一步就要写成绝对值，或者干脆改用 焦半径——焦半径 $|FA|=x_A+\dfrac p2$ 对左右两侧同一个式子，天生不需要分类。 顺带一句：「顶点从原点右移到焦点，三角形只会更大」这种单调性检查在这里帮不上忙—— 它只重新确认了大根，恰好把小的那个三角形盖住了。

复习参考题 3 第 7 题

7. 已知 $P$ 是椭圆 $16x^{2} + 25y^{2} = 1600$ 上的一点，且在 $x$ 轴上方，$F_{1}, F_{2}$ 分别是椭圆的左、右焦点，直线 $PF_{2}$ 的斜率为 $-4\sqrt{3}$，求 $\triangle PF_{1}F_{2}$ 的面积.

先把椭圆化成标准形。 $16x^2+25y^2=1600$ 两边除以 $1600$：

$$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1 ,$$

故 $a=10$、$b=8$、$c=\sqrt{100-64}=6$，$F_1(-6,0)$、$F_2(6,0)$，$|F_1F_2|=12$。

再求 $P$。 直线 $PF_2$ 过 $F_2(6,0)$、斜率 $-4\sqrt3$：

$$y=-4\sqrt3\,(x-6).$$

代入 $16x^2+25y^2=1600$：

$$16x^2+25\times48\,(x-6)^2=1600\ \Longrightarrow\ 16x^2+1200(x-6)^2=1600 ,$$

两边除以 $4$ 再整理：

$$19x^2-225x+650=0 .$$

$\Delta=225^2-4\times19\times650=50625-49400=1225=35^2$，故

$$x=\frac{225\pm35}{38}\ \Longrightarrow\ x=5\ \text{或}\ x=\frac{130}{19} .$$

对应 $y=-4\sqrt3(x-6)$：$x=5$ 给 $y=4\sqrt3>0$；$x=\dfrac{130}{19}$ 给 $y=-\dfrac{64\sqrt3}{19}<0$。 题设 $P$ 在 $x$ 轴上方，故

$$P(5,\ 4\sqrt3).$$

最后算面积：以 $F_1F_2$ 为底、$P$ 的纵坐标为高，

$$S_{\triangle PF_1F_2}=\frac12\times12\times4\sqrt3=24\sqrt3 .$$

「$x$ 轴上方」这句话是用来筛根的，不是装饰——两个交点一上一下，漏掉这一步就会得到两个答案。

复习参考题 3 第 8 题

8. 如图，从椭圆 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > b > 0)$ 上一点 $P$ 向 $x$ 轴作垂线，垂足恰为左焦点 $F_1$。又点 $A$ 是椭圆与 $x$ 轴正半轴的交点，点 $B$ 是椭圆与 $y$ 轴正半轴的交点，且 $AB \parallel OP$，$|F_1A| = \sqrt{10} + \sqrt{5}$，求椭圆的方程。

把两条已知条件各翻译成一个等式，$a$、$b$、$c$ 就定了。

$P$ 的坐标。 $P$ 在椭圆上、向 $x$ 轴的垂足恰是左焦点 $F_1(-c,0)$， 说明 $P$ 的横坐标是 $-c$，即 $P$ 是左焦点处的半通径端点：

$$\frac{c^2}{a^2}+\frac{y_P^2}{b^2}=1\ \Longrightarrow\ y_P^2=b^2\left(1-\frac{c^2}{a^2}\right)=\frac{b^4}{a^2}, \qquad P\left(-c,\ \frac{b^2}{a}\right)$$

（取 $x$ 轴上方那个，与图一致）。

条件一：$AB\parallel OP$。 $A(a,0)$、$B(0,b)$，故

$$k_{AB}=\frac{b-0}{0-a}=-\frac ba,\qquad k_{OP}=\frac{b^2/a}{-c}=-\frac{b^2}{ac} .$$

两者相等：

$$\frac ba=\frac{b^2}{ac}\ \Longrightarrow\ ac\,b=a\,b^2\ \Longrightarrow\ b=c .$$

这一步是全题的机关：条件「$AB\parallel OP$」等价于 $b=c$，于是 $a^2=b^2+c^2=2c^2$、$a=\sqrt2\,c$，椭圆的形状被定死了（离心率 $e=\dfrac ca=\dfrac{\sqrt2}{2}$）， 只剩一个大小待定。

条件二：$|F_1A|=\sqrt{10}+\sqrt5$ 定大小。 $F_1(-c,0)$、$A(a,0)$，故

$$|F_1A|=a+c=\sqrt2\,c+c=(\sqrt2+1)c .$$

而 $\sqrt{10}+\sqrt5=\sqrt5(\sqrt2+1)$，比较得

$$c=\sqrt5,\qquad b=\sqrt5,\qquad a=\sqrt{10} .$$

所求椭圆方程

$$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1 .$$

验算：$c^2=10-5=5$ ✓，$|F_1A|=\sqrt{10}+\sqrt5$ ✓， $k_{OP}=\dfrac{5/\sqrt{10}}{-\sqrt5}=-\dfrac{1}{\sqrt2}$、$k_{AB}=-\dfrac{\sqrt5}{\sqrt{10}}=-\dfrac{1}{\sqrt2}$ ✓。

复习参考题 3 第 9 题

9. 已知 A, B 两点的坐标分别是 $(-1, 0)$ , $(1, 0)$ . 直线 AM, BM 相交于点 M, 且它们的斜率之和是 2, 求点 M 的轨迹方程.

设 $M(x,y)$。由 $A(-1,0)$、$B(1,0)$，斜率之和为 $2$：

$$\frac{y}{x+1}+\frac{y}{x-1}=2\qquad(x\neq\pm1).$$

通分：分子 $y\left[(x-1)+(x+1)\right]=2xy$，分母 $x^2-1$，故

$$\frac{2xy}{x^2-1}=2\ \Longrightarrow\ xy=x^2-1 ,$$

即所求轨迹方程

$$x^2-xy=1\qquad(x\neq\pm1),$$

也可写成 $y=x-\dfrac1x$。

它是什么曲线？ 二次曲线 $x^2-xy-1=0$ 的判别式 $B^2-4AC=(-1)^2-4\times1\times0=1>0$， 是双曲线（一条被旋转过的双曲线，两条渐近线分别是 $x=0$ 与 $y=x$）。

验一个点：$x=2$ 时 $y=2-\dfrac12=\dfrac32$， $k_{AM}=\dfrac{3/2}{3}=\dfrac12$、$k_{BM}=\dfrac{3/2}{1}=\dfrac32$，和为 $2$ ✓。

与习题 3.3 第 11 题并排看：那里是「差为 $2$」，通分后分子是 $-2y$（$x$ 被消掉）， 得抛物线 $x^2=-(y-1)$；这里是「和为 $2$」，分子是 $2xy$（$x$ 留下了）， 得双曲线 $x^2-xy=1$。同一套动作，一个符号之差就换了曲线的种类—— 这正是解析几何「用代数分辨几何」的示范。

复习参考题 3 第 10 题

10. 如图，已知直线与抛物线 $y^{2}=2px\quad(p>0)$ 交于 A，B 两点，且 $OA \perp OB$ ， $OD \perp AB$ 交 AB 于点 D，点 D 的坐标为 $(2,1)$ ，求 p 的值.

这道题的钥匙是一条定理：$y^2=2px$ 上的弦 $AB$ 满足 $OA\perp OB$，当且仅当 $AB$ 过定点 $(2p,0)$。

先证这条定理。 设 $A\left(\dfrac{y_1^2}{2p},y_1\right)$、$B\left(\dfrac{y_2^2}{2p},y_2\right)$，则

$$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=\frac{y_1^2y_2^2}{4p^2}+y_1y_2 =y_1y_2\left(\frac{y_1y_2}{4p^2}+1\right).$$

$A$、$B$ 都不是原点故 $y_1y_2\neq0$，于是

$$OA\perp OB\iff y_1y_2=-4p^2 .$$

再把 $AB$ 写成 $x=my+t$（这样不必分「斜率是否存在」），代入 $y^2=2px$ 得

$$y^2-2pmy-2pt=0\ \Longrightarrow\ y_1y_2=-2pt .$$

比较得 $t=2p$，即 $AB$ 恒过定点 $N(2p,0)$。

再用垂足条件定 $p$。 $OD\perp AB$ 且 $D$ 在 $AB$ 上，而 $N(2p,0)$ 也在 $AB$ 上，故

$$\overrightarrow{OD}\perp\overrightarrow{DN} .$$

代入 $D(2,1)$：$\overrightarrow{OD}=(2,1)$，$\overrightarrow{DN}=(2p-2,\ -1)$，

$$2(2p-2)+1\times(-1)=0\ \Longrightarrow\ 4p-5=0\ \Longrightarrow\ p=\frac54 .$$

验算：$p=\dfrac54$ 时定点 $N\left(\dfrac52,0\right)$，$\overrightarrow{DN}=\left(\dfrac12,-1\right)$， 与 $\overrightarrow{OD}=(2,1)$ 的数量积 $=1-1=0$ ✓。

换个说法：$D$ 在以 $ON$ 为直径的圆上（$\angle ODN=90^\circ$）。 这个圆是 $x^2+y^2-2px=0$，把 $D(2,1)$ 代入得 $4+1-4p=0$，同样给出 $p=\dfrac54$—— 两种写法算的是同一件事，选顺手的那个。

复习参考题 3 第 11 题

11. 已知 $\triangle ABC$ 的两个顶点 $A, B$ 的坐标分别是 $(-5, 0)$，$(5, 0)$，且 $AC, BC$ 所在直线的斜率之积等于 $m (m \neq 0)$，求顶点 $C$ 的轨迹.

设 $C(x,y)$，$y\neq0$（否则 $A$、$B$、$C$ 共线，不成三角形）。由

$$k_{AC}\cdot k_{BC}=\frac{y}{x+5}\cdot\frac{y}{x-5}=\frac{y^2}{x^2-25}=m ,$$

得

$$y^2=m(x^2-25)\ \Longrightarrow\ \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{25m}=1\qquad(y\neq0).$$

再按 $m$ 分类看它是什么曲线（都要去掉 $(\pm5,0)$ 两点）：

为什么 $m=-1$ 恰是圆：$k_{AC}k_{BC}=-1$ 就是 $\angle ACB=90^\circ$， 由「直径所对的圆周角是直角」，$C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上——几何与代数在这里对上了口供。

这条结论值得记住：$\dfrac{y^2}{x^2-a^2}=m$ 型的轨迹， $m>0$ 给双曲线、$m<0$ 给椭圆（含圆），而长轴的方向由 $|m|$ 与 $1$ 的大小决定。 椭圆的「斜率之积 $=-\dfrac{b^2}{a^2}$」（第三定义）正是它的特例。

复习参考题 3 第 12 题

12. 在抛物线 $y^{2} = 4x$ 上求一点 $P$，使得点 $P$ 到直线 $y = x + 3$ 的距离最短.

求「曲线上一点到定直线的最短距离」，把距离写成一个变量的函数最省事——抛物线用纵坐标作参数，分子恰好是完全平方。

设 $P\left(\dfrac{y^2}{4},\ y\right)$（$y$ 取遍全体实数）。直线写成 $x-y+3=0$，则

$$d=\frac{\left|\dfrac{y^2}{4}-y+3\right|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} =\frac{1}{4\sqrt2}\left|y^2-4y+12\right| .$$

配方：$y^2-4y+12=(y-2)^2+8\geqslant8>0$，绝对值可以去掉，故

$$d=\frac{(y-2)^2+8}{4\sqrt2}\geqslant\frac{8}{4\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2 ,$$

当且仅当 $y=2$ 取等，此时 $x=\dfrac{4}{4}=1$。所以

$$P(1,\ 2),\qquad d_{\min}=\sqrt2 .$$

另一条路（几何的）：最短距离处的切线必平行于已知直线。 $y^2=4x$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的切线斜率是 $\dfrac{2}{y_0}$，令它等于 $1$ 得 $y_0=2$、$x_0=1$， 同样得到 $P(1,2)$。「平移直线到与曲线相切」是这类最值题的通用图像， 代数配方与几何相切在这里给出同一个点。

复习参考题 3 第 13 题

13. 当 $m$ 变化时，指出方程 $(m - 1)x^{2} + (3 - m)y^{2} = (m - 1)(3 - m)$ 表示的曲线的形状.

方程 $(m-1)x^2+(3-m)y^2=(m-1)(3-m)$ 的右端恰是两个系数之积， 所以只要 $(m-1)(3-m)\neq0$ 就能两边同除，化成

$$\frac{x^2}{3-m}+\frac{y^2}{m-1}=1 .$$

分母 $3-m$ 与 $m-1$ 的符号与大小决定一切：

两个端点 $m=1$、$m=3$ 必须单独算：这时不能除，要回到原方程去看。 很多人化简完就开始讨论分母，正好把这两个退化情形漏掉。

看整体：$m$ 从小到大走一遍，曲线依次是 「横双曲线 $\to$ $x$ 轴 $\to$ 横椭圆 $\to$ 圆 $\to$ 竖椭圆 $\to$ $y$ 轴 $\to$ 竖双曲线」， 两次退化成直线正是双曲线与椭圆互相转换的关口。

复习参考题 3 第 14 题

14. 如图，一隧道内设双行线公路，其截面由一个长方形和抛物线构成。为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有 $0.5\mathrm{m}$。已知行车道总宽度 $|AB| = 6(\mathrm{m})$，那么车辆通过隧道的限制高度是多少米？（精确到 $0.1\mathrm{m}$）

先读图定数据：隧道截面下方是长方形（宽 $8\ \mathrm{m}$、高 $2\ \mathrm{m}$），上方接一段抛物线， 拱顶离地 $6\ \mathrm{m}$；行车道 $AB$ 总宽 $6\ \mathrm{m}$，居中，即从 $x=-3$ 到 $x=3$。

建系：取地面中点为原点、地面为 $x$ 轴、竖直向上为 $y$ 轴。 抛物线的顶点在 $(0,6)$、开口朝下，且过长方形上沿的两个端点 $(\pm4,2)$。设

$$x^2=-2p\,(y-6).$$

代入 $(4,2)$：

$$16=-2p\times(2-6)=8p\ \Longrightarrow\ p=2 ,$$

故拱的方程

$$x^2=-4(y-6),\qquad\text{即}\qquad y=6-\frac{x^2}{4} .$$

找最矮的地方：车顶是平的，行车道内隧道最低的高度出现在 $|x|$ 最大处，即 $|x|=3$：

$$y_{\min}=6-\frac94=3.75\ (\mathrm{m}).$$

扣掉安全余量：

$$h\leqslant3.75-0.5=3.25\ (\mathrm{m}).$$

精确到 $0.1\ \mathrm{m}$，限制高度取

$$3.2\ \mathrm{m} .$$

这里的四舍五入必须往下取。 $3.25$ 若按常规四舍五入写成 $3.3$， 限高牌就比真实安全值高了 $5\ \mathrm{cm}$——安全类的近似一律朝安全的方向截断。

另一个常错点：不要拿拱顶高度 $6\ \mathrm{m}$ 或长方形高度 $2\ \mathrm{m}$ 去算。 车辆占满 $6\ \mathrm{m}$ 宽的车道，决定限高的是车道边缘那一列，不是正中央。

复习参考题 3 第 15 题

15. 综合应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜。这种望远镜的特点是，镜筒可以很短而观察天体运动又很清楚。例如，某天文仪器厂设计制造的一种镜筒长为 $2 \mathrm{~m}$ 的反射式望远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示。其中，一个反射镜 $PO_{1}Q$ 弧所在的曲线为抛物线，另一个反射镜 $MO_{2}N$ 弧所在的曲线为双曲线的一个分支。已知 $F_{1}, F_{2}$ 是双曲线的两个焦点，其中 $F_{2}$ 同时又是抛物线的焦点，试根据图示尺寸（单位：$\mathrm{mm}$），分别求抛物线和双曲线的方程。

先从图上把三个尺寸读成点的位置。 图中 $F_1$、$F_2$ 是双曲线的两个焦点， $O$ 是它们的中点（坐标原点，$x$ 轴沿光轴），$O_1$ 是抛物线的顶点、$O_2$ 是双曲线右支的顶点。 标注给的是

$$|F_1O_2|=2080,\qquad |O_1O_2|=1763,\qquad |O_2F_2|=529\quad(\text{单位：}\mathrm{mm}).$$

于是

$$|F_1F_2|=2080+529=2609,\qquad |F_1O_1|=2080-1763=317 .$$

双曲线。 焦距 $2c=2609$，故

$$c=1304.5,\qquad a=|OO_2|=c-|O_2F_2|=1304.5-529=775.5 ,$$ $$b^2=c^2-a^2=(c-a)(c+a)=529\times2080=1\,100\,320 .$$

（用平方差而不是两个七位数相减，理由同复习参考题第 1 题。） 反射镜 $MO_2N$ 是右支，故双曲线方程

$$\frac{x^2}{775.5^2}-\frac{y^2}{1\,100\,320}=1\qquad(x\geqslant775.5),$$

即 $\dfrac{x^2}{601\,400.25}-\dfrac{y^2}{1\,100\,320}=1$ 的右支。

抛物线。 它的顶点是 $O_1$、焦点是 $F_2$（题设 $F_2$ 兼作抛物线的焦点），故

$$\frac{p}{2}=|O_1F_2|=1763+529=2292\ \Longrightarrow\ p=4584 .$$

在以 $O_1$ 为原点的坐标系里，它就是

$$y^2=9168\,x .$$

若统一放在图中那套以 $O$ 为原点的坐标系里，$O_1$ 的横坐标是 $-c+|F_1O_1|=-1304.5+317=-987.5$，方程写成

$$y^2=9168\,(x+987.5).$$

光路复核（这才是这台望远镜能成立的理由）：远处天体射来的光平行于光轴， 先被抛物面 $PO_1Q$ 反射、汇聚向它的焦点 $F_2$；还没走到 $F_2$，就被双曲面 $MO_2N$ 拦住， 而 $F_2$ 正是双曲线的一个焦点，由双曲线的光学性质，射向一个焦点的光反射后射向另一个焦点 $F_1$。 于是像点落在 $F_1$ 处——镜筒只有 $2\ \mathrm{m}$，却折出了 $|F_1O_1|+|O_1F_2|$ 那么长的光程。

复习参考题 3 第 16 题

16. 过抛物线 $y^{2} = 2px$ （$p > 0$）的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于 $A$，$B$ 两点，以 $AB$ 为直径画圆，观察它与抛物线的准线 $l$ 的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？

结论：以抛物线的焦点弦 $AB$ 为直径的圆，与准线 $l$ 相切。

证明只用一次焦半径。 设 $A$、$B$ 到准线的距离分别是 $d_A$、$d_B$，$M$ 是 $AB$ 的中点。 由抛物线的定义，

$$|AF|=d_A,\qquad |BF|=d_B ,$$

故圆的半径

$$r=\frac{|AB|}{2}=\frac{|AF|+|BF|}{2}=\frac{d_A+d_B}{2} .$$

另一方面要算 $M$ 到准线的距离。这里有一句必须先验的前提：中点到一条定直线的距离等于 两端点距离的算术平均 $\dfrac{d_A+d_B}{2}$，只在 $A$、$B$ 位于该直线同侧时成立； 异侧时是 $\dfrac{|d_A-d_B|}{2}$。（把距离写成带符号的坐标就一目了然：$M$ 的坐标是两端点 坐标的平均，取绝对值之前先看两个符号是否相同。） 本题这条前提是真的：整条抛物线都在准线的同一侧（曲线上的点满足 $x\ge0>-\dfrac p2$）， 故 $A$、$B$ 必同侧，于是

$$d_M=\frac{d_A+d_B}{2}=r .$$

圆心到准线的距离恰等于半径，故圆与准线相切。

推广到椭圆与双曲线：把 $e$ 放回去就全通了。 由统一定义 $|AF|=e\,d_A$、$|BF|=e\,d_B$ （$d$ 是到与 $F$ 对应的那条准线的距离），

$$r=\frac{e(d_A+d_B)}{2},\qquad d_M=\frac{d_A+d_B}{2}=\frac re .$$

这两步同样要先验「同侧」：椭圆整条曲线满足 $x\le a<\dfrac ae$（右准线在曲线右外侧）， 双曲线右支满足 $x\ge a>\dfrac ae$（右准线在右支左侧、且不与右支相交）， 两处都是整条（整支）在准线一侧，故 $A$、$B$ 必同侧，上式成立。

于是圆心到准线的距离与半径之比恒为 $\dfrac1e$：

这才是这道「观察题」真正要的东西：不是三条互不相干的结论， 而是同一条式子 $d_M=\dfrac re$ 在 $e$ 的三个区间里的三种表现。 圆锥曲线的「统一性」在这里看得最清楚——$e=1$ 就是相切与相离、相交之间的那条分界线。

双曲线的焦点弦跨两支时，结论一样。 这一类不能一句「不涉及」划掉——过焦点的直线本来就 既能截同一支、也能截两支（斜率的绝对值小于渐近线斜率时截两支）。此时两处都要换写法， 而且换得刚好互相抵消：

• 焦点—准线关系 $|PF|=e\,d_P$ 对两支都成立（$d_P$ 是到与 $F$ 对应那条准线的距离）。 跨支时 $F$ 落在线段 $AB$ 外，故 $|AB|=\bigl||AF|-|BF|\bigr|=e\,|d_A-d_B|$， 即 $r=\dfrac{e\,|d_A-d_B|}{2}$；
• 跨支时 $A$、$B$ 分居右准线异侧（一个在右支上、在准线右方，一个在左支上、在准线左方）， 故按上面那条前提，$d_M=\dfrac{|d_A-d_B|}{2}$。

两式一比，仍然 $d_M=\dfrac re<r$（因 $e>1$），还是相交。数值验一遍： $x^2-y^2=1$（$a=b=1$，$c=\sqrt2$，$e=\sqrt2$，右准线 $x=\dfrac{1}{\sqrt2}$）， 过 $F(\sqrt2,0)$ 作斜率 $\dfrac12$ 的直线，两交点的横坐标约为 $1.0193$（右支）与 $-1.9621$（左支）， $r\approx1.6667$，而 $d_M\approx1.1785=\dfrac{r}{\sqrt2}<r$ ✓。

所以 $d_M=\dfrac re$ 是没有例外的一条式子——「统一性」比原先写的还要更彻底一点。