1.4 空间向量的应用

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1.4 空间向量的应用

我们已经把向量从平面推广到空间，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量的问题。我们发现，建立空间向量与几何要素的对应关系是利用空间向量解决立体几何问题的关键。本节我们进一步运用空间向量研究立体几何中有关直线、平面的位置关系和度量问题。

1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

1. 空间中点、直线和平面的向量表示

我们知道，点、直线和平面是空间的基本图形，点、线段和平面图形等是组成空间几何体的基本元素。因此，为了用空间向量解决立体几何问题，首先要用向量表示空间中的点、直线和平面。

思考

如何用向量表示空间中的一个点？

如图 1.4-1，在空间中，我们取一定点 O 作为基点，那么空间中任意一点 P 就可以用向量 $\overrightarrow{OP}$ 来表示。我们把向量 $\overrightarrow{OP}$ 称为点 P 的位置向量。

思考

我们知道，空间中给定一个点 $A$ 和一个方向就能唯一确定一条直线 $l$。如何用向量表示直线 $l$?

用向量表示直线 $l$ ，就是要利用点 $A$ 和直线 $l$ 的方向向量表示直线上的任意一点.

如图1.4-2， $a$ 是直线 $l$ 的方向向量，在直线 $l$ 上取 $\overrightarrow{AB} = a$ ，设 $P$ 是直线 $l$ 上的任意一点，由向量共线的条件可知，点 $P$ 在直线 $l$ 上的充要条件是存在实数 $t$ ，使得

$\overrightarrow {A P} = t \boldsymbol {a}, \text {即} \overrightarrow {A P} = t \overrightarrow {A B}.$

进一步地，如图1.4-3，取定空间中的任意一点 $O$ ，可以得到点 $P$ 在直线 $l$ 上的充要条件是存在实数 $t$ ，使

\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O A} + t \boldsymbol {a},\tag{①}

将 $\overrightarrow{AB} = a$ 代入①式，得

\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O A} + t \overrightarrow {A B}.\tag{②}

①式和②式都称为空间直线的向量表示式。由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定。

你能证明这个结论吗？

思考

一个定点和两个定方向能否确定一个平面？进一步地，一个定点和一个定方向能否确定一个平面？如果能确定，如何用向量表示这个平面？

我们知道，平面 $\alpha$ 可以由 $\alpha$ 内两条相交直线确定。如图1.4-4，设两条直线相交于点 $O$，它们的方向向量分别为 $a$ 和 $b$，$P$ 为平面 $\alpha$ 内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使得

$\overrightarrow {O P} = x \boldsymbol {a} + y \boldsymbol {b}.$

这样，点 $O$ 与向量 $\pmb{a}$，$\pmb{b}$ 不仅可以确定平面 $\alpha$，还可以具体表示出 $\alpha$ 内的任意一点。这种表示在解决几何问题时有重要作用。

进一步地，如图 1.4-5，取定空间任意一点 O，可以得到，空间一点 P 位于平面 ABC 内的充要条件是存在实数 x，y，使

\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O A} + x \overrightarrow {A B} + y \overrightarrow {A C}.\tag{③}

你能证明这个结论吗？

我们把③式称为空间平面 $ABC$ 的向量表示式．由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定.

我们知道，给定空间一点 $A$ 和一条直线 $l$ ，则过点 $A$ 且垂直于直线 $l$ 的平面是唯一确定的．由此得到启发，我们可以利用点 A 和直线 l 的方向向量来确定平面.

如图 1.4-6，直线 $l \perp \alpha$ 。取直线 l 的方向向量 a，我们称向量 a 为平面 $\alpha$ 的法向量 (normal vector)。给定一个点 A 和一个向量 a，那么过点 A，且以向量 a 为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 $\{P \mid a \cdot \overrightarrow{AP} = 0\}$ 。

如果另有一条直线 $m \perp \alpha$，在直线 $m$ 上任取向量 $b, b$ 与 $a$ 有什么关系？

例 1 如图 1.4-7，在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，AB=4，BC=3， $CC_{1}=2$ ，M 是 AB 的中点。以 D 为原点，DA，DC， $DD_{1}$ 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系。

(1) 求平面 $BCC_{1}B_{1}$ 的法向量；

(2) 求平面 $MCA_{1}$ 的法向量.

图1.4-7

分析：（1）平面 $BCC_{1}B_{1}$ 与 y 轴垂直，其法向量可以直

接写出；（2）平面 $MCA_{1}$ 可以看成由 $\overrightarrow{MC},\overrightarrow{MA_1},\overrightarrow{CA_1}$ 中的两个向量所确定，运用法向量与它们的垂直关系，可转化为数量积运算求得法向量.

解：（1）因为 $y$ 轴垂直于平面 $BCC_{1}B_{1}$，所以 $\pmb{n}_{1} = (0, 1, 0)$ 是平面 $BCC_{1}B_{1}$ 的一个法向量.

（2）因为 $AB = 4$ ， $BC = 3$ ， $CC_{1} = 2$ ， $M$ 是 $AB$ 的中点，所以 $M$ ， $C$ ， $A_{1}$ 的坐标分别为 $(3,2,0),(0,4,0),(3,0,2)$ 。因此

$\overrightarrow {M C} = (- 3, 2, 0), \overrightarrow {M A _ {1}} = (0, - 2, 2).$

设 $n_2 = (x, y, z)$ 是平面 $MCA_1$ 的法向量，则

$\boldsymbol {n} _ {2} \perp \overrightarrow {M C}, \boldsymbol {n} _ {2} \perp \overrightarrow {M A _ {1}}.$

所以

$\left\{ \begin{array}{l} \boldsymbol {n} _ {2} \cdot \overrightarrow {M C} = - 3 x + 2 y = 0, \\ \boldsymbol {n} _ {2} \cdot \overrightarrow {M A _ {1}} = - 2 y + 2 z = 0. \end{array} \right.$

所以

● ●

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac {2}{3} z, \\ y = z. \end{array} \right.$

求平面的法向量，通常只需要求出平面的一个法向量。求直线的方向向量也是如此。

取 $z = 3$ ，则 $x = 2, y = 3$ 。于是 $\pmb{n}_2 = (2, 3, 3)$ 是平面 $MCA_{1}$ 的一个法向量。

练习

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内打“√”，错误的打“×”.

(1) 零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； （）

(2) 若 v 是直线 l 的方向向量，则 $\lambda v (\lambda \in \mathbf{R})$ 也是直线 l 的方向向量； （）

(3) 在空间直角坐标系中, $j = (0, 0, 1)$ 是坐标平面 $Oxy$ 的一个法向量. ( )

2. 在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AD} = b$，$\overrightarrow{AA_1} = c$，$O$ 是 $BD_1$ 与 $B_1D$ 的交点。以 $\{a, b, c\}$ 为空间的一个基底，求直线 $OA$ 的一个方向向量。

3. 在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$AB = 4$，$BC = 3$，$CC_1 = 2$。以 $D$ 为原点，以 $\left\{\frac{1}{3}\overrightarrow{DA}, \frac{1}{4}\overrightarrow{DC}, \frac{1}{2}\overrightarrow{DD_1}\right\}$ 为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系 $Oxyz$，求平面 $ACD_1$ 的一个法向量。

2. 空间中直线、平面的平行

我们知道，直线的方向向量和平面的法向量是确定空间中的直线和平面的关键量。那么是否能用这些向量来刻画空间直线、平面的平行、垂直关系呢？首先来看平行的问题。

思考

由直线与直线、直线与平面或平面与平面的平行关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？

如图1.4-8，设 $u_{1}, u_{2}$ 分别是直线 $l_{1}, l_{2}$ 的方向向量。由方向向量的定义可知，如果两条直线平行，那么它们的方向向量一定平行；反过来，如果两条直线的方向向量平行，那么这两条直线也平行。所以

$l_{1}//l_{2}\Leftrightarrow u_{1}//u_{2}\Leftrightarrow\exists\lambda\in\mathbf{R}$ ，使得 $u_{1}=\lambda u_{2}$

类似地，如图1.4-9，设 $\pmb{u}$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\pmb{n}$ 是平面 $\alpha$ 的法向量， $l\not\subset \alpha$ 则

$l / / \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol {u} \perp \boldsymbol {n} \Leftrightarrow \boldsymbol {u} \cdot \boldsymbol {n} = 0.$

如图 1.4-10，设 $n_{1}$ ， $n_{2}$ 分别是平面 $\alpha$ ， $\beta$ 的法向量，则

$\alpha // \beta \Leftrightarrow n_{1} // n_{2} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbf{R}$, 使得 $n_{1} = \lambda n_{2}$.

例 2 证明 “平面与平面平行的判定定理”：若一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行.

已知：如图1.4-11， $a\subset \beta$ ， $b\subset \beta$ ， $a\cap b = P$ ， $a / / \alpha$ ， $b / / \alpha$

求证： $\alpha\parallel\beta$

分析：设平面 $\alpha$ 的法向量为 n，直线 a，b 的方向向量分别为 u，v，则由已知条件可得 $n \cdot u = n \cdot v = 0$ ，由此可以证明 n 与平面 $\beta$ 内的任意一个向量垂直，即 n 也是 $\beta$ 的法向量.

证明：如图 1.4-11，取平面 $\alpha$ 的法向量 n，直线 a，b 的方向向量 u，v.

因为 $a / / \alpha, b / / \alpha$ ，所以 $\pmb{n} \cdot \pmb{u} = 0, \pmb{n} \cdot \pmb{v} = 0.$

因为 $a \subset \beta, b \subset \beta, a \cap b = P$ ,

所以对任意点 $Q \in \beta$ ，存在 $x, y \in R$ ，使得 $\overrightarrow{PQ} = x u + y v$ .

从而 $n \cdot \overrightarrow{PQ} = n \cdot (xu + yv) = xn \cdot u + yn \cdot v = 0.$

所以，向量 n 也是平面 $\beta$ 的法向量．故 $\alpha \parallel \beta$ .

例3 如图1.4-12，在长方体 $ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中， $AB = 4$ ， $BC = 3$ ， $CC_{1} = 2$ .线段 $B_{1}C$ 上是否存在点 $P$ ，使得 $A_{1}P / /$ 平面 $ACD_{1}$ ？

分析：根据条件建立适当的空间直角坐标系，那么问题中涉及的点、向量 $\overrightarrow{B_1C}$，$\overrightarrow{A_1P}$，以及平面 $ACD_1$ 的法向量 $\pmb{n}$ 等都可以用坐标表示。如果点 $P$ 存在，那么就有 $\pmb{n} \cdot \overrightarrow{A_1P} = 0$，由此通过向量的坐标运算可得结果。

解：以 $D$ 为原点，$DA, DC, DD_1$ 所在直线分别为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，建立如图1.4-12所示的空间直角坐标系。因为 $A, C, D_1$ 的坐标分别为 $(3, 0, 0), (0, 4, 0), (0, 0, 2)$，所以

图1.4-12

$\overrightarrow {A C} = (- 3, 4, 0), \overrightarrow {A D _ {1}} = (- 3, 0, 2).$

设 $n = (x, y, z)$ 是平面 $ACD_{1}$ 的法向量，则 $\pmb{n} \cdot \overrightarrow{AC} = 0, \pmb{n} \cdot \overrightarrow{AD_{1}} = 0$，即

$\left\{ \begin{array}{l} - 3 x + 4 y = 0, \\ - 3 x + 2 z = 0. \end{array} \right.$

所以

$\left\{ \begin{array}{l} x = \frac {2}{3} z, \\ y = \frac {1}{2} z. \end{array} \right.$

取 z=6，则 x=4，y=3。所以， $n=(4,3,6)$ 是平面 $ACD_{1}$ 的一个法向量。

由 $A_{1}, C, B_{1}$ 的坐标分别为 $(3, 0, 2), (0, 4, 0), (3, 4, 2)$，得 $\overrightarrow{A_1B_1} = (0, 4, 0), \overrightarrow{B_1C} = (-3, 0, -2)$。设点 $P$ 满足 $\overrightarrow{B_1P} = \lambda \overrightarrow{B_1C}$ ($0 \leqslant \lambda \leqslant 1$)，则 $\overrightarrow{B_1P} = (-3\lambda, 0, -2\lambda)$，所以 $\overrightarrow{A_1P} = \overrightarrow{A_1B_1} + \overrightarrow{B_1P} = (-3\lambda, 4, -2\lambda)$。

令 $n \cdot \overrightarrow{A_1P} = 0$，得 $-12\lambda + 12 - 12\lambda = 0$，解得 $\lambda = \frac{1}{2}$，此时 $A_1P \not\subset$ 平面 $ACD_1$，这样的点 $P$ 存在。所以，当 $\overrightarrow{B_1P} = \frac{1}{2}\overrightarrow{B_1C}$，即 $P$ 为 $B_1C$ 的中点时，$A_1P \parallel$ 平面 $ACD_1$。

练习

1. 用向量方法证明 “直线与平面平行的判定定理”：若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

2. 如图，在四面体 $ABCD$ 中，$E$ 是 $BC$ 的中点。直线 $AD$ 上是否存在点 $F$，使得 $AE \parallel CF$?

3. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$E$，$F$ 分别是面 $AB_1$，面 $A_1C_1$ 的中心。求证：$EF //$ 平面 $ACD_1$。

3. 空间中直线、平面的垂直

思考

类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？

一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直；直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行；平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直.

如图1.4-13(1)，设直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量分别为 $\pmb{u}_1$ ， $\pmb{u}_2$ ，则

$l _ {1} \perp l _ {2} \Longleftrightarrow \boldsymbol {u} _ {1} \perp \boldsymbol {u} _ {2} \Longleftrightarrow \boldsymbol {u} _ {1} \cdot \boldsymbol {u} _ {2} = 0.$

如图1.4-13(2)，设直线 $l$ 的方向向量为 $\pmb{u}$ ，平面 $\alpha$ 的法向量为 $\pmb{n}$ ，则

$l \perp \alpha \Leftrightarrow u \parallel n \Leftrightarrow \exists \lambda \in R$ ，使得 $u = \lambda n$ .

如图 1.4-13(3)，设平面 $\alpha$ ， $\beta$ 的法向量分别为 $n_{1}$ ， $n_{2}$ ，则

$\alpha \perp \beta \Longleftrightarrow \boldsymbol {n} _ {1} \perp \boldsymbol {n} _ {2} \Longleftrightarrow \boldsymbol {n} _ {1} \cdot \boldsymbol {n} _ {2} = 0.$

我们随时随地看到向量运算的作用，你同意“向量是躯体，运算是灵魂”“没有运算的向量只能起路标的作用”的说法吗？

例 4 如图 1.4-14，在平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中， $AB=AD=AA_{1}=1,\angle A_{1}AB=\angle A_{1}AD=\angle BAD=60^{\circ}$ ，求证：直线 $A_{1}C\perp$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$ .

分析：根据条件，可以 $\{\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AA_1}\}$ 为基底，并用基向量表示 $\overrightarrow{A_1C}$ 和平面 $BDD_{1}B_{1}$，再通过向量运算证明$\overrightarrow{A_1C}$ 是平面 $BDD_{1}B_{1}$ 的法向量即可.

证明：设 $\overrightarrow{AB} = a$ ， $\overrightarrow{AD} = b$ ， $\overrightarrow{AA_1} = c$ ，则 $\{a,b,c\}$ 为空间的一个基底，且

$\overrightarrow {A _ {1} C} = \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} - \boldsymbol {c}, \overrightarrow {B D} = \boldsymbol {b} - \boldsymbol {a}, \overrightarrow {B B _ {1}} = \boldsymbol {c}.$

因为 $AB = AD = AA_{1} = 1$ ， $\angle A_{1}AB = \angle A_{1}AD = \angle BAD = 60^{\circ}$ ，所以

$a ^ {2} = b ^ {2} = c ^ {2} = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac {1}{2}.$

在平面 $BDD_{1}B_{1}$ 上，取 $\overrightarrow{BD}$，$\overrightarrow{BB_{1}}$ 为基向量，则对于平面 $BDD_{1}B_{1}$ 上任意一点 $P$，存在唯一的有序实数对 $(\lambda, \mu)$，使得

$\overrightarrow {B P} = \lambda \overrightarrow {B D} + \mu \overrightarrow {B B _ {1}}.$

所以，

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {A _ {1} C} \cdot \overrightarrow {B P} & = \lambda \overrightarrow {A _ {1} C} \cdot \overrightarrow {B D} + \mu \overrightarrow {A _ {1} C} \cdot \overrightarrow {B B _ {1}} \\ & = \lambda (a + b - c) \cdot (b - a) + \mu (a + b - c) \cdot c = 0. \end{array}$

所以 $\overrightarrow{A_{1}C}$ 是平面 $BDD_{1}B_{1}$ 的法向量.

所以 $A_{1}C \perp$ 平面 $BDD_{1}B_{1}$ .

例 5 证明 “平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.

已知：如图1.4-15， $l\bot \alpha$ ， $l\subset \beta$

求证： $\alpha\perp\beta.$

证明：取直线 l 的方向向量 u，平面 $\beta$ 的法向量 n.

因为 $l \perp \alpha$ ，所以 u 是平面 $\alpha$ 的法向量.

因为 $l \subset \beta$ ，而 n 是平面 $\beta$ 的法向量，所以 $u \perp n$ .

所以 $\alpha \perp \beta.$