9.2.2 总体百分位数的估计

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通过图 9.2-7 可以看出，虽然 2016 年 6 月的空气质量为 “优” 的频率略低于 2015 年，但 “良” 的频率明显高于 2015 年，而且 2016 年 6 月中度以上的污染天气频率明显小于 2015 年。所以从整体上看，2016 年 6 月的空气质量要好于 2015 年全年的空气质量。

由此，你能得出“2016年的空气质量比2015年明显改善了”的结论吗？为什么？

练习

1. 某市 2016 年 6 月 30 天的空气质量指数如下：

你觉得这个月的空气质量如何？请设计适当的频率分布直方图展示这组数据，并结合空气质量等级标准分析数据.

2. 统计你们班所有同学的鞋号，选择合适的统计图进行描述，并分析鞋号的分布有什么特点。能用你们班同学鞋号的分布估计你所在学校全体高中学生鞋号的分布吗？估计全国高中学生的鞋号分布呢？

9.2.2 总体百分位数的估计

前面我们用频率分布表、频率分布直方图描述了居民用户月均用水量的样本数据，通过对图表的观察与分析，得出了一些样本数据的频率分布规律，并由此推测了该市全体居民用户月均用水量的分布情况，得出了“大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域”等推断。接下来的问题是，如何利用这些信息，为政府决策服务呢？下面我们对此进行讨论。

问题 2 如果该市政府希望使 80% 的居民用户生活用水费用支出不受影响，根据 9.2.1节中 100 户居民用户的月均用水量数据，你能给市政府提出确定居民用户月均用水量标准的建议吗？

首先要明确一下问题：根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数 a，使全市居民用户月均用水量中不超过 a 的占 80%，大于 a 的占 20%。下面我们通过样本数据对 a 的值进行估计。

你所在的地区是采用阶梯水价吗？标准是多少？

把 100 个样本数据按从小到大排序，得到第 80 个和第 81 个数据分别为 13.6 和 13.8。可以发现，区间 $[13.6, 13.8)$ 内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分。一般地，我们取这两个数的平均数 $\frac{13.6 + 13.8}{2} = 13.7$ ，并称此数为这组数据的第 80 百分位数（percentile），或 80% 分位数。

根据样本数据的第 80 百分位数，我们可以估计总体数据的第 80 百分位数为 13.7 左右。由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差，而在决策问题中，只要临界值近似为第 80 百分位数即可，因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为 14 t，或者把年用水量标准定为 168 t。

你认为 14 t 这个标准一定能够保证 80% 的居民用水不超标吗？如果不一定，那么哪些环节可能会导致结论的差别？

一般地，一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有 $p\%$ 的数据小于或等于这个值，且至少有 $(100 - p)\%$ 的数据大于或等于这个值.

可以通过下面的步骤计算一组 n 个数据的第 p 百分位数：

第 1 步，按从小到大排列原始数据.

第 2 步，计算 $i=n \times p\%$ .

第3步，若 $i$ 不是整数，而大于 $i$ 的比邻整数为 $j$ ，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i + 1)$ 项数据的平均数.

我们在初中学过的中位数，相当于是第 50 百分位数。在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第 25 百

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对于任意一组数据，满足第 $p$ 百分位数定义的值可能不唯一。计算百分位数的方法有多种，我们取一种计算方法比较简单的。

分位数，第75百分位数．这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.

例 2 根据 9.1.2 节问题 3 中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第 25，

50, 75 百分位数.

解：把 27 名女生的样本数据按从小到大排序，可得

$\begin{array}{c c c c c c c c c} 1 4 8. 0 & 1 4 9. 0 & 1 5 4. 0 & 1 5 4. 0 & 1 5 5. 0 & 1 5 5. 0 & 1 5 5. 5 & 1 5 7. 0 & 1 5 7. 0 \\ 1 5 8. 0 & 1 5 8. 0 & 1 5 9. 0 & 1 6 1. 0 & 1 6 1. 0 & 1 6 2. 0 & 1 6 2. 5 & 1 6 2. 5 & 1 6 3. 0 \\ 1 6 3. 0 & 1 6 4. 0 & 1 6 4. 0 & 1 6 4. 0 & 1 6 5. 0 & 1 7 0. 0 & 1 7 1. 0 & 1 7 2. 0 & 1 7 2. 0 \end{array}$

由 $25\% \times 27 = 6.75$ ， $50\% \times 27 = 13.5$ ， $75\% \times 27 = 20.25$ ，可知样本数据的第 25，50，75 百分位数为第 7，14，21 项数据，分别为 155.5，161，164。据此可以估计树人中学高一年级女生的第 25，50，75 百分位数分别约为 155.5，161 和 164。

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由于女生的样本量比较小，所以这里对总体的估计可能会存在比较大的误差.

例 3 根据表 9.2-1 或图 9.2-1，估计月均用水量的样本数据的 80% 和 95% 分位数.

分析：在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图，与原始数据相比，它们损失了一些信息。例如由表9.2-1，我们知道在[16.2，19.2）内有5个数据，但不知道这5个数据具体是多少。此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上。

解：由表9.2-1可知，月均用水量在 $13.2\mathrm{t}$ 以下的居民用户所占比例为

$23\% + 32\% + 13\% + 9\% = 77\%.$

在 16.2 t 以下的居民用户所占的比例为

$77\% + 9\% = 86\%.$

因此，80%分位数一定位于 $[13.2, 16.2)$ 内。由

$1 3. 2 + 3 \times \frac {0 . 8 0 - 0 . 7 7}{0 . 8 6 - 0 . 7 7} = 1 4. 2,$

可以估计月均用水量的样本数据的 80% 分位数约为 14.2.

类似地，由

$2 2. 2 + 3 \times \frac {0 . 9 5 - 0 . 9 4}{0 . 9 8 - 0 . 9 4} = 2 2. 9 5,$

可以估计月均用水量的样本数据的 $95\%$ 分位数约为22.95.

练习

1. 在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让 $60\%$ 的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适？

2. 根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数。如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做？

3. 分别根据图 9.2-2(1)(2) 中的数据，估计这组数据的月均用水量的第 80 和 95 百分位数。与根据图 9.2-1 估计的结果比较，它们一样吗？你认为根据哪个图得到的估计更好？为什么？