空间直角坐标系：把「选一个基底」变成「选一个坐标系」

一、上一节留下的缺口

§1.2 的空间向量基本定理说：取定不共面的 $\{\boldsymbol{a},\ \boldsymbol{b},\ \boldsymbol{c}\}$ 之后， 任何空间向量都能唯一地写成

$$\boldsymbol{p} = x\boldsymbol{a} + y\boldsymbol{b} + z\boldsymbol{c}.$$

于是向量的加减、数乘都变成了系数的加减、数乘，这一步很漂亮。 可是数量积没有跟着变干净——展开 $(x_1\boldsymbol{a}+y_1\boldsymbol{b}+z_1\boldsymbol{c})\cdot(x_2\boldsymbol{a}+y_2\boldsymbol{b}+z_2\boldsymbol{c})$ 会冒出九项，需要六个额外的数据

$$\boldsymbol{a}^2,\quad \boldsymbol{b}^2,\quad \boldsymbol{c}^2,\quad \boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b},\quad \boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c},\quad \boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}$$

才算得出来。§1.2 的习题里反复出现的「$|\boldsymbol{a}| = |\boldsymbol{b}| = |\boldsymbol{c}|$、三个夹角都是 $60^\circ$」， 就是在替你把这六个数配齐。

只要基底选成单位正交的，这六个数立刻塌缩成最简单的一组：

$$\boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{i} = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{j} = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{k} = 1, \qquad \boldsymbol{i}\cdot\boldsymbol{j} = \boldsymbol{j}\cdot\boldsymbol{k} = \boldsymbol{k}\cdot\boldsymbol{i} = 0.$$

九项里六项当场归零，剩下三项系数全是 $1$。这就是本节要做的全部事情： 把「随便一个基底」升级成「单位正交基底」，再给它配一个原点，几何问题就彻底变成了算术。

二、空间直角坐标系是什么

先回头看平面。我们习惯把平面直角坐标系说成「两条互相垂直、原点重合的数轴」， 但用基底的语言可以说得更利落：

在平面内选定一点 $O$ 和一个单位正交基底 $\{\boldsymbol{i},\ \boldsymbol{j}\}$，以 $O$ 为原点， 分别以 $\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$ 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立两条数轴， 就得到一个平面直角坐标系。

空间里一字不改地照搬，只是把两个基向量换成三个：

空间直角坐标系 $=$ 一个定点 $O$（原点）$+$ 一个单位正交基底 $\{\boldsymbol{i},\ \boldsymbol{j},\ \boldsymbol{k}\}$。

以 $O$ 为原点、以三个基向量的方向为正方向、以它们的长为单位长度，得到三条坐标轴： $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴。$\boldsymbol{i}$、$\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 叫做坐标向量。这个坐标系记作 $Oxyz$。

三条轴两两配对，张出三张坐标平面：

三张平面把空间切成八个部分（平面直角坐标系是四个象限，空间里是八块）。

关于画法，课本给了一个约定：

画空间直角坐标系 $Oxyz$ 时，一般使 $\angle xOy = 135^{\circ}$（或 $45^{\circ}$），$\angle yOz = 90^{\circ}$。

这只是斜二测的透视习惯，不是说 $x$ 轴与 $y$ 轴真的成 $135^\circ$——它们在空间里是垂直的， 纸面上画成钝角只是为了看出立体感。画 $x$ 轴方向的线段时，通常取实际长度的一半， 这样立方体看起来才不至于失真。

三、右手系：为什么方向也要规定

三条两两垂直的轴，正方向有两种本质不同的搭法，互为镜像，无论怎么旋转都不能重合。 课本用手势把它们区分开：

让右手拇指指向 $x$ 轴的正方向，食指指向 $y$ 轴的正方向，如果中指指向 $z$ 轴的正方向， 则称这个坐标系为右手直角坐标系。

本书建立的坐标系一律是右手系。 这条约定在本章后面才真正显出分量： 一旦以后要用「法向量的方向」「叉积」这类带方向的工具，左手系与右手系会差一个负号。 现在只需记住：建系时若发现三条轴凑成左手系，把任意一条轴反向即可。

一个方便的自检：把三条轴按 $x \to y \to z \to x$ 的顺序循环，右手系在任何一个「拐角」处看起来都长得一样。 换句话说，$(x,\ y,\ z)$、$(y,\ z,\ x)$、$(z,\ x,\ y)$ 三种排法给出同一个右手系； 而交换其中任意两条轴，就翻成左手系了。

四、点的坐标与向量的坐标，其实是同一件事

设 $A$ 是空间任意一点。它对应唯一的向量 $\overrightarrow{OA}$，反过来 $\overrightarrow{OA}$ 也唯一确定 $A$ 的位置。 由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组 $(x,\ y,\ z)$ 使

$$\overrightarrow{OA} = x\boldsymbol{i} + y\boldsymbol{j} + z\boldsymbol{k}.$$

这组数就叫做点 $A$ 的坐标，记作 $A(x,\ y,\ z)$，其中 $x$ 是横坐标、$y$ 是纵坐标、$z$ 是竖坐标。

对一般的向量 $\boldsymbol{a}$，先把它平移到以 $O$ 为起点（$\overrightarrow{OA} = \boldsymbol{a}$），再照上面分解， 得到的 $(x,\ y,\ z)$ 就叫做向量 $\boldsymbol{a}$ 的坐标，记作

$$\boldsymbol{a} = (x,\ y,\ z).$$

课本紧接着提醒了一句要紧的话：

符号 $(x,\ y,\ z)$ 具有双重意义，它既可以表示向量，也可以表示点，表述时要注意区分。

这个「双重意义」不是含糊，而是一条桥：

$$\text{点 } A \ \longleftrightarrow\ \text{向量 } \overrightarrow{OA} \ \longleftrightarrow\ \text{有序实数组 } (x,\ y,\ z).$$

但要清楚这座桥是靠原点搭起来的。 点与实数组的对应依赖于 $O$ 选在哪里： 换一个原点，同一个点的坐标就变了。向量则不同——向量是自由的， 只要基底不变，向量的坐标与原点选在哪里无关。后面写 $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}$ 「终点坐标减起点坐标」时，正是这一点在起作用。

五、怎么把一个点的坐标「读」出来

有了定义还不够，还得会看图。课本给的办法是三次投影：

过点 $A$ 分别作垂直于 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的平面，依次交三条轴于 $B$、$C$、$D$。 可以证明 $\overrightarrow{OA}$ 在三条轴上的投影向量分别是 $\overrightarrow{OB}$、$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OD}$，且

$$\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}.$$

设 $B$、$C$、$D$ 在各自轴上的坐标依次是 $x$、$y$、$z$，那么点 $A$ 的坐标就是 $(x,\ y,\ z)$。

为什么这三段能加起来正好等于 $\overrightarrow{OA}$？ 因为三条轴两两垂直， 以 $OB$、$OC$、$OD$ 为棱可以作一个长方体，$OA$ 恰是它的体对角线， 而体对角线等于三条共点棱的向量和（§1.1 的平行六面体法则，这里退化成长方体）。

实际操作时更省事的说法：在解题图里，$A$ 的三个坐标就是

• $x$：$A$ 沿 $x$ 方向走了几个单位，
• $y$：$A$ 沿 $y$ 方向走了几个单位，
• $z$：$A$ 离 $Oxy$ 平面有多高（在下方取负）。

先落到底面找出 $(x,\ y)$，再抬头量高度 $z$——「先投影到底面，再补高度」是读坐标的标准动作。

六、例 1 的两处要点

课本例 1：长方体 $OABC\text{-}D'A'B'C'$ 中 $OA = 3$、$OC = 4$、$OD' = 2$， 以 $\left\{\dfrac13\overrightarrow{OA},\ \dfrac14\overrightarrow{OC},\ \dfrac12\overrightarrow{OD'}\right\}$ 为单位正交基底建系。

第一处要点：为什么要除以 $3$、$4$、$2$。 因为基底必须是单位正交的。 三条棱两两垂直（长方体），方向可以直接拿来用，但长度分别是 $3$、$4$、$2$， 所以各自除以自己的长，才化成单位向量。建系时看到棱长不是 $1$，第一件事就是单位化。 这也解释了为什么坐标里会出现 $A'(3,\ 0,\ 2)$ 这种数：$3$ 是「三个单位长」而不是「三」。

第二处要点：向量坐标用「终点减起点」还是用「拆成基向量」，二选一即可。 例如

$$\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'C'} = -3\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} + 0\boldsymbol{k} = (-3,\ 4,\ 0),$$

也可以直接用坐标：$C'(0,\ 4,\ 2)$、$A'(3,\ 0,\ 2)$，相减得 $(-3,\ 4,\ 0)$，同一个答案。 后一条路要到 §1.3.2 才正式给出公式，但结果当然一致——两条路必须一致，这是很好的自检手段。

七、几种「特殊位置」的坐标特征

这一节的练习几乎都在考这张表，值得单独记：

规律一句话：在某条轴上，就是「另外两个坐标为 $0$」；在某张坐标平面内，就是「与之垂直的那条轴的坐标为 $0$」。

由此还能顺出射影与对称两组结果，后面练习要用：

• 点 $P(a,\ b,\ c)$ 在 $Oxy$、$Oyz$、$Ozx$ 平面内的射影依次是 $(a,\ b,\ 0)$、$(0,\ b,\ c)$、$(a,\ 0,\ c)$ ——射影就是把与之垂直的那个坐标抹成 $0$。
• 点 $P(a,\ b,\ c)$ 关于原点的对称点是 $(-a,\ -b,\ -c)$；关于某条坐标轴对称，则该轴的坐标不变、另两个变号； 关于某张坐标平面对称，则该平面上那两个坐标不变、剩下一个变号。

两条规则容易记混，可以用「对称的东西保留、其余取反」来定位：关于 $z$ 轴对称保留 $z$； 关于 $Oxy$ 平面对称保留 $x$ 与 $y$。

八、这一节在本章的位置

本节只做了「翻译」这一件事，还没开始算。 但翻译一旦完成， 后面所有的立体几何题就都有了一条不必依赖巧妙辅助线的通路：建系、写坐标、算。 下一节把这条通路的算法部分补齐。

本节目录里只有三页（page-0021–page-0023），印着 §1.3 的引言、§1.3.1「空间直角坐标系」的正文、例 1， 以及节末「练习」的第 1、2 题，和第 3 题的题干与配图。第 3 题的两个小问印在下一页 page-0024 上， 那一页属于 §1.3.2 的目录；但题干和那张定坐标系的图都在本节，离开它们两个小问无从谈起， 所以第 3 题整道收在这里，两个小问的原文按位置在下一节，本份照录其内容并注明出处。 「练习」的第 4 题整道印在 page-0024 上，与本节的页无关，归 §1.3.2 的习题详解，这里不重复。 所以本份收 3 道，逐题全做。

这两道题只考一件事：坐标系是「一个原点 $+$ 一个单位正交基底」，点的坐标就是 $\overrightarrow{OA}$ 在这组基底下的分解系数。 下面反复用到的几条特征，先列在这里：

• 在某条坐标轴上 $\iff$ 另外两个坐标为 $0$；在某张坐标平面内 $\iff$ 与这张平面垂直的那条轴的坐标为 $0$。
• 射影：往某张坐标平面投影，就是把与它垂直的那个坐标抹成 $0$；往某条轴投影，就是把另两个坐标抹成 $0$。
• 对称：关于原点对称，三个坐标全变号；关于某条轴对称，该轴的坐标不变、另两个变号； 关于某张坐标平面对称，该平面上的两个坐标不变、剩下一个变号。一句话——「对称的那部分保留，其余取反」。

练习（第 18 页）第 1 题

1. 在空间直角坐标系中标出下列各点：

$A(0, 2, 4)$ , $B(1, 0, 5)$ , $C(0, 2, 0)$ , $D(1, 3, 4)$ .

标点的统一动作是「三步走」：从原点 $O$ 出发，先沿 $x$ 轴方向走 $x$ 个单位， 再沿 $y$ 轴方向（保持与 $y$ 轴平行）走 $y$ 个单位，最后沿 $z$ 轴方向（保持与 $z$ 轴平行）走 $z$ 个单位。 终点就是这个点。等价地说：先在 $Oxy$ 平面上定出底面上的落点 $(x,\ y,\ 0)$，再抬高 $z$。

逐点说清位置（画图时按上面的三步走）：

$A(0,\ 2,\ 4)$：横坐标为 $0$，所以 $A$ 在 $Oyz$ 平面内。 具体作法是：在 $y$ 轴上取 $2$，再沿平行于 $z$ 轴的方向上升 $4$。

$B(1,\ 0,\ 5)$：纵坐标为 $0$，所以 $B$ 在 $Ozx$ 平面内。 在 $x$ 轴上取 $1$，再沿平行于 $z$ 轴的方向上升 $5$。

$C(0,\ 2,\ 0)$：横坐标与竖坐标都为 $0$，所以 $C$ 就在 $y$ 轴上，是 $y$ 轴上坐标为 $2$ 的那个点。 注意它与 $A$ 的关系：$A$ 恰好在 $C$ 的正上方 $4$ 个单位处（$C$ 是 $A$ 在 $Oxy$ 平面内的射影）。

$D(1,\ 3,\ 4)$：三个坐标都不为 $0$，是一个一般位置的点，落在第一卦限（三个坐标全正的那一块）。 作法：底面上先定出 $(1,\ 3,\ 0)$——从原点沿 $x$ 走 $1$，再沿平行于 $y$ 轴的方向走 $3$——然后上升 $4$。

画图时的两点提醒：

1. 课本约定 $\angle xOy = 135^\circ$（或 $45^\circ$）、$\angle yOz = 90^\circ$， 并且沿 $x$ 轴方向的长度按一半画。不这么画的话立方体会看着像被压扁的平行四边形。
2. 每个点都应当把「底面落点 $\to$ 竖直上升」这两段虚线补出来，否则读图的人无法判断它离底面多高。 $A$、$B$、$C$ 有坐标为 $0$，虚线会退化，正好可以用来检查自己有没有画错。

自检：四个点里，$A$ 与 $C$ 的 $x$、$y$ 相同而 $z$ 不同，应当在同一条竖直线上； $A$ 与 $D$ 的 $z$ 相同，应当在同一张水平面（$z = 4$）上。画完对照一下，位置关系不对就是标错了。

练习（第 18 页）第 2 题

2. 在空间直角坐标系 Oxyz 中，

(1) 哪个坐标平面与 x 轴垂直？哪个坐标平面与 y 轴垂直？哪个坐标平面与 z 轴垂直？

(2) 写出点 $P(2, 3, 4)$ 在三个坐标平面内的射影的坐标.

(3) 写出点 $P(1, 3, 5)$ 关于原点成中心对称的点的坐标.

(1)

$$Oyz \text{ 平面} \perp x \text{ 轴}, \qquad Ozx \text{ 平面} \perp y \text{ 轴}, \qquad Oxy \text{ 平面} \perp z \text{ 轴}.$$

理由只有一句：$Oyz$ 平面由 $\boldsymbol{j}$、$\boldsymbol{k}$ 张成，而 $\boldsymbol{i}$ 与这两个都垂直， 由线面垂直的判定定理，$x$ 轴垂直于 $Oyz$ 平面。另两条同理。

记法：一张坐标平面垂直于「名字里没出现的那条轴」。$Oyz$ 里没有 $x$，就垂直于 $x$ 轴； $Oxy$ 里没有 $z$，就垂直于 $z$ 轴。这个口诀比死记三条要稳。

(2) 点 $P(2,\ 3,\ 4)$ 在三个坐标平面内的射影依次是

$$Oxy: \ (2,\ 3,\ 0), \qquad Oyz: \ (0,\ 3,\ 4), \qquad Ozx: \ (2,\ 0,\ 4).$$

为什么是「把一个坐标抹成 $0$」：求 $P$ 在 $Oxy$ 平面内的射影，就是过 $P$ 作 $Oxy$ 平面的垂线、取垂足。 由 (1)，$Oxy$ 平面的垂线方向正是 $\boldsymbol{k}$，所以从 $P$ 出发只改变 $z$、不动 $x$ 与 $y$； 落到平面上时 $z = 0$。于是射影为 $(2,\ 3,\ 0)$。另两个同理——抹掉的正是与该平面垂直的那条轴的坐标。

顺带一条容易混的：射影到坐标轴上则相反，是只保留该轴的坐标。 比如 $P(2,\ 3,\ 4)$ 在 $x$ 轴上的射影是 $(2,\ 0,\ 0)$。 「投到面上抹一个、投到轴上留一个」，两句话正好互补。

(3) 点 $P(1,\ 3,\ 5)$ 关于原点的中心对称点是

$$P'(-1,\ -3,\ -5).$$

理由：$P'$ 与 $P$ 关于 $O$ 对称，等价于 $O$ 是线段 $PP'$ 的中点，即

$$\overrightarrow{OP'} = -\overrightarrow{OP} = -(1\boldsymbol{i} + 3\boldsymbol{j} + 5\boldsymbol{k}) = -\boldsymbol{i} - 3\boldsymbol{j} - 5\boldsymbol{k},$$

三个分解系数全部变号。

自检：中点公式反过来核一遍——$\dfrac{1 + (-1)}{2} = 0$、$\dfrac{3 + (-3)}{2} = 0$、$\dfrac{5 + (-5)}{2} = 0$， 中点确为原点 ✓。另外 $|OP'| = |OP| = \sqrt{1 + 9 + 25} = \sqrt{35}$，长度相等也符合中心对称 ✓。

把这一小问与「关于轴 / 关于面对称」放在一起看，$P(1,\ 3,\ 5)$ 的各种对称点是：

一句话记住整张表：「对称的那个对象保留，其余取反」—— 关于 $z$ 轴对称就保留 $z$，关于 $Oxy$ 平面对称就保留 $x$ 与 $y$，关于原点对称则什么都不保留。

练习（第 18 页）第 3 题

3. 在长方体 $OABC - D'A'B'C'$ 中，$OA = 3$，$OC = 4$，$OD' = 3$，$A'C'$ 与 $B'D'$ 相交于点 $P$，建立如图所示的空间直角坐标系 $Oxyz$.

题干与配图印在本节末页，两个小问排在下一页（page-0024，§1.3.2 的目录）上，原文是：

• (1) 写出点 $C$，$B'$，$P$ 的坐标；
• (2) 写出向量 $\overrightarrow{BB'}$，$\overrightarrow{A'C'}$ 的坐标。

先把八个顶点的坐标全部定下来。 图中坐标系以 $O$ 为原点，$x$ 轴沿 $OA$、$y$ 轴沿 $OC$、$z$ 轴沿 $OD'$， 三条棱两两垂直，单位长度分别取 $\dfrac13\overrightarrow{OA}$、$\dfrac14\overrightarrow{OC}$、$\dfrac13\overrightarrow{OD'}$ 的长， 也就是说 $A$ 落在 $x$ 轴上 $3$ 处、$C$ 落在 $y$ 轴上 $4$ 处、$D'$ 落在 $z$ 轴上 $3$ 处。底面 $OABC$ 是矩形， 上底面 $D'A'B'C'$ 与它全等且高出 $3$：

$$O(0,\ 0,\ 0),\quad A(3,\ 0,\ 0),\quad B(3,\ 4,\ 0),\quad C(0,\ 4,\ 0),$$ $$D'(0,\ 0,\ 3),\quad A'(3,\ 0,\ 3),\quad B'(3,\ 4,\ 3),\quad C'(0,\ 4,\ 3).$$

（记号要对上：$A$ 的正上方是 $A'$，$B$ 的正上方是 $B'$，$C$ 的正上方是 $C'$，$O$ 的正上方是 $D'$。）

(1)

$C$ 在 $y$ 轴上、离原点 $4$，所以

$$C(0,\ 4,\ 0).$$

$B'$ 在上底面，底面落点是 $B(3,\ 4,\ 0)$，高 $3$，所以

$$B'(3,\ 4,\ 3).$$

$P$ 是 $A'C'$ 与 $B'D'$ 的交点。$A'B'C'D'$ 是矩形（上底面），两条对角线互相平分， 所以 $P$ 就是上底面的中心，取 $A'C'$ 的中点即可：

$$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA'} + \overrightarrow{OC'}\right) = \frac{1}{2}\left[(3,\ 0,\ 3) + (0,\ 4,\ 3)\right] = \left(\frac{3}{2},\ 2,\ 3\right).$$

自检：换另一条对角线 $B'D'$ 的中点算一遍， $\dfrac12\left[(3,\ 4,\ 3) + (0,\ 0,\ 3)\right] = \left(\dfrac32,\ 2,\ 3\right)$， 两条路同一个结果 ✓。而且 $P$ 的竖坐标是 $3$，确实落在上底面上 ✓。

(2) 向量的坐标用「终点坐标减起点坐标」：

$$\overrightarrow{BB'} = (3,\ 4,\ 3) - (3,\ 4,\ 0) = (0,\ 0,\ 3),$$ $$\overrightarrow{A'C'} = (0,\ 4,\ 3) - (3,\ 0,\ 3) = (-3,\ 4,\ 0).$$

用基向量再核一遍（本节还没正式给出减法的坐标公式，这条路是稳的）： $\overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{OD'} = 3\boldsymbol{k} = (0,\ 0,\ 3)$； $\overrightarrow{A'C'} = \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'C'} = -3\boldsymbol{i} + 4\boldsymbol{j} = (-3,\ 4,\ 0)$ ✓。

两个结果的几何意义：$\overrightarrow{BB'}$ 是竖直棱，只有竖坐标非零，长度就是高 $3$； $\overrightarrow{A'C'}$ 躺在上底面内，竖坐标为 $0$，它是矩形的对角线，长度 $\sqrt{9 + 16} = 5$。