9.2.2 总体百分位数的估计

本节目录下的页先收掉 §9.2.1 的尾巴（图 9.2-7 与那一组练习），再讲完 §9.2.2 全节， 所以这一份讲解从图 9.2-7 讲起。

零、收尾：一个月比一年，能说明什么

§9.2.1 例 1 第（3）问用复合条形图把 $2016$ 年 $6$ 月与 $2015$ 年全年的频率并排画出（图 9.2-7）。 课本的读图结论是：

虽然 $2016$ 年 $6$ 月的空气质量为”优”的频率略低于 $2015$ 年， 但”良”的频率明显高于 $2015$ 年， 而且 $2016$ 年 $6$ 月中度以上的污染天气频率明显小于 $2015$ 年。 所以从整体上看，$2016$ 年 $6$ 月的空气质量要好于 $2015$ 年全年的空气质量。

注意这段话的写法：三条证据，一正一反一正，最后才下结论。 “优”这一项 $6$ 月反而低（约 $13.3\%$ 对 $22.8\%$），课本没有藏着不说， 而是靠”良”（约 $50\%$ 对 $33.2\%$）和”中度以上污染”（$6.67\%$ 对 $25.4\%$）把结论撑起来。

接下来是课本的思考题：由此能得出”$2016$ 年的空气质量比 $2015$ 年明显改善了”吗？

不能。 三条理由，一条比一条硬：

1. 拿一个月比一整年，比的是”这个月”和”去年的年平均”。 空气质量有明显的季节性——冬季取暖期通常是重污染高发期， $6$ 月本来就是一年里空气较好的月份。 $2015$ 年全年那个平均值里含着冬天，$6$ 月这个数里不含，两者本就不可比。
2. 要判断”年与年”的改善，必须拿 $2016$ 年全年的数据去比 $2015$ 年全年。 $6$ 月好，说明不了 $1$ 月、$12$ 月怎么样。
3. 即使 $2016$ 年全年确实好于 $2015$ 年，“明显改善”也还要看幅度和波动， 一年的起落也可能只是气象条件的偶然。

这道思考题是本章的一个典型陷阱：口径不对齐的比较，结论一定不可靠。 上一节刚说过”总数不同要化成频率再比”，这里说的是更进一步的一层—— 光化成频率还不够，被比的两段还得在时间跨度、季节构成上可比。

一、§9.2.2 的出发点：图表怎样变成决策

§9.2.1 已经描述出了居民用户月均用水量的分布，并推断”大部分居民用户的月均用水量 集中在一个较低值区域”。接下来的问题是：如何利用这些信息，为政府决策服务？

问题 2：如果该市政府希望使 $80\%$ 的居民用户生活用水费用支出不受影响， 根据 §9.2.1 中 $100$ 户居民用户的月均用水量数据，能给出确定用水量标准的建议吗？

第一步永远是把问题翻译成数学语言：

根据市政府的要求确定居民用户月均用水量标准，就是要寻找一个数 $a$， 使全市居民用户月均用水量中不超过 $a$ 的占 $80\%$，大于 $a$ 的占 $20\%$。

翻译完就发现，这是一个”从分布里反着找位置”的问题—— 前面学的是”给定区间求频率”，现在是”给定频率求那个分界值”。

二、从样本数据里把这个 $a$ 找出来

把 $100$ 个样本数据按从小到大排序， 可以看到第 $80$ 个和第 $81$ 个数据分别是 $13.6$ 和 $13.8$。

为什么盯住第 $80$、$81$ 个？ 样本量 $n=100$，要让”不超过 $a$ 的占 $80\%$“，就是要让 $a$ 至少压住前 $80$ 个数， 同时不要越过第 $81$ 个数。于是

$$13.6\leqslant a<13.8$$

区间 $[13.6,13.8)$ 内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分。

满足要求的 $a$ 不唯一，怎么办？取中间那个。

$$\frac{13.6+13.8}{2}=13.7 ,$$

称此数为这组数据的第 $80$ 百分位数（percentile），或 $80\%$ 分位数。

三、从样本回到总体，再回到决策

根据样本数据的第 $80$ 百分位数，可以估计总体数据的第 $80$ 百分位数为 $13.7$ 左右。

但课本紧接着做了一件很实际的事——把 $13.7$ 改成了 $14$：

由于样本的取值规律与总体的取值规律之间会存在偏差， 而在决策问题中，只要临界值近似为第 $80$ 百分位数即可， 因此为了实际中操作的方便，可以建议市政府把月均用水量标准定为 $14$ t， 或者把年用水量标准定为 $168$ t。

（$14\times 12=168$。）

这一步很值得体会：$13.7$ 是算出来的，$14$ 是用出来的。 一个供全市居民看的收费标准，写 $13.7$ 既不好记也无必要—— 反正估计本身就带误差，取一个整数不会让政策变差。 统计的结论是给人用的，不是拿来炫耀小数位的。

课本随后的思考题也要答上：$14$ t 这个标准一定能保证 $80\%$ 的居民用水不超标吗？

不一定。 至少三个环节会让实际结果偏离 $80\%$：

1. 抽样误差。 这 $100$ 户只是一个样本，样本的第 $80$ 百分位数不等于总体的第 $80$ 百分位数；
2. 四舍五入。 从 $13.7$ 抬到 $14$，实际被压住的比例会略高于 $80\%$；
3. 总体本身在变。 数据是过去一年的，人口、气候、水价政策、节水意识都会变， 今年的分布未必还是去年那个分布； 而且标准一旦公布，居民会主动节水以避开议价段——政策本身就会改变它想测量的那个分布。

第 3 条尤其要说出来：它说明用历史数据定出的标准需要定期复核。

四、第 $p$ 百分位数的定义与算法

定义

一般地，一组数据的第 $p$ 百分位数是这样一个值， 它使得这组数据中至少有 $p\%$ 的数据小于或等于这个值， 且至少有 $(100-p)\%$ 的数据大于或等于这个值。

逐字读这句话，两处”至少”和两处”或等于”都不是废话：

• 两个条件是一对，缺一不可。只说”至少 $p\%$ 小于等于它”， 那把最大值取出来也满足，显然不是我们要的；
• 用”小于或等于”而不是”小于”，是为了让有重复数据时定义仍然说得通。

课本还专门加了一条提醒：

对于任意一组数据，满足第 $p$ 百分位数定义的值可能不唯一。 计算百分位数的方法有多种，我们取一种计算方法比较简单的。

所以百分位数不像平均数那样只有一个算法。 不同的统计软件给出的分位数可能略有出入， 这不是谁算错了，而是取的定义不同。做题就按课本这一套。

三步算法（必须背下来）

第 $1$ 步，按从小到大排列原始数据。

第 $2$ 步，计算 $i=n\times p\%$。

第 $3$ 步，

• 若 $i$ 不是整数，设大于 $i$ 的比邻整数为 $j$，则第 $p$ 百分位数为第 $j$ 项数据；
• 若 $i$ 是整数，则第 $p$ 百分位数为第 $i$ 项与第 $(i+1)$ 项数据的平均数。

“大于 $i$ 的比邻整数”就是把 $i$ 向上取整。 例如 $i=6.75$ 时 $j=7$。

回头验一下问题 2：$n=100$，$p=80$，$i=100\times 80\%=80$ 是整数， 所以取第 $80$ 项与第 $81$ 项的平均数，即 $\dfrac{13.6+13.8}{2}=13.7$—— 与前面凭直觉找出来的完全一致。算法不是新东西，它只是把刚才那段推理固定下来。

最容易错的两处：

• $i$ 是整数时不要直接取第 $i$ 项，要取第 $i$ 项与第 $i+1$ 项的平均；
• $i$ 不是整数时不要四舍五入，一律向上取整。$i=6.25$ 时也取第 $7$ 项，不是第 $6$ 项。

常用的几个分位数

我们在初中学过的中位数，相当于是第 $50$ 百分位数。

四分位数：第 $25$、$50$、$75$ 百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份， 因此称为四分位数。

• 第 $25$ 百分位数也称为第一四分位数或下四分位数；
• 第 $75$ 百分位数也称为第三四分位数或上四分位数。

另外，第 $1$、第 $5$、第 $95$ 和第 $99$ 百分位数在统计中也经常被使用 （它们用来刻画分布的两端，例如”极端高值”从哪里算起）。

五、例 2：有原始数据时怎么算

根据 §9.1.2 问题 3 中女生的样本数据，估计树人中学高一年级女生的第 $25$、$50$、$75$ 百分位数。

第 $1$ 步，把 $27$ 名女生的数据从小到大排序：

$$\begin{array}{ccccccccc} 148.0 & 149.0 & 154.0 & 154.0 & 155.0 & 155.0 & 155.5 & 157.0 & 157.0\\ 158.0 & 158.0 & 159.0 & 161.0 & 161.0 & 162.0 & 162.5 & 162.5 & 163.0\\ 163.0 & 164.0 & 164.0 & 164.0 & 165.0 & 170.0 & 171.0 & 172.0 & 172.0 \end{array}$$

第 $2$ 步，算 $i$：

$$25\%\times 27=6.75,\qquad 50\%\times 27=13.5,\qquad 75\%\times 27=20.25 .$$

第 $3$ 步，三个 $i$ 都不是整数，一律向上取整：

$$6.75\to 7,\qquad 13.5\to 14,\qquad 20.25\to 21 ,$$

所以取第 $7$、$14$、$21$ 项数据，分别是

$$155.5,\qquad 161,\qquad 164 .$$

据此估计树人中学高一年级女生身高的第 $25$、$50$、$75$ 百分位数分别约为 $155.5$、$161$ 和 $164$。

课本的旁注一定要跟上：

由于女生的样本量比较小，所以这里对总体的估计可能会存在比较大的误差。

$27$ 个数据估三个分位数，尤其两端的第 $25$、$75$ 百分位数，只由个别数据决定， 换一个样本就可能跳一截。

六、例 3：只有统计表或统计图时怎么办

根据表 9.2-1 或图 9.2-1，估计月均用水量的样本数据的 $80\%$ 和 $95\%$ 分位数。

分析：为什么不能照搬例 2 的做法

在某些情况下，我们只能获得整理好的统计表或统计图， 与原始数据相比，它们损失了一些信息。 例如由表 9.2-1，我们知道在 $[16.2,19.2)$ 内有 $5$ 个数据， 但不知道这 $5$ 个数据具体是多少。 此时，我们通常把它们看成均匀地分布在此区间上。

“均匀分布”这个假设是本例的全部关键—— 正因为组内看成均匀的，才能在组内按比例插值，把分位数定在区间中间的某个位置。 假设一旦不成立（比如那 $5$ 个数其实全挤在区间左端），估计就会偏。

表 9.2-1 的频率（由本节例 3 的算式反推得到，与九个组的比例吻合）

解：$80\%$ 分位数

第一步：用累计频率把分位数”关”进某个区间。

月均用水量在 $13.2$ t 以下的居民用户所占比例为

$$23\%+32\%+13\%+9\%=77\% ,$$

在 $16.2$ t 以下的居民用户所占的比例为

$$77\%+9\%=86\% .$$

因为 $77\%<80\%<86\%$，所以 $80\%$ 分位数一定位于 $[13.2,16.2)$ 内。

第二步：在这个区间内按比例插值。

这一组的组距是 $3$，累计频率从 $0.77$ 涨到 $0.86$，一共涨了 $0.09$； 我们要的 $0.80$ 在其中占了 $\dfrac{0.80-0.77}{0.86-0.77}$ 这么大的份额， 于是从左端点 $13.2$ 往右走同样的份额：

$$13.2+3\times\frac{0.80-0.77}{0.86-0.77}=13.2+3\times\frac{1}{3}=14.2 .$$

可以估计月均用水量的样本数据的 $80\%$ 分位数约为 $14.2$。

解：$95\%$ 分位数

累计到 $22.2$ 是 $94\%$，累计到 $25.2$ 是 $98\%$，$94\%<95\%<98\%$， 所以 $95\%$ 分位数落在 $[22.2,25.2)$ 内：

$$22.2+3\times\frac{0.95-0.94}{0.98-0.94}=22.2+3\times 0.25=22.95 .$$

可以估计月均用水量的样本数据的 $95\%$ 分位数约为 $22.95$。

把这套插值法写成一个公式

设分位数落在 $[L,R)$ 内，该组组距为 $d=R-L$， 累计到 $L$ 的频率为 $F_L$、累计到 $R$ 的频率为 $F_R$，要求的分位数为 $p\%$，则

$$\boxed{\ x_p=L+d\times\frac{p\%-F_L}{F_R-F_L}\ }$$

用它的三个前提，答题时最好点一句：

1. 数据只以分组的形式给出，原始数据不可得；
2. 组内数据看成均匀分布；
3. 累计频率必须先把 $p\%$ 夹在两个累计值之间，找准是哪一组。

七、两种情形对照

同一批数据，两条路给出的数不一样： 原始数据算出 $80\%$ 分位数是 $13.7$， 而由组距为 $3$ 的表 9.2-1 插值得到的是 $14.2$，差了 $0.5$。 差的这一截，全是”分组”这个动作丢掉的信息。

由此得到一个很实用的判断：组距越小，插值的结果越接近原始数据算出的真值。 本节练习第 $3$ 题会把这件事验个透—— 用组距为 $1$ 的图 9.2-2(2) 去插值，$80\%$ 分位数正好回到 $13.7$。

本节目录下印了两组练习，都收在这里。

第 $202$ 页那组（第 1、2 题）按内容属于 §9.2.1（统计图表那一节的练习）， 但它印在 page-0209 上，而这一页归本节的目录， 题面引文只能对着本目录的转写比对，所以按”哪一页印的就归哪一份”的规矩收在这儿。 第 $204$ 页那组（第 1～3 题）才是本节自己的练习。

图表数值的来源要先交代清楚： 第 $202$ 页第 1 题的那 $30$ 个数据、以及第 $204$ 页第 3 题要用的图 9.2-2， 在课本里都是插图。 下面用到的数值是本份对 page-0209.png（本节目录）与 page-0204.png（§9.2「用样本估计总体」目录下、印着图 9.2-2 的那一页）两张扫描图的读数，不是课本原文。 两处读数都已用”频率之和为 $1$“校验过， 图 9.2-2(2) 的二十七个高度还与表 9.2-1 的九个组逐组对上了。

练习（第 202 页）第 1 题

1. 某市 2016 年 6 月 30 天的空气质量指数如下：

你觉得这个月的空气质量如何？请设计适当的频率分布直方图展示这组数据，并结合空气质量等级标准分析数据.

从扫描图读出的 $30$ 个空气质量指数：

$$\begin{array}{cccccccccc} 35 & 54 & 80 & 86 & 72 & 85 & 58 & 125 & 111 & 53\\ 10 & 66 & 46 & 36 & 18 & 25 & 23 & 40 & 60 & 89\\ 88 & 54 & 79 & 14 & 16 & 40 & 59 & 67 & 111 & 62 \end{array}$$

一、先按等级标准归类，回答”空气质量如何”

按 §9.2.1 例 1 里给出的分级标准逐个归类：

（“优”的 $11$ 天是 $35,10,46,36,18,25,23,40,14,16,40$； “轻度污染”的 $3$ 天是 $125,111,111$；其余 $16$ 天为”良”。）

答：这个月的空气质量相当好。

• 优、良合计 $27$ 天，占 $90\%$；
• 完全没有中度、重度、严重污染，最差的一天 $\mathrm{AQI}=125$，只是轻度污染；
• 最好的一天 $\mathrm{AQI}=10$，属于”优”里的很优。

与 §9.2.1 例 1 里那个市的 $6$ 月对照更清楚：那里优良占 $63.33\%$、轻度污染占 $30\%$， 而这里优良占 $90\%$、轻度污染只占 $10\%$，这个月明显更好。

二、设计一个适当的频率分布直方图

第 1 步，求极差。 最小值 $10$，最大值 $125$，

$$125-10=115 .$$

第 2 步，决定组距与组数。 样本量 $30$，按”不超过 $100$ 时常分 $5\sim 12$ 组”， 取组距 $25$ 比较合适：$\dfrac{115}{25}=4.6$，可分 $6$ 组。

取 $25$ 而不是 $20$、$30$，是因为它能让分界点落在 $50$ 和 $100$ 上—— 这正是”优/良”和”良/轻度污染”的分界线， 这样直方图的形状就能直接对应空气质量等级，图和结论对得上。 （严格地说，$\mathrm{AQI}=50$ 属于”优”而落在 $[50,75)$ 组里， 但本组数据中没有恰好等于 $50$ 的值，所以不影响。）

第 3 步，分组。 取 $[0,150]$，按组距 $25$ 分为

$$[0,25),\ [25,50),\ [50,75),\ [75,100),\ [100,125),\ [125,150].$$

第 4、5 步，列频率分布表并画图。

（$[0,25)$ 是 $10,18,14,16,23$；$[25,50)$ 是 $35,36,25,46,40,40$； $[100,125)$ 是 $111,111$；$[125,150]$ 是 $125$。）

校验：

$25\times(0.0067+0.0080+0.0133+0.0080+0.0027+0.0013)\approx 1$

三、结合直方图分析数据

• 图形呈单峰、略微右偏：中间的 $[50,75)$ 最高，两侧递减， 右边有一条不长的尾巴（$[100,150]$ 只有 $3$ 天）；
• 数据集中在 $[25,100)$，这一段占了 $\dfrac{6+10+6}{30}\approx 73.3\%$；
• 右尾很短说明没有出现严重的污染天气， 这与按等级归类得到的”无中度以上污染”完全一致。

一句话：这个月空气质量以”良”为主、“优”占了三分之一强， 偶有三天轻度污染，整体属于良好水平。

练习（第 202 页）第 2 题

2. 统计你们班所有同学的鞋号，选择合适的统计图进行描述，并分析鞋号的分布有什么特点。能用你们班同学鞋号的分布估计你所在学校全体高中学生鞋号的分布吗？估计全国高中学生的鞋号分布呢？

一、选哪种统计图

鞋号是离散型数据——它取的是一个一个的号码（$35$、$36$、$37$、$\dots$； 即使算上 $35.5$、$36.5$ 这样的半号，仍然是一串孤立的取值，不是连续的）， 所以应当用条形图，而不是频率分布直方图。

• 条形图：横轴列出各个鞋号，纵轴是人数或频率，各条之间留出间隔；
• 若还想看各鞋号占全班的比例，可以再配一张扇形图；
• 为什么不用直方图：直方图是先分组、再用矩形面积表示落入该组的频率， 它适合取值多而密、必须先归并成组才看得清的连续型数据。 鞋号一共就十来个取值，根本不需要分组：一个号码对一根条、条与条之间留空， 既保留了每个号码各有多少人，又一眼看出取值是离散的。 硬要分组反而把”哪个号码的人最多”这条最有用的信息抹掉了。

要说准一句：直方图的矩形表示的是落入该组的频率， 并不是说组内每一个实数都出现过，所以不能讲成”用直方图会画出 $36.3$ 码”。 不用直方图的正当理由是”取值少而离散、不必分组”，不是”会造出不存在的鞋号”。

这一条正是 §9.2.1 结尾那句话的应用：条形图适用于描述离散型数据，直方图适用于描述连续型数据。

二、鞋号分布通常有什么特点

在班级数据上一般能看到这几条（以你们班的实际数据为准）：

1. 单峰：集中在某几个号码上，两端人数少；
2. 明显的双峰或”分层”：如果班上男女生人数都不少， 男生的鞋号整体大于女生，画出来常常是两个峰叠在一起。 这时候按性别分开画两张条形图（或用复合条形图）会清楚得多。 这一步叫”分组描述”，不是分层随机抽样——全班鞋号是普查结果， 没有”抽”这个动作，也就谈不上分层抽样的那些前提（各层要有抽样框、层内要随机抽）。 两者共享的只是同一条朴素想法：层（组）间差异明显时，就该分开看， §9.1.2 把它用在抽样上，这里把它用在画图上。
3. 取值离散且集中在很窄的范围（一般不超过十来个号码）。

三、能用它估计全校高中学生的鞋号分布吗？——不能

理由一：全班同学不是全校学生的随机样本。 除了本班同学，全校其他学生入样概率为零，连”随机”这一条都不满足。

理由二：男女比例不一致会直接把分布带偏。 鞋号的分布对性别极其敏感——这是本题里最大的一条系统差异。 若本班男生特别多（或特别少），画出来的分布就会整体偏大（偏小）， 与全校的分布对不上。

理由三：班级本身也不是随机挑的。 一个班往往还带着分科、住宿、生源地等特征， 这些都可能与身高、鞋号相关，用它代表全校，偏差是系统性的。

顺带辨一句常见的说法。 有人会写”高中三年男生还在长个子， 所以各年级鞋号分布不同”。这条要谨慎：脚长在高中阶段基本定型， 身高的残余增长主要不体现在脚上，年级之间的鞋号差远小于性别差。 不能估计全校，站得住的理由是”不是随机样本”和”性别比／班级构成不一致”， 不是”年级还在长”——后者没有依据，属于把没核过的话写进了理由。

该怎么做：以全校学生为总体，按年级和性别分层， 各层按比例分配样本量，层内简单随机抽样。

四、能估计全国高中学生的鞋号分布吗？——更不能

理由一：抽样框的缺口大得多。 全国的高中学生分布在各省， 你所在的学校只是其中一所，其他学校的学生一个也进不了样本。

理由二：地区差异是真实存在的。 不同地区居民的平均身高有差别，鞋号分布随之不同， 用一个班去代表全国，偏差是系统性的，加大样本量也修不好。

该怎么做：全国范围的分层多阶段抽样—— 先按地区、城乡分层抽学校，再在校内按年级、性别分层抽学生。

五、这两问真正在考什么

能不能拿一个样本的分布去估计某个总体的分布， 取决于这个样本是不是从那个总体中随机抽出来的。 这与数据有多准、图画得有多好无关。 你们班的条形图准确地描述了”你们班”——它的问题只出在往外推。

练习（第 204 页）第 1 题

1. 在居民用户月均用水量标准制定的问题中，根据教科书中的调查数据，如果要让 $60\%$ 的居民不超出标准，居民用户月均用水量标准定为多少合适？

这道题就是把问题 2 里的 $80\%$ 换成 $60\%$，做法完全一样。

一、定位：$60\%$ 分位数落在哪一组

由表 9.2-1 的累计频率：

因为 $55\%<60\%<68\%$，所以 $60\%$ 分位数落在 $[7.2,10.2)$ 内。

二、组内按比例插值

这一组组距为 $3$，累计频率从 $0.55$ 涨到 $0.68$：

$$7.2+3\times\frac{0.60-0.55}{0.68-0.55}=7.2+3\times\frac{0.05}{0.13}=7.2+1.15\approx 8.35 .$$

即估计月均用水量的 $60\%$ 分位数约为 $8.35$ t。

三、用更细的分组核一遍

图 9.2-2(2) 的组距是 $1$，保留的信息更多。由它读出的累计频率是 $7.2$ 处 $55\%$、$8.2$ 处 $61\%$，于是

$$7.2+1\times\frac{0.60-0.55}{0.61-0.55}=7.2+0.83\approx 8.03 .$$

两条路给出 $8.0\sim 8.4$ 这个范围，结论是一致的。 （组距越小估得越准，理由见本节练习第 3 题。）

四、给市政府的建议

分位数是 $8.0\sim 8.4$ 左右，为便于执行应当取一个整齐的数。

• 建议把月均用水量标准定为 $8.5$ t（年用水量 $102$ t），或者
• 更便于宣传地定为 $9$ t（年用水量 $108$ t）。

取整的方向要说清楚：往上取。 标准定得比分位数略高，实际不超标的居民比例就会略高于 $60\%$， 这样才不会辜负”让 $60\%$ 的居民不超出标准”这个要求； 反过来往下取，实际达标比例就会低于 $60\%$。

再补一句和问题 2 一样的提醒： 这个 $8.35$ 是由样本估计出来的，总体的真值与它有偏差； 而且标准一旦公布，居民会主动节水，分布本身也会变， 所以标准需要定期用新数据复核。

练习（第 204 页）第 2 题

2. 根据9.1.2节问题3中男生的样本数据，请你估计树人中学高一年级男生的第25，50，75百分位数。如果要减少估计的误差，你觉得应该怎么做？

一、算男生的三个分位数

§9.1.2 问题 3 中男生的样本有 $23$ 个数据，先从小到大排序：

$$\begin{array}{ccccccccccc} 164 & 165 & 165 & 166 & 167 & 168 & 168 & 168 & 170 & 170 & 170\\ 172 & 172 & 172 & 173 & 173 & 173 & 173 & 174 & 175 & 175 & 175\\ 176 & & & & & & & & & & \end{array}$$

再算 $i=n\times p\%$：

$$25\%\times 23=5.75,\qquad 50\%\times 23=11.5,\qquad 75\%\times 23=17.25 .$$

三个都不是整数，一律向上取整：

$$5.75\to 6,\qquad 11.5\to 12,\qquad 17.25\to 18 ,$$

于是取第 $6$、$12$、$18$ 项数据：

$$168,\qquad 172,\qquad 173 .$$

答：估计树人中学高一年级男生身高的第 $25$、$50$、$75$ 百分位数分别约为 $168$ cm、$172$ cm、$173$ cm。

与例 2 中女生的 $155.5$、$161$、$164$ 并排看很有意思： 男生三个分位数都比女生高 $9\sim 12.5$ cm， 这正是 §9.1.2 里”性别是影响身高的主要因素”那句话的量化版本。

二、怎样减少估计的误差

先要看清一件事：这里估计的是”男生”这一层的分位数， 所以决定精度的是男生的样本量 $23$，不是总样本量 $50$。

1. 增大男生的样本量。 $23$ 个数据估三个分位数， 第 $25$、$75$ 百分位数各自只由一个数据决定—— 那一个数据换一下，估计值就跳一截。这是误差最大的来源。 样本量越大，样本分位数接近总体分位数的可能性越大。
2. 如果重点是估计男生这一层，可以在这一层多分一些样本量。 比例分配（$326:386$ 分成 $23:27$）是为了估计全年级的平均身高； 若目标改成”把男生这一层估准”，就该给男生这一层多分样本， 不必拘泥于比例分配——分配方式服从于目的。
3. 保证抽样是随机的。 层内必须用简单随机抽样（编号加随机数）， 不能让体育队、某个班的同学扎堆进样本。
4. 控制测量误差。 统一时间（早晚身高会差几毫米）、统一工具、统一是否脱鞋， 读数精确到 $0.1$ cm。
5. 提高覆盖率。 缺席、请假的同学要按预定规则在同层内随机替补， 不能随手找人顶替。

要点：分位数比平均数更”脆”。 平均数是所有数据一起摊出来的，个别数据的影响被稀释了； 而分位数由排序后某一个位置上的数据决定， 样本量小的时候，它的波动比平均数大得多。

练习（第 204 页）第 3 题

3. 分别根据图 9.2-2(1)(2) 中的数据，估计这组数据的月均用水量的第 80 和 95 百分位数。与根据图 9.2-1 估计的结果比较，它们一样吗？你认为根据哪个图得到的估计更好？为什么？

一、从图 9.2-2(1)（组数为 $3$，组距为 $9$）估计

从扫描图读出的三个高度是 $0.075$、$0.025$、$0.010$（与表 9.2-1 的三段合并结果一致）， 折算成频率与累计频率：

$80\%$ 分位数：$68\%<80\%<91\%$，落在 $[10.2,19.2)$ 内，

$$10.2+9\times\frac{0.80-0.68}{0.91-0.68}=10.2+9\times\frac{0.12}{0.23}\approx 10.2+4.70=14.90 .$$

$95\%$ 分位数：$91\%<95\%<100\%$，落在 $[19.2,28.2]$ 内，

$$19.2+9\times\frac{0.95-0.91}{1.00-0.91}=19.2+9\times\frac{4}{9}=19.2+4=23.20 .$$

二、从图 9.2-2(2)（组数为 $27$，组距为 $1$）估计

先把二十七个高度全部列出来，否则后面的插值就成了无据的断言。 下表是本份对 page-0204.png 扫描图的读数（图 9.2-2 印在 §9.2「用样本估计总体」的那一页上， 不是课本原文，组距为 $1$， 所以每根柱的高度在数值上就等于该组的频率）：

（第三列的累计值是把前两列一路加下来的，末尾恰好是 $1.00$——这是第一道校验。）

第二道校验：把相邻三组并起来，应当逐组等于表 9.2-1 的九个频率。

九组全部对上，读数可以用。（$n=100$，所以每个频率乘 $100$ 就是户数， 上表里没有出现小于 $0.01$ 的高度，与”户数必须是整数”相容。）

要用到的四处累计频率因此是：

第三道校验：$22.2$ 处的累计频率必须与表 9.2-1 对得上。 表 9.2-1 给出 $23\%+32\%+13\%+9\%+9\%+5\%+3\%=94\%$， 上表第三列加到 $[21.2,22.2)$ 也是 $94\%$ ✓； $25.2$ 处两边同为 $98\%$ ✓。这两个公共组界是最容易发现读数漏加的地方。

$80\%$ 分位数：$77\%<80\%<83\%$，落在 $[13.2,14.2)$ 内，

$$13.2+1\times\frac{0.80-0.77}{0.83-0.77}=13.2+\frac{0.03}{0.06}=13.2+0.5=13.70 .$$

$95\%$ 分位数：$94\%<95\%<96\%$，落在 $[22.2,23.2)$ 内，

$$22.2+1\times\frac{0.95-0.94}{0.96-0.94}=22.2+\frac{0.01}{0.02}=22.2+0.5=22.70 .$$

三、三个结果并排比较

图 9.2-1 的组距是 $3$，例 3 已经算出 $80\%$ 分位数 $14.2$、$95\%$ 分位数 $22.95$。 把三张图放在一起：

答：它们不一样。

四、哪个图得到的估计更好？——图 9.2-2(2)

理由一（决定性的）：有原始数据算出来的真值可以对表。 §9.2.2 问题 2 用 $100$ 个原始数据排序，得到 $80\%$ 分位数 $\dfrac{13.6+13.8}{2}=13.7$。

图 9.2-2(2) 给出的正是 $13.70$，与真值分毫不差； 图 9.2-1 给出 $14.20$，偏了 $0.5$；图 9.2-2(1) 给出 $14.90$，偏了 $1.2$。

理由二：这不是巧合，而是插值法的原理决定的。 从表或图估计分位数时，我们把每组内的数据看成均匀分布。 这个假设当然不完全对——组内的数据其实是有疏有密的。 组距越大，一组里塞的数据越多，“均匀”这个假设离真相就越远，误差也就越大； 组距越小，组内本来就没剩几个数据，怎么摆都差不了多少。

极端地想：若组距小到每组至多一个数据，插值法就退化成直接读原始数据，误差为零。

理由三：从表格里也看得出这个趋势。 组距 $9\to 3\to 1$，$80\%$ 分位数 $14.90\to 14.20\to 13.70$， 单调地向真值 $13.7$ 靠拢；$95\%$ 分位数 $23.20\to 22.95\to 22.70$， 也随着组距变细单调下降。

但 $95\%$ 这一列要说一句谨慎话：课本没有给出 $100$ 个原始数据， 所以 $95\%$ 分位数的真值我们并不知道，只能说三个估计随组距变细而单调变化， 不能像 $80\%$ 那样断言”向真值靠拢”。 而且右尾上数据本来就少——由上面那张二十七组的表，$22.2$ 以上一共只有 $6$ 户 （$4\%+2\%$），可供插值的余地很小，三个估计相差不到 $0.5$ t。 “组距越细越准”这条规律，在所求分位数附近数据足够多时才看得清楚； $80\%$ 分位数落在数据稠密处，有真值可对，规律最明显。

五、要补的一句话：这和”组数不宜过多”矛盾吗

不矛盾，因为两句话说的是两件不同的事。

§9.2.1 说”组数多、组距小时，小长方形较多，图形会变得非常不规则， 不容易从中看出总体数据的分布特点”——那是在说”看形状”。 组距小的时候每根柱子只摊到一两个数据，柱子的高低起伏很大程度上是随机波动， 看整体形状确实容易被这些毛刺带偏。

而估计分位数用的是累计频率。 累计是把柱子一根根加起来，恰好把那些上下起伏的毛刺抵消掉了， 所以分位数的估计不受”图形不规则”的影响，反而直接受益于”信息损失少”。

结论：

$$\boxed{\text{看分布形状，组距不宜太小；估计分位数，组距越小越准}}$$

用图表做什么，决定了该怎么分组。