空间向量运算的坐标表示：立体几何被翻译成算术

一、这一节的全部内容，是一张对照表

§1.3.1 把点和向量都变成了三元有序实数组。剩下的问题只有一个： 向量的那些运算，落到坐标上长什么样？ 答案是——和平面向量一模一样，只是每处多一个分量。

设

$$\boldsymbol{a} = (a_1,\ a_2,\ a_3), \qquad \boldsymbol{b} = (b_1,\ b_2,\ b_3),$$

则

$$\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} = (a_1+b_1,\ a_2+b_2,\ a_3+b_3),$$ $$\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} = (a_1-b_1,\ a_2-b_2,\ a_3-b_3),$$ $$\lambda\boldsymbol{a} = (\lambda a_1,\ \lambda a_2,\ \lambda a_3), \qquad \lambda \in \mathbf{R},$$ $$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3.$$

前三条是「显然」的——坐标本来就是基底下的分解系数，而线性运算对系数就是逐项做。 真正要证的只有第四条：数量积凭什么等于分量乘积之和。

二、数量积公式的证明：六项归零

设 $\{\boldsymbol{i},\ \boldsymbol{j},\ \boldsymbol{k}\}$ 是单位正交基底，则

$$\boldsymbol{a} = a_1\boldsymbol{i} + a_2\boldsymbol{j} + a_3\boldsymbol{k}, \qquad \boldsymbol{b} = b_1\boldsymbol{i} + b_2\boldsymbol{j} + b_3\boldsymbol{k}.$$

按分配律硬展开，得到九项：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = \sum_{\text{9 项}} (\text{系数}) \times (\text{基向量}\cdot\text{基向量}).$$

这时「单位正交」四个字发挥全部作用：

$$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i} = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j} = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} = 1, \qquad \boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j} = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k} = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{i} = 0.$$

九项中的六个交叉项全部乘上 $0$ 而消失，剩下三项各乘 $1$：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3. \qquad \blacksquare$$

回头看 §1.2 就明白这一节省了多少事：一般基底下同样是展开九项，但六个交叉项不是 $0$， 必须逐个知道 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$、$\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c}$、$\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}$ 才算得动。 换成单位正交基底，六个数据变成六个零。 这就是「建系」的全部价值。

三、由数量积长出来的五条

有了 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}$ 的坐标公式，几何里最常问的五件事全部有了算式：

（1）平行（$\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$）：

$$\boldsymbol{a} \parallel \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b} \iff a_1 = \lambda b_1,\ a_2 = \lambda b_2,\ a_3 = \lambda b_3 \ (\lambda \in \mathbf{R}).$$

（2）垂直：

$$\boldsymbol{a} \perp \boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0 \iff a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = 0.$$

（3）模：

$$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}} = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}.$$

（4）夹角余弦：

$$\cos\left\langle \boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}\right\rangle = \frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|} = \frac{a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}\ \sqrt{b_1^2+b_2^2+b_3^2}}.$$

（5）两点间的距离。设 $P_1(x_1,\ y_1,\ z_1)$、$P_2(x_2,\ y_2,\ z_2)$，先写出

$$\overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1} = (x_2-x_1,\ y_2-y_1,\ z_2-z_1),$$

再对它用（3）：

$$P_1P_2 = \left|\overrightarrow{P_1P_2}\right| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}.$$

距离公式不是新东西，它就是「模公式」套在「终点减起点」上。 上面那条 $\overrightarrow{P_1P_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_1}$ 值得单独记住：

一个空间向量的坐标，等于表示它的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

四、两个容易写错的地方

第一处：平行条件不要随手写成连比。 很多人把（1）写成

$$\frac{a_1}{b_1} = \frac{a_2}{b_2} = \frac{a_3}{b_3},$$

这只在 $b_1$、$b_2$、$b_3$ 全都非零时才成立。而立体几何里建了系之后， 向量带一两个零分量是家常便饭（棱、面对角线全是这样）。稳妥的写法有两种：

• 直接用 $\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{b}$，把 $\lambda$ 解出来再验三个分量；
• 或写成交叉相乘的形式 $a_1b_2 = a_2b_1$、$a_2b_3 = a_3b_2$、$a_3b_1 = a_1b_3$，这三条对零分量照样成立。

第二处：向量夹角与直线所成角不是一回事。 公式（4）算出来的是两个向量的夹角，范围 $[0^\circ,\ 180^\circ]$， 余弦可正可负。而两条直线所成的角规定在 $\left[0^\circ,\ 90^\circ\right]$， 所以由向量算线线角时，最后必须取绝对值：

$$\cos\theta = \left|\cos\left\langle \boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}\right\rangle\right| = \frac{\left|\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\right|}{|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|}.$$

方向向量取 $\overrightarrow{AB}$ 还是 $\overrightarrow{BA}$ 会让数量积差一个负号，绝对值正好把这个人为的选择抹平。

另外一句：（2）里的「垂直」按惯例是对非零向量说的。零向量与任何向量的数量积都是 $0$， 但我们不说零向量与谁垂直。解题时若出现 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=0$，要顺手确认两个向量都不是零向量。

五、建系解题的标准流程

课本例 2、例 3 都在演示同一套动作，值得抽象成四步：

第一步：找三条两两垂直的共点棱，把它们定成三条轴。 正方体、长方体、直棱柱最省事；有的题要先证一条线垂直于一个面，才凑得出直角。 选原点的原则是让尽量多的点坐标出现 $0$——原点通常放在图形的一个「角」上。 另外记得凑成右手系（拇指 $x$、食指 $y$、中指 $z$）。

第二步：设边长。 题目没给具体长度（只说「正方体」）时，不妨设棱长为 $1$： 所求的角与比值都与大小无关。题目给了字母棱长 $a$，就带着 $a$ 算，最后 $a$ 会在余弦里自动约掉。

第三步：把用到的点写成坐标。 中点用中点公式，定比分点用 $\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + t\,\overrightarrow{AB}$。 这一步是全题唯一容易出错的地方，写完最好逐点回图上核一遍。

第四步：把几何问题翻成上面那五条之一。

例 2 用第一行（$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{DA_1} = 0$），例 3 的两问分别用第三行和第四行。 注意例 3 的第二问算出 $\dfrac{15}{17}$ 是正数，所以不必再取绝对值； 如果算出负数，答案要写它的绝对值。

六、坐标法与综合法的分工

例 2 若用综合法（纯几何推理），得先想到连某条辅助线、再用三垂线定理，属于「想到了就一步、想不到就卡住」。 坐标法则把它压成一次数量积计算：写四个点的坐标、相减、点乘、看是不是 $0$。

坐标法的长处是「无需灵感」，短处是计算量大、且必须先有一组两两垂直的棱。 所以实际做题时的判断标准是：

• 图里现成有三条两两垂直的共点棱（正方体、长方体、直棱柱、有一条侧棱垂直底面的棱锥）→ 建系；
• 图里全是斜的平行六面体、或者只问「证平行」这类不涉及长度的结论 → §1.2 的基底法或综合法往往更快。

§1.2 的习题（平行六面体、三个 $60^\circ$）正是第二类；本节的习题几乎全是第一类。

七、推广一眼：$n$ 维向量

课本节末的「阅读与思考」把这件事推到了底。平面向量是二元有序实数对，空间向量是三元有序实数组， 二者合称几何向量。而现实里的量常常需要更多个数：五门学科的成绩是五元组， 一辆新车的六项测试指标是六元组。于是定义

$$n \text{ 元有序实数组 } (a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n) \ \text{称为 } n \text{ 维向量}.$$

加减、数乘、数量积、模、两点间「距离」的定义全部照抄本节，只是把 $3$ 换成 $n$：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n, \qquad |\boldsymbol{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2}.$$

这些公式一个字都没改，是因为它们从头到尾只用到了「分量」，从未用到「三维」。 课本给的两个例子很能说明用处：把 5 年的月销售量各看成一个 $12$ 维向量， 求它们的平均向量就能看出季节性；把每个学生的身高、胸围、腰围、肩宽看成一个 $4$ 维向量， 算它与 8 个标准型号点的「距离」，最近的那个就是他该穿的号。 这就是「按距离分类」，也是今天聚类算法最朴素的样子。

八、这一节在本章的位置

到本节为止，工具已经配齐了。 §1.4 不再增加新公式，只是教你把立体几何里 「线面平行」「面面垂直」「点到平面的距离」这些说法，翻译成本节这五条能处理的形式。

本节目录里有七页（page-0024–page-0030），印着的题分三块，共 15 道，逐题全做：

1. 上一节「练习」的第 4 题——它整道印在 page-0024 上，这一页属于本节的目录，所以收在这里。 （同一组练习的第 1、2 题印在 §1.3 的末页；第 3 题的题干与配图也在那里，只有两个小问排到了 page-0024， 离开题干无从谈起，所以那三道都在 §1.3 的习题详解里解答，这里不重复。）
2. 本节「练习」第 1–5 题（page-0027，印着的页码是第 22 页）；
3. 「习题 1.3」第 1–9 题（page-0027–page-0028，第 22–23 页）， 分「复习巩固」第 1–5 题、「综合运用」第 6–7 题、「拓广探索」第 8–9 题三组，全部落在本节主题上，一道不漏。

节末的「阅读与思考——向量概念的推广与应用」是阅读材料，没有习题，不在此列。

全篇反复用到的公式先列在这里，后面不再重复：

• 坐标运算：$\boldsymbol{a}\pm\boldsymbol{b}$、$\lambda\boldsymbol{a}$ 逐分量做； $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
• 模：$|\boldsymbol{a}| = \sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$。
• 终点减起点：$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$。
• 两点距离：$AB = \sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2+(z_2-z_1)^2}$。
• 垂直：非零向量 $\boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b} \iff \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 0$。
• 线线角：先算 $\cos\left\langle\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b}\right\rangle$，最后取绝对值，因为两条直线所成的角规定在 $\left[0^\circ,\ 90^\circ\right]$。
• 建系约定：正方体、长方体题一律取一个顶点为原点、三条共点棱为轴，凑成右手系；棱长没给就设为 $1$。

练习（第 18 页）第 4 题

4. 已知点 $B$ 是点 $A(3, 4, 5)$ 在坐标平面 $Oxy$ 内的射影，求 $|\overrightarrow{OB}|$.

射影就是把与该平面垂直的那个坐标抹成 $0$。 $Oxy$ 平面垂直于 $z$ 轴，所以抹掉竖坐标：

$$B(3,\ 4,\ 0).$$

于是

$$\left|\overrightarrow{OB}\right| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5.$$

为什么射影是这样求的：过 $A$ 作 $Oxy$ 平面的垂线，垂线方向就是 $\boldsymbol{k}$， 沿这个方向移动只改变竖坐标；落到平面上时竖坐标变成 $0$，横、纵坐标一路没变。

自检：$|\overrightarrow{OA}| = \sqrt{9+16+25} = \sqrt{50} = 5\sqrt2$， 而 $AB = 5$（就是 $A$ 的竖坐标）。直角三角形 $OBA$ 中 $OB^2 + BA^2 = 25 + 25 = 50 = OA^2$ ✓—— $\overrightarrow{OB}$ 与 $\overrightarrow{BA}$ 确实垂直，符合「射影」的含义。

练习（第 22 页）第 1 题

1. 已知 $a = (-3, 2, 5)$, $b = (1, 5, -1)$, 求:

(1) $a + b$; (2) $6a$; (3) $3a - b$; (4) $a \cdot b$.

四问都是照公式逐分量算。

(1)

$$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b} = (-3+1,\ 2+5,\ 5-1) = (-2,\ 7,\ 4).$$

(2)

$$6\boldsymbol{a} = (6\times(-3),\ 6\times 2,\ 6\times 5) = (-18,\ 12,\ 30).$$

(3) 先算 $3\boldsymbol{a} = (-9,\ 6,\ 15)$，再逐分量减去 $\boldsymbol{b}$：

$$3\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b} = (-9-1,\ 6-5,\ 15-(-1)) = (-10,\ 1,\ 16).$$

(4) 数量积是三个乘积之和，结果是一个数，不是向量：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = (-3)\times 1 + 2\times 5 + 5\times(-1) = -3+10-5 = 2.$$

一个提醒：(1)(2)(3) 的答案都是向量（三元组），(4) 的答案是实数 $2$。 写成 $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = (2,\ 0,\ 0)$ 之类是典型的错。

练习（第 22 页）第 2 题

2. 已知 $a = (2, -1, 3)$, $b = (-4, 2, x)$, 且 $a \perp b$. 求 $x$ 的值.

垂直就是数量积为零：

$$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 2\times(-4) + (-1)\times 2 + 3x = -8-2+3x = 3x-10.$$

令它等于 $0$：

$$3x - 10 = 0 \implies x = \frac{10}{3}.$$

前提要核：$\boldsymbol{a} = (2,\ -1,\ 3) \neq \boldsymbol{0}$ 显然； $\boldsymbol{b} = \left(-4,\ 2,\ \dfrac{10}{3}\right) \neq \boldsymbol{0}$ 也显然（前两个分量已经非零）。 两个都是非零向量，「垂直」才有意义。

自检：代回去，$2\times(-4) + (-1)\times 2 + 3\times\dfrac{10}{3} = -8-2+10 = 0$ ✓。 方程是一次的，解唯一，不会漏解。

练习（第 22 页）第 3 题

3. 在 $z$ 轴上求一点 $M$，使点 $M$ 到点 $A(1, 0, 2)$ 与点 $B(1, -3, 1)$ 的距离相等.

「在 $z$ 轴上」这个条件先用掉：$z$ 轴上的点横、纵坐标都是 $0$，可设

$$M(0,\ 0,\ z),$$

于是只剩一个未知数。

列方程时用距离的平方，避免根号：

$$|MA|^2 = (0-1)^2 + (0-0)^2 + (z-2)^2 = 1 + (z-2)^2,$$ $$|MB|^2 = (0-1)^2 + (0+3)^2 + (z-1)^2 = 10 + (z-1)^2.$$

由 $|MA| = |MB|$（两边都非负，平方后等价）得

$$1 + z^2 - 4z + 4 = 10 + z^2 - 2z + 1,$$

$z^2$ 消掉，化为

$$-4z + 5 = -2z + 11 \implies -2z = 6 \implies z = -3.$$

所以 $M(0,\ 0,\ -3)$。

自检：$|MA|^2 = 1 + (-3-2)^2 = 1+25 = 26$，$|MB|^2 = 10 + (-3-1)^2 = 10+16 = 26$， 两者相等 ✓，且 $|MA| = |MB| = \sqrt{26}$。

解唯一，不会漏：消去 $z^2$ 后方程是一次的，只有一个根。 几何上也说得通——到 $A$、$B$ 等距的点构成线段 $AB$ 的中垂面， 这张平面与 $z$ 轴要么交于一点，要么平行（无解），不会有两个交点。这里恰好交于 $(0,\ 0,\ -3)$。

练习（第 22 页）第 4 题

4. 如图，正方体 $OABC - D'A'B'C'$ 的棱长为 $a$，点 $N$，$M$ 分别在 $AC$，$BC'$ 上，$AN = 2CN$，$BM = 2MC'$，求 $MN$ 的长.

建系：按图，以 $O$ 为原点，$x$ 轴沿 $OA$、$y$ 轴沿 $OC$、$z$ 轴沿 $OD'$。棱长为 $a$，八个顶点是

$$O(0,\ 0,\ 0),\quad A(a,\ 0,\ 0),\quad B(a,\ a,\ 0),\quad C(0,\ a,\ 0),$$ $$D'(0,\ 0,\ a),\quad A'(a,\ 0,\ a),\quad B'(a,\ a,\ a),\quad C'(0,\ a,\ a).$$

把「$AN = 2CN$」翻成定比：$N$ 在线段 $AC$ 上且 $AN : NC = 2 : 1$，所以 $N$ 从 $A$ 出发走完 $AC$ 的 $\dfrac23$：

$$\overrightarrow{ON} = \overrightarrow{OA} + \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} = (a,\ 0,\ 0) + \frac{2}{3}(-a,\ a,\ 0) = \left(\frac{a}{3},\ \frac{2a}{3},\ 0\right).$$

同理「$BM = 2MC'$」：$M$ 在 $BC'$ 上且 $BM : MC' = 2 : 1$，

$$\overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OB} + \frac{2}{3}\overrightarrow{BC'} = (a,\ a,\ 0) + \frac{2}{3}(-a,\ 0,\ a) = \left(\frac{a}{3},\ a,\ \frac{2a}{3}\right).$$

相减求向量、再求模：

$$\overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \left(0,\ -\frac{a}{3},\ -\frac{2a}{3}\right),$$ $$MN = \sqrt{0 + \frac{a^2}{9} + \frac{4a^2}{9}} = \sqrt{\frac{5a^2}{9}} = \frac{\sqrt5}{3}a.$$

自检两处。其一，$M$、$N$ 的横坐标都是 $\dfrac{a}{3}$，所以 $MN$ 平行于平面 $Oyz$（即平面 $OCC'D'$）—— 这一点从图上看也对：$N$ 与 $M$ 分别在底面对角线和侧面对角线上「同样深」的位置。 其二，量级上 $\dfrac{\sqrt5}{3}a \approx 0.745a$，比一条棱短、比面对角线 $\sqrt2 a \approx 1.414a$ 短很多，合理。

这道题最容易错的地方是把定比读反。 $AN = 2CN$ 说的是「$AN$ 是 $CN$ 的两倍」， 所以 $N$ 离 $C$ 近，从 $A$ 数要走 $\dfrac23$。若读成从 $A$ 走 $\dfrac13$， 会得到 $N\left(\dfrac{2a}{3},\ \dfrac{a}{3},\ 0\right)$，答案就错了。

练习（第 22 页）第 5 题

5. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 是 $AB$ 的中点，求 $DB_1$ 与 $CM$ 所成角的余弦值.

建系：棱长没给，不妨设为 $1$（所求是角，与大小无关）。以 $D$ 为原点， $x$ 轴沿 $DA$、$y$ 轴沿 $DC$、$z$ 轴沿 $DD_1$，则

$$D(0,\ 0,\ 0),\quad A(1,\ 0,\ 0),\quad B(1,\ 1,\ 0),\quad C(0,\ 1,\ 0),\quad B_1(1,\ 1,\ 1).$$

$M$ 是 $AB$ 的中点：

$$\overrightarrow{DM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DB}\right) = \frac{1}{2}\left[(1,\ 0,\ 0)+(1,\ 1,\ 0)\right] = \left(1,\ \frac{1}{2},\ 0\right).$$

写出两条直线的方向向量：

$$\overrightarrow{DB_1} = (1,\ 1,\ 1), \qquad \overrightarrow{CM} = \left(1,\ \frac{1}{2},\ 0\right) - (0,\ 1,\ 0) = \left(1,\ -\frac{1}{2},\ 0\right).$$

三个量：

$$\overrightarrow{DB_1}\cdot\overrightarrow{CM} = 1\times 1 + 1\times\left(-\frac{1}{2}\right) + 1\times 0 = \frac{1}{2},$$ $$\left|\overrightarrow{DB_1}\right| = \sqrt3, \qquad \left|\overrightarrow{CM}\right| = \sqrt{1+\frac{1}{4}} = \frac{\sqrt5}{2}.$$

代入夹角公式：

$$\cos\left\langle\overrightarrow{DB_1},\ \overrightarrow{CM}\right\rangle = \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt3\times\frac{\sqrt5}{2}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{15}} = \frac{\sqrt{15}}{15}.$$

结果为正，已经落在 $\left[0^\circ,\ 90^\circ\right]$ 里，不必再取绝对值。所以 $DB_1$ 与 $CM$ 所成角的余弦值是

$$\frac{\sqrt{15}}{15} \approx 0.258.$$

注意 $DB_1$ 与 $CM$ 是异面直线（$DB_1$ 是体对角线，$CM$ 在底面内，两者不相交也不平行）， 「所成角」指的正是把其中一条平移后与另一条相交所成的锐角——用向量算恰好绕开了平移这一步。

习题 1.3 第 1 题

1. 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，三个非零向量 $a, b, c$ 分别平行于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，它们的坐标各有什么特点？

特点是「只有一个分量非零，且非零的那个正对着它平行的那条轴」：

$$\boldsymbol{a} = (a_1,\ 0,\ 0)\ (a_1\neq 0), \qquad \boldsymbol{b} = (0,\ b_2,\ 0)\ (b_2\neq 0), \qquad \boldsymbol{c} = (0,\ 0,\ c_3)\ (c_3\neq 0).$$

理由：$x$ 轴的方向向量是 $\boldsymbol{i} = (1,\ 0,\ 0)$。 $\boldsymbol{a}$ 平行于 $x$ 轴，即 $\boldsymbol{a}\parallel\boldsymbol{i}$，由平行的坐标条件存在 $\lambda$ 使

$$\boldsymbol{a} = \lambda\boldsymbol{i} = (\lambda,\ 0,\ 0),$$

而 $\boldsymbol{a}$ 非零，故 $\lambda\neq 0$。另两个同理。

反过来也成立，所以这是一个充要刻画：坐标形如 $(a_1,\ 0,\ 0)$ 且 $a_1\neq 0$ 的向量必平行于 $x$ 轴。

「非零」这个条件不能省：零向量 $(0,\ 0,\ 0)$ 按规定与任何向量都平行， 若允许它，三条轴就无法区分了——这也是题目特意写「三个非零向量」的原因。

顺带记一条对照：向量垂直于 $x$ 轴（即落在 $Oyz$ 方向上）的坐标特征相反，是 $(0,\ y,\ z)$—— 平行是「只留一个」，垂直是「抹掉一个」。

习题 1.3 第 2 题

2. $M(x, y, z)$ 是空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标：

(1) 与点 M 关于 x 轴对称的点；

(2) 与点 M 关于 y 轴对称的点；

(3) 与点 M 关于 z 轴对称的点；

(4) 与点 M 关于原点对称的点.

四个答案：

$$(1)\ (x,\ -y,\ -z); \qquad (2)\ (-x,\ y,\ -z); \qquad (3)\ (-x,\ -y,\ z); \qquad (4)\ (-x,\ -y,\ -z).$$

统一的道理：关于一条轴对称，等价于绕这条轴旋转 $180^\circ$。 以 (1) 为例，把 $\overrightarrow{OM} = x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$ 绕 $x$ 轴转半圈， $\boldsymbol{i}$ 方向是转轴、不动，而 $\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 都被翻到反向，于是

$$\overrightarrow{OM'} = x\boldsymbol{i} - y\boldsymbol{j} - z\boldsymbol{k} = (x,\ -y,\ -z).$$

也可以用中点验证：设 $M'$ 关于 $x$ 轴与 $M$ 对称，则 $MM'$ 的中点必在 $x$ 轴上（纵、竖坐标为 $0$）， 且 $MM' \perp x$ 轴。中点是 $\left(x,\ \dfrac{y+y'}{2},\ \dfrac{z+z'}{2}\right)$， 要它落在 $x$ 轴上就得 $y' = -y$、$z' = -z$；而横坐标不变保证了 $\overrightarrow{MM'} = (0,\ -2y,\ -2z)$ 确实垂直于 $\boldsymbol{i}$ ✓。

(4) 关于原点对称最简单：$\overrightarrow{OM'} = -\overrightarrow{OM}$，三个坐标全部变号。

一句口诀收纳全部四问，外加三张坐标平面：「对称的那个对象保留，其余取反」。

注意「关于轴」与「关于平面」恰好互补：关于 $z$ 轴对称变两个号，关于 $Oxy$ 平面对称变一个号， 两者合起来正好是关于原点对称（三个号全变）。这也是检查有没有记混的好办法。

习题 1.3 第 3 题

3. 如图，正方体 $OABC-D'A'B'C'$ 的棱长为 a, E, F, G, H, I, J 分别是棱 $C'D'$ , $D'A'$ , $A'A$ , AB, BC, $CC'$ 的中点，写出正六边形 EFGHIJ 各顶点的坐标.

建系与顶点：按图，$O$ 为原点，$x$ 轴沿 $OA$、$y$ 轴沿 $OC$、$z$ 轴沿 $OD'$，棱长 $a$：

$$O(0,\ 0,\ 0),\quad A(a,\ 0,\ 0),\quad B(a,\ a,\ 0),\quad C(0,\ a,\ 0),$$ $$D'(0,\ 0,\ a),\quad A'(a,\ 0,\ a),\quad B'(a,\ a,\ a),\quad C'(0,\ a,\ a).$$

六个中点逐个用中点公式（两端点坐标取平均）：

$$E = \text{mid}(C',\ D') = \left(0,\ \frac{a}{2},\ a\right), \qquad F = \text{mid}(D',\ A') = \left(\frac{a}{2},\ 0,\ a\right),$$ $$G = \text{mid}(A',\ A) = \left(a,\ 0,\ \frac{a}{2}\right), \qquad H = \text{mid}(A,\ B) = \left(a,\ \frac{a}{2},\ 0\right),$$ $$I = \text{mid}(B,\ C) = \left(\frac{a}{2},\ a,\ 0\right), \qquad J = \text{mid}(C,\ C') = \left(0,\ a,\ \frac{a}{2}\right).$$

验证它确实是正六边形（题目直说了是正六边形，但自己核一遍才踏实）。

先看边长。逐条相减：

$$\overrightarrow{EF} = \left(\frac{a}{2},\ -\frac{a}{2},\ 0\right), \quad \overrightarrow{FG} = \left(\frac{a}{2},\ 0,\ -\frac{a}{2}\right), \quad \overrightarrow{GH} = \left(0,\ \frac{a}{2},\ -\frac{a}{2}\right),$$ $$\overrightarrow{HI} = \left(-\frac{a}{2},\ \frac{a}{2},\ 0\right), \quad \overrightarrow{IJ} = \left(-\frac{a}{2},\ 0,\ \frac{a}{2}\right), \quad \overrightarrow{JE} = \left(0,\ -\frac{a}{2},\ \frac{a}{2}\right).$$

六条的模都是 $\sqrt{\dfrac{a^2}{4}+\dfrac{a^2}{4}} = \dfrac{\sqrt2}{2}a$，边长相等 ✓ （每条边都是某个面上小三角形的斜边，长度是面对角线的一半，很合理）。

再看共面。把六个点的三个坐标相加：

$$0+\frac{a}{2}+a = \frac{a}{2}+0+a = a+0+\frac{a}{2} = a+\frac{a}{2}+0 = \frac{a}{2}+a+0 = 0+a+\frac{a}{2} = \frac{3a}{2},$$

六个点全部满足 $x+y+z = \dfrac{3a}{2}$，共面 ✓。

再看夹角。相邻两边如 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{FG}$：

$$\overrightarrow{FE}\cdot\overrightarrow{FG} = \left(-\frac{a}{2}\right)\times\frac{a}{2} + \frac{a}{2}\times 0 + 0\times\left(-\frac{a}{2}\right) = -\frac{a^2}{4},$$ $$\cos\angle EFG = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{\sqrt2}{2}a\times\frac{\sqrt2}{2}a} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{2}} = -\frac{1}{2},$$

即内角 $120^\circ$，正是正六边形的内角 ✓。

几何解释很漂亮：$x+y+z = \dfrac{3a}{2}$ 这张平面过正方体的中心，且垂直于体对角线 $OB'$ （$\overrightarrow{OB'} = (a,\ a,\ a)$ 正是这张平面的法方向）。 用一张垂直于体对角线、且过中心的平面去截正方体，截面就是正六边形——这道题就是这个结论的坐标版。

习题 1.3 第 4 题

4. 先在空间直角坐标系中标出 $A, B$ 两点，再求它们之间的距离：

(1) $A(2, 3, 5), B(3, 1, 4)$;

(2) $A(6, 0, 1)$, $B(3, 5, 7)$.

标点的作法与前面一致：先在 $Oxy$ 平面上定出 $(x,\ y,\ 0)$，再沿平行于 $z$ 轴的方向升高 $z$。 两问的四个点坐标全为非负数，都落在第一卦限（$B(3,\ 1,\ 4)$ 等）或坐标平面上 （$A(6,\ 0,\ 1)$ 的纵坐标为 $0$，落在 $Ozx$ 平面内）。

求距离直接套公式。

(1)

$$AB = \sqrt{(3-2)^2 + (1-3)^2 + (4-5)^2} = \sqrt{1+4+1} = \sqrt6.$$

(2)

$$AB = \sqrt{(3-6)^2 + (5-0)^2 + (7-1)^2} = \sqrt{9+25+36} = \sqrt{70}.$$

两点提醒：

1. 谁减谁都行——差要平方，符号被吃掉。$(3-2)^2$ 与 $(2-3)^2$ 一样。
2. $\sqrt6 \approx 2.45$、$\sqrt{70} \approx 8.37$，都比最大的那个坐标差要大一点、比三个坐标差之和要小， 这是三维「勾股」的必然（$\max \leqslant \sqrt{\sum} \leqslant \sum$），可以拿来当量级自检。

习题 1.3 第 5 题

5. 已知 $a = (2, -3, 1)$, $b = (2, 0, 3)$, $c = (0, 0, 2)$. 求: (1) $a \cdot (b + c)$; (2) $a + 6b - 8c$.

(1) 先算括号里的和，再点乘：

$$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c} = (2+0,\ 0+0,\ 3+2) = (2,\ 0,\ 5),$$ $$\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}) = 2\times 2 + (-3)\times 0 + 1\times 5 = 4+0+5 = 9.$$

自检（用分配律换条路）：$\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b} = 4+0+3 = 7$， $\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c} = 0+0+2 = 2$，相加得 $9$ ✓。

(2) 三项分别数乘后逐分量相加：

$$6\boldsymbol{b} = (12,\ 0,\ 18), \qquad 8\boldsymbol{c} = (0,\ 0,\ 16),$$ $$\boldsymbol{a}+6\boldsymbol{b}-8\boldsymbol{c} = (2+12-0,\ -3+0-0,\ 1+18-16) = (14,\ -3,\ 3).$$

再次强调两问答案的类型不同：(1) 是数 $9$，(2) 是向量 $(14,\ -3,\ 3)$。

习题 1.3 第 6 题

6. 求证：以 $A(4, 1, 9)$，$B(10, -1, 6)$，$C(2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形。

要证两件事：有两条边相等（等腰），有一个角是直角（直角）。都从 $A$ 出发算最省事。

先写两条边向量：

$$\overrightarrow{AB} = (10-4,\ -1-1,\ 6-9) = (6,\ -2,\ -3),$$ $$\overrightarrow{AC} = (2-4,\ 4-1,\ 3-9) = (-2,\ 3,\ -6).$$

等腰：

$$\left|\overrightarrow{AB}\right| = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7, \qquad \left|\overrightarrow{AC}\right| = \sqrt{4+9+36} = \sqrt{49} = 7,$$

故 $AB = AC = 7$。

直角：

$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 6\times(-2) + (-2)\times 3 + (-3)\times(-6) = -12-6+18 = 0,$$

且两个向量都非零，所以 $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$，即 $\angle BAC = 90^\circ$。

于是 $\triangle ABC$ 是以 $A$ 为直角顶点的等腰直角三角形。 $\blacksquare$

自检：第三边

$$\overrightarrow{BC} = (2-10,\ 4-(-1),\ 3-6) = (-8,\ 5,\ -3), \qquad \left|\overrightarrow{BC}\right| = \sqrt{64+25+9} = \sqrt{98} = 7\sqrt2,$$

正好等于 $7\sqrt2 = \sqrt2\times 7$，与「直角边 $7$、斜边 $7\sqrt2$」的等腰直角三角形完全吻合 ✓。 另外三点不共线（否则构不成三角形）：$\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 垂直且都非零，当然不平行 ✓。

也可以只用三条边长做：算出 $AB = AC = 7$、$BC = 7\sqrt2$，再验 $7^2+7^2 = 98 = (7\sqrt2)^2$， 由勾股定理的逆定理得直角。两条路都对，用数量积那条更短，因为不必先猜哪个角是直角。

习题 1.3 第 7 题

7. 已知 $A(3, 5, -7)$，$B(-2, 4, 3)$，求 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BA}$，线段 $AB$ 的中点坐标及线段 $AB$ 的长。

向量用终点减起点：

$$\overrightarrow{AB} = (-2-3,\ 4-5,\ 3-(-7)) = (-5,\ -1,\ 10),$$ $$\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} = (5,\ 1,\ -10).$$

中点坐标取两端点的平均：

$$M = \left(\frac{3+(-2)}{2},\ \frac{5+4}{2},\ \frac{-7+3}{2}\right) = \left(\frac{1}{2},\ \frac{9}{2},\ -2\right).$$

长度就是 $\overrightarrow{AB}$ 的模：

$$AB = \sqrt{(-5)^2+(-1)^2+10^2} = \sqrt{25+1+100} = \sqrt{126} = 3\sqrt{14}.$$

自检：$126 = 9\times 14$，故 $\sqrt{126} = 3\sqrt{14} \approx 11.22$。 再核中点——$M$ 到 $A$ 的距离应当是 $AB$ 的一半：

$$\overrightarrow{AM} = \left(\frac{1}{2}-3,\ \frac{9}{2}-5,\ -2+7\right) = \left(-\frac{5}{2},\ -\frac{1}{2},\ 5\right) = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} \ ✓,$$

方向相同、长度减半，说明中点算对了。

一个常见错：把 $\overrightarrow{BA}$ 写成和 $\overrightarrow{AB}$ 一样。二者方向相反、坐标全部变号， 但长度相等。题目把两个都问出来，正是要区分这一点。

习题 1.3 第 8 题

8. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M, N$ 分别为棱 $A_1A$ 和 $B_1B$ 的中点，求 $CM$ 和 $D_1N$ 所成角的余弦值.

建系：棱长设为 $1$。以 $D$ 为原点，$x$ 轴沿 $DA$、$y$ 轴沿 $DC$、$z$ 轴沿 $DD_1$：

$$D(0,\ 0,\ 0),\ A(1,\ 0,\ 0),\ B(1,\ 1,\ 0),\ C(0,\ 1,\ 0),$$ $$D_1(0,\ 0,\ 1),\ A_1(1,\ 0,\ 1),\ B_1(1,\ 1,\ 1).$$

两个中点：

$$M = \text{mid}(A_1,\ A) = \left(1,\ 0,\ \frac{1}{2}\right), \qquad N = \text{mid}(B_1,\ B) = \left(1,\ 1,\ \frac{1}{2}\right).$$

两条直线的方向向量：

$$\overrightarrow{CM} = \left(1,\ 0,\ \frac{1}{2}\right) - (0,\ 1,\ 0) = \left(1,\ -1,\ \frac{1}{2}\right),$$ $$\overrightarrow{D_1N} = \left(1,\ 1,\ \frac{1}{2}\right) - (0,\ 0,\ 1) = \left(1,\ 1,\ -\frac{1}{2}\right).$$

三个量：

$$\overrightarrow{CM}\cdot\overrightarrow{D_1N} = 1\times 1 + (-1)\times 1 + \frac{1}{2}\times\left(-\frac{1}{2}\right) = 1-1-\frac{1}{4} = -\frac{1}{4},$$ $$\left|\overrightarrow{CM}\right| = \sqrt{1+1+\frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}, \qquad \left|\overrightarrow{D_1N}\right| = \sqrt{1+1+\frac{1}{4}} = \frac{3}{2}.$$

向量夹角的余弦：

$$\cos\left\langle\overrightarrow{CM},\ \overrightarrow{D_1N}\right\rangle = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{3}{2}\times\frac{3}{2}} = \frac{-\frac{1}{4}}{\frac{9}{4}} = -\frac{1}{9}.$$

这里必须取绝对值：算出的是负数，说明两个方向向量的夹角是钝角； 而两条直线所成的角规定不超过 $90^\circ$，所以

$$\cos\theta = \left|-\frac{1}{9}\right| = \frac{1}{9}.$$

答案：$\dfrac{1}{9}$。

为什么会出现负号，换个方向就没有了：若把第二条的方向向量取成 $\overrightarrow{ND_1} = \left(-1,\ -1,\ \dfrac12\right)$，数量积就变成 $+\dfrac14$，余弦直接是 $\dfrac19$。 方向是我们自己选的，不能影响答案，取绝对值正是为了抹掉这个人为选择。 上一道（练习第 5 题）恰好算出正数，所以那里不必取绝对值。 不是「有时取有时不取」，而是「一律取绝对值」，只不过本来就是正数时取了等于没取。

习题 1.3 第 9 题

9. $\{a, b, c\}$ 是空间的一个单位正交基底，向量 $p = a + 2b + 3c$，$\{a + b, a - b, c\}$ 是空间的另一个基底，用基底 $\{a + b, a - b, c\}$ 表示向量 $p$.

设出待定系数：

$$\boldsymbol{p} = x(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) + y(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) + z\boldsymbol{c}.$$

按旧基底整理：

$$\boldsymbol{p} = (x+y)\boldsymbol{a} + (x-y)\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}.$$

比较系数。$\{\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b},\ \boldsymbol{c}\}$ 是基底，同一个向量在它下面的分解唯一， 所以两种写法的对应系数必须相等：

$$\begin{cases} x + y = 1 \\ x - y = 2 \\ z = 3 \end{cases}$$

前两式相加得 $2x = 3$，即 $x = \dfrac32$；相减得 $2y = -1$，即 $y = -\dfrac12$。于是

$$\boldsymbol{p} = \frac{3}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) - \frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) + 3\boldsymbol{c}.$$

自检（展开回去）：

$$\frac{3}{2}(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}) - \frac{1}{2}(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}) + 3\boldsymbol{c} = \left(\frac32-\frac12\right)\boldsymbol{a} + \left(\frac32+\frac12\right)\boldsymbol{b} + 3\boldsymbol{c} = \boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}+3\boldsymbol{c} \ ✓.$$

两点值得注意。

其一，「单位正交」这个条件其实没用上。整个推理只用到了 $\{\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b},\ \boldsymbol{c}\}$ 是基底 （分解唯一），没有用到模为 $1$、也没有用到两两垂直。题目给出「单位正交」， 是为了让 $\boldsymbol{p} = (1,\ 2,\ 3)$ 有坐标的含义，属于背景交代。

其二，新基底下的坐标 $\left(\dfrac32,\ -\dfrac12,\ 3\right)$ 与旧基底下的 $(1,\ 2,\ 3)$ 是同一个向量的两套说法。 这正好回应了 §1.3.1 的那句话：坐标依赖于所选的基底，换基底就换坐标，向量本身没变。 顺带一提，$\{\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b},\ \boldsymbol{a}-\boldsymbol{b},\ \boldsymbol{c}\}$ 虽然是基底， 但不是单位正交基底（$|\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}| = \sqrt2 \neq 1$）， 所以在它下面不能直接用 $a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$ 那套公式算数量积。