2.2.3 直线的一般式方程

文字转写

$x + 1 3 y + 5 = 0.$

这就是边 BC 上中线 AM 所在直线的方程.

直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义，都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率。这些直线的方程，形式不同但本质一致，都是对直线的定量刻画。在对直线的定量刻画中，斜率处于核心地位。点斜式方程是其他所有形式的方程的基础，其他所有形式的方程都是点斜式方程在一定条件下的变式。

另外，利用直线的斜率、两点式等，我们可以进一步理解平面几何中“两点确定一条直线”的含义。事实上，对于直线 $l$ 上的四个不同点 $P_{i}(x_{i},y_{i}), i = 1,2,3,4$ ，由$P_{1},P_{2}$ 确定的直线方程与由 $P_{3},P_{4}$ 确定的直线方程是同一个方程，你能给出证明吗？

练习

1. 求经过下列两点的直线的两点式方程：

(1) $P_{1}(2,1), P_{2}(0, -3)$; (2) $A(0,5), B(5,0)$.

2. 根据下列条件求直线的截距式方程，并画出图形：

(1) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 2, 3;

(2) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 -5, 6.

3. 根据下列条件，求直线的方程：

(1) 过点 $(0, 5)$ ，且在两坐标轴上的截距之和为 2；

(2) 过点 $(5, 0)$ ，且在两坐标轴上的截距之差为 2.

2.2.3 直线的一般式方程

观察直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程，我们发现，它们都是关于 $x, y$ 的二元一次方程。直线与二元一次方程是否都有这种关系呢？下面我们探讨这个问题。

思考

(1) 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 $x, y$ 的二元一次方程表示吗？

(2) 任意一个关于 x, y 的二元一次方程都表示一条直线吗?

先看问题（1）. 任意一条直线 $l$，在其上任取一点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$，当直线 $l$ 的斜率为 $k$ 时（此时直线的倾斜角 $\alpha \neq 90^{\circ}$），其方程为

$y - y _ {0} = k (x - x _ {0}),$

这是关于 $x, y$ 的二元一次方程.

分类讨论时，常按 $\alpha \neq 90^{\circ}$ 和 $\alpha = 90^{\circ}$ 分类，这样可以做到不重不漏.

当直线 l 的斜率不存在，即直线 l 的倾斜角 $\alpha=90^{\circ}$ 时，直线的方程为

$x - x _ {0} = 0,$

上述方程可以认为是关于 $x$ ， $y$ 的二元一次方程，因为此时方程中 $y$ 的系数为0.

方程 $y - y_0 = k(x - x_0)$ 和 $x - x_0 = 0$ 都是二元一次方程，因此平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于 $x$，$y$ 的二元一次方程表示.

反之，对于任意一个二元一次方程

$A x + B y + C = 0 (A, B \text {不同时为} 0),$

如果能把它化为直线方程的某种形式，那么我们就可以断定它表示一条直线.

当 $B \neq 0$ 时，方程 $Ax + By + C = 0$ 可变形为

$y = - \frac {A}{B} x - \frac {C}{B},$

它表示过点 $\left(0,-\frac{C}{B}\right)$ ，斜率为 $-\frac{A}{B}$ 的直线.

当 $B = 0$ 时， $A\neq 0$ ，方程 $Ax + By + C = 0$ 可变形为

$x = - \frac {C}{A},$

它表示过点 $(- \frac{C}{A}, 0)$ ，且垂直于 x 轴的直线.

由上可知，关于 x，y 的二元一次方程都表示一条直线.

我们把关于 $x, y$ 的二元一次方程

$A x + B y + C = 0$

(其中 A, B 不同时为 0) 叫做直线的一般式方程，简称一般式 (general form).

探究

在方程 $Ax + By + C = 0$ 中， $A, B, C$ 为何值时，方程表示的直线：

①平行于 $x$ 轴？ ②平行于 $y$ 轴？ ③与 $x$ 轴重合？ ④与 $y$ 轴重合？

例 5 已知直线经过点 A(6, -4)，斜率为 $-\frac{4}{3}$ ，求直线的点斜式和一般式方程.

解：经过点 $A(6, -4)$，斜率为 $-\frac{4}{3}$ 的直线的点斜式方程是

$y + 4 = - \frac {4}{3} (x - 6),$

化为一般式，得

$4 x + 3 y - 1 2 = 0.$

例6 把直线 $l$ 的一般式方程 $x - 2y + 6 = 0$ 化为斜截式，求出直线 $l$ 的斜率以及它在 $x$ 轴与 $y$ 轴上的截距，并画出图形.

分析：求直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距，即求直线 $l$ 与 $x$ 轴交点的横坐标，只要在直线 $l$ 的方程中令 $y = 0$ 即可得 $x$ 的值.

解：把直线 $l$ 的一般式方程化为斜截式

$y = \frac {1}{2} x + 3.$

因此，直线 $l$ 的斜率 $k = \frac{1}{2}$，它在 $y$ 轴上的截距是3.

在直线 $l$ 的方程 $x - 2y + 6 = 0$ 中，令 $y = 0$ ，得

$x = - 6,$

即直线 l 在 x 轴上的截距是 -6.

由上面可得直线 $l$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴的交点分别为

$A (- 6, 0), B (0, 3),$

过 A, B 两点作直线，就得直线 l(图 2.2-7).

在直角坐标系中画直线时，通常找出直线与两条坐标轴的交点，然后连接这两个点.

结合例 6，我们可以从几何角度看一个二元一次方程，即一个二元一次方程表示一条直线.

在代数中，我们研究了二元一次方程的解。因为二元一次方程的每一组解都可以看成平面直角坐标系中一个点的坐标，所以这个方程的全体解组成的集合，就是坐标满足二元一次方程的全体点的集合，这些点的集合组成一条直线。

平面直角坐标系是把二元一次方程和直线联系起来的桥梁，这是笛卡儿的伟大贡献。在平面直角坐标系中，任意一个二元一次方程是直角坐标平面上一条确定的直线；反之，直角坐标平面上的任意一条直线可以用一个确定的二元一次方程表示。

练习

1. 根据下列条件，写出直线的方程，并把它化为一般式： (1) 经过点 $A(8, -2)$ ，斜率是 $-\frac{1}{2}$ ; (2) 经过点 $B(4, 2)$ ，平行于 x 轴； (3) 经过点 $P_{1}(3, -2)$ ， $P_{2}(5, -4)$ ; (4) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 $\frac{3}{2}$ ，-3.

2. 求下列直线的斜率以及在 $y$ 轴上的截距，并画出图形：(1) $3x + y - 5 = 0$ (2) $\frac{x}{4} - \frac{y}{5} = 1$ (3) $x + 2y = 0$ (4) $7x - 6y + 4 = 0$.

3. 已知直线 l 的方程是 $Ax + By + C = 0$ .

(1) 当 $B \neq 0$ 时，直线 l 的斜率是多少？当 B = 0 时呢？

(2) 系数 A, B, C 取什么值时，方程 $Ax + By + C = 0$ 表示经过原点的直线？

习题2.2

复习巩固

1. 写出满足下列条件的直线的方程：

(1) 经过点 A(8, -2)，斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ;

(2) 经过点 $B(-2, 0)$ ，且与 x 轴垂直；

(3) 斜率是 -4，在 y 轴上的截距是 7；

(4) 经过 A(-1, 8), B(4, -2) 两点;

(5) 在 y 轴上的截距是 2，且与 x 轴平行；

(6) 在 x 轴、y 轴上的截距分别是 4，-3.

2. 判断 $A(1, 3), B(5, 7), C(10, 12)$ 三点是否共线，并说明理由.

3. 已知两点 $A(7, -4)$, $B(-5, 6)$, 求线段 $AB$ 的垂直平分线的方程.

4. 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点 $A(8, 5)$, $B(4, -2)$, $C(-6, 3)$, 求经过两边 $AB$ 和 $AC$ 的中点的直线的方程.

5. 一根弹簧，挂 $4\mathrm{N}$ 的物体时，长 $20~\mathrm{cm}$。在弹性限度内，所挂物体的重量每增加 $1\mathrm{N}$，弹簧就伸长 $1.5\mathrm{cm}$。试写出弹簧的长度 $l$（单位：$\mathrm{cm}$）与所挂物体重量 $G$（单位：$\mathrm{N}$）之间关系的方程。

6. 菱形的两条对角线分别位于 $x$ 轴和 $y$ 轴上，其长度分别为8和6，求菱形各边所在直线的方程.

7. 求经过点 $P(2,3)$，并且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程.

8. 求满足下列条件的直线的方程：

(1) 经过点 A(3, 2)，且与直线 $4x + y - 2 = 0$ 平行；

(2) 经过点 $C(2, -3)$ ，且平行于过 $M(1, 2)$ 和 $N(-1, -5)$ 两点的直线；

(3) 经过点 $B(3,0)$ ，且与直线 $2x+y-5=0$ 垂直.

综合运用

9. $\triangle ABC$ 的三个顶点是 $A(4,0)$, $B(6,7)$, $C(0,3)$, 求:

(1) 边 BC 上的中线所在直线的方程;

(2) 边 BC 上的高所在直线的方程;

(3) 边 BC 的垂直平分线的方程.

10. 求直线 $Ax + By + C = 0$ (A, B 不同时为 0) 的系数 A, B, C 分别满足什么关系时，这条直线有以下性质：

(1) 与两条坐标轴都相交； (2) 只与 $x$ 轴相交；

(3) 只与 y 轴相交； (4) 是 x 轴所在的直线；

(5) 是 y 轴所在的直线.

11. 设点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ 在直线 $Ax + By + C = 0$ 上，求证：这条直线的方程还可以写成

$A (x - x _ {0}) + B (y - y _ {0}) = 0.$

12. 若直线 $l$ 沿 $x$ 轴向左平移 3 个单位长度，再沿 $y$ 轴向上平移 1 个单位长度后，回到原来的位置。试求直线 $l$ 的斜率。

13. 一条光线从点 $P(6,4)$ 射出，与 $x$ 轴相交于点 $Q(2,0)$，经 $x$ 轴反射，求入射光线和反射光线所在直线的方程.

拓广探索

14. 已知直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方程分别是 $l_{1}: A_{1}x + B_{1}y + C_{1} = 0 (A_{1}, B_{1}$ 不同时为0), $l_{2}: A_{2}x + B_{2}y + C_{2} = 0 (A_{2}, B_{2}$ 不同时为0), 且 $A_{1}A_{2} + B_{1}B_{2} = 0$, 求证: $l_{1} \perp l_{2}$.

15. 画出直线 $l: 2x - y + 3 = 0$，并在直线 $l$ 外取若干点，将这些点的坐标代入 $2x - y + 3$，求它的值；观察有什么规律，并把这个规律表示出来.

探究与发现

方向向量与直线的参数方程

除了直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式方程，还有一种形式的直线方程与向量有紧密的联系，它由一个定点和这条直线的方向向量唯一确定，与直线的点斜式方程本质上是一致的。

如图1，设直线 $l$ 经过点 $P_{0}(x_{0},y_{0})$ ， \pmb {v} = (m,$$n )是它的一个方向向量， $P(x,y)$ 是直线 $l$ 上的任意一点，则向量 $\overrightarrow{P_0P}$ 与 $\pmb{v}$ 共线.根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数 $t$ ，使 $\overrightarrow{P_0P} = t\pmb {v}$ ，即 (x-$$x_0,y - y_0) = t(m,n) ，所以

\left\{ \begin{array}{l} x = x _ {0} + m t, \\ y = y _ {0} + n t. \end{array} \right.\tag{①}

图1

在①中，实数 $t$ 是对应点 $P$ 的参变数，简称参数。由上可知，对于直线 $l$ 上的任意一点 $P(x, y)$，存在唯一实数 $t$ 使①成立；反之，对于参数 $t$ 的每一个确定的值，由①可以确定直线 $l$ 上的一个点 $P(x, y)$。我们把①称为直线的参数方程。

从运动学角度看， $\overrightarrow{P_{0}P}=tv(t>0)$ 可以看成质点 P 从点 $P_{0}$ 出发，以速度 $v=(m,n)$ 作匀速直线运动，经过时间 t 后的位移，因此，质点 P 的运动轨迹是射线 $P_{0}M$ 。类似地，你能刻画射线 $P_{0}N$ 吗？由以上讨论，你能说说方程①的运动学意义吗？

如果直线 $l$ 与坐标轴不垂直，那么 $mn \neq 0$ ，由①可得

$\frac {x - x _ {0}}{m} = t, \frac {y - y _ {0}}{n} = t,$

消去参数 $t$ ，得

$\frac {x - x _ {0}}{m} = \frac {y - y _ {0}}{n},$

即

$y - y _ {0} = \frac {n}{m} (x - x _ {0}),$

这样就得到直线 l 的点斜式方程.

从另外一个角度思考，因为直线 l 经过点 $P_{0}(x_{0}, y_{0})$ ，且它的一个方向向量为 $v=(m, n)$ ，所以直线 l 的斜率 $k=\frac{n}{m}$ ，所以直线 l 的方程为

$y - y _ {0} = \frac {n}{m} (x - x _ {0}).$

想一想，直线的参数方程 $\left\{\begin{aligned}x&=x_{0}+mt,\\ y&=y_{0}+nt\end{aligned}\right.$ 中， $(m,n)$ 的几何意义是什么？