1.2 空间向量基本定理

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1.2 空间向量基本定理

我们知道，平面内的任意一个向量 $p$ 都可以用两个不共线的向量 $a, b$ 来表示（平面向量基本定理）。类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量 $a, b, c$ 来表示呢？

我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论.

如图 1.2-1，设 i, j, k 是空间中三个两两垂直的向量，且表示它们的有向线段有公共起点 O。对于任意一个空间向量 $p=\overrightarrow{OP}$ ，设 $\overrightarrow{OQ}$ 为 $\overrightarrow{OP}$ 在 i, j 所确定的平面上的投影向量，则 $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OQ}+\overrightarrow{QP}$ 。又向量 $\overrightarrow{QP}$ ，k 共线，因此存在唯一的实数 z，使得 $\overrightarrow{QP}=zk$ ，从而

$\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O Q} + z k.$

而在 $i, j$ 所确定的平面上，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对 $(x, y)$，使得

$\overrightarrow {O Q} = x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j}.$

从而

$\overrightarrow {O P} = \overrightarrow {O Q} + z \boldsymbol {k} = x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j} + z \boldsymbol {k}.$

因此，如果 $i, j, k$ 是空间三个两两垂直的向量，那么对任意一个空间向量 $\pmb{p}$，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$，使得

$\boldsymbol {p} = x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j} + z \boldsymbol {k}.$

你能证明唯一性吗？

我们称 $xi$ ， $yj$ ， $zk$ 分别为向量 $\pmb{p}$ 在 $i$ ， $j$ ， $k$ 上的分向量.

探究

在空间中，如果用任意三个不共面的向量 $a, b, c$ 代替两两垂直的向量 $i, j, k$，你能得出类似的结论吗？

类似平面向量基本定理，我们有空间向量基本定理.

定理 如果三个向量 $a, b, c$ 不共面，那么对任意一个空间向量 $p$，存在唯一的有序实数组 $(x, y, z)$，使得

$p = x a + y b + z c.$

● ●

请你自己给出空间向量基本定理的证明.

由此可知，如果三个向量 $a, b, c$ 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是 $\{p \mid p = xa + yb + zc, x, y, z \in \mathbb{R}\}$。这个集合可看作由向量 $a, b, c$ 生成的，我们把 $\{a, b, c\}$ 叫做空间的一个基底（base），$a, b, c$ 都叫做基向量（base vectors）。空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 $\{i, j, k\}$ 表示。由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 $a$，均可以分解为三个向量 $xi, yj, zk$，使 $a = xi + yj + zk$。像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。

由空间向量基本定理可知，如果把三个不共面的向量作为空间的一个基底，那么所有空间向量都可以用三个基向量表示出来。进一步地，所有空间向量间的运算都可以转化为基向量间的运算，这为解决问题带来了方便。

例 1 如图 1.2-2, M 是四面体 OABC 的棱 BC 的中点, 点 N 在线段 OM 上, 点 P 在线段 AN 上, 且 $MN = \frac{1}{2} ON$ , $AP = \frac{3}{4} AN$ , 用向量 $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ , $\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$ .

分析: $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ 是三个不共面的向量, 它们构成空间的一个基底 $\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}, \overrightarrow{OP}$ 可以用基底 $\{\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}\}$ 表示出来.

解：

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {O P} & = \overrightarrow {O A} + \overrightarrow {A P} = \overrightarrow {O A} + \frac {3}{4} \overrightarrow {A N} \\ & = \overrightarrow {O A} + \frac {3}{4} (\overrightarrow {O N} - \overrightarrow {O A}) \\ & = \overrightarrow {O A} + \frac {3}{4} \overrightarrow {O N} - \frac {3}{4} \overrightarrow {O A} \\ & = \frac {1}{4} \overrightarrow {O A} + \frac {3}{4} \left(\frac {1}{3} \overrightarrow {O B} + \frac {1}{3} \overrightarrow {O C}\right) \\ & = \frac {1}{4} \overrightarrow {O A} + \frac {1}{4} \overrightarrow {O B} + \frac {1}{4} \overrightarrow {O C}. \end{array}$

练习

1. 已知 $\{a, b, c\}$ 是空间的一个基底，从 $a, b, c$ 中选哪一个向量，一定可以与向量 $p = a + b$

$q = a - b$

2. 已知 $O, A, B, C$ 为空间的四个点，且向量 $\overrightarrow{OA}, \overrightarrow{OB}, \overrightarrow{OC}$ 不构成空间的一个基底，那么点 $O, A, B, C$ 是否共面？

3. 如图，已知平行六面体 $OABC-O'A'B'C'$ ，点 G 是侧面 $BB'C'C$ 的中心，且 $\overrightarrow{OA}=a,\overrightarrow{OC}=b,\overrightarrow{OO'}=c$ .

(1) $\{a, b, c\}$ 是否构成空间的一个基底？

(2) 如果 $\{a, b, c\}$ 构成空间的一个基底，那么用它表示下列向量： $\overrightarrow{OB'}$ ， $\overrightarrow{BA'}$ ， $\overrightarrow{CA'}$ ， $\overrightarrow{OG}$ .

例 2 如图 1.2-3，在平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，AB=4，AD=4， $AA_{1}=5$ ， $\angle DAB=60^{\circ}$ ， $\angle BAA_{1}=60^{\circ}$ ， $\angle DAA_{1}=60^{\circ}$ ，M，N 分别为 $D_{1}C_{1}$ ， $C_{1}B_{1}$ 的中点。求证 $MN \perp AC_{1}$ 。

分析：要证 $MN \perp AC_{1}$，只需证明 $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC_{1}} = 0$。由已知，$\{\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA_{1}}\}$ 可构成空间的一个基底。把 $\overrightarrow{MN}$ 和 $\overrightarrow{AC_{1}}$ 分别用基底表示，然后计算 $\overrightarrow{MN} \cdot \overrightarrow{AC_{1}}$ 即可。

图1.2-3

证明：设 $\overrightarrow{AB} = a$ ， $\overrightarrow{AD} = b$ ， $\overrightarrow{AA_1} = c$ ，这三个向量不共面， $\{a,b,c\}$ 构成空间的一个基底，我们用它们表示$\overrightarrow{MN}$ ， $\overrightarrow{AC_1}$ ，则

$\begin{array}{l} \overrightarrow {M N} = \overrightarrow {M C _ {1}} + \overrightarrow {C _ {1} N} = \frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {1}{2} \boldsymbol {b}, \\ \overrightarrow {A C _ {1}} = \overrightarrow {A B} + \overrightarrow {B C} + \overrightarrow {C C _ {1}} = \boldsymbol {a} + \boldsymbol {b} + \boldsymbol {c}, \end{array}$

所以

$\begin{array}{r l} \overrightarrow {M N} \cdot \overrightarrow {A C _ {1}} & = \left(\frac {1}{2} a - \frac {1}{2} b\right) \cdot (a + b + c) \\ & = \frac {1}{2} a \cdot a + \frac {1}{2} a \cdot b + \frac {1}{2} a \cdot c - \frac {1}{2} b \cdot a - \frac {1}{2} b \cdot b - \frac {1}{2} b \cdot c \\ & = \frac {1}{2} \times 4 ^ {2} + \frac {1}{2} \times 4 ^ {2} \times \cos 6 0 ^ {\circ} + \frac {1}{2} \times 4 \times 5 \times \cos 6 0 ^ {\circ} - \frac {1}{2} \times 4 ^ {2} \times \cos 6 0 ^ {\circ} - \\ & \frac {1}{2} \times 4 ^ {2} - \frac {1}{2} \times 4 \times 5 \times \cos 6 0 ^ {\circ} \\ & = 0. \end{array}$

所以 $MN \perp AC_{1}$ .

例 3 如图 1.2-4，正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ 的棱长为 1, E, F, G 分别为 $C'D'$ , $A'D'$ , $D'D$ 的中点.

(1) 求证: $EF \parallel AC$;

(2) 求 CE 与 AG 所成角的余弦值.

分析：（1）要证明 $EF / / AC$ ，只需证明 $\overrightarrow{EF}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 共线.设 $\overrightarrow{DA} = i$ ， $\overrightarrow{DC} = j$ ， $\overrightarrow{DD'} = k$ ，则 $\{i,j,k\}$ 构成空间的一个单位正交基底，把 $\overrightarrow{EF}$ 和 $\overrightarrow{AC}$ 分别用基向量表示，作相应的运算证明它们共线即可．（2）要求 $CE$ 与 $AG$ 所成角的余弦值，只需求 $\overrightarrow{CE}$ ， $\overrightarrow{AG}$ 所成角的余弦值即可.

图1.2-4

（1）证明：设 $\overrightarrow{DA} = i$ ， $\overrightarrow{DC} = j$ ， $\overrightarrow{DD'} = k$ ，则 $\{i,j,k\}$ 构成空间的一个单位正交基底．所以

$\overrightarrow {E F} = \overrightarrow {D ^ {\prime} F} - \overrightarrow {D ^ {\prime} E} = \frac {1}{2} i - \frac {1}{2} j = \frac {1}{2} (i - j),$

$\overrightarrow {C A} = \overrightarrow {D A} - \overrightarrow {D C} = i - j.$

所以 $\overrightarrow{EF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}.$

所以 $EF / / AC$

(2) 解: 因为

$\overrightarrow {C E} = \overrightarrow {C C ^ {\prime}} + \overrightarrow {C ^ {\prime} E} = - \frac {1}{2} j + k,$

$\overrightarrow {A G} = \overrightarrow {A D} + \overrightarrow {D G} = - i + \frac {1}{2} k,$

所以

$\begin{array}{r l} \cos \langle \overrightarrow {C E}, \overrightarrow {A G} \rangle & = \frac {\overrightarrow {C E} \cdot \overrightarrow {A G}}{| \overrightarrow {C E} | | \overrightarrow {A G} |} = \frac {\left(- \frac {1}{2} \boldsymbol {j} + \boldsymbol {k}\right) \cdot \left(- \boldsymbol {i} + \frac {1}{2} \boldsymbol {k}\right)}{\frac {\sqrt {5}}{2} \times \frac {\sqrt {5}}{2}} \\ & = \frac {2}{5}. \end{array}$

所以 CE 与 AG 所成角的余弦值为 $\frac{2}{5}$ .

练习

1. 已知四面体 OABC, OB = OC, $\angle AOB = \angle AOC = \theta$ . 求证: $OA \perp BC$ .

2. 如图，在平行六面体 $ABCD-A'B'C'D'$ 中，AB=2，AD=2， $AA'=3$ ， $\angle BAD=\angle BAA'=\angle DAA'=60^{\circ}$ 。求 $BC'$ 与 $CA'$ 所成角的余弦值。

3. 如图，已知正方体 $ABCD-A'B'C'D'$ ， $CD'$ 和 $DC'$ 相交于点 O，连接 AO，求证 $AO \perp CD'$ .

习题1.2

复习巩固

1. 如果向量 $a, b$ 与任何向量都不能构成空间的一个基底，那么 $a, b$ 间应有什么关系？

2. 若 $\{a, b, c\}$ 构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（） (A) $b + c$ , b, b - c (B) a, a + b, a - b (C) $a + b$ , a - b, c (D) $a + b$ , $a + b + c$ , c

3. 已知四面体 OABC, M, N 分别是棱 OA, BC 的中点, 且 $\overrightarrow{OA}=a$ , $\overrightarrow{OB}=b$ , $\overrightarrow{OC}=c$ , 用 a, b, c 表示向量 $\overrightarrow{MN}$ .

4. 如图，在空间平移 $\triangle ABC$ 到 $\triangle A'B'C'$，连接对应顶点。设 $\overrightarrow{AA'} = a$，$\overrightarrow{AB} = b$，$\overrightarrow{AC} = c$，$M$ 是 $BC'$ 的中点，$N$ 是 $B'C'$ 的中点，用基底 $\{a, b, c\}$ 表示向量 $\overrightarrow{AM}$，$\overrightarrow{AN}$。

综合运用

5. 如图，在长方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，M 是 AC 与 BD 的交点。若 $D_{1}A_{1}=2,\ D_{1}C_{1}=2$ ， $D_{1}D=3$ ，求 $B_{1}M$ 的长。

6. 如图，平行六面体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 的底面 ABCD 是菱形，且 $\angle C_{1}CB = \angle C_{1}CD = \angle BCD = 60^{\circ}$ ， $CD = CC_{1}$ ，求证： $CA_{1} \perp$ 平面 $C_{1}BD$ .

拓广探索

7. 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ 中，E，F 分别为 $DD_{1}$ ，BD 的中点，点 G 在 CD 上，且 $CG=\frac{1}{4}CD$ .

(1) 求证: $EF \perp B_{1}C$ ;

(2) 求 EF 与 $C_{1}G$ 所成角的余弦值.

8. 已知四面体中三组相对棱的中点间的距离都相等，求证：这个四面体相对的棱两两垂直.