1.3.2 空间向量运算的坐标表示

文字转写

(1) 写出点 C, $B'$ , P 的坐标;

(2) 写出向量 $\overrightarrow{BB'}$ ， $\overrightarrow{A'C'}$ 的坐标.

4. 已知点 $B$ 是点 $A(3, 4, 5)$ 在坐标平面 $Oxy$ 内的射影，求 $|\overrightarrow{OB}|$.

1.3.2 空间向量运算的坐标表示

探究

有了空间向量的坐标表示，你能类比平面向量的坐标运算，得出空间向量运算的坐标表示并给出证明吗？

设

$\boldsymbol {a} = (a _ {1}, a _ {2}, a _ {3}), \boldsymbol {b} = (b _ {1}, b _ {2}, b _ {3}),$

与平面向量运算的坐标表示一样，我们有：

$\boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} = (a _ {1} + b _ {1}, a _ {2} + b _ {2}, a _ {3} + b _ {3}),$

$\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b} = (a _ {1} - b _ {1}, a _ {2} - b _ {2}, a _ {3} - b _ {3}),$

$\lambda \boldsymbol {a} = (\lambda a _ {1}, \lambda a _ {2}, \lambda a _ {3}), \lambda \in \mathbf {R},$

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = a _ {1} b _ {1} + a _ {2} b _ {2} + a _ {3} b _ {3}.$

下面我们证明空间向量数量积运算的坐标表示.

设 $\{i, j, k\}$ 为空间的一个单位正交基底，则

● ●

$\boldsymbol {a} = a _ {1} \boldsymbol {i} + a _ {2} \boldsymbol {j} + a _ {3} \boldsymbol {k}, \boldsymbol {b} = b _ {1} \boldsymbol {i} + b _ {2} \boldsymbol {j} + b _ {3} \boldsymbol {k},$

所以

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = (a _ {1} \boldsymbol {i} + a _ {2} \boldsymbol {j} + a _ {3} \boldsymbol {k}) \cdot (b _ {1} \boldsymbol {i} + b _ {2} \boldsymbol {j} + b _ {3} \boldsymbol {k}).$

其他运算的坐标表示可以类似证明，请同学们自己完成.

利用向量数量积的分配律以及

$i \cdot i = j \cdot j = k \cdot k = 1, i \cdot j = j \cdot k = k \cdot i = 0,$

得

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = a _ {1} b _ {1} + a _ {2} b _ {2} + a _ {3} b _ {3}.$

由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的。例如，我们有：

一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.

类似平面向量运算的坐标表示，我们还可以得到：

当 $b \neq 0$ 时， $a \parallel b \Leftrightarrow a = \lambda b \Leftrightarrow a_{1} = \lambda b_{1}$ ， $a_{2} = \lambda b_{2}$ ， $a_{3} = \lambda b_{3} (\lambda \in \mathbb{R})$ ;

$a \perp b \Leftrightarrow a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a _ {1} b _ {1} + a _ {2} b _ {2} + a _ {3} b _ {3} = 0;$

$| \boldsymbol {a} | = \sqrt {\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {a}} = \sqrt {a _ {1} ^ {2} + a _ {2} ^ {2} + a _ {3} ^ {2}};$

$\cos \langle \boldsymbol {a}, \boldsymbol {b} \rangle = \frac {\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b}}{| \boldsymbol {a} | | \boldsymbol {b} |} = \frac {a _ {1} b _ {1} + a _ {2} b _ {2} + a _ {3} b _ {3}}{\sqrt {a _ {1} ^ {2} + a _ {2} ^ {2} + a _ {3} ^ {2}} \sqrt {b _ {1} ^ {2} + b _ {2} ^ {2} + b _ {3} ^ {2}}}.$

探究

你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗？

如图 1.3-7 建立空间直角坐标系 Oxyz，设 $P_{1}(x_{1}, y_{1}, z_{1})$ ， $P_{2}(x_{2}, y_{2}, z_{2})$ 是空间中任意两点，则

$\overrightarrow {P _ {1} P _ {2}} = \overrightarrow {O P _ {2}} - \overrightarrow {O P _ {1}} = (x _ {2} - x _ {1}, y _ {2} - y _ {1}, z _ {2} - z _ {1}).$

于是

$\begin{array}{r l} | \overrightarrow {P _ {1} P _ {2}} | & = \sqrt {\overrightarrow {P _ {1} P _ {2}} \cdot \overrightarrow {P _ {1} P _ {2}}} \\ & = \sqrt {(x _ {2} - x _ {1}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {1}) ^ {2} + (z _ {2} - z _ {1}) ^ {2}}. \end{array}$

所以

$P _ {1} P _ {2} = | \overrightarrow {P _ {1} P _ {2}} | = \sqrt {(x _ {2} - x _ {1}) ^ {2} + (y _ {2} - y _ {1}) ^ {2} + (z _ {2} - z _ {1}) ^ {2}}.$

这就是空间两点间的距离公式.

将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单.

例 2 如图 1.3-8，在正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，E，F 分别是 $BB_{1}$ ， $D_{1}B_{1}$ 的中点．求证 $EF \perp DA_{1}$ .

分析：要证明 $EF \perp DA_{1}$，只要证明 $\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{DA_{1}}$，即证 $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DA_{1}} = 0$。我们只要用坐标表示 $\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{DA_{1}}$，并进行数量积运算即可。

证明：不妨设正方体的棱长为1，建立如图1.3-8所示的空间直角坐标系Oxyz，则

图1.3-8

$E \left(1, 1, \frac {1}{2}\right), F \left(\frac {1}{2}, \frac {1}{2}, 1\right),$

所以 $\overrightarrow{EF} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$.

?

又 $A_{1}$ (1, 0, 1), $D$ (0, 0, 0), 所以 $\overrightarrow{DA_{1}} = (1, 0, 1)$.

所以 $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{DA_1} = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right) \cdot (1, 0, 1) = 0.$

所以 $\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{DA_{1}}$ ，即 $EF \perp DA_{1}$ .

你能从本题的解答中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？

例3 如图1.3-9，在棱长为1的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，$M$ 为 $BC_{1}$ 的中点，$E_{1}$，$F_{1}$ 分别在棱 $A_{1}B_{1}$，$C_{1}D_{1}$ 上，$B_{1}E_{1}=\frac{1}{4}A_{1}B_{1}$，$D_{1}F_{1}=\frac{1}{4}C_{1}D_{1}$.

(1) 求 AM 的长.

(2) 求 $BE_{1}$ 与 $DF_{1}$ 所成角的余弦值.

分析：（1）利用条件建立适当的空间直角坐标系，写出点 A，M 的坐标，利用空间两点间的距离公式求出 AM

图1.3-9

的长. (2) $BE_{1}$ 与 $DF_{1}$ 所成的角就是 $\overrightarrow{BE_1}$, $\overrightarrow{DF_1}$ 所成的角或它的补角. 因此, 可以通过 $\overrightarrow{BE_1}$, $\overrightarrow{DF_1}$ 的坐标运算得到结果.

解：（1）建立如图 1.3-9 所示的空间直角坐标系 Oxyz，则点 A 的坐标为 $(1, 0, 0)$ ，点 M 的坐标为 $\left(\frac{1}{2}, 1, \frac{1}{2}\right)$ 。于是

$A M = \sqrt {\left(\frac {1}{2} - 1\right) ^ {2} + (1 - 0) ^ {2} + \left(\frac {1}{2} - 0\right) ^ {2}} = \frac {\sqrt {6}}{2}.$

(2) 由已知，得

$B (1, 1, 0), E _ {1} \Big (1, \frac {3}{4}, 1 \Big), D (0, 0, 0), F _ {1} \Big (0, \frac {1}{4}, 1 \Big),$

所以 $\overrightarrow{BE_{1}}=\left(1,\frac{3}{4},1\right)-\left(1,1,0\right)=\left(0,-\frac{1}{4},1\right)$ ,

$\overrightarrow {D F _ {1}} = \left(0, \frac {1}{4}, 1\right) - (0, 0, 0) = \left(0, \frac {1}{4}, 1\right),$

$| \overrightarrow {B E _ {1}} | = \frac {\sqrt {1 7}}{4}, | \overrightarrow {D F _ {1}} | = \frac {\sqrt {1 7}}{4}.$

所以

$\overrightarrow {B E _ {1}} \cdot \overrightarrow {D F _ {1}} = 0 \times 0 + \left(- \frac {1}{4} \times \frac {1}{4}\right) + 1 \times 1 = \frac {1 5}{1 6}.$

所以

$\begin{array}{r l} \cos \langle \overrightarrow {B E _ {1}}, \overrightarrow {D F _ {1}} \rangle & = \frac {\overrightarrow {B E _ {1}} \cdot \overrightarrow {D F _ {1}}}{| \overrightarrow {B E _ {1}} | | \overrightarrow {D F _ {1}} |} \\ & = \frac {\frac {1 5}{1 6}}{\frac {\sqrt {1 7}}{4} \times \frac {\sqrt {1 7}}{4}} = \frac {1 5}{1 7}. \end{array}$

所以， $BE_{1}$ 与 $DF_{1}$ 所成角的余弦值是 $\frac{15}{17}$ .

练习

1. 已知 $a = (-3, 2, 5)$, $b = (1, 5, -1)$, 求:

(1) $a + b$; (2) $6a$; (3) $3a - b$; (4) $a \cdot b$.

2. 已知 $a = (2, -1, 3)$, $b = (-4, 2, x)$, 且 $a \perp b$. 求 $x$ 的值.

3. 在 $z$ 轴上求一点 $M$，使点 $M$ 到点 $A(1, 0, 2)$ 与点 $B(1, -3, 1)$ 的距离相等.

4. 如图，正方体 $OABC - D'A'B'C'$ 的棱长为 $a$，点 $N$，$M$ 分别在 $AC$，$BC'$ 上，$AN = 2CN$，$BM = 2MC'$，求 $MN$ 的长.

5. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M$ 是 $AB$ 的中点，求 $DB_1$ 与 $CM$ 所成角的余弦值.

习题1.3

复习巩固

1. 在空间直角坐标系 $Oxyz$ 中，三个非零向量 $a, b, c$ 分别平行于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴，它们的坐标各有什么特点？

2. $M(x, y, z)$ 是空间直角坐标系 $Oxyz$ 中的一点，写出满足下列条件的点的坐标：

(1) 与点 M 关于 x 轴对称的点；

(2) 与点 M 关于 y 轴对称的点；

(3) 与点 M 关于 z 轴对称的点；

(4) 与点 M 关于原点对称的点.

3. 如图，正方体 $OABC-D'A'B'C'$ 的棱长为 a, E, F, G, H, I, J 分别是棱 $C'D'$ , $D'A'$ , $A'A$ , AB, BC, $CC'$ 的中点，写出正六边形 EFGHIJ 各顶点的坐标.

4. 先在空间直角坐标系中标出 $A, B$ 两点，再求它们之间的距离：

(1) $A(2, 3, 5), B(3, 1, 4)$;

(2) $A(6, 0, 1)$, $B(3, 5, 7)$.

5. 已知 $a = (2, -3, 1)$, $b = (2, 0, 3)$, $c = (0, 0, 2)$. 求: (1) $a \cdot (b + c)$; (2) $a + 6b - 8c$.

综合运用

6. 求证：以 $A(4, 1, 9)$，$B(10, -1, 6)$，$C(2, 4, 3)$ 为顶点的三角形是等腰直角三角形。
7. 已知 $A(3, 5, -7)$，$B(-2, 4, 3)$，求 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BA}$，线段 $AB$ 的中点坐标及线段 $AB$ 的长。

拓广探索

8. 如图，在正方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中，$M, N$ 分别为棱 $A_1A$ 和 $B_1B$ 的中点，求 $CM$ 和 $D_1N$ 所成角的余弦值.

9. $\{a, b, c\}$ 是空间的一个单位正交基底，向量 $p = a + 2b + 3c$，$\{a + b, a - b, c\}$ 是空间的另一个基底，用基底 $\{a + b, a - b, c\}$ 表示向量 $p$.

? 阅读与思考

向量概念的推广与应用

我们知道，在平面内取定单位正交基底建立坐标系后，任意一个平面向量，都可以用二元有序实数对 $(a_{1}, a_{2})$ 表示。平面向量又称为二维向量。给定空间一个单位正交基底，任意一个空间向量，都可用三元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, a_{3})$ 表示。空间向量又称为三维向量。二维向量、三维向量统称为几何向量。

在实际问题中，经常会遇到一些需要用更多实数来表示的量。比如：期末进行了五门学科的考试，每个学生的成绩可用顺序排列的五科成绩来表示；在汽车生产线上，对装配好的汽车进行制动距离、最高车速、每100千米油耗、滑行距离、噪声、废气排放量等六项指标的测试，那么每辆新车质量可用六元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6})$ 表示。

一般地，n 元有序实数组 $(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$ 称为 n 维向量，它是几何向量的推广。n 维向量的全体构成的集合，赋予相应的结构后，叫做 n 维向量空间。它的每一个元素可看成 n 维向量空间的一点。

类似二维向量, 对于 $n$ 维向量, 也可定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度 (模)、两点间的 “距离” 等:

设 $\boldsymbol{a}=(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}),\boldsymbol{b}=(b_{1},b_{2},\cdots,b_{n})$ ，则

$\begin{array}{r l} \boldsymbol {a} \pm \boldsymbol {b} & = (a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n}) \pm (b _ {1}, b _ {2}, \dots , b _ {n}) \\ & = (a _ {1} \pm b _ {1}, a _ {2} \pm b _ {2}, \dots , a _ {n} \pm b _ {n}); \end{array}$

$\lambda \boldsymbol {a} = \lambda (a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n}) = (\lambda a _ {1}, \lambda a _ {2}, \dots , \lambda a _ {n}), \lambda \in \mathbf {R};$

$\boldsymbol {a} \cdot \boldsymbol {b} = (a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {n}) \cdot (b _ {1}, b _ {2}, \dots , b _ {n}) = a _ {1} b _ {1} + a _ {2} b _ {2} + \dots + a _ {n} b _ {n};$

$\vert \boldsymbol {a} \vert = \sqrt {a _ {1} ^ {2} + a _ {2} ^ {2} + \cdots + a _ {n} ^ {2}}.$

n 维向量空间中 $A(a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n})$ , $B(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n})$ 两点间的 “距离”

$d _ {A B} = \sqrt {(b _ {1} - a _ {1}) ^ {2} + (b _ {2} - a _ {2}) ^ {2} + \cdots + (b _ {n} - a _ {n}) ^ {2}}.$

利用向量的运算可以解决许多实际问题.

例如，为了研究某种商品的销售量是否随季节的变化出现规律性的变化，采集了5年内这种商品每月销售量的数据。每年此商品的销售量可用12个月的销售量所形成的12维向量表示。不妨设5年的销售向量分别为

$\begin{array}{r l} & {\pmb {a} = (a _ {1}, a _ {2}, \dots , a _ {1 2}),} \\ & {\pmb {b} = (b _ {1}, b _ {2}, \dots , b _ {1 2}),} \\ & {\pmb {c} = (c _ {1}, c _ {2}, \dots , c _ {1 2}),} \\ & {\pmb {d} = (d _ {1}, d _ {2}, \dots , d _ {1 2}),} \\ & {\pmb {e} = (e _ {1}, e _ {2}, \dots , e _ {1 2}).} \end{array}$

计算这 5 年的月平均销售向量

$\frac {1}{5} (a + b + c + d + e).$

观察这个向量的 12 个分量，就可看出这 5 年内月平均销售量是否与季节的变化有关.

上面是一个应用向量的加法与数乘运算的例子，下面我们再来看用“距离”概念解决实际问题的例子。

依据 “距离” 来分类是一种常用的分类方法。计算每个向量与标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归哪一类。请看下面的具体例子。

翱翔校服有限公司根据以往制作校服的经验，得出适用于本地区高一新生的8种校服标准型号及相应的测量指标参数值，如表1所示.

为了给树人中学 1 000 名高一新生制作校服，翱翔公司测量了每名学生的身高、胸围、腰围、肩宽等，得到 1 000 组（每组 4 个）数据，如何根据这些数据得出 8 种标准型号的服装各应制作的套数呢？

我们把测量得到的数据按身高、胸围、腰围、肩宽的顺序排列，则每名学生的身材可以用四维向量表示，并且可以把它看作四维向量空间中的一个点。这样，上面的问题用数学语言来描述，就是如何将1000个点分成8类。一种常用的分类方法是依据“距离”来分类。8种标准型号为8个标准点，用两点间距离的计算公式，计算每个学生的身材点与8个标准点的距离，与哪个标准点的距离最近就归入哪一类。例如，某同学身高为172 cm，胸围95 cm，腰围80 cm，肩宽43 cm，则该同学的身材点可以表示为P（172，95，80，43）。设8种标准型号分别为点A（150，76，62，34），B（155，80，66，36），C（160，84，70，38），D（165，88，74，40），E（170，92，78，42），F（175，96，82，44），G（180，100，86，46），H（185，104，90，48），分别计算点P与点A，B，C，D，E，F，G，H的距离，可得 $d_{PA}\approx35.4$ ， $d_{PB}\approx27.5$ ， $d_{PC}\approx19.7$ ， $d_{PD}\approx12.0$ ， $d_{PE}\approx4.2$ ， $d_{PF}\approx3.9$ ， $d_{PG}\approx11.6$ ， $d_{PH}\approx19.4$ 。因为 $d_{PF}$ 最小，所以该同学的身材点应归类为XL号。

翱翔校服有限公司只要设计一个小程序，将测量所得的 1 000 组数据输入计算机，就可以迅速计算出 1 000 名学生属于每一类的点数，进而得到 8 种标准型号的服装各应制作的套数.

从以上两个例子可以看出，由有序实数组构成的向量，比几何向量的应用更加广泛。在日常生活和科学研究中，有许多量都可由有序实数组构成的向量来表示，并可用向量理论研究这些量的性质。