8.6 空间直线、平面的垂直

这一节（第 153—155 页）是「垂直」这一大节的开场，正题只有一件事： 给两条异面直线之间的「倾斜程度」定出一个数。定出来之后，「垂直」才有了在空间里的说法——而且这个说法会和平面几何里 的直觉不太一样。

一、为什么非要定义这个角

课本开头那张正方体图（图 8.6-1）问得很准：直线 $A'C'$ 与 $AB$ 异面，直线 $A'D'$ 与 $AB$ 也异面， 两个「异面」是同一种关系吗？ 位置关系的分类只能回答「是不是异面」，答不了「歪得一样吗」。 平面几何里两条相交直线可以用夹角比较倾斜程度，空间里两条异面直线连交点都没有，怎么比？

办法是把它们搬到一起：反正「方向」这件事跟直线画在哪儿无关，那就把两条直线各自平移到同一点， 量平移后那两条相交直线的夹角。这一步是整章反复出现的招数——空间问题化成平面问题。

二、定义：三步照做

任取空间一点 $O$，过 $O$ 作 $a'\parallel a$、$b'\parallel b$，则 $a'$ 与 $b'$ 所成的角 叫做异面直线 $a$ 与 $b$ 所成的角（或夹角）。

三步：取点 → 作两条平行线 → 量夹角。配套的三条约定要一起记住：

1. 取「不大于 $90^\circ$」的那个角。 两条相交直线形成四个角、两两相等，规定取 $\le 90^\circ$ 的那一个。所以算出钝角就换它的补角。
2. 两条直线平行时，规定所成角为 $0^\circ$。 于是空间两条直线所成角 $\alpha$ 的范围是 $0^\circ\le\alpha\le90^\circ$；而异面直线不可能平行，所成角的范围是 $0^\circ<\alpha\le90^\circ$（不含 $0^\circ$，含 $90^\circ$）。
3. 所成角是 $90^\circ$ 就说这两条直线互相垂直，记作 $a\perp b$。

课本那句「与点 $O$ 的位置有关吗」是这个定义的合法性问题，不是闲笔。 换一个点 $O_1$，作出的 $a''\parallel a$、$b''\parallel b$ 与原来的 $a'$、$b'$ 分别平行，由上一节的等角定理 （空间中两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补），新旧两个角相等或互补；而约定 ② 只取 $\le90^\circ$ 的那一个，互补的一对里被选中的是同一个数。所以这个角与 $O$ 的选法无关，定义站得住。

三、空间里的「垂直」比平面里宽

这是本节最容易被忽略、也最容易在判断题上丢分的一条：

于是正方体里 $AA'$ 与 $B'C'$ 是异面的，但它们所成的角是 $90^\circ$，照定义就该写 $AA'\perp B'C'$。「垂直」不再蕴含「有交点」，这一条在后面证线面垂直时会不断用到 （判定定理要的是「与平面内两条相交直线垂直」，那两条并不要求过同一个垂足）。

反过来，平面几何里成立的一条常用推理在空间里失效：

• 「垂直于同一条直线的两条直线平行」——空间里不对。正方体里 $AB\perp AA'$、 $AD\perp AA'$，可 $AB$ 与 $AD$ 相交；$AB\perp AA'$、$B'C'\perp AA'$，可 $AB$ 与 $B'C'$ 异面。垂直于同一条直线的两条直线，在空间里可以平行、相交、异面三种都行。
• 而「两条平行直线中的一条垂直于已知直线，另一条也垂直于它」仍然成立——因为平行的两条 直线与第三条直线所成的角相等（还是等角定理那一条）。

这两条正是本节 练习 第 1 题的两个小问，课本把它们排在最前面就是要立刻把这个差别钉住。

四、实操：把「取点」这一步省掉

定义里的 $O$ 是任取的，那就取在其中一条直线上（课本第 155 页图 8.6-6 说的就是这件事）： 取 $O\in b$，只需过 $O$ 作 $a'\parallel a$，$a'$ 与 $b$ 的夹角就是所求。 这样只作一条平行线，少一半工作量。

于是求异面直线 $a$、$b$ 所成角的固定动作是三步：

1. 搬：在其中一条上（通常取端点或中点这种「现成的点」）作另一条的平行线，把两条直线搬到相交；
2. 认：指出搬完之后哪个角是所求的角，并说明它 $\le 90^\circ$（或算完再取补角）；
3. 算：把这个角放进一个三角形里解出来。

第 1 步的平行线从哪儿来？本章只有三种来源，够用了：

第 3 步的三角形怎么解？本节只需要三样工具：特殊三角形的现成角（等边 $60^\circ$、 等腰直角 $45^\circ$）、勾股定理与它的逆定理、余弦定理。

五、课本两道例题，重讲一遍

例 1(3)：正方体里 $BA'$ 与 $AC$ 所成的角。 搬 $AC$：$AA'C'C$ 是平行四边形（$AA'\parallel CC'$ 且相等），所以 $AC\parallel A'C'$，$\angle BA'C'$ 就是所求。关键在下一步：连 $BC'$， $A'B$、$A'C'$、$BC'$ 都是正方体的面对角线，三条一样长，$\triangle A'BC'$ 是等边三角形， 于是 $\angle BA'C'=60^\circ$。

这道题的价值是「答案不用算」：把角放进一个等边三角形，$60^\circ$ 是白送的。正方体里 「三条面对角线围成等边三角形」是个该背下来的图形——事实上正方体的 $12$ 条面对角线只有 $6$ 个 方向，任取两个不平行的方向，所成角只可能是 $60^\circ$ 或 $90^\circ$（同一个面上的两条给 $90^\circ$，相邻两面上的给 $60^\circ$）。所以这类问题算之前先猜这两个数，往往一猜就中。

例 2：正方体里 $O_1$ 是上底面中心，证 $AO_1\perp BD$。 课本的分析写得直白： 要证垂直，就去构造那个角，再证它是直角。 搬 $BD$：$BB_1D_1D$ 是平行四边形， $B_1D_1\parallel BD$，于是所求角就是 $AO_1$ 与 $B_1D_1$ 所成的角。而 $AB_1=AD_1$（都是面对角线）使 $\triangle AB_1D_1$ 等腰，$O_1$ 是 $B_1D_1$ 的中点， 等腰三角形底边上的中线就是高，所以 $AO_1\perp B_1D_1$，从而 $AO_1\perp BD$。

注意最后一步的落点：$AO_1$ 与 $BD$ 根本不相交（一条在体内、一条在底面）， 但按本节的定义，所成角是 $90^\circ$ 就叫垂直——这正是第三节那张对照表的用处。

六、易错清单（按丢分频率排）

1. 搬完忘了取 $\le90^\circ$ 的那个角。 用向量或坐标算的时候尤其容易：算出来的余弦是负数， 说明取到了补角，得取绝对值。这一条会一直用到选择性必修第一册的向量法。
2. 把「垂直」读成「相交且垂直」。 练习 第 2 题的 (1)(2) 就是拿这个差别出题：与 $AB$ 垂直的直线有 $8$ 条，其中异面且垂直的只有 $4$ 条——两个问的差就是「相交的那 4 条」。
3. 把平面几何的「垂直于同一直线则平行」搬进空间。 见第三节。空间里这句话是错的。
4. 平行线搬得不严谨。 「看图觉得平行」不算理由，要给出平行四边形、中位线或平行棱这类依据。 证明题里这一步不写，扣的就是这一分。
5. 只答了角、没答问的是哪个角。 「直线 $BC$ 和 $A'C'$ 所成的角」问的是异面直线所成角， 答案要落在 $\left(0^\circ,90^\circ\right]$ 里；写成 $135^\circ$ 一定错。
6. 本节还没有「线面垂直」可用。 练习 第 4 题（正三棱柱里证 $BD\perp AC'$）用「$BD\perp$ 平面 $ACC'A'$」两行就能做完，但线面垂直的判定定理在下一节（§8.6.2）才出现。 在本节的位置上，要用「搬 + 勾股逆定理」这套只依赖定义的做法（详见本节的习题详解）。

七、这一节在整章里的位置，以及往后怎么用

• 往前：异面直线的定义、平行公理与等角定理在 §8.4；本节把「异面」从一个分类升级为一个可比的数。
• 往后：§8.6.2 用「直线与平面内任意直线都垂直」定义线面垂直——那个定义里的「垂直」用的就是 本节这个（不要求相交）的垂直；§8.6.3 讲二面角。三种空间角（异面直线角、线面角、二面角）到那时 就配齐了。
• 再往后：选择性必修第一册用空间向量重算这三种角，本节的「搬线」变成「点乘取绝对值」。 手工搬线的经验不会浪费——向量法里最容易错的仍然是「取绝对值」与「钝锐判断」， 而那正是本节约定 ① 的延伸。

真题读法。 页面下方那份「考过本节的真题」是派生的、完整的；这里只给一个读的顺序：

1. 先读 2021 年第 6 题（正方体里点连线与面对角线的平行、垂直判断）——它就是本节三步动作的 直接练习，搬线的工具全是中位线与现成平行棱。
2. 再读 2022 年第 8 题（正三棱柱里三种空间角比大小）——异面直线角与后两种角摆在一起比， 能看清「三种角各自的找法」这件事有多要紧。
3. 最后读 2019 年第 8 题（正三棱锥里 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 比大小）——本节的 $\alpha$ 出现在一个动点里，且必须对所有位置成立。这道题是本节内容在浙江卷里的上限： 搬线（$PF\parallel AC$）之后还要把三个角摆进同一个直角三角形去比。

这一节（第 153—155 页）印着一组 练习，共 4 道，逐题全做。本节没有 习题8.6—— 整章的 习题8.6 印在 §8.6.3 的页面上（第 168—169 页），按「题落在印它那几页所在的那一份里」， 那一组归 §8.6.3 那一份收。本节也没有开放式的实习作业。

四道题分工很清楚：第 1 题考空间与平面的差别（平行传递垂直是对的，垂直于同一直线却推不出平行）； 第 2 题在长方体的 12 条棱里数 垂直的棱与异面且垂直的棱，练的正是「空间的垂直不要求相交」； 第 3 题是求角的标准三步（搬线 → 认角 → 解三角形）；第 4 题是证垂直，而且要在本节的工具 范围内证——线面垂直的判定定理在下一节（§8.6.2）才出现，所以这里只用「搬线 + 勾股定理的逆定理」。

练习（第 155 页）第 1 题

1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. （）

(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ()

(1) √。 设 $a\parallel b$，已知直线为 $c$，且 $a\perp c$。按本节的定义，$a$ 与 $c$ 所成的角要这样量：取一点 $O$，过 $O$ 作 $a'\parallel a$、$c'\parallel c$，量 $a'$ 与 $c'$ 的夹角。由 $a\parallel b$ 得 $a'\parallel b$ 也成立，也就是说： 同一对相交直线 $a'$、$c'$，既是 $a$ 与 $c$ 的代表，也是 $b$ 与 $c$ 的代表——两个「所成角」量的是同一个角，故相等。 于是 $b$ 与 $c$ 所成的角也是 $90^\circ$，即 $b\perp c$。

（用等角定理说也是一样：$b$ 与 $c$ 所成角的两边分别平行于 $a$ 与 $c$ 所成角的两边， 所以两角相等或互补；$90^\circ$ 的补角还是 $90^\circ$，两种情形都给 $90^\circ$。）

(2) ×。 反例在正方体（或长方体）$ABCD$-$A'B'C'D'$ 里现成有三种：以 $AA'$ 为「同一条直线」，

• $AB\perp AA'$ 且 $AD\perp AA'$，而 $AB$ 与 $AD$ 相交于 $A$；
• $AB\perp AA'$ 且 $B'C'\perp AA'$，而 $AB$ 与 $B'C'$ 异面；
• $AB\perp AA'$ 且 $D'C'\perp AA'$，而 $AB\parallel D'C'$ 才是平行。

所以「垂直于同一条直线的两条直线」在空间里可以平行、相交、异面，三种都可能，命题不成立。 （在平面内这条命题是对的——它靠的是「同一平面内」这个前提，正是空间里被去掉的那一条。）

自检：两小问的差别不在「垂直」，在传递的方向。(1) 传的是「平行 $\to$ 角相等」， 这条在空间里仍成立；(2) 想传的是「角相等 $\to$ 平行」，那本来就不成立（角只管方向的夹角， 定不了两条直线共不共面）。

这道题的关键动作：凡是把平面几何的命题搬进空间，先问「原来那条证明用没用到『在同一平面内』」 ——用到了，就得在空间里重新找反例。

练习（第 155 页）第 2 题

2. 如图，在长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 的各条棱所在直线中，

(1) 与直线 AB 垂直的直线有 ____ 条;

(2) 与直线 AB 异面且垂直的直线有 ____ 条;

(3) 与直线 $AB$ 和 $A^{\prime}D^{\prime}$ 都垂直的直线有 ____ 条;

(4) 与直线 $AB$ 和 $A^{\prime}D^{\prime}$ 都垂直且相交的直线是直线 ____.

先把 12 条棱按方向分成三组。 长方体的棱两两之间只有三个方向，同组的互相平行、不同组的互相垂直：

同组的两条平行（所成角 $0^\circ$，不垂直）；不同组的两条，所成角是 $90^\circ$（长方体三个方向 两两垂直），按本节的定义就是垂直，不管它们相不相交。

(1) 与直线 $AB$ 垂直的直线有 $\boxed{8}$ 条。 与 $AB$ 不同组的就是后两组，共 $4+4=8$ 条： $AD$、$BC$、$A'D'$、$B'C'$、$AA'$、$BB'$、$CC'$、$DD'$。（同组的 $DC$、$A'B'$、$D'C'$ 与 $AB$ 平行，不算。）

(2) 与直线 $AB$ 异面且垂直的直线有 $\boxed{4}$ 条。 在上面 $8$ 条里挑出与 $AB$ 没有公共点的。 与 $AB$ 相交的有 $4$ 条：$AD$、$AA'$（都过 $A$），$BC$、$BB'$（都过 $B$）。剩下的 $4$ 条 $A'D'$、$B'C'$、$CC'$、$DD'$ 与 $AB$ 既不平行也不相交，是异面，且垂直。

(3) 与直线 $AB$ 和 $A'D'$ 都垂直的直线有 $\boxed{4}$ 条。 $A'D'$ 属于「与 $AD$ 同向」那一组。 一条棱所在直线要同时垂直于 $AB$ 方向与 $AD$ 方向，就只能落在第三组（竖直方向）： $AA'$、$BB'$、$CC'$、$DD'$，共 $4$ 条。

(4) 与直线 $AB$ 和 $A'D'$ 都垂直且相交的直线是直线 $\boxed{AA'}$。 在 (3) 那 $4$ 条里再要求 与两条都有公共点：$AA'$ 与 $AB$ 交于 $A$、与 $A'D'$ 交于 $A'$ ✓；$BB'$ 只交 $AB$ 于 $B$， 与 $A'D'$ 异面 ✗；$DD'$ 只交 $A'D'$ 于 $D'$，与 $AB$ 异面 ✗；$CC'$ 与两条都异面 ✗。 故答案是直线 $AA'$。

自检：(1) 的 $8$ 条 $=$ (2) 的异面 $4$ 条 $+$ 相交的 $4$ 条，账对得上； (3) 的 $4$ 条里恰有 $1$ 条同时与两者相交，正是 (4)。四问是层层加条件，数目只减不增： $8\to4$、$4\to1$。

这道题的关键动作：先按方向把棱分成三组，再逐层加条件（垂直 $\to$ 异面 $\to$ 相交）。 数棱不要一条条比，那样必漏；也不要把「垂直」限制成「相交垂直」——(1) 若只数相交的就只有 $4$ 条， 那正是本题设计要拦住的错法。

练习（第 155 页）第 3 题

3. 如图，在长方体 $ABCD - A'B'C'D'$ 中，$AB = AD = 2\sqrt{3}$，$AA' = 2$，求：

(1) 直线 BC 和 $A^{\prime}C^{\prime}$ 所成的角的大小;

(2) 直线 $AA'$ 和 $BC'$ 所成的角的大小.

(1) $45^\circ$。

• 搬线：$BC$ 与 $B'C'$ 是长方体一个侧面 $BCC'B'$ 的一组对边，$BC\parallel B'C'$。 于是 $BC$ 与 $A'C'$ 所成的角 $=$ $B'C'$ 与 $A'C'$ 所成的角 $=\angle A'C'B'$ （这两条在上底面里相交于 $C'$）。
• 认角：$\angle A'C'B'$ 是上底面矩形 $A'B'C'D'$ 里对角线 $A'C'$ 与边 $B'C'$ 的夹角， 它落在 $\triangle A'B'C'$ 里，是锐角，所以就是所求的角。
• 算：上底面的两条邻边 $A'B'=AB=2\sqrt3$、$B'C'=AD=2\sqrt3$ 相等，上底面是正方形； $\angle A'B'C'=90^\circ$，故 $\triangle A'B'C'$ 是等腰直角三角形， $\tan\angle A'C'B'=\frac{A'B'}{B'C'}=\frac{2\sqrt3}{2\sqrt3}=1 ,$ 得 $\angle A'C'B'=45^\circ$。

所以直线 $BC$ 与 $A'C'$ 所成的角是 $45^\circ$。（$45^\circ\in\left(0^\circ,90^\circ\right]$， 不必取补角。）

(2) $60^\circ$。

• 搬线：$AA'\parallel BB'$（长方体侧面 $ABB'A'$ 的一组对边）。于是 $AA'$ 与 $BC'$ 所成的角 $=$ $BB'$ 与 $BC'$ 所成的角 $=\angle B'BC'$（两条交于 $B$）。
• 认角：$\angle B'BC'$ 在 $\triangle BB'C'$ 里。$B'C'\perp BB'$（矩形 $BCC'B'$ 的邻边）， 所以这个三角形在 $B'$ 处是直角，$\angle B'BC'$ 是锐角，正是所求。
• 算：$BB'=AA'=2$，$B'C'=BC=AD=2\sqrt3$， $\tan\angle B'BC'=\frac{B'C'}{BB'}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3 ,$ 得 $\angle B'BC'=60^\circ$。

所以直线 $AA'$ 与 $BC'$ 所成的角是 $60^\circ$。

自检：把两个结果放回图里看合不合理。(1) 上底面是正方形，对角线当然与边成 $45^\circ$ ✓。 (2) 侧面 $BCC'B'$ 是长为 $2\sqrt3$、宽为 $2$ 的矩形（长是宽的 $\sqrt3$ 倍）， 它的对角线 $BC'$ 与短边 $BB'$ 的夹角满足 $\tan=\sqrt3$，正是 $60^\circ$；顺便 $BC'=\sqrt{4+12}=4$，$\triangle BB'C'$ 是 $2:2\sqrt3:4$ 的直角三角形，即 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ ✓。

这道题的关键动作：搬线时优先找「与所求直线共面的那条平行棱」——(1) 把 $BC$ 搬到上底面 （因为 $A'C'$ 在上底面），(2) 把 $AA'$ 搬到 $BB'$（因为 $BC'$ 过 $B$）。搬到与另一条共面， 角就自动落进一个现成的三角形里，不用再补线。

练习（第 155 页）第 4 题

4. 如图，在正三棱柱 $ABC-A'B'C'$ 中，$D$ 为棱 $AC$ 的中点，$AB = BB' = 2$，求证 $BD \perp AC'$.

先说明这一步只用本节的工具。 「$BD\perp$ 平面 $ACC'A'$，所以 $BD\perp AC'$」是最快的写法， 但线面垂直的判定定理属于下一节（§8.6.2）。在本节的位置上，证垂直的唯一手段是 照定义把角构造出来，再证它是 $90^\circ$（课本例 2 的分析写的就是这句）。下面这样做。

证明。 取侧棱 $CC'$ 的中点 $M$，连接 $DM$、$BM$。

① 搬线：$DM\parallel AC'$。 在 $\triangle ACC'$ 中，$D$ 是 $AC$ 的中点、$M$ 是 $CC'$ 的中点， 所以 $DM$ 是这个三角形的中位线，$DM\parallel AC'$。于是

② 三条边逐个算出来。 正三棱柱的底面 $ABC$ 是正三角形、侧棱垂直于底面， 且 $AB=BB'=2$，故底面边长 $AC=BC=AB=2$，侧棱 $CC'=BB'=2$，从而 $CM=\dfrac12CC'=1$、 $CD=\dfrac12AC=1$。

• $BD$：$\triangle ABC$ 是边长 $2$ 的正三角形，$D$ 是 $AC$ 的中点，所以 $BD$ 是它的中线， 也是高： $BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt3 .$
• $DM$：$CC'\perp$ 底面 $ABC$（正三棱柱是直棱柱），而 $CD$ 在底面内，所以 $CM\perp CD$，$\triangle DCM$ 在 $C$ 处是直角： $DM=\sqrt{CD^{2}+CM^{2}}=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt2 .$ （与 ① 对得上：$AC'=\sqrt{AC^2+CC'^2}=\sqrt{4+4}=2\sqrt2$，$DM$ 作为中位线正是它的一半 ✓。）
• $BM$：同理 $CM\perp CB$（$CB$ 也在底面内），$\triangle BCM$ 在 $C$ 处是直角： $BM=\sqrt{CB^{2}+CM^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt5 .$

③ 勾股定理的逆定理收口。 在 $\triangle BDM$ 中，

所以 $\triangle BDM$ 在 $D$ 处是直角，即 $\angle BDM=90^\circ$。

④ 回到定义。 由 ①，$BD$ 与 $AC'$ 所成的角就是 $\angle BDM=90^\circ$，按本节「所成角为直角 即互相垂直」的规定，

（$BD$ 在底面内、$AC'$ 是侧面的对角线，两条并不相交——这正是空间里「垂直不要求相交」的一例。）

自检（换一条路核一次）：以 $D$ 为原点，$DA$、$DB$、竖直方向为三条坐标轴（$DB\perp AC$， $CC'\perp$ 底面），则 $A=(1,0,0)$、$C=(-1,0,0)$、$B=(0,\sqrt3,0)$、$C'=(-1,0,2)$、 $D=(0,0,0)$。于是 $\overrightarrow{DB}=(0,\sqrt3,0)$、$\overrightarrow{AC'}=(-2,0,2)$， 点积 $0\cdot(-2)+\sqrt3\cdot0+0\cdot2=0$，两条直线的方向垂直，与上面的结论一致 ✓。 （坐标法属于选择性必修第一册，这里只当验算。）

这道题的关键动作：中点给的是中位线，中位线就是搬线的工具；搬完之后， 三条边一算、勾股逆定理一用，垂直就证完了——全程只用到「正三棱柱的侧棱垂直于底面」 与勾股定理，没有借用下一节的判定定理。

（把话说严格些：「侧棱垂直于底面」这句是 §8.1 给直棱柱的定义带来的；而把它用成 「侧棱垂直于底面内的每一条直线」，正是 §8.6.2 给「直线与平面垂直」下的定义。所以本题用到了 下一节的那个定义，没有用到它的判定定理——判定定理是反过来的方向：由「与面内两条相交 直线垂直」推出「与整个平面垂直」，那才是本题在本节位置上该避开的东西。）

顺带一个不依赖数据的观察：把边长记作 $a$、侧棱记作 $h$，同样的三条边给 $BD^{2}+DM^{2}=\dfrac{3a^{2}}{4}+\dfrac{a^{2}+h^{2}}{4}=a^{2}+\dfrac{h^{2}}{4}=BM^{2}$， 恒成立。也就是说 $BD\perp AC'$ 与 $AB=BB'$ 这个条件无关——题目给 $AB=BB'=2$ 只是为了让 读者能算出具体的数。