2.2.2 直线的两点式方程

文字转写

(4) 经过点 $D(-4, -2)$ ，倾斜角是 $\frac{2\pi}{3}$ .

2. 填空题.

(1) 已知直线的点斜式方程是 y-2=x-1，那么此直线的斜率是 ____，倾斜角是 ____；

(2) 已知直线的点斜式方程是 $y + 2 = \sqrt{3}\left( {x + 1}\right)$ ,那么此直线的斜率是____,倾斜角是____.

3. 写出下列直线的斜截式方程:

（1）斜率是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，在y轴上的截距是-2；

(2) 斜率是 -2，在 y 轴上的截距是 4.

4. 判断下列各对直线是否平行或垂直：

(1) $l_{1}: y = \frac{1}{2} x + 3, l_{2}: y = \frac{1}{2} x - 2;$ (2) $l_{1}: y = \frac{5}{3} x, l_{2}: y = -\frac{3}{5} x.$

2.2.2 直线的两点式方程

思考

已知直线 $l$ 经过两点 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ （其中 $x_{1}\neq x_{2},y_{1}\neq y_{2}$ ），因为两点确定一条直线，所以直线 $l$ 是唯一确定的．也就是说，对于直线 $l$ 上的任意一点$P(x,y)$ ，它的坐标与点 $P_{1},P_{2}$ 的坐标之间具有唯一确定的关系．这一关系是什么呢？

由经过两点 $P_{1}, P_{2}$ 的直线的斜率公式可以求出直线 $l$ 的斜率，因此我们可以利用直线的点斜式方程来解决问题.

当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，经过两点 $P_{1}(x_{1}, y_{1}), P_{2}(x_{2}, y_{2})$ 的直线的斜率 $k = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$。任取 $P_{1}, P_{2}$ 中的一点，例如，取点 $P_{1}(x_{1}, y_{1})$，由直线的点斜式方程，得

$y - y _ {1} = \frac {y _ {2} - y _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}} (x - x _ {1}),$

当 $y_{2} \neq y_{1}$ 时，上式可写为

$\frac {y - y _ {1}}{y _ {2} - y _ {1}} = \frac {x - x _ {1}}{x _ {2} - x _ {1}}.$

不利用点斜式方程，你能求出两点式方程吗？

这就是经过两点 $P_{1}(x_{1},y_{1})$ ， $P_{2}(x_{2},y_{2})$ （其中 $x_{1}\neq x_{2}$ ， $y_{1}\neq y_{2}$ ）的直线的方程，我们把它叫做直线的两点式方程，简称两点式（two-point form).

在 $P_{1}(x_{1},y_{1}),P_{2}(x_{2},y_{2})$ 中，如果 $x_{1} = x_{2}$ 或 $y_{1} = y_{2}$ ，则直线 $P_{1}P_{2}$ 没有两点式方程．当 $x_{1} = x_{2}$ 时，直线 $P_{1}P_{2}$ 垂直于 $x$ 轴，直线方程为 $x - x_{1} = 0$ ，即 $x = x_{1}$ ；当$y_{1} = y_{2}$ 时，直线 $P_{1}P_{2}$ 垂直于 $y$ 轴，直线方程为 $y - y_{1} = 0$ ，即 $y = y_{1}$

例3 如图2.2-5，已知直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点为 $A(a,0)$ 与 $y$ 轴的交点为 $B(0,b)$，其中 $a \neq 0, b \neq 0$. 求直线 $l$ 的方程.

解：将两点 $A(a,0), B(0,b)$ 的坐标代入两点式，得

$\frac {y - 0}{b - 0} = \frac {x - a}{0 - a},$

即

$\frac {x}{a} + \frac {y}{b} = 1.$

图2.2-5

我们把直线 $l$ 与 $x$ 轴的交点 $(a, 0)$ 的横坐标 $a$ 叫做直线 $l$ 在 $x$ 轴上的截距，此时直线 $l$ 在 $y$ 轴上的截距是 $b$。方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 由直线 $l$ 在两条坐标轴上的截距 $a$ 与 $b$ 确定，我们把方程 $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ 叫做直线的截距式方程，简称截距式（intercept form）。

例4 已知 $\triangle ABC$ 的三个顶点 $A(-5,0)$, $B(3,-3)$, $C(0,2)$, 求边 $BC$ 所在直线的方程, 以及这条边上的中线 $AM$ 所在直线的方程.

解：如图2.2-6，过 $B(3, -3)$，$C(0, 2)$ 的直线的两点式方程为

$\frac {y - 2}{- 3 - 2} = \frac {x - 0}{3 - 0},$

整理得

$5 x + 3 y - 6 = 0.$

这就是边 BC 所在直线的方程.

图2.2-6

边 BC 上的中线是顶点 A 与边 BC 中点 M 所连线段，由中点坐标公式，可得点 M 的坐标为

$\left(\frac {3 + 0}{2}, \frac {- 3 + 2}{2}\right),$

即 $\left(\frac{3}{2},-\frac{1}{2}\right)$ .

过 $A(-5,0)$ ， $M\left(\frac{3}{2}, - \frac{1}{2}\right)$ 两点的直线方程为

$\frac {y - 0}{- \frac {1}{2} - 0} = \frac {x + 5}{\frac {3}{2} + 5},$

整理可得