9.2 用样本估计总体

本节目录下的页从 §9.2 的开篇一直排到 §9.2.1「总体取值规律的估计」全节， 所以这一份讲解把这两块一起讲完。

一、§9.2 开篇：为什么还要”整理”数据

前面三节解决的是”数据从哪儿来”，从这一节起解决”数据到手之后怎么办”。

收集数据是为了寻找数据中蕴含的信息。 可实际问题中的数据又多又杂乱，往往无法直接从原始数据中发现规律， 所以需要根据问题的背景特点，选择合适的统计图表对数据进行整理和直观描述， 在此基础上通过数据分析找出信息，再用这些信息解决实际问题。

这一句里有两个词要划重点：

• “根据问题的背景特点”——用哪种图表不是随便挑的， 取决于你想看的是什么（比例？趋势？分布？）；
• “直观描述”——图表的价值在于让人一眼看出规律， 它不产生新数据，只是换一种组织方式，让信息浮上来。

二、问题 1：阶梯水价要定在哪儿

课本的问题：某市计划对居民生活用水实施阶梯式水价—— 确定一户居民月均用水量标准 $a$，不超过 $a$ 的部分按平价收费，超出的部分按议价收费。 希望标准定得合理，使大部分居民用户的水费支出不受影响，需要做哪些工作？

先把两头的风险想清楚：

• 标准定得太低，很多居民的日常生活就会受影响；
• 标准定得太高，则不利于节水。

所以必须先了解一件事：全市所有居民用户中，月用水量在不同范围内的用户各占多大比例。

注意这里要的不是一个平均数，而是一整个”分布”。 只知道全市平均月用水量是多少，根本定不出 $a$—— 平均数说不出”有多少户超过 $8$ t""有多少户在 $4\sim 7$ t 之间”。 这就是本节要学”取值规律的估计”的理由。

怎么获得这个分布？ 如果经费、时间等条件允许，可以全面调查过去一年全市所有居民用户的月均用水量； 但由于全市居民用户很多，通常采用抽样调查， 通过分析样本观测数据来估计全市的分布情况。

三个词照例先对号入座：

• 总体：该市的全体居民用户；
• 个体：每户居民用户；
• 变量：居民用户的月均用水量。

课本假设通过简单随机抽样获得了 $100$ 户居民用户的月均用水量数据（单位：t）。 把这组数据从小到大排序后容易发现：最小值是 $1.3$ t，最大值是 $28.0$ t， 其余都在这两个数之间。

只知道最小值和最大值远远不够——中间那 $98$ 个数怎么分布，才是定标准要看的东西。 所以要对数据作进一步的整理与分析。

三、频率分布表与频率分布直方图：五个步骤

在初中，我们用频数分布表和频数分布图整理数值型数据， 它告诉我们数据分布在各个小组的个数。

但本题关心的是”占全市居民用户的比例”，而不是”这 $100$ 户里有几户”，所以要改用频率。 于是选择频率分布表（frequency distribution table） 和频率分布直方图（frequency distribution histogram）。

1. 求极差

极差为一组数据中最大值与最小值的差。

$$28.0-1.3=26.7 ,$$

这说明样本观测数据的变化范围是 $26.7$ t。

2. 决定组距与组数

合适的组距与组数对发现数据分布规律有重要意义，组数太多或太少都会影响判断。

课本给的经验（要记住）：

• 组距与组数的确定没有固定的标准，常常需要一个尝试和选择的过程；
• 组数与数据的个数有关，数据个数越多，所分组数也越多；
• 当样本量不超过 $100$ 时，常分成 $5\sim 12$ 组；
• 为方便起见，一般取等长组距，并且组距应力求”取整”。

分组可以等距，也可以不等距，要根据数据的特点而定； 有时为了方便，往往按等距分组，或者除了第一段和最后一段，其他各段按等距分组。

3. 将数据分组

分组时可以先确定组距，也可以先确定组数。 本题取组距为 $3$，则

$$\frac{\text{极差}}{\text{组距}}=\frac{26.7}{3}=8.9 ,$$

即可以将数据分为 $9$ 组，这也说明这个组距是比较合适的（落在 $5\sim 12$ 组之内）。

由于组距为 $3$，$9$ 个组距的总长度 $27>26.7$，比极差略长一点， 所以可以让第一组的左端点略小于最小值、最后一组的右端点略大于最大值。 课本取区间 $[1.2,\ 28.2]$，按组距 $3$ 分为 $9$ 组：

$$[1.2,4.2),\ [4.2,7.2),\ \cdots,\ [25.2,28.2].$$

注意最后一组是闭区间 $[25.2,28.2]$，前八组都是左闭右开—— 这样才能不重不漏地盖住所有数据。

4. 列频率分布表

计算各小组的频率：

$$\text{频率}=\frac{\text{该组频数}}{\text{样本量}} .$$

例如第一小组的频数是 $23$，所以第一组的频率是

$$\frac{23}{100}=0.23 .$$

对九个组逐一算出，就得到频率分布表（表 9.2-1）。

表 9.2-1 在课本里是插图，九个组的频率如下—— 这些数值不是课本原文，是本份由 §9.2.2 例 3 的算式与图 9.2-2(2) 的二十七个高度 双向反推出来的，两条来源逐组吻合：

（样本量恰为 $100$，所以这里的频数与频率的百分数在数值上相同， 这是本例的巧合，不要当成一般规律。）

列表时的自检：所有组的频数之和必须等于样本量，所有组的频率之和必须等于 $1$。

5. 画频率分布直方图

根据频率分布表画出频率分布直方图（图 9.2-1）。

横轴表示月均用水量，纵轴表示 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$。

四、纵轴为什么不是”频率”，而是”频率/组距”

这是本节最容易含糊、也最常考的一点，必须彻底想通。

$\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$ 就是直方图中各小长方形的高度， 它反映了各组样本观测数据的疏密程度。因为

$$\text{小长方形的面积}=\text{组距}\times\frac{\text{频率}}{\text{组距}}=\text{频率},$$

所以

$$\boxed{\text{小长方形的面积}=\text{该组的频率}}$$

于是频率分布直方图是以”面积”的形式反映各组频率的大小。 又因为所有组的频率之和为 $1$，所以

$$\boxed{\text{各小长方形面积的总和}=1}$$

即样本数据落在整个区间上的频率为 $1$。

这个设计换来的好处，在不等距分组时才看得最清楚：

若纵轴直接画”频率”，那么组距宽的一组天然显得高， 看图会以为那里数据密集，其实只是区间宽。 改用 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$ 后， 高度表示的是”单位长度上占的频率”，也就是数据的疏密， 宽窄不同的组之间才可以直接比高低。

由此得到两条使用守则：

1. 比较各组数据的多少，看的是面积，不是高度；
2. 只有等距分组时，高度的大小才与频数的大小一致（因为组距相同，面积正比于高度）。

练习第 2 题考的正是这一条：不等距分组时， 高度低的那一组，频数反而可能更多。

五、观察：从图表里读出什么

从频率分布表 9.2-1 可以清楚看出样本观测数据落在各个小组的比例大小。 例如：月均用水量在区间 $[4.2,7.2)$ 内的居民用户最多， 在 $[1.2,4.2)$ 内的次之， 而月均用水量超过 $16.2$ 的各区间内数据所占比例较小。

从频率分布直方图 9.2-1 容易看出分布的形状：

居民用户月均用水量的样本观测数据的分布是不对称的， 图形的左边高、右边低，右边有一个较长的”尾巴”。

这个形状说明了什么？

• 大部分居民用户的月均用水量集中在一个较低值区域，尤其在 $[1.2,7.2)$ 最为集中；
• 少数居民用户的月均用水量偏多；
• 随着月均用水量的增加，居民用户数呈现降低趋势。

接着才是本节的落脚点——用样本的分布估计总体的分布：

根据这 $100$ 户的频率分布，可以推测该市全体居民用户月均用水量也会有类似的分布， 即大部分居民用户的月均用水量集中在较低值区域。 这样一来，确定用水量标准时就可以定一个合适的值， 既不影响大多数居民用户的水费支出，又能起到节水的作用。

课本紧接着补的一句话，是整章的态度，不要漏掉：

由于样本的随机性，这种估计可能会存在一定误差， 但这一误差一般不会影响我们对总体分布情况的大致了解。

“承认有误差，同时说明误差不影响结论”——这才是统计的说话方式。

六、探究：组数不同，图就不同

课本让我们分别以 $3$ 组和 $27$ 组对同一批数据等距分组，画出直方图（图 9.2-2）。

同一组数据，组数不同，得到的直方图形状也不尽相同。

（1）组数少、组距大（$3$ 组）： 容易看出整体规律——随着月均用水量的增加，居民用户数的频率在降低； 而且 $[1.2,10.2)$ 内的频率远大于另两个区间 $[10.2,19.2)$ 和 $[19.2,28.2]$ 的频率， 说明大部分居民用户的月均用水量都少于 $10.2$ t。

（2）组数多、组距小（$27$ 组）： 可以看出数据主要集中在低值区，尤其在区间 $[5.2,6.2)$ 内最为集中； 总体上随着用水量增加频率呈下降趋势， 但存在个别区间频率变大或者缺失的现象。

把两头的得失并排写清楚：

课本再次强调的那句话，必须记住：

对于同一组数据，因为组距、组数不同而得到不同形状的直方图， 会给人以不同的频率分布印象，这种印象有时会影响人们对总体的判断。

所以”要注意积累数据分组、合理使用图表的经验”。 反过来说，看到别人给的直方图，也要留个心眼：分组方式是不是被挑过？

七、别的统计图各管什么

除频率分布直方图外，初中还学过条形图、扇形图、折线图、频数分布直方图。 不同的统计图在表示数据上有不同的特点，适用的数据类型也不同。

条形图与直方图长得像，区别要说得出：

• 条形图画的是类别，各条之间有间隔，条的宽度没有意义，高度就是频数；
• 直方图画的是区间，各条紧挨在一起（因为区间首尾相接）， 宽度是组距、面积才是频率。

结论：在解决问题的过程中，要根据实际问题的特点，选择恰当的统计图对数据进行可视化描述， 以便通过图形直观地发现样本数据的分布情况，进而估计总体的分布规律。

八、例 1：空气质量

已知某市 $2015$ 年全年空气质量等级如表 9.2-2 所示。

另给出 $2016$ 年 $5$ 月和 $6$ 月每天的空气质量指数，要求选择合适的统计图描述数据，并回答三问。

（1）分析该市 2016 年 6 月的空气质量

第一步：把连续的 AQI 数值按等级”归类”，做出频数与频率分布表（表 9.2-3）。

这一步是本题的关键动作：原始数据是 $30$ 个数，看不出名堂； 按国家标准的六个等级归类之后，数据就变成了分类数据，可以数、可以比。

$6$ 月共 $30$ 天，按等级统计的结果是：

从表中可以看出，“优""良”的天数达 $19$ 天，占了整月的 $63.33\%$， 没有出现”重度污染”和”严重污染”。

第二步：用条形图和扇形图作直观描述（图 9.2-3、图 9.2-4）。

• 从条形图看：空气质量在前三个等级的占绝大多数， 等级为”良”的天数最多，后三个等级的天数很少；
• 从扇形图看：“良”的天数占了总天数的一半， 大约有三分之二为”优”和”良”，大多数是”良”和”轻度污染”。

因此，整体上 $6$ 月的空气质量不错。

第三步：还可以用折线图展示 AQI 随时间的变化（图 9.2-5）， 容易发现 $6$ 月的空气质量指数在 $100$ 附近波动。

三张图各答一问，分工很清楚：

（2）比较 5 月和 6 月，哪个月空气质量较好

同样先做出 $5$ 月的频数与频率分布表（表 9.2-4）。 $5$ 月共 $31$ 天：

为了便于比较，选用复合条形图，把两组数据同时反映到一个条形图上， 通过柱的高低直观比较两个月的空气质量（图 9.2-6）。

结论（课本原话）：

$5$ 月空气质量为”优”和”良”的总天数比 $6$ 月多。 所以，从整体上看，$5$ 月的空气质量略好于 $6$ 月， 但 $5$ 月有重度污染，而 $6$ 月没有。

这句结论的写法值得学：它没有一锤定音，而是同时给出了两边的证据。 $5$ 月优良 $24$ 天多于 $6$ 月的 $19$ 天， 但 $5$ 月出现过一天重度污染（$\mathrm{AQI}=240$），$6$ 月一天也没有。 “哪个月更好”取决于你更在意”好天多”还是”没有极端坏天”—— 数据摆在那里，结论要看标准。

（3）比较 2016 年 6 月与 2015 年全年

这一问的要害在第一句：

由于一个月和一年的天数差别很大，所以直接通过频数比较没有意义， 应该转化成频率分布进行比较。

$6$ 月 $30$ 天、$2015$ 年 $365$ 天，“优”的天数一个是 $4$、一个是 $83$， 比这两个数毫无意义。必须换算成比例再比（图 9.2-7）：

由此可以说：$2016$ 年 $6$ 月的空气质量好于 $2015$ 年全年的平均水平—— 优良比例更高（$63.33\%$ 对 $56.0\%$）， 中度以上污染的比例更低，而且完全没有重度和严重污染。

但有一句必须补上： 拿一个月和一整年比， 比的是”这个月”与”去年的年平均水平”。 一年之内空气质量本来就有季节差异，$6$ 月通常不是重污染季节， 所以这个结论不能直接推广成”$2016$ 年全年会好于 $2015$ 年”。 要比全年，就得等 $2016$ 年的全年数据。

例 1 的三条方法论

1. 连续型的数值数据，先按标准归类，就变成好比较的分类数据；
2. 图要按问题挑：比多少用条形图，比份额用扇形图，看趋势用折线图， 两组对比用复合条形图；
3. 总数不同的两组数据，必须化成频率再比，比频数是没有意义的。 ——这一条是本节乃至整章最常用的一句话。

本节目录下印了一处习题——第 $198\sim 199$ 页的「练习」共 $3$ 题，全部收在下面。 第 $1$、$2$ 题的直方图在课本里是插图。 下面的高度数值是本份对 page-0205.png 扫描图的读数，不是课本原文； 读数已用”面积和为 $1$“逐一校验过。

练习（第 198 页）第 1 题

1. 从某小区抽取 100 户居民用户进行月用电量调查，发现他们的用电量都在 $50 \sim 350 \, kW \cdot h$ 之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图.

(1) 直方图中 x 的值为 ____；

(2) 在被调查的用户中，用电量落在区间[100, 250)内的户数为____.

从扫描图读出的直方图（组距均为 $50$）：

（1）求 $x$

用的是本节那条恒等式：各小长方形的面积之和等于 $1$。

因为六组的组距都是 $50$，

$$50\times(0.0024+0.0036+0.0060+x+0.0024+0.0012)=1 .$$

括号内已知的五项之和为

$$0.0024+0.0036+0.0060+0.0024+0.0012=0.0156 ,$$

于是

$$50\times(0.0156+x)=1\ \Longrightarrow\ 0.0156+x=0.02\ \Longrightarrow\ x=0.0044 .$$

答：$x=0.0044$。

校验一下合不合理：$0.0036<0.0044<0.0060$， 与图中 $x$ 那条虚线在 $0.0036$ 与 $0.0060$ 之间的位置相符。

（2）用电量落在 $[100,250)$ 内的户数

$[100,250)$ 由三组拼成：$[100,150)$、$[150,200)$、$[200,250)$。

先求频率（也就是这三个小长方形的面积之和）：

$$50\times(0.0036+0.0060+0.0044)=50\times 0.0140=0.7 .$$

再乘样本量：

$$100\times 0.7=70 .$$

答：用电量落在区间 $[100,250)$ 内的户数为 $70$ 户。

这道题的两个动作

1. 看到直方图缺一个高度，第一反应就是”总面积为 $1$”—— 这是唯一能把缺失值补出来的条件；
2. 求频数分两步：先算面积得频率，再乘样本量得频数。 不要拿高度直接乘样本量，高度不是频率， $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$ 要乘上组距才是频率。

练习（第 198 页）第 2 题

2. 如图，胡晓统计了他爸爸9月的手机通话明细清单，发现他爸爸该月共通话60次。胡晓按每次通话时间长短进行分组（每组为左闭右开的区间），画出了频率分布直方图。

（1）通话时长在区间 $[15, 20)$ ， $[20, 30)$ 内的次数分别为多少？

（2）区间 [20，30）上的小长方形高度低于 [15，20）上的小长方形的高度，说明什么？

从扫描图读出的直方图（注意最后一组的组距是 $10$，其余四组是 $5$，是不等距分组）：

先校验读数：各小长方形面积之和为

$$5\times 0.060+5\times 0.046+5\times 0.024+5\times 0.030+10\times 0.020$$ $$=0.30+0.23+0.12+0.15+0.20=1.00 ,$$

恰好等于 $1$，读数无误。

（1）两个区间内的通话次数

区间 $[15,20)$：

$$\text{频率}=5\times 0.030=0.15,\qquad \text{次数}=60\times 0.15=9 .$$

区间 $[20,30)$：

$$\text{频率}=10\times 0.020=0.20,\qquad \text{次数}=60\times 0.20=12 .$$

答：通话时长在 $[15,20)$ 内的有 $9$ 次，在 $[20,30)$ 内的有 $12$ 次。

（2）$[20,30)$ 的高度低于 $[15,20)$，说明什么

先把结论摆出来：它说明在 $[20,30)$ 上，通话次数分布得更”稀”， 而不是说这个区间的通话次数更少。

理由要从纵轴的含义讲起。 纵轴是 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$， 它表示单位时间长度上所占的频率，也就是数据的疏密程度：

• $[15,20)$ 的高度 $0.030$：平均每 $1$ 分钟的时长上占 $3\%$ 的通话；
• $[20,30)$ 的高度 $0.020$：平均每 $1$ 分钟的时长上只占 $2\%$ 的通话。

所以高度低，说的是”平均到每一分钟上，这一段的通话更少”，即数据更稀疏。

但次数正好相反：$[20,30)$ 有 $12$ 次，比 $[15,20)$ 的 $9$ 次还多。 原因是 $[20,30)$ 的组距是 $10$，足足是 $[15,20)$ 的两倍， 虽然每分钟摊到的比例低一些，一乘上两倍的宽度，总量反而更大。

这道题就是在提醒一件事：

$$\boxed{\text{比较各组数据的多少，看的是面积，不是高度}}$$

只有在等距分组时，高度的高低才与频数的多少一致—— 因为那时所有组的宽度相同，面积正比于高度。 一旦分组不等距，光看高度必错。

这也正是频率分布直方图的纵轴要取 $\dfrac{\text{频率}}{\text{组距}}$ 而不是频率的理由： 只有这样，宽窄不同的组之间才能公平地比较”疏密”， 而各组的频率仍然完好地由面积保存着。

练习（第 199 页）第 3 题

3. 请班上每位同学估计一下自己平均每天的课外学习时间（单位：min），然后统计数据，作出全班同学课外学习时间的频率分布直方图。能否由这个频率分布直方图估计出你们学校全体学生课外学习时间的分布情况？可以用它来估计你所在地区（城市、乡镇或村庄）全体学生课外学习时间的分布情况吗？为什么？

这道题的动手部分（统计全班数据、作出频率分布直方图）按正文五步做即可， 下面回答后面两个判断题——它们才是这道题真正的考点。

一、能否由全班的直方图估计全校学生的分布？——不能

理由一：全班同学不是全校学生的随机样本。 简单随机抽样要求全校每一名学生都有相等的机会进入样本， 而这里的”样本”是你所在的这一个班， 除了本班同学，全校其他学生入样概率为零。 连”随机”这一条都不满足，谈不上用它去估计全校。

理由二：一个班在关键变量上高度同质。 课外学习时间受年级影响极大（高三与高一差别悬殊）， 还受班型、任课教师布置的作业量、班风影响。 同一个班的同学在这些方面几乎完全一样， 相当于只抽取了一个”群”，样本内部的差异远小于全校学生之间的差异。 用它去估计全校，会系统性地偏向本班的情况。

理由三：自报数据本身也有误差。 课外学习时间是同学自己”估计”的， 既有记忆误差，也可能因为不好意思说少了（或多了）而失真。

该怎么做才对：以全校学生为总体， 按年级分层（必要时年级内再按班分层），各层按比例分配样本量， 层内用简单随机抽样抽取，再汇总作直方图。

二、能否用它估计所在地区全体学生的分布？——更不能

理由一：把范围从全校扩到全地区，代表性的缺口只会更大。 一个地区内有城区与乡镇、重点校与普通校、公办与民办之分， 不同学校的作业量和学习风气差别很大。 你所在的学校只是其中一所，本班更只是这一所学校里的一个班。

理由二：抽样框根本没有覆盖总体。 地区里其他学校的学生一个也没有机会进入这个样本， 样本框与总体之间隔着一道无法用样本量弥补的鸿沟。 这是系统性偏差，不是随机误差，加大样本量也修不好。

该怎么做才对：以全地区学生为总体，采用分层多阶段抽样—— 先按城乡、学校类型分层，各层随机抽取若干所学校； 再在抽中的学校内按年级分层，随机抽取班级或学生； 各层按学生人数比例分配样本量。

三、这道题真正想让你记住的一句话

样本的直方图能不能用来估计某个总体的分布， 取决于这个样本是不是从那个总体中随机抽出来的， 而不取决于样本量有多大、图画得有多好看。

全班的直方图有它自己的价值：它准确地描述了本班的情况， 若把总体定义成”本班同学”，那它甚至是一次全面调查。 问题只出在把它往外推——推到全校，推到全地区。