9.1.2 分层随机抽样

上一节末尾留下了一句话：简单随机抽样”没有利用其他辅助信息，估计效率不是很高”。 本节就是冲着这一条来的——总体里的结构，本来就是白给的信息，用起来。

一、简单随机抽样的软肋：极端样本

抽样调查最核心的问题是样本的代表性。 简单随机抽样让总体中每个个体都有相等的机会被抽中，这已经很公平了， 但正因为抽样是随机的，就有可能出现比较”极端”的样本。

课本给的场景很直观：调查树人中学高一年级学生身高，抽 $50$ 个人， 完全有可能这 $50$ 人大部分是高个子，或者大部分是矮个子。 这样的样本，其平均数会大幅度偏离总体平均数，估计误差就大了。

注意这不是”抽样方法出了错”。 简单随机抽样每一步都合规， 极端样本只是概率较小的事件，小概率事件仍然会发生。 上一节探究里样本量为 $50$ 的第 $2$ 个样本，就是一次真实的翻车。

所以问题应该这样问：能不能利用总体中已有的一些额外信息，把”极端样本”堵住？

二、问题 3：把已知的结构用起来

课本的问题 3：树人中学高一年级 $712$ 名学生中，男生 $326$ 名，女生 $386$ 名。 能否利用这个辅助信息改进抽样方法？

思路的每一步都要跟上：

1. 影响身高的因素很多，性别是其中一个主要因素。 高中男生的身高普遍高于女生，而相同性别内部的身高差异相对较小。
2. 于是可以按性别把全年级分成男生、女生两个群体—— 两个群体之间身高差异明显，每个群体内部差异不大。
3. 对两个群体分别进行简单随机抽样，再把结果汇总成总体的一个样本。
4. 由于男生里抽了、女生里也抽了，“全是高个子”或”全是矮个子”的极端样本就被堵死了。

第 1 步是全部关键。 之所以能这么分，是因为性别与身高确实相关。 如果拿一个与身高无关的变量来分（比如按学号奇偶分成两组）， 两组的身高分布几乎一样，分了等于没分，一点好处也没有。

三、样本量在各层之间怎么分配

思考：对男生、女生分别做简单随机抽样，样本量该如何分配？

为了使样本的结构与总体的分布相近，人数多的群体应多抽一些，人数少的群体应少抽一些。 最自然的办法就是按各群体在全体中所占的比例分配：

$$\text{男生样本量}=\frac{\text{男生人数}}{\text{全体学生数}}\times\text{总样本量},\qquad \text{女生样本量}=\frac{\text{女生人数}}{\text{全体学生数}}\times\text{总样本量}.$$

这样分配还有一个漂亮的副产品：无论男生女生，每个学生被抽到的概率都相等。 （男生被抽中的概率 $=\dfrac{n_{\text{男}}}{326}=\dfrac{50}{712}$， 女生被抽中的概率 $=\dfrac{n_{\text{女}}}{386}=\dfrac{50}{712}$，两者相同。） 所以比例分配的分层随机抽样，并没有牺牲”人人机会均等”这条公平性。

总样本量为 $50$ 时：

$$n_{\text{男}}=\frac{326}{712}\times 50\approx 23,\qquad n_{\text{女}}=\frac{386}{712}\times 50\approx 27 .$$

课本按此抽出的样本，男生 $23$ 人、女生 $27$ 人， 算得两层的样本平均数分别为 $170.6$ 和 $160.6$。 注意这两个数之间差了 $10\ \mathrm{cm}$——这正是”层间差异明显”的实证。

再按两层的人数加权，估计总体平均数：

$$\frac{170.6\times 326+160.6\times 386}{712}\approx 165.2 ,$$

即估计高一年级学生的平均身高在 $165.2\ \mathrm{cm}$ 左右。

四、定义

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体， 每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样， 再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本， 这样的抽样方法称为分层随机抽样（stratified random sampling）， 每一个子总体称为层。

在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例， 那么称这种样本量的分配方式为比例分配。

定义里有三处要抠：

• “每个个体属于且仅属于一个子总体”——分层必须不重不漏。 按”是否住校”分可以，按”喜欢的球类”分就不行（有人两样都喜欢，有人都不喜欢）。
• “独立地进行简单随机抽样”——每层内部各抽各的，互不影响，且层内仍是简单随机抽样。
• “比例分配”只是一种分配方式，不是分层随机抽样的必要条件。 各层想怎么分配样本量都可以，只是汇总时的算法会随之不同（下面第六节）。

五、记号与估计公式

以两层为例。第 $1$ 层有 $M$ 个个体、抽 $m$ 个，第 $2$ 层有 $N$ 个个体、抽 $n$ 个。

• 第 $1$ 层各个体的变量值 $X_1,X_2,\dots,X_M$，其样本的变量值 $x_1,x_2,\dots,x_m$；
• 第 $2$ 层各个体的变量值 $Y_1,Y_2,\dots,Y_N$，其样本的变量值 $y_1,y_2,\dots,y_n$。

仍是老规矩：大写管总体（这里是”层的总体”），小写管样本。

第 $1$ 层的总体平均数与样本平均数：

$$\overline{X}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^{M}X_i,\qquad \overline{x}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_i .$$

第 $2$ 层的总体平均数与样本平均数：

$$\overline{Y}=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}Y_i,\qquad \overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i .$$

整个总体的平均数与整个样本的平均数：

$$\overline{W}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{M}X_i+\sum\limits_{i=1}^{N}Y_i}{M+N},\qquad \overline{w}=\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}x_i+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{m+n}.$$

估计的逻辑是分两步走的：

用 $\overline{x}$ 估计 $\overline{X}$，用 $\overline{y}$ 估计 $\overline{Y}$——这是每层内部的简单随机抽样保证的； 再把两层按层的大小加权合起来：

$$\frac{M\overline{x}+N\overline{y}}{M+N}=\frac{M}{M+N}\,\overline{x}+\frac{N}{M+N}\,\overline{y}$$

就是 $\overline{W}$ 的估计。

这条公式是本节的命根子，务必记准权是谁：

$$\boxed{\text{权} = \frac{\text{层在总体中的个体数}}{\text{总体的个体数}} = \frac{M}{M+N},\ \frac{N}{M+N}}$$

不是样本量的比例，不是两个平均数一拍脑袋取算术平均。 取算术平均 $\dfrac{\overline{x}+\overline{y}}{2}$ 只在 $M=N$ 时才对。

六、为什么比例分配时可以直接用 $\overline{w}$

比例分配意味着每层的抽样比都等于总的抽样比：

$$\frac{m}{M}=\frac{n}{N}=\frac{m+n}{M+N}.$$

由这一串等式可得 $\dfrac{M}{M+N}=\dfrac{m}{m+n}$、$\dfrac{N}{M+N}=\dfrac{n}{m+n}$，于是

$$\frac{M}{M+N}\,\overline{x}+\frac{N}{M+N}\,\overline{y} =\frac{m}{m+n}\,\overline{x}+\frac{n}{m+n}\,\overline{y}=\overline{w}.$$

（最后一个等号是把 $m\overline{x}=\sum x_i$、$n\overline{y}=\sum y_i$ 代回去，就是 $\overline{w}$ 的定义。）

结论：在比例分配的分层随机抽样中，可以直接用样本平均数 $\overline{w}$ 估计总体平均数 $\overline{W}$。

这句话的适用范围必须钉死。 一旦不是比例分配—— 比如男生 $490$ 人却只抽 $30$ 个、女生 $510$ 人却抽了 $70$ 个—— $\overline{w}$ 就不再是合理的估计，因为它把女生的分量人为放大了， 这时必须老老实实回到 $\dfrac{M}{M+N}\overline{x}+\dfrac{N}{M+N}\overline{y}$。 练习第 3 题第（2）问考的就是这一点。

七、分层到底好在哪里

小明又做了一次模拟：用比例分配的分层随机抽样，抽取 $10$ 个样本量为 $50$ 的样本， 把样本平均数与上一节相同样本量的简单随机抽样结果画在一起比较（图 9.1-4，红线是总体平均数）。

课本给出的结论很克制，答题时不能说过头：

分层随机抽样的样本平均数围绕总体平均数波动， 与简单随机抽样的结果比较，分层随机抽样并没有明显优于简单随机抽样。 但相对而言，分层随机抽样的样本平均数波动幅度更均匀， 简单随机抽样中出现了一个（第 $2$ 个）偏离总体平均数幅度比较大的样本平均数， 即出现了比较”极端”的样本，而分层随机抽样没有出现。

读懂这段话的两层意思：

1. 在这一次模拟里，分层并没有把估计变得”更准”。 $10$ 个样本太少，看不出系统性的优势；
2. 分层真正兑现的承诺是”不出极端样本”。 它削掉的是分布的尾巴，让估计更稳。

那什么时候分层会真的更好？ 课本给了明确的条件：

在个体之间差异较大的情形下，只要选取的分层变量合适， 使得各层间差异明显、层内差异不大， 分层随机抽样的效果一般会好于简单随机抽样，也好于很多其他抽样方法。

“层间差异明显、层内差异不大”这十个字是选分层变量的唯一标准，必须背下来。 道理也好懂：层内差异不大，意味着每层只要抽很少几个就能把这一层估得很准； 层间差异明显，意味着这个变量确实解释掉了总体中的大部分波动。

分层还有两个额外的好处：

• 组织实施比简单随机抽样方便（按班级、按性别去找人，比拿着一串分散的编号满校园找人容易得多）；
• 除了总体的估计，还能得到每一层的估计（顺带知道了男生、女生各自的平均身高）。

八、实际调查中要把方法组合起来用

实际抽样调查的复杂性远超课本例题：除了要考虑样本的代表性， 还要考虑调查实施中的人力、物力、时间等因素。 因此通常会把多种抽样方法组合起来使用。

课本给了两个组合的方向：

• 层内不一定非用简单随机抽样，也可以用其他抽样方法；
• 层内还可以再分层（比如先按城乡分层，城市内部再按区分层）。

课本随后那个”了解某电视节目在你所在地区的收视率”的探究， 就是要你把这些考虑一起用上：总体是谁（本地区所有拥有电视的家庭？所有居民？）、 用什么变量分层（城区/乡镇、年龄段、职业）、 名单从哪来（户籍、有线电视用户表）、怎么联系（入户、电话、网络）、 拒答怎么办——这些全是真实调查里比公式难得多的部分。

九、附：怎样得到敏感性问题的诚实回答

课本这一节后面的”阅读与思考”讲了一个很漂亮的技巧，值得看懂。

先说背景。 通过调查获取数据的基本方式是询问， 调查问卷是询问的依据，也是信息的载体， 问卷设计十分重要，好的问卷是收集高质量数据的基础。 两个例子：

• 措辞会影响回答。 “你在多大程度上喜欢吸烟”比”你在多大程度上不喜欢吸烟” 更容易得到肯定的答案——同一件事，问法一变，数据就变；
• 位置也会影响回答。 一般把容易的、不涉及个人的问题排在前面， 较难的、涉及个人的问题排在后面。

对敏感性问题（考试有无作弊、是否偷税漏税、是否吸烟等）， 被调查者往往拒绝回答或不说实话，光靠问卷措辞不够， 得从机制上让他”说了也不暴露自己”。

课本的随机化装置： 调查 $200$ 名学生的吸烟情况，用两个问题——

• 问题 1：你父亲的公历生日日期是不是奇数？
• 问题 2：你是否经常吸烟？

袋中装大小、形状、质量完全一样的 $50$ 个白球和 $50$ 个红球。 每个被调查者随机摸 $1$ 个球（摸出的球再放回）， 摸到白球的如实回答问题 1，摸到红球的如实回答问题 2； 回答”是”的往盒中放一颗小石子，回答”否”的什么都不做。

这套装置妙在哪里？

• 答案只有”是”和”否”，且别人不知道他回答的是哪个问题；
• 所以一颗石子既可能来自”父亲生日是奇数”，也可能来自”我经常吸烟”， 谁也无法从石子倒推出某个人吸不吸烟；
• 于是被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案。

关键在于问题 1 必须是一个”无关但概率已知”的问题： 公历生日日期是奇数的概率大致已知（接近 $\dfrac{1}{2}$）， 调查者据此就能把两部分”是”拆开，反推出吸烟的比例。 具体怎么算，印在下一节的页上，那里再细说。

本节目录下的页共印了两组习题，都收在这里。

第 $181$ 页那组（第 1～3 题）按内容属于 §9.1.1—— 它是”总体均值、样本均值”那一段之后的练习。但它印在 page-0188 上， 而 page-0188 归本节的目录，题面引文只能对着本目录的转写比对， 所以按”哪一页印的就归哪一份”的规矩收在这儿。 第 $184\sim 185$ 页那组（第 1～4 题）才是本节自己的练习。

练习（第 181 页）第 1 题

1. 为了合理调配电力资源，某市欲了解全市 50 000 户居民的日用电量。若通过简单随机抽样从中抽取了 300 户进行调查，得到其日用电量的平均数为 $5.5 \, kW \cdot h$ ，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（）. (A) 一定为 $5.5 \, kW \cdot h$ (B) 高于 $5.5 \, kW \cdot h$ (C) 低于 $5.5 \, kW \cdot h$ (D) 约为 $5.5 \, kW \cdot h$

答：选 D。

样本平均数 $5.5$ 是对总体平均数的估计值，不是总体平均数本身。

• A 错：把估计当成了确定值。$300$ 户只是 $50\,000$ 户中的一小部分， 样本平均数具有随机性，换一批 $300$ 户，这个数就会变； 它恰好等于总体平均数的可能性极小。
• B、C 都错：简单随机抽样是等概率的， 没有任何机制让样本系统性地偏高或偏低。 说”一定高于”或”一定低于”，等于凭空断言抽样有偏向。
• D 对：“约为”三个字准确表达了估计的身份—— 在 $5.5$ 附近，偏离多少不知道，但没有系统性的方向。

这道题就是在考上一节那句话：$\overline{Y}$ 是确定的数，$\overline{y}$ 是随机的数，我们用后者去估计前者，结论只能说”约为”。

练习（第 181 页）第 2 题

2. 在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查。小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100；小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200。你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数？说说你的理由。

答：更愿意把小华的 $164.7$ 作为总体平均数的估计。但它不一定比 $166.4$ 更接近总体平均数。

为什么选小华的？ 两人用的都是简单随机抽样，方法上没有优劣，差别只在样本量：小明 $100$，小华 $200$。 上一节的探究已经看到：样本量越大，样本平均数偏离总体平均数的幅度越小。 在没有别的信息可依据时，自然选样本量大的那个。

为什么”不一定”更接近？ 样本平均数是随机的。样本量大只提高了”接近”的可能性， 并不保证这一次就更接近。完全可能出现这样的情况： 小明这一次运气好，$166.4$ 恰好离总体平均数很近； 小华这一次抽得偏了，$164.7$ 反而更远。 上一节探究中样本量为 $50$ 的第 $2$ 个样本偏得最多，就是活生生的例子。 它并没有因为样本量小就”注定”偏，也没有因为别人样本量大就”注定”不如别人。

“可能性大”和”一定”之间的这道坎，是整章反复要过的。

补充：其实还有更好的做法

既然两人都是简单随机抽样，可以把两个样本合起来用， 得到一个基于 $300$ 个数据的估计（权是各自的样本量）：

$$\frac{166.4\times 100+164.7\times 200}{100+200}=\frac{16640+32940}{300}=\frac{49580}{300}\approx 165.3 .$$

这个 $165.3$ 比单独用谁的都更可靠，因为它用上了全部 $300$ 个观测。 （合并时的权是 $100$ 和 $200$，不是各取一半——这正是本节练习第 1 题要证的那条恒等式。） 前提是两人抽的确实是同一个总体，且抽样过程相互独立。

练习（第 181 页）第 3 题

3. 找一组数据作为总体，自行设定样本量，进行多次简单随机抽样。观察样本量对估计总体平均数的影响，并试着解释其中的原因。

这是一道动手题。下面给出一个可直接照做的方案、应当看到的现象，以及背后的原因。

一个可操作的方案

1. 选总体：取一组现成的数据当总体，例如全班 $50$ 名同学的身高， 或本章任一张表里的数据。记总体容量为 $N$，先把总体平均数 $\overline{Y}$ 算出来 （这一步是”上帝视角”，只是为了事后比对，真实调查里没有）。
2. 编号：把 $N$ 个数据按 $1\sim N$ 编号。
3. 抽样：分别取样本量 $n=5,\ 10,\ 20$。对每一个 $n$， 用 RANDBETWEEN(1,N) 或 R 的 sample(1:N, n, replace=F) 抽出不重复的 $n$ 个编号， 算出样本平均数。每种样本量重复 $10$ 次，得到 $10$ 个样本平均数。
4. 作图：把三组共 $30$ 个样本平均数画在同一条数轴（或同一张散点图）上， 用一条红线标出 $\overline{Y}$。

应当看到的现象

• 三组样本平均数都在 $\overline{Y}$ 附近波动，没有系统性地偏向一侧；
• $n$ 越大，这一组点越向红线聚拢，$n=20$ 的散布明显窄于 $n=5$ 的；
• 偶尔仍会出现离红线较远的点，而且 $n$ 小时出现得更频繁、偏得更远。

原因

样本平均数是随机的，它的波动来自”抽到谁”的偶然性。

• 样本量越大，样本中各类个体所占的比例越接近总体中相应的比例， 样本就越”像”总体；
• 从算术上看，$\overline{y}=\dfrac{1}{n}\sum y_i$ 是 $n$ 个观测的平均， 个体的随机偏差有正有负，求平均时会互相抵消， $n$ 越大抵消得越充分，剩下的净偏差就越小；
• 所以样本量增大，样本平均数偏离总体平均数的幅度就变小，估计效果变好。

但要留一句话：增大样本量能压缩波动，压不掉偏向。 如果抽样方法本身有系统性偏差（比如只抽了坐在前排的同学）， 那么 $n$ 再大，样本平均数也只会稳稳地停在一个错的地方。 随机是前提，样本量是后手，顺序不能反。

练习（第 184 页）第 1 题

1. 数据 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，…， $x_{m}$ 的平均数为 $\bar{x}$ ，数据 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ，…， $y_{n}$ 的平均数为 $\bar{y}$ ，证明：

$\frac {\sum_ {i = 1} ^ {m} x _ {i} + \sum_ {i = 1} ^ {n} y _ {i}}{m + n} = \frac {m}{m + n} \overline {{x}} + \frac {n}{m + n} \overline {{y}}.$

证明。 由平均数的定义，

$$\overline{x}=\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}x_i \implies \sum_{i=1}^{m}x_i=m\,\overline{x}, \qquad \overline{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_i \implies \sum_{i=1}^{n}y_i=n\,\overline{y}.$$

代入左边：

$$\frac{\sum\limits_{i=1}^{m}x_i+\sum\limits_{i=1}^{n}y_i}{m+n} =\frac{m\,\overline{x}+n\,\overline{y}}{m+n} =\frac{m}{m+n}\,\overline{x}+\frac{n}{m+n}\,\overline{y}.$$

即得右边，证毕。

这条恒等式在说什么

把两组数据合在一起求平均，等于把两组的平均数按”各组的个数”加权平均。

• 权是 $\dfrac{m}{m+n}$ 和 $\dfrac{n}{m+n}$，两者之和恰为 $1$；
• 绝不是 $\dfrac{\overline{x}+\overline{y}}{2}$。 只有 $m=n$ 时两者才碰巧相等。

举个反例把这件事钉死：$m=1$、$x_1=100$，$n=99$、$y_i$ 全为 $0$。 真实的合并平均数是 $\dfrac{100}{100}=1$，而 $\dfrac{100+0}{2}=50$，差了 $50$ 倍。

它在本节的用处

这正是分层随机抽样汇总估计的依据：把 $x$ 看成第 $1$ 层的样本、$y$ 看成第 $2$ 层的样本， 左边就是整个样本的平均数 $\overline{w}$，右边就是按样本量加权的形式。 再配合比例分配下 $\dfrac{m}{m+n}=\dfrac{M}{M+N}$， 就得到了”比例分配时可以直接用 $\overline{w}$ 估计 $\overline{W}$“这条结论。

练习（第 184 页）第 2 题

2. 有人说：“如果抽样方法设计得好，用样本进行视力调查与对 24 300 名学生进行视力普查的结果差不多。而且对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说，节省了人力、物力和财力，抽样调查更可

取。”你认为这种说法有道理吗？为什么？

答：这种说法有道理。

先把原话里的两个限定词圈出来，它们决定了这道题怎么答：

• “如果抽样方法设计得好”——它已经把”设计不好会偏”这一档排除在讨论之外了；
• “对于想要掌握学生视力状况的教育部门来说”—— 它已经把目的限定成了解总体状况，没有说要给每个学生建档。

在这两个前提之下，原话的两层判断都站得住。 逐层看。

第一层：“结果差不多”——成立

$24\,300$ 名学生是一个很大的总体。只要抽样方法设计得好 （随机抽取、样本量足够、名单完整、回收率高）， 样本中近视学生所占的比例就会落在总体近视率附近， 这正是本章要建立的”用样本估计总体”的想法。

注意原话说的是”差不多”，不是”一样”。 “差不多”这三个字本身就已经承认了抽样有误差， 所以它并没有把估计说成确定值——这一层没有说过头。

视力这个变量在年级之间差异很大（越高年级近视率越高）， 用分层随机抽样（按年级分层）还能进一步提高精度， 使”差不多”做得更好。

第二层：“抽样调查更可取”——在题给的目的下也成立

$24\,300$ 名学生逐个查视力，要占用大量校医、设备和课时； 抽几百人就能完成，代价小得多。

而且时效性更好。 普查耗时长，等 $24\,300$ 人全查完， 先查的那批学生视力可能已经变了，数据反而不同步； 抽样调查能在短时间内完成，拿到的是同一时点的状况。

既然目的只是”掌握学生视力状况”这一总体特征， 花小得多的代价拿到够用的结论，当然更可取。

补充：三点该知道的界限

下面三条不是原话的破绽，而是用它时该心里有数的事。

1. 抽样一定带误差。 样本比例是随机的，单次调查可能偏离几个百分点。 所以报结论时要写”约为”，最好同时给出样本量和抽样方法。
2. “设计得好”是一个实打实的前提，不是客套话。 只在城区重点中学抽、只调查自愿参加的学生、用过期的旧名单抽， 都会带来系统性偏差，而这种偏差增大样本量也消不掉。 原话把这一条写进了”如果”里，正说明它并不轻率。
3. 换一个目的，答案就会换。 如果教育部门还要给每个近视学生建档、通知家长、安排矫正复查， 那就必须逐人检查——抽样给不出没被抽中那些学生的视力。 但题目问的不是这个目的，所以这一条只是延伸，不是反驳。

结论

在原话已经写明的前提（抽样方法设计得好）和目的（掌握学生视力状况）之下， 这种说法有道理。

练习（第 185 页）第 3 题

3. 高二年级有男生 490 人，女生 510 人，张华按男生、女生进行分层，通过分层随机抽样的方法，得到男生、女生的平均身高分别为 170.2 cm 和 160.8 cm.

（1）如果张华在各层中按比例分配样本，总样本量为100，那么在男生、女生中分别抽取了多少名？在这种情况下，请估计高二年级全体学生的平均身高.

（2）如果张华从男生、女生中抽取的样本量分别为30和70，那么在这种情况下，如何估计高二年级全体学生的平均身高更合理？

高二年级男生 $M=490$ 人，女生 $N=510$ 人，共 $M+N=1000$ 人； 男生、女生的样本平均身高分别为 $\overline{x}=170.2$、$\overline{y}=160.8$（单位：cm）。

（1）比例分配，总样本量 $100$

各层抽取的人数按层的大小成比例：

$$m=\frac{490}{1000}\times 100=49,\qquad n=\frac{510}{1000}\times 100=51 .$$

即在男生中抽取 $49$ 名，在女生中抽取 $51$ 名。

估计全体学生的平均身高，按层的大小加权：

$$\frac{M\overline{x}+N\overline{y}}{M+N}=\frac{490\times 170.2+510\times 160.8}{1000} =\frac{83\,398+82\,008}{1000}=\frac{165\,406}{1000}=165.406 ,$$

即估计高二年级全体学生的平均身高约为 $165.4$ cm。

这一问也可以直接用样本平均数算，结果分毫不差：

$$\overline{w}=\frac{49\times 170.2+51\times 160.8}{100}=\frac{8339.8+8200.8}{100}=165.406 .$$

两条路殊途同归，正是因为这里是比例分配（$\frac{49}{490}=\frac{51}{510}=\frac{100}{1000}$）。

（2）样本量为 $30$ 和 $70$ 时

先看清楚：这不是比例分配。 比例分配应当是 $49$ 和 $51$， 而现在男生只抽了 $30$、女生抽了 $70$， 男生的抽样比是 $\dfrac{30}{490}$，女生是 $\dfrac{70}{510}$，两者不等。

所以不能再直接用样本平均数 $\overline{w}$。 如果照搬，会得到

$$\overline{w}=\frac{30\times 170.2+70\times 160.8}{100}=\frac{5106+11\,256}{100}=163.62 ,$$

比正确答案低了近 $1.8$ cm——因为它把女生的分量从总体中的 $51\%$ 硬抬到了 $70\%$， 而女生平均身高本来就比男生低 $9.4$ cm。

合理的估计仍然按层的大小加权：

$$\frac{M\overline{x}+N\overline{y}}{M+N}=\frac{490\times 170.2+510\times 160.8}{1000}=165.406 ,$$

即估计高二年级全体学生的平均身高约为 $165.4$ cm，与（1）相同。

这道题的要害

用 $\overline{x}$ 估计 $\overline{X}$、用 $\overline{y}$ 估计 $\overline{Y}$，这一步在任何分配方式下都成立；把两层合起来时，权必须是层在总体中所占的比例 $\dfrac{M}{M+N}$、$\dfrac{N}{M+N}$。

样本量的比例 $\dfrac{m}{m+n}$ 只是在比例分配这一特殊情形下恰好等于它， 所以那时才能图省事直接用 $\overline{w}$。 换句话说：$\overline{w}$ 是捷径，不是原理；捷径有条件，原理没有。

练习（第 185 页）第 4 题

4. 要调查全市普通高中高一年级学生中患色盲的比例，小明根据性别对总体进行分层，用分层随机抽样的方法进行调查。请你查阅有关资料，说说这样的分层是否合理。你觉得在选择分层变量时应注意什么？

答：按性别分层是合理的。

为什么合理

查阅遗传学资料可知，最常见的色盲是红绿色盲，属于 伴 X 染色体隐性遗传。

• 男性只有一条 X 染色体，只要这条 X 上带致病基因就表现为色盲；
• 女性有两条 X 染色体，两条都带致病基因才表现为色盲， 只带一条时是不表现的携带者。

因此男性的色盲率远高于女性。资料中常见的数量级是： 我国汉族人群中男性红绿色盲的比例约为 $5\%$，女性约为 $0.7\%$， 相差近十倍（不同资料给出的具体数字略有出入，但”男性远高于女性”这一结论是一致的）。

把这个事实对照本节的标准：“各层间差异明显、层内差异不大”：

• 层间差异明显：男生、女生的色盲比例相差近十倍，这个差异再明显不过；
• 层内差异不大：同一性别内部，色盲比例是比较接近的。

两条都满足，所以按性别分层是一个很合适的选择。 它不仅能提高对全体高一学生色盲比例的估计效果， 还能顺带得到男生、女生各自的色盲比例——而这恰恰是这个问题里很有价值的信息。

选择分层变量时应注意什么

1. 分层变量要与所考察的变量高度相关，且能造成明显的层间差异。 这是最根本的一条。若拿学号奇偶、姓氏笔画去分层， 各层的色盲比例几乎一样，分了等于没分，白费工夫。
2. 层内差异要小。 同层个体越相似，每层用较少的样本就能估得准， 整体效率才高。
3. 分层要不重不漏：每个个体属于且仅属于一个层。 这是定义的硬性要求。
4. 每个个体属于哪一层，必须在抽样之前就能确定，且各层的大小已知。 否则既没法按比例分配样本量，也没法用 $\dfrac{M}{M+N}$ 加权汇总。 性别正好满足这一条——名册上就有。
5. 层数不宜过多，每层要留足样本量。 分得太细，每层只剩几个人，层内估计本身就不稳，反而得不偿失。
6. 还要考虑可操作性：分层变量应当容易获得、容易核实。 若按”是否有色盲家族史”分层，理论上相关性更强， 但这个信息事先拿不到（甚至要靠调查才知道），没法用来分层。