2.2.3 直线的一般式方程

前面已经有了点斜式、斜截式、两点式、截距式四种直线方程，每一种都有它写不出来的直线： 点斜式与斜截式写不了竖直线，两点式要求两点的横、纵坐标都不同，截距式要求两个截距都不为零。 这一节要给出一种能写下平面内每一条直线的形式：

$$Ax + By + C = 0 \qquad (A,\ B \ \text{不同时为}\ 0).$$

它叫一般式。这一节的正题只有两句话：每条直线都能写成这个样子， 以及每个这样的方程都表示一条直线。两句话都要证，理由和上一节一样—— 说”这是直线的方程”，意思是解集与点集完全相同，一边一半，缺一不可。

一、第一半：每条直线都写得成二元一次方程

按有没有斜率分两种，这样分是不重不漏的（课本旁批也点了这一条）。

• 斜率存在（倾斜角 $\alpha \neq 90^\circ$）：在直线上取一点 $P_0(x_0,\ y_0)$，方程是 $y - y_0 = k(x - x_0)$。把它展开成 $kx - y + (y_0 - kx_0) = 0$， 这是关于 $x,\ y$ 的二元一次方程，$x$ 的系数是 $k$、$y$ 的系数是 $-1$，二者不同时为零。
• 斜率不存在（$\alpha = 90^\circ$）：方程是 $x - x_0 = 0$。 它看着只有一个字母，但仍可以看成二元一次方程 $1 \cdot x + 0 \cdot y - x_0 = 0$， $y$ 的系数取 $0$ 就行了。这正是一般式比点斜式强的地方：$B = 0$ 是允许的。

两种情形都写成了 $Ax + By + C = 0$，第一半成立。

二、第二半：每个二元一次方程都表示一条直线

反过来，给定 $Ax + By + C = 0$ 且 $A$、$B$ 不同时为 $0$，按 $B$ 是否为零分两种：

• $B \neq 0$：两边除以 $B$ 并整理，得

$$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B},$$

这是斜截式，表示过点 $\left(0,\ -\dfrac{C}{B}\right)$、斜率为 $-\dfrac{A}{B}$ 的直线。

• $B = 0$：此时由”不同时为 $0$“知 $A \neq 0$，方程化为

$$x = -\frac{C}{A},$$

表示一条垂直于 $x$ 轴的直线。

两种情形都是直线，第二半成立。

”$A$、$B$ 不同时为 $0$“这个条件不是装饰。 去掉它，$0 \cdot x + 0 \cdot y + C = 0$ 要么无解（$C \neq 0$）、 要么被整个平面满足（$C = 0$），都不是直线。所以写一般式时这句括号要跟着写。

三、系数的几何意义：一般式最值钱的部分

一般式的三个系数不是三个无意义的字母，它们各自管一件事。

$(A,\ B)$ 是直线的一个法向量

设 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 都在直线上，两式相减得

$$A(x_2 - x_1) + B(y_2 - y_1) = 0,$$

即 $(A,\ B) \cdot (x_2 - x_1,\ y_2 - y_1) = 0$。括号里第二个向量正是直线的方向向量， 所以 $(A,\ B)$ 与直线垂直。于是直线的一个方向向量可以取 $(-B,\ A)$。

这一条直接给出两条判据，而且对竖直线一样成立（一般式不区分有没有斜率）：

$$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow A_1A_2 + B_1B_2 = 0,$$ $$l_1 \parallel l_2\ \text{或重合} \Leftrightarrow A_1B_2 - A_2B_1 = 0.$$

前一条就是”两个法向量垂直”，后一条就是”两个法向量平行”。 上一节里那些”斜率存不存在”的分类讨论，到这里全部消失了—— 分类是”用斜率”这个选择带来的代价，不是问题本身的难度。

$C$ 管的是”过不过原点”

把 $(0,\ 0)$ 代入，方程成立当且仅当 $C = 0$。所以 $C = 0 \Leftrightarrow$ 直线过原点。

课本”探究”那四问的答案

在 $Ax + By + C = 0$（$A$、$B$ 不同时为 $0$）中：

“平行”与”重合”要分开：平行意味着没有公共点，所以必须再要求 $C \neq 0$； 只写 $A = 0$、$B \neq 0$ 会把 $x$ 轴自己也算进”平行于 $x$ 轴”里。

四、一般式不唯一，所以要有书写约定

同一条直线的一般式有无穷多个：把 $Ax + By + C = 0$ 两边同乘任何非零常数， 解集不变、还是那条直线。$2x + 4y - 6 = 0$ 与 $x + 2y - 3 = 0$ 是同一条。

于是有一套通行的书写约定（不是数学规定，是为了让答案能对得上）：

1. 系数化成整数，分母先乘掉；
2. 约去公因数，让三个系数互质；
3. 让 $x$ 的系数为正（$A > 0$）；若 $A = 0$，则让 $B > 0$。

写答案时按这三条整理一遍，既不容易和标准答案对不上，也便于自己检查。

判断两个一般式是不是同一条直线，就看能不能通过乘一个非零常数互相变过去： $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 且 $B_1C_2 - B_2C_1 = 0$ 且 $A_1C_2 - A_2C_1 = 0$ 时重合。 实用做法更简单：在一条上取一点，代进另一条看成不成立（配合 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$）。

五、五种形式对照：什么时候用哪个

课本用一句话总结了这张表：这些方程形式不同但本质一致，斜率处于核心地位，点斜式是其他所有形式的基础，其余都是点斜式在一定条件下的变式。 斜截式是点斜式取 $P_0(0,\ b)$；两点式是点斜式把 $k$ 换成 $\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$； 截距式是两点式取两个截距点；一般式是把点斜式与 $x = x_0$ 合并后的统一写法。

做题时的选择口径：题目给什么就用什么形式起步，最后一律化成一般式作答。 起步时若用了点斜式或斜截式，开头必须补一句竖直线的讨论；用一般式设方程则不必。

六、一条极实用的技巧：平行系与垂直系

由第三节的两条判据，立刻得到两个可以直接背的设法：

• 与 $Ax + By + C = 0$ 平行的直线，可设为 $Ax + By + m = 0$（$m \neq C$）；
• 与 $Ax + By + C = 0$ 垂直的直线，可设为 $Bx - Ay + m = 0$。

好处是只剩一个待定字母，代一个点进去就解完，而且天然覆盖了竖直线， 不用讨论斜率存不存在。例如求过 $B(3,\ 0)$ 且与 $2x + y - 5 = 0$ 垂直的直线： 设 $x - 2y + m = 0$，代入 $(3,\ 0)$ 得 $m = -3$，答案 $x - 2y - 3 = 0$，一步到位。

七、易错清单

按考场上真正丢分的顺序排：

1. 忘了写”$A$、$B$ 不同时为 $0$“，尤其在证明题与讨论系数的题里，这句是前提不是废话。
2. “平行”没排除”重合”，讨论系数时漏掉 $C$ 的条件。
3. 截距式用在过原点的直线上。$a = b = 0$ 时截距式没有意义， “两截距相等”这类题必须单独讨论过原点的那一支。
4. 两点式用在水平线或竖直线上。分母为零，公式失效。
5. 答案没化成约定形式，分数系数、公因数没约、$x$ 的系数为负，容易与标准答案对不上。
6. 由 $\dfrac{A_1}{A_2} = \dfrac{B_1}{B_2}$ 判平行时没管分母为零。用 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 这种乘法形式就没有这个问题。

八、这一节往后连到哪

页面下方那一段”考过本节的真题”是派生的、也是完整的，这里只给一个读的顺序：

• 先看形式互化的题：给点斜式化一般式、给一般式求斜率与截距、给条件写方程再化一般式。 这类题练的是熟练度，几乎不会错，但错一次就是白丢。
• 再看含参数的一般式题：”$m$ 为何值时两条直线平行/垂直/重合”。 用 $A_1B_2 - A_2B_1 = 0$ 与 $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ 去列方程，比用斜率省掉一整段分类； 平行那一问解完仍要回代排除重合。
• 最后看把一般式当工具用的题：点到直线的距离公式（§2.3.3）的分子分母都是一般式的系数； 圆的切线、圆锥曲线的弦，设直线时用 $Ax + By + C = 0$ 或平行系可以少一次讨论。

再往后，§2.3 用一般式的系数写出交点、距离；第 2 章后半的圆， 以及选择性必修第一册第 3 章的圆锥曲线，联立时用的都是这一节的写法。

本节目录下这六页上印着三组题，共 21 道，逐题全做。第 64 页（page-0069）那一组 3 道印在 「2.2.3 直线的一般式方程」这个标题之前，练的是上一小节 §2.2.2 的两点式与截距式； §2.2.2 自己的两页上没印练习，所以这 3 道收在这里。第 66 页（page-0071）那一组 3 道是本节自己的练习。 「习题 2.2」15 道从第 67 页（page-0072）起、接到第 68 页（page-0073），也印在本节目录下，一并收齐。 这三组里没有无唯一解答的开放式作业，所以一道不落。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

全篇反复用到的几条，写在这里，后面不再重复推导：

• 两点式：过 $P_1(x_1,y_1)$、$P_2(x_2,y_2)$ 且 $x_1 \neq x_2$、$y_1 \neq y_2$ 时， $\dfrac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \dfrac{x - x_1}{x_2 - x_1}$。两个条件缺一个，两点式就写不出来。
• 截距式：在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别是 $a$、$b$ 且 $a \neq 0$、$b \neq 0$ 时， $\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b} = 1$。截距是交点的坐标，可正可负，过原点的直线写不成截距式。
• 一般式：$Ax + By + C = 0$（$A$、$B$ 不同时为 $0$）。$B \neq 0$ 时斜率为 $-\dfrac{A}{B}$； $B = 0$ 时直线竖直、斜率不存在。$C = 0$ 当且仅当直线过原点。
• 答案的书写约定：化成整数系数、约去公因数、让 $x$ 的系数为正。下面的一般式答案都按这个整理。

练习（第 64 页）第 1 题

1. 求经过下列两点的直线的两点式方程：

(1) $P_{1}(2,1), P_{2}(0, -3)$; (2) $A(0,5), B(5,0)$.

(1) 先验两点式的两个前提：横坐标 $2 \neq 0$，纵坐标 $1 \neq -3$，两个都满足，两点式可用。 把 $(x_1,\ y_1) = (2,\ 1)$、$(x_2,\ y_2) = (0,\ -3)$ 代入：

$$\frac{y - 1}{-3 - 1} = \frac{x - 2}{0 - 2},$$

即

$$\frac{y - 1}{-4} = \frac{x - 2}{-2}.$$

这就是所求的两点式方程。化简验证（题目只要两点式，这一步是自检）：两边乘 $-4$ 得 $y - 1 = 2(x - 2)$，即 $2x - y - 3 = 0$。把 $P_1(2,\ 1)$ 代入得 $4 - 1 - 3 = 0$， 把 $P_2(0,\ -3)$ 代入得 $0 + 3 - 3 = 0$，两点都在上面，方程没写错。

(2) 前提：横坐标 $0 \neq 5$，纵坐标 $5 \neq 0$，两点式可用。 取 $(x_1,\ y_1) = (0,\ 5)$、$(x_2,\ y_2) = (5,\ 0)$：

$$\frac{y - 5}{0 - 5} = \frac{x - 0}{5 - 0},$$

即

$$\frac{y - 5}{-5} = \frac{x}{5}.$$

化简验证：两边乘 $5$ 得 $-(y - 5) = x$，即 $x + y - 5 = 0$。 代入 $A(0,\ 5)$ 得 $0 + 5 - 5 = 0$，代入 $B(5,\ 0)$ 得 $5 + 0 - 5 = 0$，都成立。

这道题的关键动作：写两点式之前先看两个前提——横坐标不同、纵坐标不同。 本题两小问都满足，但只要有一个不满足（比如两点连成水平线或竖直线），两点式就不存在， 只能直接写成 $y = y_1$ 或 $x = x_1$。

练习（第 64 页）第 2 题

2. 根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形：

(1) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 2, 3;

(2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 -5, 6.

(1) 截距 $a = 2 \neq 0$、$b = 3 \neq 0$，截距式可用：

$$\frac{x}{2} + \frac{y}{3} = 1.$$

画图：截距式的好处是两个交点直接读得出来——直线与 $x$ 轴交于 $(2,\ 0)$、 与 $y$ 轴交于 $(0,\ 3)$，描这两个点连成直线即可。这条直线经过第一、二、四象限。

自检：化成一般式，两边乘 $6$ 得 $3x + 2y = 6$，即 $3x + 2y - 6 = 0$。 代入 $(2,\ 0)$ 得 $6 - 6 = 0$，代入 $(0,\ 3)$ 得 $6 - 6 = 0$，都成立。

(2) 截距 $a = -5 \neq 0$、$b = 6 \neq 0$，截距式可用：

$$\frac{x}{-5} + \frac{y}{6} = 1.$$

这里最容易出错的一步：$a = -5$ 是负数，分母就写 $-5$，不要写成 $5$ 再在前面添负号， 更不要因为”截距”两个字就取绝对值——截距是交点的坐标，本来就可以是负的。

画图：直线与 $x$ 轴交于 $(-5,\ 0)$、与 $y$ 轴交于 $(0,\ 6)$，连这两点。 这条直线经过第一、二、三象限。

自检：化成一般式，两边乘 $-30$ 得 $6x - 5y = -30$，即 $6x - 5y + 30 = 0$。 代入 $(-5,\ 0)$ 得 $-30 + 30 = 0$，代入 $(0,\ 6)$ 得 $-30 + 30 = 0$，都成立。

练习（第 64 页）第 3 题

3. 根据下列条件，求直线的方程：

(1) 过点 $(0, 5)$ ，且在两坐标轴上的截距之和为 2；

(2) 过点 $(5, 0)$ ，且在两坐标轴上的截距之差为 2.

(1) 题目说”在两坐标轴上的截距”，说明这条直线与两条坐标轴都相交、且两个截距都存在。 先据此排除两种直线：

• 若直线竖直（$x = c$），它与 $y$ 轴要么不相交（$c \neq 0$）、要么就是 $y$ 轴本身， 没有确定的纵截距，不合题意；
• 若直线水平（$y = c$），它与 $x$ 轴要么不相交、要么就是 $x$ 轴本身，没有确定的横截距，不合题意。

所以这条直线与 $y$ 轴恰交于一点。而已知它过 $(0,\ 5)$，$(0,\ 5)$ 正在 $y$ 轴上， 所以这个交点就是 $(0,\ 5)$，纵截距 $b = 5$。

由”截距之和为 $2$“得 $a + b = 2$，故 $a = 2 - 5 = -3$。$a = -3 \neq 0$、$b = 5 \neq 0$， 截距式可用：

$$\frac{x}{-3} + \frac{y}{5} = 1.$$

化为一般式（两边乘 $-15$）：

$$5x - 3y + 15 = 0.$$

自检：代入 $(0,\ 5)$ 得 $0 - 15 + 15 = 0$，过定点；令 $y = 0$ 得 $5x + 15 = 0$，$x = -3$， 横截距是 $-3$；两个截距之和 $-3 + 5 = 2$，与条件相符。

(2) 同理，题目要求两个截距都存在，所以直线既不竖直也不水平。 已知它过 $(5,\ 0)$，而 $(5,\ 0)$ 在 $x$ 轴上，所以横截距 $a = 5$，且纵截距 $b \neq 0$。

“截距之差为 $2$“这句话没有指明是谁减谁，两种读法都要写出来：

读法一：$a - b = 2$。 则 $b = a - 2 = 3 \neq 0$，截距式为 $\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{3} = 1$，化为一般式（两边乘 $15$）得

$$3x + 5y - 15 = 0.$$

自检：代入 $(5,\ 0)$ 得 $15 - 15 = 0$；令 $x = 0$ 得 $y = 3$，纵截距是 $3$；$5 - 3 = 2$，相符。

读法二：$b - a = 2$。 则 $b = a + 2 = 7 \neq 0$，截距式为 $\dfrac{x}{5} + \dfrac{y}{7} = 1$，化为一般式（两边乘 $35$）得

$$7x + 5y - 35 = 0.$$

自检：代入 $(5,\ 0)$ 得 $35 - 35 = 0$；令 $x = 0$ 得 $y = 7$，纵截距是 $7$；$7 - 5 = 2$，相符。

结论：若”截距之差”指”横截距减纵截距”，方程是 $3x + 5y - 15 = 0$； 若指”纵截距减横截距”，方程是 $7x + 5y - 35 = 0$。两条都满足题设的字面要求。

这道题的关键动作：定点落在坐标轴上时，它本身就把一个截距送给你了—— $(0,\ 5)$ 给出纵截距 $5$，$(5,\ 0)$ 给出横截距 $5$。剩下的只是解一个一元一次方程。 但在用截距式之前，一定要先说明两个截距都存在（即直线既不竖直也不水平）， 否则截距式的前提没有交代。

练习（第 66 页）第 1 题

1. 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1) 经过点 $A(8, -2)$ ，斜率是 $-\frac{1}{2}$ ; (2) 经过点 $B(4, 2)$ ，平行于 x 轴； (3) 经过点 $P_{1}(3, -2)$ ， $P_{2}(5, -4)$ ; (4) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 $\frac{3}{2}$ ，-3.

(1) 给点给斜率，用点斜式。斜率 $-\dfrac{1}{2}$ 存在，点斜式可用：

$$y - (-2) = -\frac{1}{2}(x - 8), \qquad \text{即}\quad y + 2 = -\frac{1}{2}(x - 8).$$

化为一般式：两边乘 $2$ 得 $2y + 4 = -(x - 8) = -x + 8$，移项得

$$x + 2y - 4 = 0.$$

自检：代入 $A(8,\ -2)$ 得 $8 - 4 - 4 = 0$；斜率 $-\dfrac{A}{B} = -\dfrac{1}{2}$，与题给一致。

(2) 平行于 $x$ 轴的直线是水平线，斜率为 $0$，过 $B(4,\ 2)$，方程是

$$y = 2, \qquad \text{一般式}\quad y - 2 = 0.$$

（写成 $0 \cdot x + 1 \cdot y - 2 = 0$，$A = 0$、$B = 1$ 不同时为 $0$，合法。）

自检：这条直线上每个点的纵坐标都是 $2$，确实过 $B(4,\ 2)$，且与 $x$ 轴平行而不重合 （因为 $2 \neq 0$），符合”平行于 $x$ 轴”。

(3) 给两点。先验两点式的前提：横坐标 $3 \neq 5$、纵坐标 $-2 \neq -4$，都满足。 先算斜率

$$k = \frac{-4 - (-2)}{5 - 3} = \frac{-2}{2} = -1,$$

再用点斜式（取 $P_1(3,\ -2)$）：$y + 2 = -(x - 3)$，化为一般式得

$$x + y - 1 = 0.$$

自检：代入 $P_1(3,\ -2)$ 得 $3 - 2 - 1 = 0$，代入 $P_2(5,\ -4)$ 得 $5 - 4 - 1 = 0$，两点都在上面。

(4) 截距 $a = \dfrac{3}{2} \neq 0$、$b = -3 \neq 0$，截距式可用：

$$\frac{x}{\dfrac{3}{2}} + \frac{y}{-3} = 1, \qquad \text{即}\quad \frac{2x}{3} - \frac{y}{3} = 1.$$

化为一般式：两边乘 $3$ 得 $2x - y = 3$，即

$$2x - y - 3 = 0.$$

自检：令 $y = 0$ 得 $x = \dfrac{3}{2}$，横截距对；令 $x = 0$ 得 $-y - 3 = 0$，$y = -3$，纵截距对。

这道题的关键动作：题目给什么就用哪种形式起步，最后一律化成一般式。 第 (2) 问要特别注意：水平线写不成两点式也用不上截距式（它与 $x$ 轴不相交）， 但点斜式与一般式都写得出来。

练习（第 66 页）第 2 题

2. 求下列直线的斜率以及在 $y$ 轴上的截距，并画出图形：(1) $3x + y - 5 = 0$ (2) $\frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 1$ (3) $x + 2y = 0$ (4) $7x - 6y + 4 = 0$.

统一做法：把方程解出 $y$，化成斜截式 $y = kx + b$，$x$ 的系数就是斜率、常数项就是纵截距。 四条直线的 $y$ 的系数都不为零，所以斜率都存在，都化得成斜截式。 画图取两个点，通常取与两条坐标轴的交点。

(1) $3x + y - 5 = 0 \Rightarrow y = -3x + 5$。

斜率 $k = -3$，在 $y$ 轴上的截距 $b = 5$。

画图：与 $y$ 轴交于 $(0,\ 5)$；令 $y = 0$ 得 $x = \dfrac{5}{3}$，与 $x$ 轴交于 $\left(\dfrac{5}{3},\ 0\right)$。连这两点。

(2) $\dfrac{x}{4} - \dfrac{y}{5} = 1$。两边乘 $20$ 得 $5x - 4y = 20$，解出 $y$：

$$y = \frac{5x - 20}{4} = \frac{5}{4}x - 5.$$

斜率 $k = \dfrac{5}{4}$，在 $y$ 轴上的截距 $b = -5$。

画图：这本来就是截距式，横截距 $4$、纵截距 $-5$，即过 $(4,\ 0)$ 与 $(0,\ -5)$。连这两点。 （纵截距是 $-5$ 不是 $5$：截距式里 $y$ 的分母是 $-5$，因为原式写成 $\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-5} = 1$。）

(3) $x + 2y = 0 \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}x$。

斜率 $k = -\dfrac{1}{2}$，在 $y$ 轴上的截距 $b = 0$。

画图：常数项为零，直线过原点，与两条坐标轴的交点重合成一个点，所以要另取一点： 取 $x = 2$ 得 $y = -1$，连 $(0,\ 0)$ 与 $(2,\ -1)$。

(4) $7x - 6y + 4 = 0 \Rightarrow 6y = 7x + 4$，解出

$$y = \frac{7}{6}x + \frac{2}{3}.$$

斜率 $k = \dfrac{7}{6}$，在 $y$ 轴上的截距 $b = \dfrac{2}{3}$。

画图：与 $y$ 轴交于 $\left(0,\ \dfrac{2}{3}\right)$；令 $y = 0$ 得 $7x + 4 = 0$，$x = -\dfrac{4}{7}$， 与 $x$ 轴交于 $\left(-\dfrac{4}{7},\ 0\right)$。连这两点。

自检：四条直线都可以用”斜率 $= -\dfrac{A}{B}$、纵截距 $= -\dfrac{C}{B}$“再核一遍。 以 (4) 为例，$A = 7$、$B = -6$、$C = 4$，$-\dfrac{A}{B} = \dfrac{7}{6}$、 $-\dfrac{C}{B} = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$，与上面算的一致。

练习（第 66 页）第 3 题

3. 已知直线 l 的方程是 $Ax + By + C = 0$ .

(1) 当 $B \neq 0$ 时，直线 l 的斜率是多少？当 B = 0 时呢？

(2) 系数 A, B, C 取什么值时，方程 $Ax + By + C = 0$ 表示经过原点的直线？

这里 $Ax + By + C = 0$ 是直线的一般式，所以默认前提是 $A$、$B$ 不同时为 $0$—— 否则它根本不表示直线（$A = B = 0$ 时，方程要么无解、要么被整个平面满足）。下面两问都在这个前提下讨论。

(1) 当 $B \neq 0$ 时，可以两边除以 $B$ 并解出 $y$：

$$By = -Ax - C \ \Longrightarrow\ y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}.$$

这是斜截式，所以直线 $l$ 的斜率是 $-\dfrac{A}{B}$（顺带，它在 $y$ 轴上的截距是 $-\dfrac{C}{B}$）。

当 $B = 0$ 时，由前提知 $A \neq 0$，方程化为

$$Ax + C = 0 \ \Longrightarrow\ x = -\frac{C}{A}.$$

这条直线上每个点的横坐标都等于 $-\dfrac{C}{A}$，它垂直于 $x$ 轴（竖直）， 倾斜角是 $90^\circ$，$\tan 90^\circ$ 无意义，所以斜率不存在。

注意”斜率不存在”与”斜率为 $0$“是两回事：$B = 0$ 时斜率不存在（竖直线）； $A = 0$（此时 $B \neq 0$）时斜率是 $-\dfrac{0}{B} = 0$（水平线）。

(2) 直线经过原点，当且仅当 $(0,\ 0)$ 的坐标满足方程。代入得

$$A \times 0 + B \times 0 + C = 0 \ \Longrightarrow\ C = 0.$$

反过来，若 $C = 0$，方程是 $Ax + By = 0$，$(0,\ 0)$ 显然满足，直线过原点。

所以答案是：$C = 0$（且 $A$、$B$ 不同时为 $0$），$A$、$B$ 可以取任意不同时为零的值。

自检：$x + 2y = 0$（上一题第 (3) 问）常数项为零，图象确实过原点； 而 $3x + y - 5 = 0$ 的常数项 $-5 \neq 0$，代入 $(0,0)$ 得 $-5 \neq 0$，不过原点。与结论相符。

习题 2.2 第 1 题

1. 写出满足下列条件的直线的方程：

(1) 经过点 A(8, -2)，斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ;

(2) 经过点 $B(-2, 0)$ ，且与 x 轴垂直；

(3) 斜率是 -4，在 y 轴上的截距是 7；

(4) 经过 A(-1, 8), B(4, -2) 两点;

(5) 在 y 轴上的截距是 2，且与 x 轴平行；

(6) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4，-3.

六小问各配一种形式，最后统一化成一般式。

(1) 给点给斜率，斜率 $\dfrac{\sqrt{3}}{3}$ 存在，用点斜式：

$$y + 2 = \frac{\sqrt{3}}{3}(x - 8).$$

化为一般式：两边乘 $3$ 得 $3y + 6 = \sqrt{3}(x - 8) = \sqrt{3}x - 8\sqrt{3}$，移项得

$$\sqrt{3}x - 3y - 8\sqrt{3} - 6 = 0.$$

自检：代入 $A(8,\ -2)$ 得 $8\sqrt{3} + 6 - 8\sqrt{3} - 6 = 0$，成立。

(2) 与 $x$ 轴垂直的直线是竖直线，没有斜率、写不成点斜式， 但它上面每个点的横坐标都相同。它过 $B(-2,\ 0)$，所以方程是

$$x = -2, \qquad \text{一般式}\quad x + 2 = 0.$$

(3) 给斜率给纵截距，用斜截式：$y = -4x + 7$，化为一般式

$$4x + y - 7 = 0.$$

自检：令 $x = 0$ 得 $y = 7$，纵截距对；斜率 $-\dfrac{A}{B} = -4$，也对。

(4) 给两点。横坐标 $-1 \neq 4$，斜率存在，

$$k = \frac{-2 - 8}{4 - (-1)} = \frac{-10}{5} = -2.$$

用点斜式（取 $A(-1,\ 8)$）：$y - 8 = -2(x + 1)$，化为一般式

$$2x + y - 6 = 0.$$

自检：代入 $A(-1,\ 8)$ 得 $-2 + 8 - 6 = 0$，代入 $B(4,\ -2)$ 得 $8 - 2 - 6 = 0$，两点都在上面。

(5) 与 $x$ 轴平行的直线是水平线，纵截距是 $2$，所以方程是

$$y = 2, \qquad \text{一般式}\quad y - 2 = 0.$$

（$2 \neq 0$，所以它与 $x$ 轴平行而不重合，符合题意。）

(6) 截距 $a = 4 \neq 0$、$b = -3 \neq 0$，用截距式：$\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-3} = 1$， 两边乘 $12$ 得 $3x - 4y = 12$，即

$$3x - 4y - 12 = 0.$$

自检：令 $y = 0$ 得 $x = 4$，令 $x = 0$ 得 $y = -3$，两个截距都对。

这道题的关键动作：六小问其实是在点名六种”已知条件的组合”， 每种对应一个最省事的形式。第 (2) 问是唯一一个必须绕开点斜式的—— “与 $x$ 轴垂直”就是竖直线，斜率不存在。

习题 2.2 第 2 题

2. 判断 $A(1, 3), B(5, 7), C(10, 12)$ 三点是否共线，并说明理由.

结论：三点共线。

理由要走两步，缺一不可。

第一步：算从同一点出发的两条直线的斜率。 $A$、$B$ 的横坐标 $1 \neq 5$， $A$、$C$ 的横坐标 $1 \neq 10$，两个斜率都存在，

$$k_{AB} = \frac{7 - 3}{5 - 1} = \frac{4}{4} = 1, \qquad k_{AC} = \frac{12 - 3}{10 - 1} = \frac{9}{9} = 1.$$

第二步：由”斜率相等 + 有公共点”升级成”重合”。 $k_{AB} = k_{AC}$ 说明直线 $AB$ 与直线 $AC$ 平行或重合；这两条直线都过点 $A$、有公共点，而平行的两条直线没有公共点，所以只能重合。 于是 $B$、$C$ 与 $A$ 在同一条直线上，三点共线。

自检：直线 $AB$ 过 $A(1,\ 3)$、斜率 $1$，方程是 $y - 3 = x - 1$，即 $x - y + 2 = 0$。 把 $C(10,\ 12)$ 代入得 $10 - 12 + 2 = 0$，成立，$C$ 确实在这条直线上。

这道题的关键动作：两条直线必须共用一个端点（这里都从 $A$ 出发）， “斜率相等”才推得出”重合”。若比的是 $k_{AB}$ 与 $k_{BC}$ 也可以，因为它们共用 $B$； 但若比两条完全不相干的直线，斜率相等只能得平行。

习题 2.2 第 3 题

3. 已知两点 $A(7, -4)$, $B(-5, 6)$, 求线段 $AB$ 的垂直平分线的方程.

垂直平分线要满足两件事：过 $AB$ 的中点，且与 $AB$ 垂直。两件事各给一个信息。

第一步：求中点。

$$M\left(\frac{7 + (-5)}{2},\ \frac{-4 + 6}{2}\right) = M(1,\ 1).$$

第二步：求 $AB$ 的斜率。 横坐标 $7 \neq -5$，斜率存在，

$$k_{AB} = \frac{6 - (-4)}{-5 - 7} = \frac{10}{-12} = -\frac{5}{6}.$$

第三步：求垂线的斜率。 $k_{AB} = -\dfrac{5}{6} \neq 0$，所以垂直平分线不是竖直线，斜率存在， 由 $k \cdot k_{AB} = -1$ 得

$$k = -\frac{1}{k_{AB}} = \frac{6}{5}.$$

第四步：写方程。 用点斜式，过 $M(1,\ 1)$：

$$y - 1 = \frac{6}{5}(x - 1),$$

两边乘 $5$ 得 $5y - 5 = 6x - 6$，化为一般式

$$6x - 5y - 1 = 0.$$

自检（用”垂直平分线上的点到两端点等距”这条性质）：取 $M(1,\ 1)$，

$$|MA| = \sqrt{(7-1)^2 + (-4-1)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61},$$ $$|MB| = \sqrt{(-5-1)^2 + (6-1)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61},$$

相等。再取直线上另一点，令 $x = 6$ 得 $36 - 5y - 1 = 0$，$y = 7$，点 $(6,\ 7)$：

$$\sqrt{(7-6)^2 + (-4-7)^2} = \sqrt{1 + 121} = \sqrt{122}, \qquad \sqrt{(-5-6)^2 + (6-7)^2} = \sqrt{121 + 1} = \sqrt{122},$$

也相等。方程没写错。

习题 2.2 第 4 题

4. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点 $A(8, 5)$, $B(4, -2)$, $C(-6, 3)$, 求经过两边 $AB$ 和 $AC$ 的中点的直线的方程.

第一步：求两个中点。

$$M_{AB}\left(\frac{8 + 4}{2},\ \frac{5 + (-2)}{2}\right) = M_{AB}\left(6,\ \frac{3}{2}\right),$$ $$M_{AC}\left(\frac{8 + (-6)}{2},\ \frac{5 + 3}{2}\right) = M_{AC}(1,\ 4).$$

第二步：求斜率。 两点横坐标 $6 \neq 1$，斜率存在，

$$k = \frac{4 - \dfrac{3}{2}}{1 - 6} = \frac{\dfrac{5}{2}}{-5} = -\frac{1}{2}.$$

第三步：写方程。 用点斜式，过 $M_{AC}(1,\ 4)$：$y - 4 = -\dfrac{1}{2}(x - 1)$， 两边乘 $2$ 得 $2y - 8 = -(x - 1) = -x + 1$，化为一般式

$$x + 2y - 9 = 0.$$

自检一：把另一个中点 $M_{AB}\left(6,\ \dfrac{3}{2}\right)$ 代入，得 $6 + 3 - 9 = 0$，成立。

自检二（几何）：这条直线是 $\triangle ABC$ 的中位线，按三角形中位线定理它应当平行于 $BC$。 算一下 $BC$ 的斜率：

$$k_{BC} = \frac{3 - (-2)}{-6 - 4} = \frac{5}{-10} = -\frac{1}{2},$$

与上面求出的 $k$ 相等，确实平行（两条直线不重合：$B(4,\ -2)$ 代入所求方程得 $4 - 4 - 9 = -9 \neq 0$）。几何与代数对上了。

习题 2.2 第 5 题

5. 一根弹簧，挂 $4\mathrm{N}$ 的物体时，长 $20~\mathrm{cm}$。在弹性限度内，所挂物体的重量每增加 $1\mathrm{N}$，弹簧就伸长 $1.5\mathrm{cm}$。试写出弹簧的长度 $l$（单位：$\mathrm{cm}$）与所挂物体重量 $G$（单位：$\mathrm{N}$）之间关系的方程。

“重量每增加 $1\ \mathrm{N}$，弹簧就伸长 $1.5\ \mathrm{cm}$“这句话说的是： $l$ 随 $G$ 均匀变化，变化率是常数 $1.5$。所以在弹性限度内，$l$ 与 $G$ 的关系是一次的， 把 $(G,\ l)$ 看成平面上的点，它们在一条斜率为 $1.5$ 的直线上。

已知这条直线过点 $(4,\ 20)$（挂 $4\ \mathrm{N}$ 时长 $20\ \mathrm{cm}$），斜率 $k = 1.5$，用点斜式：

$$l - 20 = 1.5(G - 4),$$

展开得 $l - 20 = 1.5G - 6$，所以

$$l = 1.5G + 14.$$

写成一般式（两边乘 $2$ 并移项）：

$$3G - 2l + 28 = 0.$$

取值范围要交代：$G$ 是所挂物体的重量，$G \geq 0$；另外题目说了”在弹性限度内”， 超出弹性限度这个关系就不成立，所以这个方程只在弹性限度对应的那段 $G$ 上有效。

自检：$G = 4$ 时 $l = 1.5 \times 4 + 14 = 6 + 14 = 20$，与题设的”挂 $4\ \mathrm{N}$ 时长 $20\ \mathrm{cm}$“相符； $G$ 增加 $1$ 时 $l$ 增加 $1.5$，与”每增加 $1\ \mathrm{N}$ 伸长 $1.5\ \mathrm{cm}$“相符。 另外 $G = 0$ 时 $l = 14$，这是弹簧的原长，是一个有意义的正数，结果合理。

这道题的关键动作：“每增加一个单位就变化固定的量”就是斜率。 应用题里出现这种句式，直接把它当成 $k$，再找一个已知的点，点斜式一步写完。

习题 2.2 第 6 题

6. 菱形的两条对角线分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程.

第一步：定出四个顶点。 菱形的两条对角线互相垂直平分。 题目说两条对角线分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴上，而 $x$ 轴与 $y$ 轴交于原点， 所以两条对角线的交点就是原点，且原点是每条对角线的中点。

在 $x$ 轴上的那条对角线长 $8$，被原点平分，两个端点是 $(\pm 4,\ 0)$； 在 $y$ 轴上的那条长 $6$，两个端点是 $(0,\ \pm 3)$。记

$$A(4,\ 0), \quad B(0,\ 3), \quad C(-4,\ 0), \quad D(0,\ -3),$$

菱形是 $ABCD$，四条边是 $AB$、$BC$、$CD$、$DA$。

第二步：四条边各用一次截距式。 每条边的两个端点恰好一个在 $x$ 轴上、一个在 $y$ 轴上， 所以横截距与纵截距直接读得出来，且都不为零，截距式可用。

边 $AB$：截距 $4$ 与 $3$，$\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{3} = 1$，两边乘 $12$ 得

$$3x + 4y - 12 = 0.$$

边 $BC$：截距 $-4$ 与 $3$，$\dfrac{x}{-4} + \dfrac{y}{3} = 1$，两边乘 $-12$ 得

$$3x - 4y + 12 = 0.$$

边 $CD$：截距 $-4$ 与 $-3$，$\dfrac{x}{-4} + \dfrac{y}{-3} = 1$，两边乘 $-12$ 得

$$3x + 4y + 12 = 0.$$

边 $DA$：截距 $4$ 与 $-3$，$\dfrac{x}{4} + \dfrac{y}{-3} = 1$，两边乘 $12$ 得

$$3x - 4y - 12 = 0.$$

自检：四条边的一般式只差两个符号，形状是 $3x \pm 4y \pm 12 = 0$ 的四种组合， 与菱形关于两条坐标轴都对称这件事相符。再验一次边长：

$$|AB| = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5,$$

四条边由对称性长度都是 $5$，四边相等，确实是菱形。

这道题的关键动作：“对角线互相垂直平分”把四个顶点直接钉在了坐标轴上， 于是四条边天然是”一个横截距 + 一个纵截距”的形状，截距式最省事。

习题 2.2 第 7 题

7. 求经过点 $P(2,3)$，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

这道题必须分两种情形，漏掉第一种是最常见的错。

情形一：两个截距都是 $0$（直线过原点）。 “截距相等”包括”都等于 $0$“这一种，此时直线过原点。它又过 $P(2,\ 3)$， 两点横坐标 $0 \neq 2$，斜率存在，

$$k = \frac{3 - 0}{2 - 0} = \frac{3}{2},$$

方程是 $y = \dfrac{3}{2}x$，化为一般式

$$3x - 2y = 0.$$

自检：代入 $P(2,\ 3)$ 得 $6 - 6 = 0$；令 $y = 0$ 得 $x = 0$，令 $x = 0$ 得 $y = 0$， 两个截距都是 $0$，相等。

情形二：两个截距相等且不为 $0$。 记这个公共值为 $a \neq 0$，截距式可用：

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1, \qquad \text{即}\quad x + y = a.$$

代入 $P(2,\ 3)$ 得 $a = 5 \neq 0$，与假设相容。方程是

$$x + y - 5 = 0.$$

自检：代入 $P(2,\ 3)$ 得 $2 + 3 - 5 = 0$；令 $y = 0$ 得 $x = 5$，令 $x = 0$ 得 $y = 5$， 两个截距都是 $5$，相等。

结论：所求直线有两条，方程分别是 $3x - 2y = 0$ 与 $x + y - 5 = 0$。

这道题的关键动作：一上来就用截距式，就等于偷偷假设了两个截距都不为零， 过原点的那一条会被漏掉。凡是题目里出现”截距相等""截距互为相反数""截距之和/之积为某值”， 都要先把”过原点”这一支单独拎出来讨论。

习题 2.2 第 8 题

8. 求满足下列条件的直线的方程：

(1) 经过点 A(3, 2)，且与直线 $4x + y - 2 = 0$ 平行；

(2) 经过点 $C(2, -3)$ ，且平行于过 $M(1, 2)$ 和 $N(-1, -5)$ 两点的直线；

(3) 经过点 $B(3,0)$ ，且与直线 $2x+y-5=0$ 垂直.

三小问都可以用一般式的”平行系 / 垂直系”一步写完，好处是只剩一个待定常数，而且不必讨论斜率存不存在。 下面每问都写这条路，并用斜率法自检。

(1) 与 $4x + y - 2 = 0$ 平行的直线可设为

$$4x + y + m = 0$$

（把常数项换掉、$x$ 与 $y$ 的系数照抄，这样两条直线的系数满足 $A_1B_2 - A_2B_1 = 4 \times 1 - 4 \times 1 = 0$，必平行或重合）。 代入 $A(3,\ 2)$：$12 + 2 + m = 0$，得 $m = -14$。所求方程

$$4x + y - 14 = 0.$$

还要排除重合：$m = -14 \neq -2$，两条直线的常数项不同，所以不重合，确实平行。 （也可以直接验：把 $A(3,\ 2)$ 代入原直线得 $12 + 2 - 2 = 12 \neq 0$，$A$ 不在原直线上。）

自检（斜率法）：原直线 $y = -4x + 2$，斜率 $-4$；所求 $y = -4x + 14$，斜率也是 $-4$， 纵截距 $14 \neq 2$，平行。

(2) 先求 $MN$ 的斜率。$M$、$N$ 的横坐标 $1 \neq -1$，斜率存在，

$$k_{MN} = \frac{2 - (-5)}{1 - (-1)} = \frac{7}{2}.$$

所求直线与 $MN$ 平行，斜率也是 $\dfrac{7}{2}$，过 $C(2,\ -3)$，用点斜式：

$$y + 3 = \frac{7}{2}(x - 2),$$

两边乘 $2$ 得 $2y + 6 = 7x - 14$，化为一般式

$$7x - 2y - 20 = 0.$$

排除重合：直线 $MN$ 过 $M(1,\ 2)$，把 $M$ 代入所求方程得 $7 - 4 - 20 = -17 \neq 0$， $M$ 不在所求直线上，两条不重合，确实平行。

自检：代入 $C(2,\ -3)$ 得 $14 + 6 - 20 = 0$，过定点；斜率 $-\dfrac{A}{B} = \dfrac{7}{2}$，与 $k_{MN}$ 相等。

(3) 与 $2x + y - 5 = 0$ 垂直的直线可设为

$$x - 2y + m = 0$$

（把系数 $(A,\ B) = (2,\ 1)$ 换成 $(B,\ -A) = (1,\ -2)$，这样 $A_1A_2 + B_1B_2 = 2 \times 1 + 1 \times (-2) = 0$，必垂直）。 代入 $B(3,\ 0)$：$3 - 0 + m = 0$，得 $m = -3$。所求方程

$$x - 2y - 3 = 0.$$

自检（斜率法）：原直线斜率 $-2$，所求直线斜率 $\dfrac{1}{2}$，乘积 $-2 \times \dfrac{1}{2} = -1$，垂直； 代入 $B(3,\ 0)$ 得 $3 - 0 - 3 = 0$，过定点。

这道题的关键动作：平行系换常数项、垂直系把系数对调再取一个负号， 代一个点解出常数即可。平行那两问解完还要回头验一次不重合，垂直那一问不必—— $A_1A_2 + B_1B_2 = 0$ 本身就排除了重合。

习题 2.2 第 9 题

9. $\triangle ABC$ 的三个顶点是 $A(4,0)$, $B(6,7)$, $C(0,3)$, 求:

(1) 边 BC 上的中线所在直线的方程;

(2) 边 BC 上的高所在直线的方程;

(3) 边 BC 的垂直平分线的方程.

三问都围着边 $BC$ 转，先把 $BC$ 的两个基本量算出来备用。

$BC$ 的中点：

$$M\left(\frac{6 + 0}{2},\ \frac{7 + 3}{2}\right) = M(3,\ 5).$$

$BC$ 的斜率：横坐标 $6 \neq 0$，斜率存在，

$$k_{BC} = \frac{7 - 3}{6 - 0} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

与 $BC$ 垂直的方向的斜率：$k_{BC} = \dfrac{2}{3} \neq 0$，所以垂线不竖直、斜率存在，

$$k_\perp = -\frac{1}{k_{BC}} = -\frac{3}{2}.$$

(1) 边 $BC$ 上的中线：从顶点 $A$ 连到对边 $BC$ 的中点 $M$。 $A(4,\ 0)$ 与 $M(3,\ 5)$ 的横坐标 $4 \neq 3$，斜率存在，

$$k_{AM} = \frac{5 - 0}{3 - 4} = \frac{5}{-1} = -5.$$

点斜式（过 $A$）：$y - 0 = -5(x - 4)$，化为一般式

$$5x + y - 20 = 0.$$

自检：代入 $A(4,\ 0)$ 得 $20 - 20 = 0$；代入 $M(3,\ 5)$ 得 $15 + 5 - 20 = 0$。两点都在上面。

(2) 边 $BC$ 上的高：过顶点 $A$ 且垂直于 $BC$，斜率是 $k_\perp = -\dfrac{3}{2}$。 点斜式（过 $A(4,\ 0)$）：$y = -\dfrac{3}{2}(x - 4)$，两边乘 $2$ 得 $2y = -3x + 12$，化为一般式

$$3x + 2y - 12 = 0.$$

自检：代入 $A(4,\ 0)$ 得 $12 - 12 = 0$，过 $A$；斜率 $-\dfrac{3}{2}$ 与 $k_{BC} = \dfrac{2}{3}$ 之积为 $-1$，垂直。

(3) 边 $BC$ 的垂直平分线：过中点 $M(3,\ 5)$ 且垂直于 $BC$，斜率也是 $-\dfrac{3}{2}$。 点斜式：$y - 5 = -\dfrac{3}{2}(x - 3)$，两边乘 $2$ 得 $2y - 10 = -3x + 9$，化为一般式

$$3x + 2y - 19 = 0.$$

自检：代入 $M(3,\ 5)$ 得 $9 + 10 - 19 = 0$；再验”到 $B$、$C$ 等距”——取 $M(3,5)$，

$$|MB| = \sqrt{(6-3)^2 + (7-5)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}, \quad |MC| = \sqrt{(0-3)^2 + (3-5)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13},$$

相等。另外 (2) 与 (3) 的斜率相同、常数项不同（$-12 \neq -19$），所以高与垂直平分线是两条平行的直线， 这与”$\triangle ABC$ 不是等腰三角形（$AB \neq AC$）“相符：

$$|AB| = \sqrt{(6-4)^2 + 7^2} = \sqrt{53}, \qquad |AC| = \sqrt{(0-4)^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5,$$

$\sqrt{53} \neq 5$，两条确实不该重合。

这道题的关键动作：中线、高、垂直平分线三者的区别只在”过哪个点、朝哪个方向”—— 中线过顶点、方向由顶点与中点决定；高过顶点、方向垂直于对边；垂直平分线过中点、方向垂直于对边。 把”点”和”方向”两个格子填对，剩下的就是点斜式。

习题 2.2 第 10 题

10. 求直线 $Ax + By + C = 0$ (A, B 不同时为 0) 的系数 A, B, C 分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：

(1) 与两条坐标轴都相交； (2) 只与 $x$ 轴相交；

(3) 只与 y 轴相交； (4) 是 x 轴所在的直线；

(5) 是 y 轴所在的直线.

先把两条基本判断摆出来，五问都从它们读出答案。

• 直线与 $x$ 轴相交于一点，当且仅当它不平行于 $x$ 轴也不是 $x$ 轴，即 $A \neq 0$。 （$A \neq 0$ 时令 $y = 0$ 得唯一的 $x = -\dfrac{C}{A}$；$A = 0$ 时方程是 $By + C = 0$， 与 $y$ 无关地固定了 $y$，直线水平，要么与 $x$ 轴无公共点、要么就是 $x$ 轴。）
• 直线与 $y$ 轴相交于一点，当且仅当 $B \neq 0$，理由对称。

(1) 与两条坐标轴都相交：需要 $A \neq 0$ 且 $B \neq 0$。 （此时若还有 $C \neq 0$，两个交点 $\left(-\dfrac{C}{A},\ 0\right)$ 与 $\left(0,\ -\dfrac{C}{B}\right)$ 是不同的两点； 若 $C = 0$，直线过原点，两个交点重合成原点——仍然是”与两条坐标轴都相交”。）

(2) 只与 $x$ 轴相交：要与 $x$ 轴有交点、与 $y$ 轴没有交点。 由上面两条，前者要 $A \neq 0$，后者要 $B = 0$。 但 $B = 0$、$A \neq 0$ 时方程是 $x = -\dfrac{C}{A}$，若 $C = 0$ 它就是 $y$ 轴本身 （与 $y$ 轴重合，不是”不相交”）。所以还要 $C \neq 0$。

结论：$B = 0$，$A \neq 0$，$C \neq 0$。

(3) 只与 $y$ 轴相交：与 (2) 对称，$A = 0$，$B \neq 0$，$C \neq 0$。 此时方程是 $y = -\dfrac{C}{B} \neq 0$，是一条不经过原点的水平直线。

(4) 是 $x$ 轴所在的直线：$x$ 轴的方程是 $y = 0$。 要让 $Ax + By + C = 0$ 与 $y = 0$ 是同一条直线，必须 $A = 0$、$C = 0$，且 $B \neq 0$ （由”$A$、$B$ 不同时为 $0$“这时自动有 $B \neq 0$）。方程成为 $By = 0$，即 $y = 0$。

结论：$A = 0$，$C = 0$，$B \neq 0$。

(5) 是 $y$ 轴所在的直线：$y$ 轴的方程是 $x = 0$。同理

结论：$B = 0$，$C = 0$，$A \neq 0$。

自检：五种情形把”$A$ 是否为零”与”$B$ 是否为零”的四种组合排了一遍—— $A \neq 0$ 且 $B \neq 0$ 落在 (1)；$A \neq 0$ 且 $B = 0$ 是竖直线，按 $C$ 是否为零分成 (2) 与 (5)； $A = 0$ 且 $B \neq 0$ 是水平线，按 $C$ 是否为零分成 (3) 与 (4)； $A = B = 0$ 被题设排除。不重不漏。

习题 2.2 第 11 题

11. 设点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 在直线 $Ax + By + C = 0$ 上，求证：这条直线的方程还可以写成

$A (x - x _ {0}) + B (y - y _ {0}) = 0.$

证明。 由题设，$P_0(x_0,\ y_0)$ 在直线 $Ax + By + C = 0$ 上，所以它的坐标满足这个方程：

$$Ax_0 + By_0 + C = 0, \qquad \text{即}\quad C = -Ax_0 - By_0.$$

把这个 $C$ 代回原方程的左边：

$$Ax + By + C = Ax + By - Ax_0 - By_0 = A(x - x_0) + B(y - y_0).$$

也就是说，对平面内的每一个点 $(x,\ y)$，两个式子的值恒相等， 于是"$Ax + By + C = 0$"与"$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$"这两个方程有完全相同的解集。 解集相同，表示的点集就相同，所以它们是同一条直线的方程。

最后补一句合法性：由题设 $A$、$B$ 不同时为 $0$，所以 $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ 展开后 $x$、$y$ 的系数仍是 $A$、$B$，不同时为零，它确实是一个二元一次方程、确实表示直线。证毕。

这个写法有什么用：它把方程的”定点”显式地摆了出来—— $A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$ 一眼就能看出直线过 $(x_0,\ y_0)$， 而且左边正是法向量 $(A,\ B)$ 与向量 $(x - x_0,\ y - y_0)$ 的数量积。 所以这个式子的几何读法是：点 $P$ 在直线上，当且仅当 $\overrightarrow{P_0P}$ 与法向量垂直。 后面写圆的切线、写平面的方程时，用的都是这个形状。

自检：取一个具体例子。直线 $2x + 3y - 12 = 0$ 上有点 $P_0(0,\ 4)$（代入得 $12 - 12 = 0$）。 按结论，它的方程还可以写成 $2(x - 0) + 3(y - 4) = 0$，展开得 $2x + 3y - 12 = 0$，与原式相同。

习题 2.2 第 12 题

12. 若直线 $l$ 沿 $x$ 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位长度后，回到原来的位置。试求直线 $l$ 的斜率。

把平移写成坐标变换。 “沿 $x$ 轴向左平移 $3$ 个单位、再沿 $y$ 轴向上平移 $1$ 个单位”， 就是把每个点 $(x,\ y)$ 送到 $(x - 3,\ y + 1)$。 “平移后回到原来的位置”意思是：平移后的图形与原直线是同一条直线， 也就是 $l$ 上每一点的像仍然在 $l$ 上。

第一步：排除竖直线。 若 $l$ 竖直，设 $l: x = c$，则 $l$ 上任一点的像的横坐标是 $c - 3 \neq c$， 像不在 $l$ 上，$l$ 变成了另一条竖直线，不合题意。所以 $l$ 有斜率，设

$$l:\ y = kx + m.$$

第二步：用”像仍在 $l$ 上”列方程。 取 $l$ 上任意一点 $(x_0,\ kx_0 + m)$， 它的像是 $(x_0 - 3,\ kx_0 + m + 1)$。像在 $l$ 上，就是

$$kx_0 + m + 1 = k(x_0 - 3) + m = kx_0 - 3k + m.$$

两边同时减去 $kx_0 + m$，得

$$1 = -3k \ \Longrightarrow\ k = -\frac{1}{3}.$$

注意 $x_0$ 被消掉了：这说明只要 $k = -\dfrac{1}{3}$，$l$ 上每一个点的像都落回 $l$ 上， 条件确实成立（不是只对某一个点成立）。

结论：$l$ 的斜率是 $-\dfrac{1}{3}$。

几何解释与自检：平移向量是 $(-3,\ 1)$。一条直线被平移后与自身重合， 当且仅当平移向量与这条直线平行（否则整条线会挪到旁边去）。 向量 $(-3,\ 1)$ 对应的斜率就是 $\dfrac{1}{-3} = -\dfrac{1}{3}$，与算出来的一致。

再取一条具体的直线验一遍：$y = -\dfrac{1}{3}x$ 上取点 $(3,\ -1)$， 像是 $(0,\ 0)$，而 $(0,\ 0)$ 确实在 $y = -\dfrac{1}{3}x$ 上。

习题 2.2 第 13 题

13. 一条光线从点 $P(6,4)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q(2,0)$，经 $x$ 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.

入射光线所在直线就是过 $P(6,\ 4)$ 与 $Q(2,\ 0)$ 的直线。 两点横坐标 $6 \neq 2$，斜率存在，

$$k_{PQ} = \frac{4 - 0}{6 - 2} = \frac{4}{4} = 1.$$

点斜式（过 $Q(2,\ 0)$）：$y = x - 2$，化为一般式

$$x - y - 2 = 0.$$

自检：代入 $P(6,\ 4)$ 得 $6 - 4 - 2 = 0$，代入 $Q(2,\ 0)$ 得 $2 - 0 - 2 = 0$，两点都在上面。

反射光线所在直线。 反射面是 $x$ 轴，反射定律说入射角等于反射角， 等价的坐标说法是：入射光线与反射光线关于 $x$ 轴对称。 所以把入射光线上的点 $P(6,\ 4)$ 关于 $x$ 轴作对称，得

$$P'(6,\ -4),$$

反射光线所在直线就是过 $Q(2,\ 0)$ 与 $P'(6,\ -4)$ 的那条。横坐标 $2 \neq 6$，斜率存在，

$$k = \frac{-4 - 0}{6 - 2} = \frac{-4}{4} = -1.$$

点斜式（过 $Q(2,\ 0)$）：$y = -(x - 2)$，化为一般式

$$x + y - 2 = 0.$$

自检一（斜率互为相反数）：入射光线斜率 $1$、反射光线斜率 $-1$， 两条直线关于 $x$ 轴对称时斜率恰好互为相反数，相符。

自检二（交点在反射点上）：两条直线都过 $Q(2,\ 0)$—— 代入 $x + y - 2 = 0$ 得 $2 + 0 - 2 = 0$，成立。反射发生在 $Q$ 点，正确。

自检三（方向对不对）：光线从 $P(6,\ 4)$ 出发向左下走到 $Q(2,\ 0)$， 反射后应当继续向左、并转为向上。反射光线上取 $x = 0$ 得 $y = 2$， 点 $(0,\ 2)$ 在 $Q$ 的左上方，方向正确。

这道题的关键动作：“经 $x$ 轴反射”= 把点关于 $x$ 轴取对称点。 把 $P$ 换成 $P'(6,\ -4)$，反射光线就退化成一个普通的”过两点求直线”问题。 （若反射面是 $y$ 轴，就把横坐标取相反数；若是一条一般的直线，就要求点关于该直线的对称点。）

习题 2.2 第 14 题

14. 已知直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方程分别是 $l_{1}: A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0 (A_{1}, B_{1}$ 不同时为0), $l_{2}: A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0 (A_{2}, B_{2}$ 不同时为0), 且 $A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} = 0$, 求证: $l_{1} \perp l_{2}$.

证明。 用方向向量，可以一次覆盖”有没有斜率”的所有情形，不必分类讨论。

第一步：找出 $l_1$ 的一个方向向量。 在 $l_1$ 上任取两个不同的点 $P(x_1,\ y_1)$、$Q(x_2,\ y_2)$， 它们的坐标都满足 $l_1$ 的方程：

$$A_1x_1 + B_1y_1 + C_1 = 0, \qquad A_1x_2 + B_1y_2 + C_1 = 0.$$

两式相减得

$$A_1(x_2 - x_1) + B_1(y_2 - y_1) = 0,$$

也就是 $(A_1,\ B_1) \cdot \overrightarrow{PQ} = 0$。由于 $A_1$、$B_1$ 不同时为 $0$， $(A_1,\ B_1)$ 是非零向量，所以它与 $l_1$ 的方向向量 $\overrightarrow{PQ}$ 垂直， 即 $(A_1,\ B_1)$ 是 $l_1$ 的一个法向量。

在平面内，与非零向量 $(A_1,\ B_1)$ 垂直的向量都是 $(-B_1,\ A_1)$ 的实数倍， 所以 $\boldsymbol{u} = (-B_1,\ A_1)$ 是 $l_1$ 的一个方向向量； 它非零（因为 $A_1$、$B_1$ 不同时为 $0$）。

第二步：同理，$\boldsymbol{v} = (-B_2,\ A_2)$ 是 $l_2$ 的一个非零方向向量。

第三步：算数量积。

$$\boldsymbol{u} \cdot \boldsymbol{v} = (-B_1)(-B_2) + A_1A_2 = A_1A_2 + B_1B_2 = 0,$$

最后一步正是题设。两个非零向量的数量积为零，所以 $\boldsymbol{u} \perp \boldsymbol{v}$， 即两条直线的方向互相垂直，故 $l_1 \perp l_2$。证毕。

为什么这条判据比斜率好用：它对竖直线一样成立。 举个例子，$l_1: x - 1 = 0$（$A_1 = 1$、$B_1 = 0$）与 $l_2: y + 5 = 0$（$A_2 = 0$、$B_2 = 1$）， $A_1A_2 + B_1B_2 = 0 + 0 = 0$，判据说它们垂直——确实，一条竖直线与一条水平线互相垂直。 而用 $k_1k_2 = -1$ 就说不了这一对，因为 $l_1$ 没有斜率。

习题 2.2 第 15 题

15. 画出直线 $l: 2x - y + 3 = 0$，并在直线 $l$ 外取若干点，将这些点的坐标代入 $2x - y + 3$，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来.

先画直线。 把方程化为斜截式 $y = 2x + 3$，斜率 $2$、纵截距 $3$。 它与 $y$ 轴交于 $(0,\ 3)$；令 $y = 0$ 得 $x = -\dfrac{3}{2}$，与 $x$ 轴交于 $\left(-\dfrac{3}{2},\ 0\right)$。 连这两点即得 $l$。

再取点计算。 记 $f(x,\ y) = 2x - y + 3$。取六个不在 $l$ 上的点：

（怎么判断”上方""下方”：把点的横坐标代进 $y = 2x + 3$ 算出直线上对应的纵坐标， 再与该点的纵坐标比。例如 $(-2,\ 0)$：直线上横坐标为 $-2$ 的点是 $(-2,\ -1)$， 而 $0 > -1$，所以这个点在 $l$ 的上方。）

观察到的规律：$l$ 把平面分成两个部分，

• 在 $l$ 下方（即 $y < 2x + 3$）的点，$f(x,\ y) > 0$；
• 在 $l$ 上方（即 $y > 2x + 3$）的点，$f(x,\ y) < 0$；
• 在 $l$ 上的点，$f(x,\ y) = 0$。

把规律表示出来。 直接从代数上就能说明白：

$$f(x,\ y) = 2x - y + 3 = -\big(y - (2x + 3)\big),$$

括号里的 $y - (2x+3)$ 正是”该点的纵坐标减去直线上同横坐标处的纵坐标”， 它大于 $0$ 就是点在直线上方。前面带一个负号，所以

$$f(x,\ y) > 0 \Leftrightarrow y < 2x + 3 \ (\text{点在 } l \text{ 下方}), \qquad f(x,\ y) < 0 \Leftrightarrow y > 2x + 3 \ (\text{点在 } l \text{ 上方}).$$

于是规律可以一句话概括：$l$ 同一侧的点，$f$ 的值同号；异侧的点，$f$ 的值异号；$l$ 上的点 $f$ 的值为零。 用集合的语言写就是

$$\{(x,\ y) \mid 2x - y + 3 > 0\} \ \text{与}\ \{(x,\ y) \mid 2x - y + 3 < 0\}$$

分别是 $l$ 下方与上方的两个半平面。

自检：表里三个正值对应的点 $(0,0)$、$(1,0)$、$(2,0)$ 都在 $l$ 下方， 三个负值对应的点 $(0,5)$、$(-1,5)$、$(-2,0)$ 都在 $l$ 上方，与结论一致。 再补一个反向的验证：取 $(-2,\ -5)$，$f = -4 + 5 + 3 = 4 > 0$， 而直线上横坐标为 $-2$ 的点纵坐标是 $-1$，$-5 < -1$，该点确实在下方，符合。

这条规律的用处：它是后面”二元一次不等式表示平面区域”的全部内容， 也是判断”两点在直线同侧还是异侧”的标准手段——把两点坐标分别代入 $f$， 乘积为正是同侧、为负是异侧。