2.3.2 两点间的距离公式

这一节只有一条公式：

$$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}.$$

它短到不需要”记”，可它是整个解析几何的地基——后面的圆、椭圆、双曲线、抛物线，定义里那句 “到某某的距离”最终都要落到这条式子上翻译成方程。所以这一节真正要学会的不是公式本身， 而是它的三种用法：量一段长、把”等距”这个几何条件变成方程、以及用它做坐标法证明。 课本的例 3 与例 4 恰好演示了后两种。

一、公式：形状与两条自明的推论

$$|P_1P_2| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

• 谁减谁无所谓。 括号里的差被平方了，$(x_2-x_1)^2 = (x_1-x_2)^2$，所以写反顺序不影响结果。 这是这条公式唯一”宽松”的地方，别把它记成”大的减小的”——考场上还要先判断谁大谁小就白费一步。
• 根号里是两个平方的和，恒非负，所以公式对任意两点都有定义，不需要分类讨论。
• 原点的特例：把 $P_1$ 取成 $O(0,0)$，得 $|OP| = \sqrt{x^2 + y^2}$。这个式子你在必修二讲向量的模时 已经见过一次了，这不是巧合——见下一节。

二、两条推导，各自留下一件东西

推导一（课本正文，向量法）

由 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 得 $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1)$， 而向量的模的坐标公式给出

$$|\overrightarrow{P_1P_2}| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},$$

线段 $P_1P_2$ 的长度就是这个模。它留下的东西是”点的距离 = 向量的模”这条对应： 以后凡是看见”距离”，都可以立刻换成”某个向量的模”，从而把几何问题交给向量的坐标运算。 本册后面讲空间中两点的距离时，公式原样多一项 $(z_2-z_1)^2$，理由就是这条推导原样再走一遍。

推导二（课本”思考”，勾股定理）

过 $P_1$ 作平行于 $x$ 轴的直线、过 $P_2$ 作平行于 $y$ 轴的直线，两条线交于 $Q(x_2,\ y_1)$。 于是 $P_1Q$ 是水平线段、$QP_2$ 是竖直线段，二者垂直，

$$|P_1Q| = |x_2 - x_1|, \qquad |QP_2| = |y_2 - y_1|,$$

在直角三角形 $P_1QP_2$ 里用勾股定理即得公式。

这条推导有一个课本没写出来的漏洞，值得你自己补上：当 $x_1 = x_2$ 或 $y_1 = y_2$ 时， $P_1$、$Q$、$P_2$ 三点里有两点重合，根本没有三角形，勾股定理无从谈起。 这时要单独验证：若 $x_1 = x_2$，两点在同一条竖直线上，距离就是 $|y_2 - y_1|$， 而公式给的是 $\sqrt{0 + (y_2-y_1)^2} = |y_2 - y_1|$，一致；$y_1 = y_2$ 同理。 补完这两种退化情形，勾股法才算证完。

课本”思考”里那句”与向量法比较，你有什么体会”，答案就在这里： 向量法不需要分类讨论，勾股法需要。 向量的模的公式对零向量、对任何方向都成立， 而”作直角三角形”这个动作预设了三角形存在。这是代数方法相对综合方法的一个典型优势。

三、用法二：把”等距”变成方程

这是本节最值钱的一步，课本例 3 演示了它。

已知 $A(-1,2)$、$B(2,\sqrt{7})$，在 $x$ 轴上求点 $P$ 使 $|PA| = |PB|$。设 $P(x,0)$，

$$|PA| = \sqrt{x^2 + 2x + 5}, \qquad |PB| = \sqrt{x^2 - 4x + 11},$$

令二者相等。这里可以直接把两边平方，而且是等价变形——因为两边都是算术根、都非负， $\sqrt{u} = \sqrt{v} \Leftrightarrow u = v$（$u,v \geq 0$）。这一句要说出来： 平方是不是等价变形，取决于两边的符号，本节因为是距离所以天生安全， 到了后面解含根号的方程就不一定了。

平方之后

$$x^2 + 2x + 5 = x^2 - 4x + 11,$$

两边的 $x^2$ 抵消了，剩下一次方程 $6x = 6$，$x = 1$。

$x^2$ 必然抵消，不是巧合：$|PA|^2 - |PB|^2$ 展开后，$x^2$、$y^2$ 这两个二次项来自 $P$ 自己的坐标，与 $A$、$B$ 无关，两边一模一样。于是——

平面内到两个定点距离相等的点，满足的是一个一次方程。

一次方程的图象是直线，这条直线就是线段 $AB$ 的垂直平分线。这条观察后面会被反复调用： §2.4 求圆心（三点等距 → 两条垂直平分线的交点）、§2.5 判断直线与圆的位置关系， 都是它的直接后代。反过来，如果两个距离之和或之差是定值，二次项就抵消不掉， 方程一定是二次的——那正是椭圆与双曲线。

例 3 最后还要回头求 $|PA| = \sqrt{(1+1)^2 + (0-2)^2} = 2\sqrt{2}$。 求出 $x$ 不等于做完，题目问的是坐标和长度两样东西，漏答是这一类题最常见的失分。

四、用法三：坐标法证几何定理（例 4）

例 4 要证：平行四边形两条对角线的平方和，等于两条邻边的平方和的两倍。 课本给的”分析”其实是坐标法的三步流程，值得单独记住：

1. 建立适当的平面直角坐标系；
2. 用坐标表示有关的量，做代数运算；
3. 把代数结果翻译回几何关系。

三步里最难、也最决定运算量的是第一步。建系的两条实用原则：

• 让尽量多的坐标是 $0$。 例 4 取顶点 $A$ 为原点、边 $AB$ 所在直线为 $x$ 轴， 于是 $A(0,0)$、$B(a,0)$ 各省掉一个字母。
• 别把图形放特殊。 设 $D(b,c)$ 而不是 $D(0,c)$：后者等于偷偷假设了 $AD \perp AB$， 证的就成了矩形而不是一般的平行四边形。这是坐标法证明里最隐蔽的错误—— 建系可以选，形状不能选。

第三个顶点 $C$ 的坐标 $(a+b,\ c)$ 是怎么来的？课本在旁边留了这一问。答案是 $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC}$（平行四边形对边平行且相等）： 设 $C(x,y)$，则 $\overrightarrow{BC} = (x - a,\ y)$，$\overrightarrow{AD} = (b,\ c)$， 两者相等给出 $x = a + b$、$y = c$。

余下是纯代数：

$$|AC|^2 = (a+b)^2 + c^2, \qquad |BD|^2 = (b-a)^2 + c^2,$$ $$|AB|^2 = a^2, \qquad |AD|^2 = b^2 + c^2,$$

相加得 $|AC|^2 + |BD|^2 = 2(a^2 + b^2 + c^2) = 2(|AB|^2 + |AD|^2)$，翻译回去正是要证的结论。

注意 $|AB|^2 = a^2$ 而不是 $a$，也不是 $|a|^2$ 要展开成分类——$a^2$ 本身已经非负， 这里不需要绝对值。学生常在这一步写成 $|AB| = |a|$ 然后纠结 $a$ 的正负； 只要全程只用到平方，就永远不必讨论符号。这也是”平方和”型命题特别适合坐标法的原因。

五、易错清单

按考场上真正丢分的顺序排：

1. 求完坐标忘了求长度（或反过来）。例 3 那种”求点并求 $|PA|$“的两问式问法，漏答一半最常见。
2. 根号没化到最简。 $\sqrt{40}$ 要写成 $2\sqrt{10}$，$\sqrt{8}$ 要写成 $2\sqrt{2}$。
3. 减法里的负号约丢。 $-1 - (-4) = 3$，不是 $-5$ 也不是 $-3$。带负坐标的题，把括号老老实实写出来。
4. 勾股法忘了退化情形（第二节）。两点共横线或共竖线时没有三角形。
5. 坐标法建系时把图形放特殊（第四节）。一般平行四边形不能设成 $D(0,c)$。
6. 平方时不问两边符号。 本节安全，但把”距离相等两边直接平方”这个动作原样搬到别处会出事， 要养成先说一句”两边非负”的习惯。

六、这一节往后连到哪

页面下方那一段”考过本节的真题”是派生的、也是完整的，这里不重复它，只给一个读的顺序：

• 先看只需要量长度的题：给出两点或给出直线上的动点，直接代公式。这类题练的是运算不出错。
• 再看”等距”型的题：题干里出现”到 $A$、$B$ 距离相等""在 $x$ 轴上求一点使……”， 动作是设点、写两个距离、平方相减。第三节那条”二次项必抵消”能让你提前知道会得到一次方程， 算出二次方程就说明前面错了——这是一个免费的自查点。
• 最后看坐标法证明题：题面是纯几何命题（中点、垂直、平方和），没有坐标。 这类题的难点全在建系，第四节那两条原则就是全部技巧。

再往后，§2.3.3 用两点间距离公式推出点到直线的距离公式，§2.4 用它把”到定点距离为定值” 写成圆的方程——这一节是那两节的原料。

本节目录下这两页上只印着一组「练习」，共 3 道，逐题全做。这一组印在「2.3.2 两点间的距离公式」 这个标题之前（第 72 页，page-0077），练的是上一小节 §2.3.1 两条直线的交点坐标—— 求交点、判位置关系、过交点作直线。§2.3.1 那一小节自己的两页上没有印任何练习， 所以这 3 道题落在这一份里收齐。§2.3.2 自己的练习印在第 74 页上，那一页在 §2.3.3 的目录下， 已经在那一份详解里做过，这里不重复。这两页上也没有「习题 2.3」，那一组印在 §2.3.4 的页上。 每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

三道题的共同动作是同一个：两条直线的公共点，就是把两个方程当作二元一次方程组解出来的那组解。 “位置关系”这个几何问题，因此完全等价于”方程组有几组解”这个代数问题——

判断解的个数不必真解一遍：对 $l_1: A_1x + B_1y + C_1 = 0$ 与 $l_2: A_2x + B_2y + C_2 = 0$， 只要系数行列式 $D = A_1B_2 - A_2B_1$ 不为 $0$，方程组就恰有一组解（克拉默法则， 或者直接把消元过程走一遍：消去 $y$ 后 $y$ 的系数正是 $D$）。所以每道题的第一步都是先算 $D$： $D \neq 0$ 就放心解，$D = 0$ 才需要再分平行与重合。

练习（第 72 页）第 1 题

1. 求下列两条直线的交点坐标，并画出图形：

(1) $l_{1}: 2x + 3y = 12, \quad l_{2}: x - 2y = 4;$

(2) $l_{1}: x = 2, \quad l_{2}: 3x + 2y - 12 = 0.$

(1) 把两个方程写成一般式：$l_1: 2x + 3y - 12 = 0$，$l_2: x - 2y - 4 = 0$， 于是 $A_1 = 2$、$B_1 = 3$、$A_2 = 1$、$B_2 = -2$。

先验前提：

$$D = A_1B_2 - A_2B_1 = 2 \times (-2) - 1 \times 3 = -7 \neq 0,$$

所以两条直线相交于唯一一点，下面解出来的那组解就是交点。

由 $l_2$ 得 $x = 2y + 4$，代入 $l_1$：

$$2(2y + 4) + 3y = 12 \ \Longrightarrow\ 4y + 8 + 3y = 12 \ \Longrightarrow\ 7y = 4 \ \Longrightarrow\ y = \frac{4}{7}.$$

回代得

$$x = 2 \times \frac{4}{7} + 4 = \frac{8}{7} + \frac{28}{7} = \frac{36}{7}.$$

所以交点是 $\left(\dfrac{36}{7},\ \dfrac{4}{7}\right)$。

自检（把结果代回两个原方程，两个都要代）：

$$2 \times \frac{36}{7} + 3 \times \frac{4}{7} = \frac{72 + 12}{7} = \frac{84}{7} = 12, \qquad \frac{36}{7} - 2 \times \frac{4}{7} = \frac{36 - 8}{7} = \frac{28}{7} = 4.$$

两式都成立，交点没算错。

画图。 每条直线只要两个点就画得出来，取截距最省事：

• $l_1: 2x + 3y = 12$ 过 $(6,\ 0)$（令 $y=0$）与 $(0,\ 4)$（令 $x=0$）；
• $l_2: x - 2y = 4$ 过 $(4,\ 0)$（令 $y=0$）与 $(0,\ -2)$（令 $x=0$）。

各连一条直线，两条线在第一象限相交，交点 $\left(\dfrac{36}{7},\ \dfrac{4}{7}\right) \approx (5.14,\ 0.57)$—— 横坐标在 $(4,0)$ 与 $(6,0)$ 之间、纵坐标略高于 $x$ 轴，图上的位置与算出来的坐标对得上， 这也是一次几何自检。

(2) $l_1: x = 2$ 是一条竖直线，斜率不存在，所以这一问不能用”两个斜率比一比”的办法， 必须回到方程组。把它写成一般式 $l_1: x + 0 \cdot y - 2 = 0$，$l_2: 3x + 2y - 12 = 0$， 于是 $A_1 = 1$、$B_1 = 0$、$A_2 = 3$、$B_2 = 2$，

$$D = 1 \times 2 - 3 \times 0 = 2 \neq 0,$$

相交于唯一一点。

把 $x = 2$ 代入 $l_2$：

$$3 \times 2 + 2y - 12 = 0 \ \Longrightarrow\ 2y = 6 \ \Longrightarrow\ y = 3.$$

交点是 $(2,\ 3)$。

自检：$(2,3)$ 显然满足 $x = 2$；又 $3\times 2 + 2\times 3 - 12 = 6 + 6 - 12 = 0$，也满足 $l_2$。

画图。 $l_1$ 是过 $(2,0)$ 且平行于 $y$ 轴的竖直线；$l_2: 3x + 2y = 12$ 过 $(4,\ 0)$ 与 $(0,\ 6)$。 两条线交在 $(2,3)$，正好是 $l_2$ 上那两个截距点连线的中点——因为 $x = 2$ 是 $x$ 从 $0$ 到 $4$ 的中点， 而 $l_2$ 上 $y$ 随 $x$ 线性变化，所以 $y$ 也取 $0$ 与 $6$ 的中点 $3$。图与算的一致。

这道题的关键动作：竖直线 $x = k$ 没有斜率，判位置关系与求交点一律回到方程组， “竖直线”只是”其中一个方程特别简单”而已，代入法一步就消掉一个未知数。

练习（第 72 页）第 2 题

2. 判断下列各对直线的位置关系. 如果相交, 求出交点的坐标:

(1) $l_{1}: 2x - 3y = 7$ , $l_{2}: 4x + 2y = 1$ ;

(2) $l_{1}: 2x - 6y + 4 = 0, \quad l_{2}: y = \frac{x}{3} + \frac{2}{3};$

(3) $l_{1}:(\sqrt{2}-1)x+y=3,\quad l_{2}:x+(\sqrt{2}+1)y=2.$

(1) $A_1 = 2$、$B_1 = -3$、$A_2 = 4$、$B_2 = 2$，

$$D = 2 \times 2 - 4 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \neq 0,$$

所以两条直线相交，且交点唯一。

解方程组。把 $l_1$ 两边乘 $2$ 得 $4x - 6y = 14$，与 $l_2: 4x + 2y = 1$ 相减（用 $l_2$ 减去它）：

$$(4x + 2y) - (4x - 6y) = 1 - 14 \ \Longrightarrow\ 8y = -13 \ \Longrightarrow\ y = -\frac{13}{8}.$$

代回 $l_1$：

$$2x = 7 + 3y = 7 - \frac{39}{8} = \frac{56 - 39}{8} = \frac{17}{8} \ \Longrightarrow\ x = \frac{17}{16}.$$

交点是 $\left(\dfrac{17}{16},\ -\dfrac{13}{8}\right)$。

自检：$2 \times \dfrac{17}{16} - 3 \times \left(-\dfrac{13}{8}\right) = \dfrac{17}{8} + \dfrac{39}{8} = \dfrac{56}{8} = 7$， $4 \times \dfrac{17}{16} + 2 \times \left(-\dfrac{13}{8}\right) = \dfrac{17}{4} - \dfrac{13}{4} = 1$。两式都对。

(2) $l_2$ 是斜截式，先化成一般式再比系数。两边乘 $3$：

$$3y = x + 2 \ \Longrightarrow\ x - 3y + 2 = 0.$$

于是 $l_1: 2x - 6y + 4 = 0$，$l_2: x - 3y + 2 = 0$。

$$D = 2 \times (-3) - 1 \times (-6) = -6 + 6 = 0,$$

$D = 0$，所以不相交，只可能是平行或重合，要再分一次。

注意 $2x - 6y + 4 = 2(x - 3y + 2)$：$l_1$ 的方程就是 $l_2$ 的方程两边同乘非零常数 $2$ 得来的。 方程两边同乘非零常数不改变解集，所以两个方程的解集完全相同，两条直线重合。

（等价的说法：在 $l_2$ 上任取一点，例如令 $x = 1$ 得 $y = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$， 点 $(1,1)$ 在 $l_2$ 上；代入 $l_1$：$2 \times 1 - 6 \times 1 + 4 = 0$，也在 $l_1$ 上。 $D = 0$ 已排除相交，而两条不相交的直线若还有公共点，就只能重合。）

题目说”如果相交，求出交点的坐标”——这一问不相交，不必求交点。 但也不能答”无公共点”：重合的两条直线公共点有无穷多个，位置关系是”重合”而不是”平行”， 这是这一小问唯一的陷阱。

(3) $A_1 = \sqrt{2} - 1$、$B_1 = 1$、$A_2 = 1$、$B_2 = \sqrt{2} + 1$，

$$D = (\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) - 1 \times 1 = (2 - 1) - 1 = 0.$$

（这里用了平方差公式 $(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1$。）

$D = 0$，同样只可能平行或重合。取 $l_1$ 上一个具体点来分辨：令 $x = 0$，由 $l_1$ 得 $y = 3$， 所以 $(0,\ 3)$ 在 $l_1$ 上。把它代入 $l_2$ 的左边：

$$0 + (\sqrt{2} + 1) \times 3 = 3\sqrt{2} + 3.$$

因为 $\sqrt{2} > 1$，所以 $3\sqrt{2} + 3 > 6 > 2$，即 $3\sqrt{2} + 3 \neq 2$，点 $(0,3)$ 不在 $l_2$ 上。 于是两条直线有不相同的点集、又不相交，位置关系是平行。

另一条自检的路（不用取点）：把 $l_1$ 两边同乘 $\sqrt{2} + 1$，

$$(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)x + (\sqrt{2}+1)y = 3(\sqrt{2}+1),$$

即 $x + (\sqrt{2}+1)y = 3\sqrt{2} + 3$。它与 $l_2: x + (\sqrt{2}+1)y = 2$ 左边完全相同、右边不同， 两式不可能同时成立，方程组无解——平行。两条路结论一致。

这道题的关键动作：先算 $D$ 判”相不相交”，$D = 0$ 时再用”取一点代另一式”分平行与重合。 第 (3) 小问的系数带根号，$D$ 要靠平方差公式化简才看得出是 $0$；若只用小数估一估 （$\sqrt{2} - 1 \approx 0.414$，$\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} \approx 0.414$）会看着”差不多相等”而下不了判断—— 带无理数的系数一定要精确化简，不能靠近似值下结论。

练习（第 72 页）第 3 题

3. 直线 $l$ 经过原点，且经过直线 $2x - 2y - 1 = 0$ 与直线 $6x - 4y + 1 = 0$ 的交点，求直线 $l$ 的方程.

先验两个前提。

前提一：那两条直线真的有交点。 记 $l_1: 2x - 2y - 1 = 0$，$l_2: 6x - 4y + 1 = 0$，

$$D = 2 \times (-4) - 6 \times (-2) = -8 + 12 = 4 \neq 0,$$

所以 $l_1$ 与 $l_2$ 相交于唯一一点，记作 $M$。

前提二：$M$ 不是原点。 把 $(0,0)$ 代入 $l_1$ 的左边得 $2\times 0 - 2\times 0 - 1 = -1 \neq 0$， 原点不在 $l_1$ 上，所以 $M \neq O$。这一步不能省：两点重合的话”过这两点的直线”就不唯一， 题目也就没有唯一答案。

求 $M$。 由 $l_1$ 得 $4x - 4y = 2$；用 $l_2$ 的 $6x - 4y = -1$ 减去它：

$$(6x - 4y) - (4x - 4y) = -1 - 2 \ \Longrightarrow\ 2x = -3 \ \Longrightarrow\ x = -\frac{3}{2}.$$

代回 $l_1$：$2 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 2y - 1 = 0$，即 $-3 - 2y - 1 = 0$，$y = -2$。 所以 $M\left(-\dfrac{3}{2},\ -2\right)$。

自检：$6 \times \left(-\dfrac{3}{2}\right) - 4 \times (-2) + 1 = -9 + 8 + 1 = 0$，$M$ 确实在 $l_2$ 上。

求 $l$。 $l$ 过 $O(0,0)$ 与 $M\left(-\dfrac{3}{2},\ -2\right)$，两点横坐标不同（$-\dfrac{3}{2} \neq 0$）， 所以 $l$ 有斜率，

$$k = \frac{-2 - 0}{-\dfrac{3}{2} - 0} = \frac{-2}{-\dfrac{3}{2}} = \frac{4}{3}.$$

又 $l$ 过原点，纵截距为 $0$，故

$$l:\ y = \frac{4}{3}x, \qquad \text{即}\quad 4x - 3y = 0.$$

第二条路（不必先求交点）。 把 $l_1$ 与 $l_2$ 的左边相加：

$$(2x - 2y - 1) + (6x - 4y + 1) = 8x - 6y.$$

交点 $M$ 同时满足 $2x - 2y - 1 = 0$ 与 $6x - 4y + 1 = 0$，两式相加得 $M$ 满足 $8x - 6y = 0$。 而原点显然也满足 $8x - 6y = 0$。$8$ 与 $-6$ 不全为零，所以 $8x - 6y = 0$ 是一条直线； 它同时过 $O$ 与 $M$，而过两个不同点的直线只有一条，所以它就是 $l$。约去公因数 $2$ 得

$$l:\ 4x - 3y = 0,$$

与第一条路的结果一致。常数项恰好抵消是这条捷径能用上的原因： $-1$ 与 $+1$ 相加为 $0$，得到的方程自动过原点。

这道题的关键动作：题目给的是”过某两条直线的交点”，标准做法是先把交点解出来当成一个普通的点； 但只要注意到两个方程的某个线性组合恰好满足附加条件（这里是”过原点”即常数项为 $0$）， 就能跳过求交点这一步。两条路都要会——捷径不是每次都有，而通法永远在。