2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

文字转写

练习

1. 已知下列直线的倾斜角，求直线的斜率： (1) $\alpha=30^{\circ}$ ; (2) $\alpha=45^{\circ}$ ; (3) $\alpha=\frac{2\pi}{3}$ ; (4) $\alpha=\frac{3\pi}{4}$ .

2. 已知下列直线的斜率，求直线的倾斜角： (1) k=0; (2) $k=\sqrt{3}$ ; (3) $k=-\sqrt{3}$ ; (4) $k=-\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

3. 求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角： (1) $C(18, 8)$ , $D(4, -4)$ ; (2) $P(0, 0)$ , $Q(-1, 3)$ .

4. 已知 $a, b, c$ 是两两不等的实数，求经过下列两点的直线的倾斜角：(1) $A(a, c), B(b, c)$; (2) $C(a, b), D(a, c)$; (3) $P(b, b + c), Q(a, c + a)$.

5. 经过 $A(0, 2)$, $B(-1, 0)$ 两点的直线的方向向量为 $(1, k)$, 求 $k$ 的值.

2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于 $x$ 轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题。下面，我们通过直线的斜率判断两条直线的位置关系。

思考

我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交、平行。当两条直线 $l_{1}$ 与直线 $l_{2}$ 平行时，它们的斜率 $k_{1}$ 与 $k_{2}$ 满足什么关系？

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若没有特别说明，说“两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ”时，指两条不重合的直线.

如图2.1-7，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的倾斜角 $\alpha_{1}$ 与 $\alpha_{2}$ 相等，由 $\alpha_{1} = \alpha_{2}$ ，可得 $\tan \alpha_{1} = \tan \alpha_{2}$ ，即 $k_{1} = k_{2}$ 因此，若 $l_{1} / / l_{2}$ ，则 $k_{1} = k_{2}$

反之，当 $k_{1} = k_{2}$ 时， $\tan \alpha_{1} = \tan \alpha_{2}$ ，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知， $\alpha_{1} = \alpha_{2}$ ，因此 $l_{1} / / l_{2}$

于是，对于斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ 的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，有

$l _ {1} / / l _ {2} \Longleftrightarrow k _ {1} = k _ {2}.$

显然，当 $\alpha_{1}=\alpha_{2}=90^{\circ}$ 时，直线的斜率不存在，此时 $l_{1}//l_{2}$ .

若直线 $l_{1}, l_{2}$ 重合，此时仍然有 $k_{1} = k_{2}$。用斜率证明三点共线时，常常用到这个结论。

例2 已知 $A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2)$，试判断直线 $AB$ 与 $PQ$ 的位置关系，并证明你的结论.

解：如图 2.1-8，由已知可得

直线 BA 的斜率 $k_{BA}=\frac{3-0}{2-(-4)}=\frac{1}{2}$ ,

直线 PQ 的斜率 $k_{PQ}=\frac{2-1}{-1-(-3)}=\frac{1}{2}$ .

因为 $k_{BA}=k_{PQ}$ ，所以直线 $AB\parallel PQ$ .

例3 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 $A(0,0)$，$B(2, -1)$，$C(4, 2)$，$D(2, 3)$，试判断四边形ABCD的形状，并给出证明.

解：如图 2.1-9，由已知可得

AB 边所在直线的斜率 $k_{AB} = -\frac{1}{2}$ ,

CD 边所在直线的斜率 $k_{CD} = -\frac{1}{2}$ ,

BC 边所在直线的斜率 $k_{BC}=\frac{3}{2}$ ,

DA 边所在直线的斜率 $k_{DA}=\frac{3}{2}$ .

因为 $k_{AB}=k_{CD}$ ， $k_{BC}=k_{DA}$ ，所以 $AB \parallel CD$ ， $BC \parallel DA$ .

因此四边形 ABCD 是平行四边形.

显然，当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交。在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形。当直线 $l_{1}, l_{2}$ 垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？

设两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$，则直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方向向量分别是 $a = (1, k_{1})$，$b = (1, k_{2})$，于是

$l _ {1} \perp l _ {2} \Leftrightarrow \boldsymbol {a} \perp \boldsymbol {b} \Leftrightarrow \boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = 0 \Leftrightarrow 1 \times 1 + k _ {1} k _ {2} = 0, \text {即} k _ {1} k _ {2} = - 1.$

也就是说， $l_{1}\perp l_{2}\Leftrightarrow k_{1}k_{2}=-1$ .

当直线 $l_{1}$ 或 $l_{2}$ 的倾斜角为 $90^{\circ}$ 时，若 $l_{1} \perp l_{2}$，则另一条直线的倾斜角为 $0^{\circ}$；反之亦然.

由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于

-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直．即

$l _ {1} \bot l _ {2} \Leftrightarrow k _ {1} k _ {2} = - 1.$

例4 已知 $A(-6,0)$, $B(3,6)$, $P(0,3)$, $Q(6,-6)$, 试判断直线 $AB$ 与 $PQ$ 的位置关系.

解：直线 AB 的斜率 $k_{AB}=\frac{2}{3}$ ,

直线 PQ 的斜率 $k_{PQ} = -\frac{3}{2}$ .

因为 $k_{AB}k_{PQ} = \frac{2}{3}\times \left(-\frac{3}{2}\right) = -1$ ，所以直线 $AB\bot PQ$

例 5 已知 $A(5, -1)$ , $B(1, 1)$ , $C(2, 3)$ 三点，试判断 $\triangle ABC$ 的形状.

分析：如图2.1-10，猜想 $AB\bot BC$ ， $\triangle ABC$ 是直角三角形.

解：边 $AB$ 所在直线的斜率 $k_{AB} = -\frac{1}{2}$，边 $BC$ 所在直线的斜率 $k_{BC} = 2$.

由 $k_{AB}k_{BC} = -1$ ，得 $AB\bot BC$ ，即 $\angle ABC = 90^{\circ}$

所以 $\triangle ABC$ 是直角三角形.

练习

1. 判断下列各对直线是否平行或垂直：

(1) 经过 $A(2, 3)$ ， $B(-1, 0)$ 两点的直线 $l_{1}$ ，与经过点 $P(1, 0)$ 且斜率为 1 的直线 $l_{2}$ ;

(2) 经过 $C(3, 1)$ ， $D(-2, 0)$ 两点的直线 $l_{3}$ ，与经过点 $M(1, -4)$ 且斜率为 -5 的直线 $l_{4}$ .

2. 试确定 $m$ 的值，使过 $A(m, 1)$，$B(-1, m)$ 两点的直线与过 $P(1, 2)$，$Q(-5, 0)$ 两点的直线：

(1) 平行；(2) 垂直.

习题2.1

复习巩固

1. 已知直线斜率的绝对值等于1，求直线的倾斜角.

2. 已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点是 $A(2, 3)$, $B(1, -1)$, $C(-1, -2)$, $D(-2, 2)$, 求四边形 $ABCD$ 的四条边所在直线的斜率.

3. $m$ 为何值时，（1）经过 $A(-m, 6)$，$B(1, 3m)$ 两点的直线的斜率是12？

(2) 经过 $A(m, 2)$ ， $B(-m, -2m-1)$ 两点的直线的倾斜角是 $60^{\circ}$ ?

4. 已知 $A(1, 2), B(-1, 0), C(3, 4)$ 三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？

5. 判断下列不同的直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 是否平行：

(1) $l_{1}$ 的斜率为2，$l_{2}$ 经过 $A(1,2)$，$B(4,8)$ 两点；

(2) $l_{1}$ 经过 $P(3,3)$, $Q(-5,3)$ 两点, $l_{2}$ 平行于 $x$ 轴, 但不经过 $P$, $Q$ 两点;

(3) $l_{1}$ 经过 $M(-1,0)$, $N(-5,-2)$ 两点, $l_{2}$ 经过 $R(-4,3)$, $S(0,5)$ 两点.

6. 判断下列直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 是否垂直：

(1) $l_{1}$ 的斜率为 $-\frac{2}{3}$, $l_{2}$ 经过点 $A(1, 1)$, $B\left(0, -\frac{1}{2}\right)$;

(2) $l_{1}$ 的倾斜角为 $45^{\circ}$, $l_{2}$ 经过 $P(-2, -1)$, $Q(3, -6)$ 两点;

(3) $l_{1}$ 经过 $M(1,0)$, $N(4,-5)$ 两点, $l_{2}$ 经过 $R(-6,0)$, $S(-1,3)$ 两点.

综合运用

7. 过 $A(m^2 + 2, m^2 - 3)$, $B(3 - m - m^2, 2m)$ 两点的直线 $l$ 的倾斜角为 $45^\circ$, 求 $m$ 的值.

8. 经过点 $P(0, -1)$ 作直线 $l$，若直线 $l$ 与连接 $A(1, -2)$，$B(2, 1)$ 两点的线段总有公共点，求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 与斜率 $k$ 的取值范围，并说明理由.

9. 已知点 $M(2, 2)$ 和 $N(5, -2)$，点 $P$ 在 $x$ 轴上，且 $\angle MPN$ 为直角，求点 $P$ 的坐标.

拓广探索

10. 已知四边形 $ABCD$ 的四个顶点是 $A(2, 2 + 2\sqrt{2})$，$B(-2, 2)$，$C(0, 2 - 2\sqrt{2})$，$D(4, 2)$，求证：四边形 $ABCD$ 为矩形.