9.2.4 总体离散程度的估计

上一节把一组数压成一个”中心”。这一节要问的是：光有中心够不够？ 课本的回答直截了当：

但仅知道集中趋势的信息，很多时候还不能使我们做出有效决策。

一、问题 3：两个平均数一样的运动员

题目：两位射击运动员各射靶 $10$ 次，命中环数如下 （下列数值读自本节目录中的 page-0218.png 扫描图）：

先把上一节的三个量都算一遍。 两人总环数都是 $70$，

$$\overline{x}_{\text{甲}}=\overline{x}_{\text{乙}}=\frac{70}{10}=7 ;$$

甲排序后为 $4,4,5,7,7,7,8,9,9,10$，乙排序后为 $5,6,6,7,7,7,7,8,8,9$， 第 $5$、$6$ 位都是 $7$，中位数都是 $7$；两组里出现最多的都是 $7$，众数也都是 $7$。

平均数、中位数、众数全都相同——上一节的三件武器在这里全部失效。

但两人显然不一样。 看图 9.2-13 的两张频率条形图（数值同样读自 page-0218.png）：

甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，即甲的成绩波动幅度比较大，而乙的成绩比较稳定。 所以本节要造一个新的量，用来度量”散开的程度”。

二、第一次尝试：极差

极差 $=$ 最大值 $-$ 最小值。

$$\text{甲命中环数的极差}=10-4=6,\qquad \text{乙命中环数的极差}=9-5=4 .$$

甲的波动范围比乙的大，极差在一定程度上刻画了数据的离散程度。

但极差的毛病很明显：

因为极差只使用了数据中最大、最小两个值的信息，对其他数据的取值情况没有涉及， 所以极差所含的信息量很少。

举个极端例子就懂了：$\{0,5,5,5,5,10\}$ 与 $\{0,0,0,10,10,10\}$ 极差都是 $10$， 但前者几乎全挤在中间，后者彻底分成两堆。极差看不出这个差别。 这正是上一节”用到多少数据”那条线索的延续：只用两个数的量，信息量必然很少。

三、第二次尝试：到平均数的”平均距离”

思路课本讲得很清楚：

如果射击的成绩很稳定，那么大多数的射击成绩离平均成绩不会太远； 相反，如果射击的成绩波动幅度很大，那么大多数的射击成绩离平均成绩会比较远。

所以：用每个数据到平均数的”平均距离”来度量波动幅度。 这个量用上了全部 $n$ 个数据，一下就补上了极差的短板。

1. 先用绝对值

设数据为 $x_1,x_2,\dots,x_n$，平均数为 $\overline{x}$。取 $|x_i-\overline{x}|$ 作为 $x_i$ 到 $\overline{x}$ 的”距离”， 则”平均距离”为

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}|x_i-\overline{x}| .$$

这个量是对的、也能用（统计上叫平均绝对偏差），但它带绝对值，不好算、更不好推公式。

2. 改用平方：方差

为了避免式中含有绝对值，通常改用平方来代替，即

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}. \tag{1}$$

我们称 $(1)$ 式为这组数据的方差（variance）。

注意 $(1)$ 式量的其实是”平均的平方距离”，单位变成了原单位的平方。 这就有了下一步。

3. 开方还原单位：标准差

由于方差的单位是原始数据的单位的平方，与原始数据不一致。 为了使二者单位一致，我们对方差开平方，取它的算术平方根，即

$$\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}}. \tag{2}$$

我们称 $(2)$ 式为这组数据的标准差（standard deviation）。

为什么日常多用标准差而不是方差？ 就因为单位。 射击成绩的方差单位是”环$^2$”，没人能直观理解；标准差单位是”环”， 可以直接和环数比大小。课本也是这么说的： 在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题中，一般多采用标准差。

4. 方差的简便算法

为了计算方便，方差还可以写成

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i^{2}-\overline{x}^{2} .$$

这个式子要会自己推，一步展开就成：

$$\frac{1}{n}\sum(x_i-\overline{x})^{2} =\frac{1}{n}\sum\left(x_i^{2}-2\overline{x}x_i+\overline{x}^{2}\right) =\frac{1}{n}\sum x_i^{2}-2\overline{x}\cdot\frac{1}{n}\sum x_i+\overline{x}^{2},$$

而 $\dfrac{1}{n}\sum x_i=\overline{x}$，于是后两项合成 $-2\overline{x}^{2}+\overline{x}^{2}=-\overline{x}^{2}$。

口诀：平方的平均减去平均的平方。 它的好处是只需要扫一遍数据，同时累加 $\sum x_i$ 和 $\sum x_i^{2}$，不必先求出 $\overline{x}$ 再回头扫第二遍。 代价是当数据很大而方差很小时，两个大数相减容易丢精度，手算时要留足位数。

5. 用问题 3 检验

甲：$\overline{x}=7$，各偏差为 $0,1,0,2,-2,-3,2,3,0,-3$，

$$s^{2}_{\text{甲}}=\frac{0+1+0+4+4+9+4+9+0+9}{10}=\frac{40}{10}=4,\qquad s_{\text{甲}}=2 .$$

乙：各偏差为 $2,-2,0,1,0,-1,1,-1,0,0$，

$$s^{2}_{\text{乙}}=\frac{4+4+0+1+0+1+1+1+0+0}{10}=\frac{12}{10}=1.2,\qquad s_{\text{乙}}=\sqrt{1.2}\approx 1.095 .$$

与课本给的 $s_{\text{甲}}=2$、$s_{\text{乙}}\approx 1.095$ 一致。 由 $s_{\text{甲}}>s_{\text{乙}}$ 可知甲的成绩离散程度大、乙的小，估计乙比甲的射击成绩稳定。

选谁？课本的回答很实在，值得记住：

如果要从这两名选手中选择一名参加比赛，要看一下他们的平均成绩在所有参赛选手中的位置。 如果两人都排在前面，就选成绩稳定的乙选手，否则可以选甲。

这句话的逻辑是”先看水平，再看稳定”： 两人平均成绩都靠前时，稳定的乙更可能兑现； 若两人平均成绩都靠后，稳赢无望，反而要赌甲那条更长的尾巴——波动大意味着偶尔能打出高分。 离散程度本身无所谓好坏，好坏取决于你要的是”保底”还是”爆发”。

四、三个必答的小问题

课本在页边留了三个问号，都值得答一答。

1. 为什么用”平均距离”，用”总距离”行吗？

不行。 总距离 $\sum|x_i-\overline{x}|$ 会随着 $n$ 增大而增大： 同样稳定的一位射手，打 $10$ 次和打 $100$ 次，总距离差了近十倍， 但他的稳定性并没有变。 除以 $n$ 之后，这个量才与数据个数无关， 不同容量的两组数据才能放在一起比。 这与上一节”总量用平均数”是同一条道理——要比较，就得先归一。

2. 标准差的取值范围是什么？

由 $(2)$ 式，根号里是若干平方之和再除以 $n$，恒 $\geqslant 0$，所以

$$s\geqslant 0 .$$

没有上界（把一个数拉到无穷远，$s$ 就无穷大）。

3. 标准差为 0 的一组数据有什么特点？

$s=0\iff s^{2}=0\iff\sum(x_i-\overline{x})^{2}=0$。 这是若干个非负数之和为 $0$，只能每一项都为 $0$，即

$$x_i-\overline{x}=0\quad(i=1,2,\dots,n)\ \Longrightarrow\ x_1=x_2=\cdots=x_n=\overline{x} .$$

即：标准差为 $0$ 当且仅当这组数据全部相同。 （这正是习题 9.2 复习巩固第 $5$ 题，证明就是上面这三行。）

4. 计算器上的陷阱

课本特意提醒：

计算器可能按 $\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\bar{x})^{2}$ 计算方差, 此时需要乘 $\frac{n-1}{n}$ 进行调整.

两个口径必须分清：本册教材的方差一律除以 $n$； 很多计算器和软件的默认键（常标 $\sigma_{n-1}$ 或 STDEV）除以 $n-1$。 换算关系是

$$s^{2}_{(n)}=\frac{n-1}{n}\,s^{2}_{(n-1)} .$$

做题时按课本口径除以 $n$；见到别处的数字对不上，先查是不是这个原因。

五、总体方差与样本方差

定义只是把上面的式子换个名字，但要分清用的是哪一批个体。

加权形式也要会。 若总体的 $N$ 个变量值中不同的值共有 $k$ 个， 记为 $Y_1,Y_2,\dots,Y_k$，$Y_i$ 出现的频数为 $f_i$，则

$$S^{2}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{k}f_i(Y_i-\overline{Y})^{2} .$$

这个式子在做频率分布表的题时天天用：把"$f_i/N$"看成频率，它就是 “每个值到平均数的平方距离，按频率加权平均”。

最要紧的一段是这个：

在实际问题中，总体平均数和总体标准差都是未知的。 就像用样本平均数估计总体平均数一样，通常我们也用样本标准差去估计总体标准差。 在随机抽样中，样本标准差依赖于样本的选取，具有随机性。

“具有随机性”这五个字是本章的骨架：$s$ 是统计量，换一批样本就换一个值； 它只是 $S$ 的一个估计，不是 $S$ 本身。别把一次抽样算出的 $s$ 当成定数去下结论。

六、例 6：把两层的方差合起来

题目：对树人中学高一年级学生身高的调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样。 只知道抽取男生 $23$ 人，平均数、方差分别为 $170.6$ 和 $12.59$； 抽取女生 $27$ 人，平均数、方差分别为 $160.6$ 和 $38.62$。 求总样本的方差，并估计高一年级全体学生身高的总体方差。

这道例题是本节的重头戏，它回答的是： 只知道各层的平均数和方差，能不能拼出总样本的方差？

第一步：总样本平均数

按 §9.1.2 的按比例分配公式，

$$\overline{z}=\frac{23}{50}\overline{x}+\frac{27}{50}\overline{y} =\frac{23\times 170.6+27\times 160.6}{50}=\frac{3923.8+4336.2}{50}=\frac{8260}{50}=165.2 .$$

注意 $\overline{z}=165.2$ 既不是 $170.6$ 也不是 $160.6$，更不是两者的算术平均 $165.6$—— 权重是各层的样本量，男生多一点，总平均就偏男生一点。

第二步：把总方差拆成”层内 $+$ 层间”

按方差定义，总样本方差是全部 $50$ 个数到总平均 $\overline{z}$ 的平方距离的平均：

$$s^{2}=\frac{1}{50}\Bigl[\sum_{i=1}^{23}(x_i-\overline{z})^{2}+\sum_{j=1}^{27}(y_j-\overline{z})^{2}\Bigr].$$

难点在于：我们只知道各层到各层自己平均数的距离，不知道到 $\overline{z}$ 的距离。 解决办法是配一个中间量——在每个括号里”加一项减一项”：

$$x_i-\overline{z}=(x_i-\overline{x})+(\overline{x}-\overline{z}) .$$

平方展开会出现三项，其中的交叉项

$$\sum_{i=1}^{23}2(x_i-\overline{x})(\overline{x}-\overline{z})=2(\overline{x}-\overline{z})\sum_{i=1}^{23}(x_i-\overline{x})=0 ,$$

因为 $\sum_{i=1}^{23}(x_i-\overline{x})=\sum x_i-23\overline{x}=0$——“各数与自己平均数之差的和恒为零”。 这一步是整个推导的关键，它让交叉项整体消失。女生那一层同理。

于是

$$s^{2}=\frac{1}{50}\Bigl\{23\bigl[s_x^{2}+(\overline{x}-\overline{z})^{2}\bigr] +27\bigl[s_y^{2}+(\overline{y}-\overline{z})^{2}\bigr]\Bigr\}. \tag{①}$$

这个公式必须记住，读法也要记住：

总方差 $=$ 层内方差的加权平均 $+$ 层间方差的加权平均。 换句话说：混在一起之后变散了，一半是因为每层本来就散，一半是因为两层的中心本来就不在一处。

第三步：代入

$\overline{x}-\overline{z}=170.6-165.2=5.4$，$\overline{y}-\overline{z}=160.6-165.2=-4.6$，

$$s^{2}=\frac{1}{50}\Bigl\{23\times\bigl[12.59+5.4^{2}\bigr]+27\times\bigl[38.62+(-4.6)^{2}\bigr]\Bigr\}$$ $$=\frac{1}{50}\bigl\{23\times(12.59+29.16)+27\times(38.62+21.16)\bigr\} =\frac{23\times 41.75+27\times 59.78}{50}$$ $$=\frac{960.25+1614.06}{50}=\frac{2574.31}{50}=51.4862 .$$

答：总样本方差为 $51.4862$，据此估计高一年级学生身高的总体方差为 $51.4862$。

回头看这个数很有意思：男生层方差 $12.59$、女生层方差 $38.62$， 按人数加权的层内平均只有

$$\frac{23\times 12.59+27\times 38.62}{50}=\frac{289.57+1042.74}{50}=26.6462 ,$$

而总方差 $51.4862$ 比它大了 $24.84$——这多出来的近一半，全部来自男女平均身高相差 $10$ cm。 这也反过来说明了 §9.1.2 分层抽样为什么有效：层间差异越大， 分层（在层内抽样）能压掉的那部分波动就越大。

七、平均数与标准差合在一起用

标准差单独看没什么意思，配上平均数才有用。 课本用 §9.2.1 那 $100$ 户居民月均用水量做示范：$\overline{x}=8.79$，$s\approx 6.20$，

$$\overline{x}-s=2.59,\quad \overline{x}+s=14.99,\qquad \overline{x}-2s=-3.61,\quad \overline{x}+2s=21.19 .$$

如图 9.2-14，这 $100$ 个数据中大部分落在 $[2.59,14.99]$ 内， 落在 $[-3.61,21.19]$ 外的只有 $7$ 个，也就是说绝大部分数据落在 $[\overline{x}-2s,\overline{x}+2s]$ 内。

这条经验规律非常好用：给你 $\overline{x}$ 和 $s$，你立刻能说出数据大致落在哪个范围； 反过来，一个数据若跑到 $\overline{x}\pm 2s$ 之外，就值得当作可疑值去查一查—— 是真的极端，还是录错了（想想上一节那个把 $7.7$ 录成 $77$ 的例子： $77$ 远在 $21.19$ 之外，一眼就该被抓出来）。

两个提醒：

• $\overline{x}-2s=-3.61$ 是个负数，而用水量不可能为负。 这说明这条规律只是粗略的范围估计，不是”数据一定落在里面”的断言； 数据右偏时，左边那一半区间会伸到没有意义的地方去。
• 图 9.2-14 就是图 9.2-1 加了几条竖线，直方图本身没变。 （该图各矩形的高度依次为 $0.077,0.107,0.043,0.030,0.030,0.017,0.010,0.013,0.007$， 读自本节目录中的 page-0222.png 扫描图；乘以组距 $3$ 即得 §9.2 里那张表 9.2-1 的九个频率。）

八、本节小结

三条必须背下来的性质（证明见本节练习第 $2$ 题与习题 $4$、$5$）：

• 平移不改变方差：$y_i=x_i+b\Rightarrow s_y^{2}=s_x^{2}$；
• 伸缩按平方放大：$y_i=ax_i\Rightarrow s_y^{2}=a^{2}s_x^{2}$，$s_y=|a|s_x$；
• 方差为 $0$ 当且仅当所有数据相同。

九、附：阅读与思考——大数据

本节后面的”阅读与思考”介绍大数据。要点有三个：

• 大数据正在改变世界：医疗上用大量临床信息提高诊断水平； 教育上通过分析、追踪测试成绩提高评估准确性； 能源上通过分析气象数据找出建设风电场的最佳地点；
• 阿尔法狗的例子：$2016$ 年 $12$ 月 $29$ 日至 $2017$ 年 $1$ 月 $4$ 日， 棋手”大师（Master）“一周内 $60$ 连胜，战胜柯洁、井山裕太、朴廷桓、聂卫平、常昊等； 它就是 $2016$ 年 $3$ 月以 $4:1$ 战胜李世石的谷歌围棋人工智能”阿尔法狗（AlphaGo）”。 课本给的解释是”大数据的积累及洞察”——把人类的智慧经验变成具体化、可视化、 能精准判断、可以快速学习运用的方式；
• 结论：信息化时代越来越强调依托数据和数据分析结果做出决策， 大数据已经开启了一次重大的时代转型。

和本章连起来看，这段材料其实是在回答”学统计有什么用”： 数据量再大，问的问题还是那几个——中心在哪里（§9.2.3）、散得有多开（本节）、 样本能不能代表总体（§9.1）。工具会变，这三问不变。

本节目录（page-0218～page-0226，印刷页 $211$～$219$）里印了两组题： 第 $215$～$216$ 页（page-0222、page-0223）的练习 $5$ 题， 以及第 $216$～$218$ 页（page-0223～page-0225）的习题 9.2 共 $12$ 题， 按”哪一页印的就归哪一份”的规矩全部收在这里，一共 $17$ 题。

几处题面数据在课本里是插图（水稻产量表、白糖质量、棉花纤维长度、班级分数）， 下面用到的数值是本份对本目录 page-0222.png、page-0223.png、page-0224.png 扫描图的读数， 不是课本原文，每处都会另行标明。

练习第 1 题

1. 不经过计算，你能给下列各组数的方差排序吗？

(1) 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5;

(2) 4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6;

(3) 3, 3, 4, 4, 5, 6, 6, 7, 7;

(4) 2, 2, 2, 2, 5, 8, 8, 8, 8.

题目说”不经过计算”，所以要给的是”怎么看出来”，不是四个数。 判断的依据只有一条：方差量的是各数据到自己平均数的平均平方距离，所以看”数据挤得紧不紧”就行。

四组的平均数都是 $5$（这一点扫一眼就能确认：(2)(3)(4) 都关于 $5$ 对称，(1) 全是 $5$）， 平均数相同，比较就只剩”离 $5$ 有多远”这一件事。

答：方差由小到大依次为 (1) $<$ (2) $<$ (3) $<$ (4)。

（1）与（2）的比较不需要任何计算：(1) 全部相同，方差为 $0$， 而其余三组都不是全相同，方差必然大于 $0$。 （2）与（3）的比较：两组都有 $9$ 个数、平均数都是 $5$， 但 (2) 的最大距离只有 $1$，(3) 里有四个数距离达到 $2$，逐项比较 (3) 不小于 (2) 且有严格更大的项。 （3）与（4）的比较：(4) 里有八个数距离都是 $3$，比 (3) 的最大距离 $2$ 还大，显然更散。

验算一下（题目没要求，但可以核对目测对不对）：

$$s^2_{(1)}=0,\quad s^2_{(2)}=\frac{6\times 1^2}{9}=\frac{2}{3},\quad s^2_{(3)}=\frac{4\times 2^2+4\times 1^2}{9}=\frac{20}{9},\quad s^2_{(4)}=\frac{8\times 3^2}{9}=8 .$$

$0<\dfrac{2}{3}<\dfrac{20}{9}<8$，与目测的排序完全一致。

（顺带一句：第 (1) 组的转写里印了 $8$ 个 $5$，扫描图上是 $9$ 个。这处出入不影响任何结论——只要各数全部相同，无论多少个，方差都是 $0$。）

这道题真正要建立的直觉是： 方差不看数据本身有多大，只看它们彼此拉开多远。 把四组数每个都加上 $100$，方差一个也不变——这正是下一题第 (1) 问要证的事。

练习第 2 题

2. 数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的方差为 $s_{x}^{2}$ ，数据 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 的方差为 $s_{y}^{2}, a, b$ 为常数。证明：

（1）如果 $y_{1}=x_{1}+b,\quad y_{2}=x_{2}+b,\quad\cdots,\quad y_{n}=x_{n}+b$ ，那么 $s_{y}^{2}=s_{x}^{2}$ ;

(2) 如果 $y_{1}=ax_{1}$ ， $y_{2}=ax_{2}$ ， $\cdots$ ， $y_{n}=ax_{n}$ ，那么 $s_{y}^{2}=a^{2}s_{x}^{2}$ .

两问都只需要一件事：先算新数据的平均数，再看每个偏差变成了什么。

（1）平移不改变方差

第一步，求 $\overline{y}$。

$$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i+b) =\frac{1}{n}\Bigl(\sum_{i=1}^{n}x_i+nb\Bigr)=\overline{x}+b .$$

（这里用到 $b$ 连加 $n$ 次得 $nb$。）

第二步，看偏差。

$$y_i-\overline{y}=(x_i+b)-(\overline{x}+b)=x_i-\overline{x} ,$$

即每一个偏差原封不动。 于是

$$s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^{2} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=s_x^{2} .$$

证毕。

几何解释一句话：加上 $b$ 是把整条数轴上的点整体平移， 点与点之间、点与中心之间的相对位置一点没动，离散程度当然不变。

（2）伸缩使方差按平方放大

第一步，求 $\overline{y}$。

$$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}ax_i=a\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i=a\overline{x} .$$

第二步，看偏差。

$$y_i-\overline{y}=ax_i-a\overline{x}=a(x_i-\overline{x}) ,$$

每个偏差都被同一个 $a$ 乘了一遍。 平方后 $a$ 变成 $a^{2}$ 提到求和号外：

$$s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^{2}(x_i-\overline{x})^{2} =a^{2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=a^{2}s_x^{2} .$$

证毕。

三点要留意：

• 是 $a^{2}$ 不是 $a$。 方差的单位是原单位的平方，所以”放大 $a$ 倍”对方差就是”放大 $a^{2}$ 倍”。 对应到标准差才是 $s_y=|a|s_x$（注意绝对值：$a<0$ 时数据关于原点翻了个面， 离散程度不会因此变成负的）；
• $a=0$ 也成立：这时所有 $y_i=0$，$s_y^{2}=0=0^{2}\cdot s_x^{2}$，公式不必另设情形；
• 换单位就是这条性质的日常用法：把身高从 m 换成 cm（$a=100$）， 标准差乘 $100$，方差乘 $10\,000$。

把 (1)(2) 合起来就是习题 9.2 复习巩固第 $4$ 题（$y_i=ax_i+b$），本份在下面另写。

练习第 3 题

3. 农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续6年的产量如下：

哪种水稻的产量比较稳定？

表中数据在课本里是插图，下列数值读自本节目录中的 page-0222.png 扫描图 （不是课本原文）：

一、先算平均数——它们竟然相同

$$\overline{x}_{\text{甲}}=\frac{900+920+900+850+910+920}{6}=\frac{5400}{6}=900\ (\mathrm{kg}),$$ $$\overline{x}_{\text{乙}}=\frac{890+960+950+850+860+890}{6}=\frac{5400}{6}=900\ (\mathrm{kg}).$$

两种水稻六年的平均产量都是 $900$ kg，从产量高低上分不出胜负。 这正是本节问题 3 的翻版——平均数相同时，必须再看离散程度。

二、算方差

甲的六个偏差为 $0,\ 20,\ 0,\ -50,\ 10,\ 20$：

$$s^{2}_{\text{甲}}=\frac{0+400+0+2500+100+400}{6}=\frac{3400}{6}\approx 566.7 , \qquad s_{\text{甲}}\approx 23.8\ (\mathrm{kg}).$$

乙的六个偏差为 $-10,\ 60,\ 50,\ -50,\ -40,\ -10$：

$$s^{2}_{\text{乙}}=\frac{100+3600+2500+2500+1600+100}{6}=\frac{10400}{6}\approx 1733.3 , \qquad s_{\text{乙}}\approx 41.6\ (\mathrm{kg}).$$

三、结论

$$s^{2}_{\text{甲}}\approx 566.7<s^{2}_{\text{乙}}\approx 1733.3 .$$

答：甲种水稻的产量比较稳定。

再补一个直观的旁证：甲的极差是 $920-850=70$ kg，乙的极差是 $960-850=110$ kg， 极差也指向同一个结论。但极差只用了两个数，方差把六年全用上了， 结论更可靠——这正是本节开头讲极差短板时的那句话。

最后说一句选种的实际考虑：平均产量相同时选稳定的甲， 是因为稳定意味着可预期，农场可以据此安排仓储和销售； 乙的高年份（$960$）虽诱人，但 $850$ 那样的低年份同样会出现。 这与问题 3 里”两人都排在前面就选稳定的乙”是同一个道理。

练习第 4 题

4. 一个小商店从一家公司购进 21 袋白糖，每袋白糖的标准质量是 500 g，为了了解这些白糖的质量情况，称出各袋白糖的质量（单位：g）如下：

(1) 21 袋白糖的平均质量 $\bar{x}$ 是多少？标准差 s 是多少？

(2) 质量位于 $\overline{x}-s$ 与 $\overline{x}+s$ 之间有多少袋白糖？所占的百分比是多少？

$21$ 个数据在课本里是插图，下列数值读自本节目录中的 page-0222.png 扫描图 （不是课本原文）：

$$\begin{array}{ccccccc} 486 & 495 & 496 & 498 & 499 & 493 & 493\\ 498 & 484 & 497 & 504 & 489 & 495 & 503\\ 499 & 503 & 509 & 498 & 487 & 500 & 508 \end{array}$$

（1）平均质量与标准差

求和：

$$486+495+496+498+499+493+493=3460,$$ $$498+484+497+504+489+495+503=3470,$$ $$499+503+509+498+487+500+508=3504,$$ $$\sum x_i=3460+3470+3504=10434 .$$ $$\overline{x}=\frac{10434}{21}=496.857\,1\cdots\approx 496.86\ (\mathrm{g}).$$

求方差用”平方的平均减平均的平方”不太合适（数据都在 $500$ 附近， $\overline{x}^{2}$ 有六位数，相减会丢精度）。 改用”先减去一个常数”这条捷径——由本节练习第 $2$ 题第 (1) 问， 平移不改变方差，所以把每个数都减去 $500$ 再算，结果一样：

$$\begin{array}{ccccccc} -14 & -5 & -4 & -2 & -1 & -7 & -7\\ -2 & -16 & -3 & 4 & -11 & -5 & 3\\ -1 & 3 & 9 & -2 & -13 & 0 & 8 \end{array}$$

这组数的和是 $10434-21\times 500=10434-10500=-66$，平均数 $-\dfrac{66}{21}=-\dfrac{22}{7}$， 与 $\overline{x}-500$ 一致。它们的平方和为

$$196+25+16+4+1+49+49+4+256+9+16+121+25+9+1+9+81+4+169+0+64=1108 ,$$

于是

$$s^{2}=\frac{1108}{21}-\Bigl(\frac{-66}{21}\Bigr)^{2} =\frac{1108}{21}-\frac{4356}{441} =\frac{23268-4356}{441}=\frac{18912}{441}\approx 42.884 ,$$ $$s=\sqrt{42.884}\approx 6.55\ (\mathrm{g}).$$

答：$21$ 袋白糖的平均质量 $\overline{x}\approx 496.86$ g，标准差 $s\approx 6.55$ g。

这里已经能看出一个问题：标准质量是 $500$ g，而平均质量只有 $496.86$ g， 平均每袋少了约 $3.14$ g，$21$ 袋合计少约 $66$ g。这不是随机波动能解释的—— 若真是无偏的随机误差，$21$ 袋的偏差和应该在 $0$ 附近， 而 $-66$ g 已经是 $-3.14$ g 的系统性偏移。这批白糖存在整体短装的嫌疑。

（2）落在 $[\overline{x}-s,\ \overline{x}+s]$ 内的袋数

$$\overline{x}-s\approx 496.86-6.55=490.31,\qquad \overline{x}+s\approx 496.86+6.55=503.41 .$$

把 $21$ 个数据排序后逐个对照：

$$484,\ 486,\ 487,\ 489,\ \underline{493,\ 493,\ 495,\ 495,\ 496,\ 497,\ 498,\ 498,\ 498,\ 499,\ 499,\ 500,\ 503,\ 503},\ 504,\ 508,\ 509 .$$

落在区间内的是加了下划线的 $14$ 袋（区间外的是 $484,486,487,489$ 四袋偏轻， $504,508,509$ 三袋偏重，共 $7$ 袋）。

$$\frac{14}{21}=\frac{2}{3}\approx 66.7\% .$$

答：质量位于 $\overline{x}-s$ 与 $\overline{x}+s$ 之间的有 $14$ 袋，约占 $66.7\%$。

这个比例正是本节末尾那条经验规律：大部分数据落在 $[\overline{x}-s,\overline{x}+s]$ 内。 再算一步更清楚：$[\overline{x}-2s,\overline{x}+2s]\approx[483.76,\ 509.95]$， $21$ 袋一个不落全在里面，与”绝大部分数据落在 $\overline{x}\pm 2s$ 内”完全吻合。

练习第 5 题

5. 某学校有高中学生 500 人，其中男生 320 人，女生 180 人。有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：cm），计算得男生样本的均值为 173.5，方差为 17，女生样本的均值为 163.83，方差为 30.03。

（1）根据以上信息，能够计算出总样本的均值和方差吗？为什么？

（2）如果已知男、女样本量按比例分配，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？

（3）如果已知男、女的样本量都是25，你能计算出总样本的均值和方差各为多少吗？它们分别作为总体均值和方差的估计合适吗？为什么？

（1）不能

答：不能。理由是不知道男、女样本量各是多少。

由例 6 的①式，总样本的均值和方差都要按各层样本量加权：

$$\overline{z}=\frac{n_1\overline{x}+n_2\overline{y}}{n_1+n_2}, \qquad s^{2}=\frac{n_1\bigl[s_x^{2}+(\overline{x}-\overline{z})^{2}\bigr]+n_2\bigl[s_y^{2}+(\overline{y}-\overline{z})^{2}\bigr]}{n_1+n_2} .$$

题目只说”采用分层抽样”，没有说各层抽了几个人，$n_1$、$n_2$ 未知，权重就定不下来。 注意：不能拿总体的 $320:180$ 顶替——分层抽样不一定按比例分配 （§9.1.2 讲过，各层还可以按方差、按成本分配）， 第 (2)(3) 两问恰恰给出了两种不同的分配，算出的结果也确实不同。

（2）按比例分配

按比例分配意味着 $n_1:n_2=320:180=16:9$。

均值：

$$\overline{z}=\frac{16\times 173.5+9\times 163.83}{25} =\frac{2776+1474.47}{25}=\frac{4250.47}{25}=170.018\,8\ (\mathrm{cm}).$$

方差：$\overline{x}-\overline{z}=173.5-170.018\,8=3.481\,2$， $\overline{y}-\overline{z}=163.83-170.018\,8=-6.188\,8$，

$$3.481\,2^{2}=12.118\,75\cdots,\qquad 6.188\,8^{2}=38.301\,3\cdots,$$ $$s^{2}=\frac{16\times(17+12.118\,8)+9\times(30.03+38.301\,3)}{25} =\frac{16\times 29.118\,8+9\times 68.331\,3}{25}$$ $$=\frac{465.901+614.982}{25}=\frac{1080.883}{25}\approx 43.235\,3 .$$

答：总样本均值约为 $170.02$ cm，方差约为 $43.24$。

（用 $320:180$ 直接算，结果一模一样——比例相同，权重就相同， 所以不必知道样本量究竟是 $25$ 人还是 $50$ 人。这是按比例分配的一个便利。）

（3）男、女样本量都是 25

均值：权重变成 $1:1$，

$$\overline{z}=\frac{25\times 173.5+25\times 163.83}{50}=\frac{173.5+163.83}{2}=168.665\ (\mathrm{cm}).$$

方差：$\overline{x}-\overline{z}=4.835$，$\overline{y}-\overline{z}=-4.835$，$4.835^{2}=23.377\,225$，

$$s^{2}=\frac{25\times(17+23.377\,2)+25\times(30.03+23.377\,2)}{50} =\frac{40.377\,2+53.407\,2}{2}\approx 46.892\,2 .$$

总样本均值为 $168.665$ cm，方差约为 $46.89$。

但作为总体均值和方差的估计并不合适。

理由要说到点子上： 全校 $500$ 人中男生占 $\dfrac{320}{500}=64\%$、女生占 $36\%$， 而这个样本里男女各占 $50\%$。样本的性别结构与总体不一致，女生被系统性地放大了。 男生平均身高比女生高约 $9.67$ cm，女生权重偏高就把估计值压低了： $168.665$ 比按真实结构算出的 $170.02$ 低了 $1.35$ cm，这不是抽样误差，是权重错了。 方差同理偏大（$46.89$ 对 $43.24$），因为两层等权时层间那一项被放到了最大。

那这份数据就废了吗？没有。 只要按总体的真实比例重新加权，同样能给出好的估计：

$$\widehat{\overline{Y}}=\frac{320\times 173.5+180\times 163.83}{500}=170.018\,8\ (\mathrm{cm}),$$ $$\widehat{S^{2}}=\frac{320\times(17+3.481\,2^{2})+180\times(30.03+6.188\,8^{2})}{500}\approx 43.235\,3 .$$

关键结论：等量分配的样本本身没问题，错的是”直接把总样本的均值方差当成总体的估计”。 分层抽样不按比例分配时，一定要用层权（总体中各层的比例）而不是样本量去加权。

习题 9.2 复习巩固 第 1 题

1. 棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标. 在一批棉花中随机抽测了 60 根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：

（1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批棉花纤维长度分布的特征；

(2) 请你估计这批棉花的第 5, 95 百分位数.

$60$ 个数据在课本里是插图，下列数值读自本节目录中的 page-0223.png 扫描图 （不是课本原文，已按题面所说从小到大排好）：

$$\begin{array}{cccccccccc} 25 & 28 & 33 & 50 & 52 & 58 & 59 & 60 & 61 & 62\\ 82 & 86 & 113 & 115 & 140 & 143 & 146 & 170 & 175 & 195\\ 202 & 206 & 233 & 236 & 238 & 255 & 260 & 263 & 264 & 265\\ 293 & 293 & 294 & 296 & 301 & 302 & 303 & 305 & 305 & 306\\ 321 & 323 & 325 & 326 & 328 & 340 & 343 & 346 & 348 & 350\\ 352 & 355 & 357 & 357 & 358 & 360 & 370 & 380 & 383 & 385 \end{array}$$

（1）选组距、作频率分布直方图、分析特征

第 1 步，求极差。 最小值 $25$，最大值 $385$，

$$385-25=360 .$$

第 2 步，定组距和组数。 $n=60$，按 §9.2.1 的经验取 $7\sim 9$ 组比较合适。 取组距 $50$：$360\div 50=7.2$，向上取整得 $8$ 组，从 $0$ 起分正好覆盖 $[0,400)$， 分点都是整十整百，读图方便。

第 3 步，列频数频率分布表。

（逐组点数可以对着上面那张排好序的表数：$[0,50)$ 是 $25,28,33$； $[50,100)$ 是 $50,52,58,59,60,61,62,82,86$；$[300,350)$ 从 $301$ 数到 $348$ 共 $15$ 个； $[350,400)$ 从 $350$ 数到 $385$ 共 $11$ 个。$3+9+5+3+5+9+15+11=60$，校验通过。）

第 4 步，画图。 横轴为纤维长度（mm），纵轴为频率/组距， 按上表最后一列画 $8$ 个矩形。

第 5 步，分析分布特征。

• 数据整体偏向长的一端。 $[300,400)$ 两组合计 $26$ 根，占 $43.3\%$； 最高的矩形是 $[300,350)$，众数所在组是 $[300,350)$，组中点 $325$ mm；
• 左边有一条长尾。 从 $25$ mm 一直稀稀拉拉地铺到 $250$ mm， $[0,250)$ 五组一共只有 $25$ 根，没有哪一组特别高；
• 因此这是一个左偏（左边”拖尾”）的分布。 按 §9.2.3 的判据验一下：

$$\overline{x}=\frac{1}{60}\sum x_i=\frac{14280}{60}=238\ (\mathrm{mm}),$$

而中位数是第 $30$、$31$ 项的平均数 $\dfrac{265+293}{2}=279$ mm， $\overline{x}=238<279=$ 中位数，正是”左边拖尾时平均数小于中位数”， 与直方图的形状互相印证；

• 实际含义：这批棉花大部分纤维较长（三成以上在 $300$ mm 以上）， 但混有一批很短的纤维（最短只有 $25$ mm）， 短纤维的存在会拉低纺纱质量，是这批棉花的主要质量隐患。 标准差 $s\approx 113.9$ mm 也相当大，长度很不整齐。

顺便说明为什么不取组距 $60$。 取 $60$ 只需 $7$ 组，但 $[300,360)$ 一组就吃进 $21$ 根， 把峰值那一段压成一个大块，看不出 $[300,350)$ 与 $[350,400)$ 的差别； 取 $50$ 时峰形和左侧长尾都保留得住。这正是 §9.2 里”组数太少会掩盖细节”的实例。

（2）估计第 5、95 百分位数

本小问有 $60$ 个原始数据，所以用 §9.2.2 对原始数据的规则（不是直方图插值）： 计算 $60\times p\%$，是整数就取该项与下一项的平均数，不是整数就向上取整取那一项。

第 $5$ 百分位数：$60\times 5\%=3$，是整数，取第 $3$ 项与第 $4$ 项的平均数。 第 $3$ 项是 $33$，第 $4$ 项是 $50$，

$$\frac{33+50}{2}=41.5\ (\mathrm{mm}).$$

第 $95$ 百分位数：$60\times 95\%=57$，是整数，取第 $57$ 项与第 $58$ 项的平均数。 第 $57$ 项是 $370$，第 $58$ 项是 $380$，

$$\frac{370+380}{2}=375\ (\mathrm{mm}).$$

答：这批棉花纤维长度的第 $5$ 百分位数约为 $41.5$ mm，第 $95$ 百分位数约为 $375$ mm。

这两个数连起来读：有 $5\%$ 的纤维短于 $41.5$ mm，有 $5\%$ 的纤维长于 $375$ mm， 中间 $90\%$ 落在 $41.5\sim 375$ mm 这个宽达 $333.5$ mm 的范围里—— 又一次说明这批棉花长度极不整齐。

习题 9.2 复习巩固 第 2 题

2. 甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：

$\begin{array}{c c c c c c c c c c c} \text {甲} & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 & 0 & 3 & 1 & 2 & 4 \\ \text {乙} & 2 & 3 & 1 & 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{array}$

分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好？

一、平均数

$$\overline{x}_{\text{甲}}=\frac{0+1+0+2+2+0+3+1+2+4}{10}=\frac{15}{10}=1.5 ,$$ $$\overline{x}_{\text{乙}}=\frac{2+3+1+1+0+2+1+1+0+1}{10}=\frac{12}{10}=1.2 .$$

二、标准差

甲的偏差为 $-1.5,-0.5,-1.5,0.5,0.5,-1.5,1.5,-0.5,0.5,2.5$，平方和

$$2.25+0.25+2.25+0.25+0.25+2.25+2.25+0.25+0.25+6.25=16.5 ,$$ $$s^{2}_{\text{甲}}=\frac{16.5}{10}=1.65 ,\qquad s_{\text{甲}}=\sqrt{1.65}\approx 1.28 .$$

乙的偏差为 $0.8,1.8,-0.2,-0.2,-1.2,0.8,-0.2,-0.2,-1.2,-0.2$，平方和

$$0.64+3.24+0.04+0.04+1.44+0.64+0.04+0.04+1.44+0.04=7.6 ,$$ $$s^{2}_{\text{乙}}=\frac{7.6}{10}=0.76 ,\qquad s_{\text{乙}}=\sqrt{0.76}\approx 0.87 .$$

三、结论

答：乙机床的性能更好。

这道题的结论毫无争议，因为两项指标同时指向乙：

• 平均次品数：乙的 $1.2$ 少于甲的 $1.5$，十天下来乙少出 $3$ 个次品；
• 标准差：乙的 $\approx 0.87$ 小于甲的 $\approx 1.28$，乙的表现更稳定、更可预期。

若两项指标打架该怎么办？ 那就要看用途—— 本节问题 3 给的原则是”先看水平，再看稳定”： 水平明显更高的一方通常优先，水平相当时才由稳定性定胜负。 本题不存在这个两难，乙在两项上都赢。

再看一眼原始数据也很说明问题：甲出现过 $4$ 个次品的一天（这是两台机床的最坏纪录）， 也出现过 $3$ 天零次品，忽好忽坏；乙的每日次品数只在 $0\sim 3$ 之间， 且有 $5$ 天正好是 $1$ 个（另有 $2$ 天为 $0$、$2$ 天为 $2$、$1$ 天为 $3$，合计 $10$ 天 ✓）。 乙的表现”平淡”，而平淡正是生产设备想要的。

习题 9.2 复习巩固 第 3 题

3. 在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4。你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？

（1）平均说来一队比二队防守技术好；

(2) 二队比一队技术水平更稳定；

（3）一队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好；

(4) 二队很少不失球.

先把条件列清楚：

答：（1）（2）（3）（4）四种说法都是正确的。

逐条说明理由：

（1）平均说来一队比二队防守技术好——正确

$1.5<2.1$，一队场均失球比二队少 $0.6$ 个。 “平均说来”这四个字正是平均数的适用场合，这句话只是把平均数读出来，没有说过头。

（2）二队比一队技术水平更稳定——正确

$0.4<1.1$，二队失球数的标准差不到一队的一半。 按本节的定义，标准差越小、数据离散程度越小、波动越小，也就是”更稳定”。

（3）一队在防守中有时表现较差，有时表现又非常好——正确

一队的标准差 $1.1$ 与它的平均数 $1.5$ 几乎相当，说明各场失球数散得很开。 用本节末尾的经验规律估一估：

$$\overline{x}\pm s=1.5\pm 1.1\ \Longrightarrow\ [0.4,\ 2.6] , \qquad \overline{x}\pm 2s=1.5\pm 2.2\ \Longrightarrow\ [-0.7,\ 3.7] .$$

大部分比赛的失球数从 $0$ 个（表现非常好）铺到 $3$ 个上下（表现较差）， 正是”有时很好、有时较差”。这一条读的就是”标准差大”这件事，不是凭空想象。

（4）二队很少不失球——正确

二队 $\overline{x}=2.1$，$s=0.4$。要”不失球”就是失球数取到 $0$，而

$$\frac{2.1-0}{0.4}=5.25 ,$$

即 $0$ 落在平均数以下 $5.25$ 个标准差的地方。 按本节”绝大部分数据落在 $\overline{x}\pm 2s$ 内” （这里 $\overline{x}-2s=1.3>0$）的经验，失球数为 $0$ 的场次极为罕见。 答：这一条也正确。

把四条串起来看

这道题真正要教的是”平均数和标准差要合起来读”：

• 只看平均数，一队防守更好；
• 只看标准差，二队更稳定；
• 两者合起来才是完整的画像：一队水平更高但忽好忽坏，二队水平稍逊但几乎每场都失两个球。

选哪一队？题目没问，但值得想一想。 打强队要爆冷，选一队（有零封的可能）； 打消耗战、需要可预期的防守，选二队。 “稳定”本身不是优点也不是缺点，它只是一个特征。

习题 9.2 复习巩固 第 4 题

4. 数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的方差和标准差分别为 $s_{x}^{2}, s_{x}$ ，数据 $y_{1}, y_{2}, \cdots, y_{n}$ 的方差和标准差分别为 $s_{y}^{2}, s_{y}$ 。若 $y_{1} = ax_{1} + b, y_{2} = ax_{2} + b, \cdots, y_{n} = ax_{n} + b$ 成立，a, b 为常数，证明： $s_{y}^{2} = a^{2}s_{x}^{2}, s_{y} = |a|s_{x}$ 。

这是本节练习第 $2$ 题两问的合并，证法完全一样：先求 $\overline{y}$，再看偏差。

第一步，求 $\overline{y}$。

$$\overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(ax_i+b) =\frac{1}{n}\Bigl(a\sum_{i=1}^{n}x_i+nb\Bigr) =a\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i+b=a\overline{x}+b .$$

第二步，看偏差。 $b$ 被减掉了：

$$y_i-\overline{y}=(ax_i+b)-(a\overline{x}+b)=a(x_i-\overline{x}) .$$

第三步，代入方差定义。

$$s_y^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(y_i-\overline{y})^{2} =\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a^{2}(x_i-\overline{x})^{2} =a^{2}\cdot\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=a^{2}s_x^{2} .$$

第四步，开方。 标准差是算术平方根，非负，所以

$$s_y=\sqrt{s_y^{2}}=\sqrt{a^{2}s_x^{2}}=\sqrt{a^{2}}\cdot\sqrt{s_x^{2}}=|a|\,s_x .$$

证毕。

$|a|$ 这个绝对值是本题唯一的坑。 $\sqrt{a^{2}}=|a|$ 而不是 $a$； 若 $a=-2$，则 $s_y=2s_x$ 而不是 $-2s_x$——标准差永远非负，不可能是负数。

这条性质的两个常用推论：

• $b$ 完全不影响方差和标准差。 这就是练习第 $4$ 题里”每个数减 $500$ 再算方差”的依据；
• $a$ 只按 $|a|$ 缩放标准差。 单位换算、把数据标准化成 $z_i=\dfrac{x_i-\overline{x}}{s_x}$（此时 $a=\dfrac{1}{s_x}$，$b=-\dfrac{\overline{x}}{s_x}$， 得 $\overline{z}=0$、$s_z=1$）都是它的直接应用。

习题 9.2 复习巩固 第 5 题

5. 数据 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ 的方差 $s^{2}=0$ ，证明：所有的 $x_{i}(i=1, 2, \cdots, n)$ 都相同.

证明：由方差的定义，

$$s^{2}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad \sum_{i=1}^{n}(x_i-\overline{x})^{2}=0 .$$

关键一步：$(x_i-\overline{x})^{2}\geqslant 0$ 对每个 $i$ 都成立， 若干个非负数相加得 $0$，则每一个都必须是 $0$—— 只要有一项严格大于 $0$，而其余各项都 $\geqslant 0$，总和就会大于 $0$，与已知矛盾。

因此

$$(x_i-\overline{x})^{2}=0\quad(i=1,2,\dots,n) \ \Longrightarrow\ x_i-\overline{x}=0 \ \Longrightarrow\ x_i=\overline{x}\quad(i=1,2,\dots,n).$$

即 $x_1=x_2=\cdots=x_n=\overline{x}$，所有的 $x_i$ 都相同。证毕。

反过来也成立：若所有 $x_i$ 都相同（记为 $c$），则 $\overline{x}=c$，每个偏差都是 $0$，$s^{2}=0$。 所以”方差为 $0$“与”所有数据相同”是互相等价的， 这正是本节页边那个问号”标准差为 $0$ 的一组数据有什么特点”的完整答案。

这条结论的用处：它是”方差度量离散程度”这句话的底线保证—— 离散程度取到最小值 $0$，当且仅当数据一点也不散。 一个连这条都不满足的量，就没资格叫做离散程度的度量。

习题 9.2 综合运用 第 6 题

6. 以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在 550 分。你的一位高中校友在今年的高考中得了 520 分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先进一步查阅一下这所大学以往招生的其他统计信息？解释一下你的选择。

答：先进一步查阅这所大学以往招生的其他统计信息，不能立即劝阻。

理由一：中位数只切了一刀，$520$ 分完全可能在录取线之上。 “录取新生高考总分的中位数稳定在 $550$ 分”这句话的确切含义是： 被录取的新生里，有一半人高于 $550$ 分，另一半人低于 $550$ 分。 $520$ 低于 $550$，只说明这位校友不在成绩较好的那一半里， 丝毫不能说明他达不到录取线——录取线看的是最低分，不是中位数。

理由二：真正该问的是分布的下半段。 要判断 $520$ 分有没有希望， 应该去查这些统计量：

理由三：一个数不足以做决定，这正是本章反复强调的。 $550$ 这个中位数只用到了排序中间那一个（或两个）值的信息（§9.2.3）， 它对分布的上下两端一无所知。

下面这段推演必须先补一个前提，否则不成立。 题面给的是中位数，并没有给平均数 $\overline{x}$， 而本章刚讲过这两个量不是一回事。 只有再假设录取分的分布近似对称（从而平均数也大约是 $550$）， 才谈得上用 $\overline{x}$ 与 $s$ 去衡量 $520$ 的位置。补上这个假设之后：

• 若标准差很小（比如 $s=10$），则 $\overline{x}-3s\approx 550-3\times 10=520$， $520$ 恰好落在三倍标准差处——按经验规则这已是分布的极边缘，希望渺茫；
• 若标准差很大（比如 $s=40$），$520$ 只在均值下方 $0.75$ 个标准差， 很可能就在录取范围之内。

这里有两条界线要说明白：一是”$\overline{x}\pm 3s$ 之内几乎覆盖全部数据” 这条经验规则要求分布近似正态，录取分未必满足； 二是没有对称性假设就不能拿中位数当平均数用。 所以这一段只是”如果……那么……”的推演，本身不是结论—— 它恰恰说明了为什么必须再去查真实的统计量。

同一个中位数配上不同的标准差，结论完全相反——所以必须再查。

这道题与 §9.2.3 末尾”企业年平均收入 $20$ 万”是一对： 那道题防的是被平均数抬高的乐观，这道题防的是被中位数吓退的悲观。 共同的应对办法只有一个：多要几个统计量，看分布，别只看一个数。

习题 9.2 综合运用 第 7 题

7. 甲、乙两个班级，一次数学考试的分数排序如下：

请你就这次考试成绩，对两个班级的数学学习情况进行评价.

两个班的分数在课本里是插图，下列数值读自本节目录中的 page-0224.png 扫描图 （不是课本原文，题面说明已按分数排序）：

$$\text{甲班：} \begin{array}{cccccccccc} 51 & 54 & 59 & 60 & 64 & 68 & 68 & 68 & 70 & 71\\ 72 & 72 & 74 & 76 & 77 & 78 & 79 & 79 & 80 & 80\\ 82 & 85 & 85 & 86 & 86 & 87 & 87 & 87 & 88 & 89\\ 90 & 90 & 91 & 96 & 97 & 98 & 98 & 98 & 100 & 100 \end{array}$$ $$\text{乙班：} \begin{array}{cccccccccc} 61 & 63 & 63 & 66 & 70 & 71 & 71 & 73 & 75 & 75\\ 76 & 79 & 79 & 80 & 80 & 80 & 81 & 81 & 82 & 82\\ 83 & 83 & 83 & 84 & 84 & 84 & 85 & 85 & 85 & 85\\ 85 & 85 & 86 & 87 & 87 & 88 & 90 & 91 & 94 & 98 \end{array}$$

两个班各 $40$ 人。

一、算出该算的量

平均数：两班总分都是 $3220$ 分，

$$\overline{x}_{\text{甲}}=\overline{x}_{\text{乙}}=\frac{3220}{40}=80.5\ (\text{分}).$$

平均分完全相同——又一次落进”集中趋势分不出胜负”的局面。

中位数（第 $20$、$21$ 项的平均数）：

$$\text{甲：}\frac{80+82}{2}=81 ,\qquad \text{乙：}\frac{82+83}{2}=82.5 .$$

标准差：

$$s^{2}_{\text{甲}}=161.7,\quad s_{\text{甲}}\approx 12.72 ; \qquad s^{2}_{\text{乙}}=66.95,\quad s_{\text{乙}}\approx 8.18 .$$

分段人数：

（甲班 $<60$ 的是 $51,54,59$；乙班最低分 $61$，无人低于 $60$。）

四分位数：甲班第 $25$、$75$ 百分位数分别是 $71.5$ 与 $89.5$， 乙班分别是 $75.5$ 与 $85$。中间一半人的分数带，甲班宽 $18$ 分，乙班只宽 $9.5$ 分。

二、评价

答：两个班的平均水平相同，但分布形态很不一样—— 甲班两极分化，高分与低分都多；乙班整齐集中，没有不及格，但拔尖的也少。

逐条展开：

• 平均分打平。 两班总分都是 $3220$，平均分都是 $80.5$， 单看平均分会得出”两班水平一样”的结论，而这个结论是不完整的；
• 离散程度差得远。 $s_{\text{甲}}\approx 12.72$ 是 $s_{\text{乙}}\approx 8.18$ 的 $1.55$ 倍， 甲班的成绩散开得多。极差也一致：甲班 $100-51=49$，乙班 $98-61=37$；
• 甲班的优势在高端。 $90$ 分以上甲班 $10$ 人、乙班 $4$ 人， 甲班有 $2$ 人满分，尖子生明显更厚；
• 乙班的优势在底端。 甲班有 $3$ 人不及格（最低 $51$ 分），乙班无人低于 $60$ 分； 乙班 $[80,90)$ 一段挤了 $23$ 人，占了 $57.5\%$，大多数人都在中上水平；
• 中位数印证了这一点。 乙班中位数 $82.5$ 高于甲班的 $81$， “中间那个学生”乙班考得更好——甲班的平均分是靠尖子生把不及格的那几个人拉平的。

三、给两个班的建议（这才是”评价学习情况”的落点）

• 甲班：主要问题是后进面。 $8$ 人低于 $70$ 分、$3$ 人不及格， 这部分学生把班级平均分拖住了。抓基础、补短板的收益最大—— 把 $3$ 个不及格的提到 $70$ 分，班级平均分就能涨约 $1.2$ 分；
• 乙班：主要问题是缺少拔尖。 全班挤在 $[80,90)$，最高分只有 $98$， $90$ 分以上仅 $4$ 人。教学上应在保住整齐度的同时给学有余力者加压。

最后强调本题的教学点： 平均数相同的两个班，教学诊断可以完全不同。 必须同时看集中趋势（平均数、中位数）和离散程度（标准差、极差、分段人数）， 再配上分段人数这种”看得见分布”的信息，评价才站得住。

习题 9.2 综合运用 第 8 题

8. 有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的 $1.00 \times 10^{-6}$ 的鱼被人食用后，就会对人体产生危害。在 30 条鱼的样本中发现的汞含量（乘百万分之一）如下： 0.07 0.24 0.95 0.98 1.02 0.98 1.37 1.40 0.39 1.02 1.44 1.58 0.54 1.08 0.61 0.72 1.20 1.14 1.62 1.68 1.85 1.20 0.81 0.82 0.84 1.29 1.26 2.10 0.91 1.31

（1）请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；

(2) 求出上述样本数据的平均数和标准差；

(3) 从实际情况看, 许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过. 你认为每批这种鱼的平均汞含量都比 $1.00 \times 10^{-6}$ 大吗?

（4）在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？

（1）统计图与分布特点

选频率分布直方图。 数据是 $30$ 个连续型数值，要看的是”分布特点”， 直方图正是为此而设（条形图适合分类数据，见 §9.2.3 例 5）。

分组：最小 $0.07$，最大 $2.10$，极差 $2.03$。取组距 $0.4$，从 $0$ 起分成 $6$ 组：

分布特点：

• 单峰，峰在 $[0.8,1.2)$，这一组占了 $36.7\%$；
• 大致对称、略向右偏：峰两侧的频数是 $3,3$ 与 $9,3,1$，右边比左边略厚一点；
• 数据集中在 $0.8\sim 1.6$ 之间（$20$ 条，占 $66.7\%$）， 两端各有少数几条（最低 $0.07$，最高 $2.10$）；
• 最要紧的一条：临界值 $1.00\times 10^{-6}$ 恰好落在峰所在的那一组里面， 一半左右的鱼在临界值附近徘徊。数一数就知道： 超过 $1.00$ 的有 $17$ 条，占 $56.7\%$，超过一半的鱼汞含量已经超标。

（2）平均数与标准差

$$\sum x_i=32.42 ,\qquad \overline{x}=\frac{32.42}{30}=1.0806\overline{6}\approx 1.081 .$$

方差不要拿修约过的平均数一个个减，用平方和公式最省事也最不容易错：

$$\sum x_i^{2}=41.1630 ,$$ $$\sum (x_i-\overline{x})^{2}=\sum x_i^{2}-\frac{\left(\sum x_i\right)^{2}}{n} =41.1630-\frac{32.42^{2}}{30}=41.1630-35.035\,213=6.127\,787 ,$$ $$s^{2}=\frac{6.127\,787}{30}=0.204\,26\approx 0.204\,3 ,\qquad s=\sqrt{0.204\,26}\approx 0.452 .$$

（顺带验一下修约的影响：若真的拿 $1.081$ 逐个去减， 偏差平方和是 $6.127\,79$，与上面的 $6.127\,787$ 只差在小数第五位， $s$ 仍是 $0.452$。这一步经得起修约，但写法上仍推荐平方和公式—— 数据一多，修约误差会被放大。）

答：样本平均数约为 $1.081\times 10^{-6}$，标准差约为 $0.452\times 10^{-6}$。

读一句：平均值 $1.081$ 已经超过危害临界值 $1.00$， 但只超出 $0.081$，而标准差 $0.452$ 是这个超出量的五倍还多—— “平均超标”这件事本身很不牢靠，下一问要的就是这个判断。

（3）不能认为每批鱼的平均汞含量都比 $1.00\times 10^{-6}$ 大

答：不能。

理由一：这只是一个容量 $30$ 的样本，$\overline{x}$ 有随机性。 本节讲过，样本平均数、样本标准差都依赖于样本的选取。 $\overline{x}\approx 1.081$ 只比 $1.00$ 高出 $0.081$， 而单条鱼的标准差就有 $0.452$，样本平均数的波动完全可能盖过这点差距。 换一批 $30$ 条鱼，算出 $0.95$ 或 $1.20$ 都不奇怪。

理由二：不同批次的鱼来自不同水域、不同鱼龄，本来就不是同一个总体。 汞在鱼体内累积，鱼越大越老、水域污染越重，汞含量越高。 把某一批的样本结论推到”每一批”， 等于把一次抽样的总体悄悄换成了”所有批次”——这是 §9.1 反复警告的偷换总体。

理由三：题面那句”许多鱼的汞含量超标的原因是没有被检测过”讲的是检测制度，不是平均值。 “许多个体超标”与”每批的平均值都超标”是两件事： 本样本里就有 $13$ 条低于 $1.00$，最低的只有 $0.07$。

正确的说法是：从这个样本看，这一批鱼的平均汞含量已经接近甚至超过危害临界值，超标个体过半，应当逐批抽检；但不能据此断言每一批都超标。

（4）落在 $[\overline{x}-2s,\ \overline{x}+2s]$ 内的鱼有多少条

$$\overline{x}-2s\approx 1.081-0.904=0.177 ,\qquad \overline{x}+2s\approx 1.081+0.904=1.985 .$$

对照 $30$ 个数据：低于 $0.177$ 的只有 $0.07$ 一条，高于 $1.985$ 的只有 $2.10$ 一条。

$$30-2=28 .$$

答：有 $28$ 条鱼的汞含量落在以平均数为中心、$2$ 倍标准差的范围内，占 $\dfrac{28}{30}\approx 93.3\%$。

这个比例再次印证本节末尾的经验规律——绝对大部分数据落在 $\overline{x}\pm 2s$ 内。 被甩在外面的 $0.07$ 与 $2.10$ 正是这批数据的两个极端值： 一条几乎没有污染的鱼，和一条汞含量两倍于临界值的鱼。

习题 9.2 综合运用 第 9 题

9. 在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪.

(1) 你是否能够判断年薪为 9 万元的员工在这家公司算高收入者?

(2) 如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从 3 万到 200 万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？

（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？

（4）根据（3）中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？

先把招聘员每次给出的信息列成一张表，这道题就是”信息一点点变多、判断一点点变准”的过程。

（1）不能判断年薪 9 万元算不算高收入者

答：不能。

平均数 $10$ 万在这里是被拉高的。 $50$ 名员工的年收入总额为

$$50\times 10=500\ (\text{万元}),$$

而最高的那一位一个人就拿了 $200$ 万，占了总额的 $40\%$； 其余 $49$ 人合计只有 $300$ 万，人均约 $6.1$ 万元。

所以”平均数 $10$ 万”根本不代表典型员工的收入， $9$ 万低于 $10$ 万这件事，说明不了 $9$ 万在这家公司排第几。 要判断”算不算高收入者”，需要的是位置信息（百分位数、中位数），不是平均数。 这正是 §9.2.3 结尾那个”企业年平均收入 $20$ 万”的翻版。

（2）“变化范围从 3 万到 200 万”不足以作决定

答：不足以。

极差只用了最大、最小两个值（本节第二段讲得很清楚）， 它告诉你收入的跨度有多大，完全不告诉你人是怎么分布在这个跨度里的。

举两个极端的例子就明白了，两者都满足”范围 $3\sim 200$ 万、平均 $10$ 万”：

同样的范围和平均数，配上不同的分布，结论就不同——所以还得再要信息。

（3）用四分位数作决定

$Q_1=4.5$ 万、$Q_3=9.5$ 万这两个数一给出，局面立刻清楚了：

• $Q_1=4.5$ 万：有 $25\%$ 的员工年收入不超过 $4.5$ 万元；
• $Q_3=9.5$ 万：有 $75\%$ 的员工年收入不超过 $9.5$ 万元， 换句话说只有 $25\%$ 的人拿到 $9.5$ 万以上。

你的预期年薪 $9$ 万落在 $Q_1$ 与 $Q_3$ 之间。 这一条能说什么、不能说什么，必须分清楚。

能说的三句：

• $9>Q_1=4.5$，所以至少四分之一的员工拿得比你少；
• $9<Q_3=9.5$，所以至少四分之一的员工拿得比你多—— 你进不了收入最高的那 $25\%$；
• 合起来：$9$ 万落在中间那 $50\%$ 里，是”中等”，谈不上”高收入者”。

不能说的一句：不能因为 $9$ 靠近 $9.5$，就说”大约七成以上的员工拿得比你少”。

四分位数只钉住了第 $13$ 位和第 $38$ 位这两个人的收入 （$n=50$ 时 $50\times 0.25=12.5$ 取第 $13$ 项、$50\times 0.75=37.5$ 取第 $38$ 项）， 中间那二十几个人怎么排，它一个字都没说。 这批人可以全挤在 $4.5$ 附近，也可以有相当一部分贴着 $9.5$。

举一个满足全部已知条件的例子（$50$ 人、总额 $500$ 万、最高 $200$ 万、最低 $3$ 万、 $Q_1=4.5$、$Q_3=9.5$）：

核一下：人数 $12+17+8+11+1+1=50$ ✓； 总额 $36+76.5+72+104.5+11+200=500$ 万 ✓（平均正好 $10$ 万）； 第 $13$ 项是 $4.5$ ✓，第 $38$ 项是 $9.5$ ✓。 在这个分布里，拿得比 $9$ 万少的只有 $29$ 人，占 $58\%$，离”七成以上”差得远。

第 (2) 问刚说过”同一范围、不同分布、结论不同”，第 (3) 问不能自己犯同样的错。

据此可以作出的判断有两条，方向相反，取决于你要什么：

• 如果你看重”$9$ 万能不能拿到”：$9$ 万在 $Q_3$ 下方但离得不远， 说明公司里能拿到这个数的人本来就不到一半，谈判时要有心理准备；
• 如果你看重”$9$ 万在这里算不算好待遇”：它把至少四分之一的同事甩在后面、 又被至少四分之一的同事甩在后面，是中间偏上，不是拔尖。 更要清醒的是：公司”收入水平很高”的说法， 靠的是那位 $200$ 万的员工，不是靠普通岗位。

一句话结论：四分位数第一次把”典型员工过的是什么日子”框了出来， 所以它才是这三条信息里最有用的一条；但它给的是”区间”，不是”名次”。

（4）中位数只能估出范围，估不出唯一值

第一步：只用 $Q_1$ 与 $Q_3$，能得到的就一句话。 中位数就是第 $50$ 百分位数 $Q_2$，必然满足

$$Q_1\leqslant Q_2\leqslant Q_3 ,\qquad\text{即}\qquad 4.5\leqslant Q_2\leqslant 9.5\ (\text{万元}).$$

这是唯一”白给”的结论，再往下就要靠额外的假设或额外的条件。

第二步：“中间均匀分布”这个假设在本题里不成立，不能用它取中点。

常见的做法是假设 $Q_1$ 与 $Q_3$ 之间的那约 $25$ 人在 $[4.5,9.5]$ 上均匀分布， 于是取中点 $\dfrac{4.5+9.5}{2}=7$ 作估计。但这在本题会和总额打架： 这 $25$ 人若人均 $7$ 万则合计 $175$ 万， 再加上最低的 $12$ 人每人至少 $3$ 万（$\geqslant 36$ 万）、 $Q_3$ 以上的 $12$ 人每人至少 $9.5$ 万（$\geqslant 114$ 万）、 以及那位 $200$ 万，总额至少

$$175+36+114+200=525\ (\text{万元})>500\ (\text{万元}),$$

与”$50$ 人、平均 $10$ 万”给出的总额 $500$ 万矛盾。 所以”中间均匀”根本不是这家公司可能的样子，用它算出来的 $7$ 万没有依据。

第三步：把总额约束用起来，反而能把上界压下去。

设中位数为 $m$。$n=50$ 时中位数是第 $25$、$26$ 项的平均， 要让 $m$ 尽可能大，就让其余的人都取各自允许的最小值：

$$\underbrace{12\times 3}_{\text{最低的 }12\text{ 人}} +\underbrace{12\times 4.5}_{\text{第 }13\sim 24\text{ 位}} +\underbrace{13m}_{\text{第 }25\sim 37\text{ 位}} +\underbrace{12\times 9.5}_{\text{第 }38\sim 49\text{ 位}} +200\leqslant 500 ,$$

即 $404+13m\leqslant 500$，

$$m\leqslant\frac{96}{13}\approx 7.4\ (\text{万元}).$$

答：只能估出中位数落在 $4.5$ 万到约 $7.4$ 万之间，给不出唯一值。 这个区间比 $[4.5,9.5]$ 窄了不少，但它终究是一个区间—— 中位数究竟是多少，取决于中间那二十几个人怎么分布，而这条信息招聘员没有给。

为什么平均数比中位数高很多？

最干净的理由不需要先估出中位数：中位数一定不超过 $Q_3=9.5$ 万， 而平均数是 $10$ 万，平均数本身就已经越过了第三四分位数—— $50$ 个人里有四分之三挣得比平均数还少。所以

$$\overline{x}=10>9.5=Q_3\geqslant Q_2 ,$$

平均数必然高于中位数，而且至少高出 $0.5$ 万。

根子在于收入分布严重右偏，少数极高收入把平均数拉了上去。 那位年收入 $200$ 万的员工，一个人就让平均数上升了

$$\frac{200-m}{50}\approx\frac{200-6}{50}\approx 3.9\ (\text{万元}),$$

也就是说，平均数 $10$ 万里有近 $4$ 万是这一个人贡献的。

按 §9.2.3 的结论：平均数与每一个数据都有关，对极端值最敏感； 中位数只看排序中间的位置，极端值再离谱也拉不动它。 收入、房价这类右偏数据，中位数才是”典型水平”的正确度量，平均数会系统性地高估。

习题 9.2 综合运用 第 10 题

10. 有 20 种不同的零食，每 $100 \mathrm{~g}$ 可食部分包含的能量（单位：$\mathrm{kJ}$）如下：

110 120 123 165 432 190 174 235 428 318

249 280 162 146 210 120 123 120 150 140

（1）以上述 20 个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差.

(2) 设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为 7 的样本，求样本的平均数与标准差.

（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差。这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？

（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10，13，16，19的样本，求样本的平均数与标准差。分析样本量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系。

这是一道动手题，下面给出一份完整的做法与一次真实的执行结果， 用到的随机数由计算机的随机数发生器产生（种子取 $20250906$），换一次种子结果就会不同—— 这正是第 (3) 问要说明的事。

（1）总体平均数与总体标准差

$20$ 个数据即为总体，$N=20$。求和：

$$110+120+123+165+432+190+174+235+428+318=2295 ,$$ $$249+280+162+146+210+120+123+120+150+140=1700 ,$$ $$\sum Y_i=2295+1700=3995 ,\qquad \overline{Y}=\frac{3995}{20}=199.75\ (\mathrm{kJ}).$$

总体方差与标准差（用定义逐项算）：

$$S^{2}=\frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20}(Y_i-199.75)^{2}=9073.787\,5 , \qquad S=\sqrt{9073.787\,5}\approx 95.26\ (\mathrm{kJ}).$$

答：总体平均数为 $199.75$ kJ，总体标准差约为 $95.26$ kJ。

顺带看一眼分布：排序后是

$$110,120,120,120,123,123,140,146,150,162,165,174,190,210,235,249,280,318,428,432 ,$$

中位数为 $\dfrac{162+165}{2}=163.5$，远低于平均数 $199.75$—— 按 §9.2.3 的判据，这组数据右偏：绝大多数零食在 $110\sim 280$ kJ， 而 $428$、$432$ 两种把平均数拽了上去。这是下面第 (3)(4) 问波动的根源。

（2）设计随机抽样方法，抽容量为 7 的样本

抽样方法（简单随机抽样，不放回）：

1. 编号：把 $20$ 种零食按题目给出的顺序编号 $1\sim 20$；
2. 产生随机数：用计算器或电子表格的 RANDBETWEEN(1,20) 产生整数随机数 （R 中用 sample(1:20, 7, F)）；
3. 去重：遇到已经出现过的编号就跳过，继续取，直到得到 $7$ 个互不相同的编号；
4. 取数：把这 $7$ 个编号对应的能量值取出，构成样本。

（第 3 步是关键：不去重就成了有放回抽样，不是这里要的简单随机抽样。§9.1.3 讲过， 电子表格”数据分析—抽样”工具默认是有放回的，要用 R 的 sample(..., replace=F) 才是不放回。）

一次实际执行的结果：抽到编号 $1,3,4,6,15,17,18$，对应的能量值为

$$110,\ 123,\ 165,\ 190,\ 210,\ 123,\ 120 .$$ $$\overline{y}=\frac{1041}{7}\approx 148.71\ (\mathrm{kJ}),\qquad s\approx 36.59\ (\mathrm{kJ}).$$

（3）再抽一个容量为 7 的样本，结果一样吗

再执行一次，抽到编号 $1,5,8,9,13,16,17$，对应的能量值为

$$110,\ 432,\ 235,\ 428,\ 162,\ 120,\ 123 .$$ $$\overline{y}=\frac{1610}{7}=230.00\ (\mathrm{kJ}),\qquad s\approx 132.34\ (\mathrm{kJ}).$$

答：不一样，而且差得很远。

为什么不一样？ 因为样本是随机抽的，样本平均数和样本标准差都是统计量，它们随样本的选取而改变，具有随机性（本节原话）。 具体到这次：第二个样本恰好同时抽中了 $432$ 和 $428$ 这两个极端值， $7$ 个数里占了 $2$ 个（总体里只占 $2/20$），平均数和标准差都被大幅抬高； 第一个样本一个极端值也没抽到，两项都偏低。

$n=7$ 太小是波动这么大的直接原因：总体中只有 $2$ 个高能量零食， 抽 $7$ 个时”抽到 $0$ 个”和”抽到 $2$ 个”都是常见结果， 而这两种情形算出的样本平均数会相差几十 kJ。

（4）样本量增大时会怎样

继续用同一套方法，分别抽容量为 $10,13,16,19$ 的样本，实际结果如下：

答：样本量越大，样本平均数和样本标准差对总体的估计效果越好。

从表里能读出三件事：

• 偏差在缩小。 $n=7$ 时平均数偏离真值几十 kJ， $n=19$ 时只差 $1.99$ kJ；标准差的偏差从五六十降到 $2$ 出头；
• 偏差没有固定方向。 有时偏高（$n=13$）有时偏低（$n=16$）， 说明这不是系统偏差，而是随机波动—— 简单随机抽样下样本平均数是无偏的，只是波动幅度随 $n$ 变化；
• $n$ 接近 $N$ 时波动几乎消失。 $n=19$ 已经抽了总体的 $95\%$， 只漏掉一个个体，自然与真值贴得很近；$n=N=20$ 时就是普查，误差为 $0$。

这与 §9.1.1、§9.1.2 的结论完全一致： 样本量越大，样本对总体的代表性越好，估计的波动越小。 但要注意两点：

• “越大越好”是就估计精度而言的，实践中还要权衡成本 （§9.1.3 讲的”抽样调查为什么比普查划算”）；
• 加大样本量只能压缩随机波动，压不掉系统偏差。 若抽样方法本身有毛病（比如只挑前 $10$ 种零食）， 抽再多也照样偏——这正是 §9.1.3 第 $5$ 题里三个方案的通病。

习题 9.2 拓广探索 第 11 题

11. 已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为： $l, \overline{x}, s_{1}^{2}; m, \overline{y}, s_{2}^{2}; n, \overline{z}, s_{3}^{2}$ . 记总的样本平均数为 $\overline{w}$ ，样本方差为 $s^{2}$ ，证明：

$(\text {1}) \overline {{w}} = \frac {l}{l + m + n} \overline {{x}} + \frac {m}{l + m + n} \overline {{y}} + \frac {n}{l + m + n} \overline {{z}};$

$$s ^ {2} = \frac {1}{l + m + n} \left\{l \left[ s _ {1} ^ {2} + (\overline {{x}} - \overline {{w}}) ^ {2} \right] + m \left[ s _ {2} ^ {2} + (\overline {{y}} - \overline {{w}}) ^ {2} \right] + n \left[ s _ {3} ^ {2} + (\overline {{z}} - \overline {{w}}) ^ {2} \right] \right\} \tag {2}$$

这是把例 6 从两层推广到三层，证法一字不差地照搬，只是多写一层。 记 $N=l+m+n$（总样本量），三层的数据分别记为

$$x_1,\dots,x_l ;\qquad y_1,\dots,y_m ;\qquad z_1,\dots,z_n .$$

（1）总样本平均数

总样本平均数就是把 $N$ 个数全加起来再除以 $N$：

$$\overline{w}=\frac{1}{N}\Bigl(\sum_{i=1}^{l}x_i+\sum_{j=1}^{m}y_j+\sum_{k=1}^{n}z_k\Bigr).$$

由各层平均数的定义，$\displaystyle\sum_{i=1}^{l}x_i=l\overline{x}$， $\displaystyle\sum_{j=1}^{m}y_j=m\overline{y}$，$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}z_k=n\overline{z}$，代入得

$$\overline{w}=\frac{l\overline{x}+m\overline{y}+n\overline{z}}{l+m+n} =\frac{l}{l+m+n}\overline{x}+\frac{m}{l+m+n}\overline{y}+\frac{n}{l+m+n}\overline{z} .$$

证毕。

读一句：总样本平均数是各层平均数的加权平均，权重是各层样本量占总样本量的比例。 （三个权重之和为 $1$，所以 $\overline{w}$ 一定落在三个层平均数的最小值与最大值之间。）

（2）总样本方差

第一步，写出定义。 总样本方差是全部 $N$ 个数到总平均 $\overline{w}$ 的平方距离的平均：

$$s^{2}=\frac{1}{N}\Bigl[\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{w})^{2} +\sum_{j=1}^{m}(y_j-\overline{w})^{2} +\sum_{k=1}^{n}(z_k-\overline{w})^{2}\Bigr].$$

第二步，在每一层里配中间量。 以第一层为例，

$$x_i-\overline{w}=(x_i-\overline{x})+(\overline{x}-\overline{w}) ,$$

平方展开：

$$\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{w})^{2} =\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{x})^{2} +2(\overline{x}-\overline{w})\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{x}) +\sum_{i=1}^{l}(\overline{x}-\overline{w})^{2} .$$

第三步，交叉项归零。 这是整个证明的关键：

$$\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{x})=\sum_{i=1}^{l}x_i-l\overline{x}=l\overline{x}-l\overline{x}=0 ,$$

即”各数与自己层平均数之差的和恒为零”，所以中间那一项整体为 $0$。

第四步，把剩下两项写成层内方差与层间差。 第一项 $\displaystyle\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{x})^{2}=l\,s_1^{2}$（这是层内方差的定义）； 第三项的被加项与 $i$ 无关，连加 $l$ 次得 $l(\overline{x}-\overline{w})^{2}$。于是

$$\sum_{i=1}^{l}(x_i-\overline{w})^{2}=l\bigl[s_1^{2}+(\overline{x}-\overline{w})^{2}\bigr].$$

第五步，另两层同理，相加即得。

$$s^{2}=\frac{1}{l+m+n}\Bigl\{l\bigl[s_1^{2}+(\overline{x}-\overline{w})^{2}\bigr] +m\bigl[s_2^{2}+(\overline{y}-\overline{w})^{2}\bigr] +n\bigl[s_3^{2}+(\overline{z}-\overline{w})^{2}\bigr]\Bigr\}.$$

证毕。

这个公式怎么记、怎么用

记法：总方差 $=$ 层内方差的加权平均 $+$ 层间偏差平方的加权平均。

$$s^{2}=\underbrace{\frac{l\,s_1^{2}+m\,s_2^{2}+n\,s_3^{2}}{l+m+n}}_{\text{层内}} +\underbrace{\frac{l(\overline{x}-\overline{w})^{2}+m(\overline{y}-\overline{w})^{2}+n(\overline{z}-\overline{w})^{2}}{l+m+n}}_{\text{层间}} .$$

两条立刻能用的推论：

• $s^{2}$ 一定不小于层内方差的加权平均（因为层间那一项非负）。 也就是说，把几层混在一起，只会让数据看起来更散，不会更集中；
• 当三层的平均数都相等时（$\overline{x}=\overline{y}=\overline{z}=\overline{w}$）， 层间项为 $0$，总方差就等于层内方差的加权平均。 反过来，层间平均数差得越远，混合后多出来的那部分越大—— 这正是 §9.1.2 说的”层间差异大时分层抽样才划算”。

这个公式对任意层数都成立，证法完全一样：每层配一次中间量，每层的交叉项各自归零。

习题 9.2 拓广探索 第 12 题

12. 调查本班每名同学的家庭在同一周的用电量，从中你能发现什么信息？写一份简短的统计报告，说明你发现的信息.

这是一道调查实践题，答案因班而异。下面给的是一份可以照着做的操作流程和报告框架， 以及一个用于示范的算例。

一、调查怎么做

第一步，明确总体与个体。 题面要调查的是”本班每名同学的家庭在同一周的用电量”， 考察的指标就是用电量，相应地：

• 总体：本班所有同学家庭在指定那一周的用电量的全体；
• 个体：每一个这样的用电量（单位：$\mathrm{kW\cdot h}$）。

总体与个体必须是同一类东西。 要么两者都是”用电量”，要么两者都是”家庭”， 不能把总体说成家庭、却把个体说成度数。 若把调查单元取成家庭，正确的写法是：总体是这些家庭，个体是每一个家庭， 而用电量是这些个体上考察的变量。 两种说法都对，但不能各取一半混着用——§9.1 讲总体与个体时特别强调过这一点。

顺带处理一个现实问题：班里若有兄弟姐妹同班，同一个家庭会被报两次。 这属于”总体怎么界定”的选择，要在报告里写明是 “每名同学各记一次”（同一家庭计两次）还是”互异家庭各记一次”（剔重）。 两种都可以，但必须说清楚，并且前后一致。

第二步，统一口径。这是全题最容易出错的地方。

口径不统一，收上来的数据就不能放在一起算——这是 §9.1.3 里”清洗数据”的第一条。

第三步，收集数据。 这是全面调查（普查），不是抽样： 总体只有几十个数据，每一个都数得清、问得到，没有必要抽样（§9.1.3 判据）。 既然是普查，这次调查里就没有”样本”这个东西—— 后面写局限时要说”总体仅限本班”，不能说”样本只是本班”，两者是两回事。

第四步，整理与描述。 按 §9.2.1 的五步作频率分布直方图， 再按 §9.2.2～§9.2.4 算出百分位数、平均数、中位数、众数、标准差。

二、报告该写哪几段

三、一个示范算例

设收上来 $40$ 个家庭一周的用电量（单位：$\mathrm{kW\cdot h}$）， 整理后得到如下频率分布表（这是为说明写法而编的示例数据，不是真实调查结果）：

据此可以写出的三条信息：

• 典型水平：用组中点估计平均数得

$$10\times 0.075+30\times 0.275+50\times 0.35+70\times 0.175+90\times 0.075+110\times 0.05$$ $$=0.75+8.25+17.5+12.25+6.75+5.5=51\ (\mathrm{kW\cdot h}),$$

中位数落在 $[40,60)$ 内，由 $0.075+0.275=0.35<0.5$、 $0.35+0.35=0.70>0.5$ 得

$$40+\frac{0.5-0.35}{0.35}\times 20\approx 48.6\ (\mathrm{kW\cdot h}) ;$$

平均数 $51$ 大于中位数 $48.6$，说明分布右偏——少数用电大户拉高了平均数；

• 差异有多大：最高一组 $[100,120)$ 与最低一组 $[0,20)$ 相差五倍以上， 家庭之间的用电量差异远大于”平均每户 $51$ 度”这个数给人的印象；
• 可以追问的因果：用电量与家庭人口数、是否使用空调、住房面积都可能相关。 但这只是相关，不是因果——要判断”装空调是否导致用电量增加”， 按 §9.1.3 的说法需要对比试验或更细致的分层，一次调查给不出因果结论。

四、局限一定要写。 本次调查的总体只是本班同学的家庭， 不能推广到全校、全小区乃至全市（§9.1.2 第 $5$ 题、§9.1.3 第 $3$ 题反复讲过这一点）； 且只观测了一周，季节性影响完全没有被覆盖—— 夏冬两季的用电量通常明显高于春秋。要看逐年、逐季变化，得按 §9.1.3 的说法长期观测。