8.6 空间直线、平面的垂直

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8.6 空间直线、平面的垂直

与平行关系类似，垂直也是空间直线、平面之间的一种特殊位置关系，它在研究空间图形问题中具有重要的作用。类比平行关系的研究过程，本节将研究空间直线、平面之间的垂直关系，重点研究这些垂直关系的判定和性质。

8.6.1 直线与直线垂直

空间两条直线的位置关系有三种：平行直线、相交直线和异面直线。在初中我们已经研究了平行直线和相交直线。本节我们主要研究异面直线，首先研究如何刻画两条异面直线的位置关系。

观察

如图8.6-1，在正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，直线 A′C′A'C' 与直线 ABAB ，直线 A′D′A'D' 与直线 ABAB 都是异面直线，直线 A′C′A'C' 与 A′D′A'D' 相对于直线 ABAB 的位置相同吗？如果不同，如何表示这种差异呢？

图8.6-1

我们知道，平面内两条直线相交形成4个角，其中不大于 90∘90^{\circ} 的角称为这两条直线所成的角（或夹角），它刻画了一条直线相对于另一条直线倾斜的程度。类似地，我们也可以用“异面直线所成的角”来刻画两条异面直线的位置关系。

如图 8.6-2，已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点

图8.6-2

。

研究异面直线所成的角，就是通过平移把异面直线转化为相交直线。这是研究空间图形的一种基本思路，即把空间图形问题转化为平面图形问题。

O 分别作直线 a′∥aa' \parallel a ， b′∥bb' \parallel b ，我们把直线 a′a' 与 b′b' 所成的角叫做异面直线 a 与 b 所成的角（或夹角）.

如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线 a 与直线 b 垂直，记作 a⊥ba \perp b ．

?

当两条直线 aa，bb 相互平行时，我们规定它们所成的角为 0∘0^{\circ}。所以空间两条直线所成角 α\alpha 的取值范围是 0∘⩽α⩽90∘0^{\circ} \leqslant \alpha \leqslant 90^{\circ}。

直线 a, b 所成角的大小与点 O 的位置有关吗?

例 1 如图 8.6-3，已知正方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD-A'B'C'D' .

(1) 哪些棱所在的直线与直线 AA′AA' 垂直?

(2) 求直线 BA′BA' 与 CC′CC' 所成的角的大小.

(3) 求直线 BA′BA' 与 AC 所成的角的大小.

解：（1）棱 ABAB ， BCBC ， CDCD ， DADA ， A′B′A'B' ， B′C′B'C' ， C′D′C'D' ， D′A′D'A' 所在直线分别与直线 AA′AA' 垂直.

图8.6-3

(2) 因为 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 是正方体，所以 BB′∥CC′BB' \parallel CC'，因此 ∠A′BB′\angle A'BB' 为直线 BA′BA' 与 CC′CC' 所成的角。又因为 ∠A′BB′=45∘\angle A'BB' = 45^\circ，所以直线 BA′BA' 与 CC′CC' 所成的角等于 45∘45^\circ。

（3）如图8.6-4，连接 A′C′A^{\prime}C^{\prime} ，因为ABCD- A′B′C′D′A^{\prime}B^{\prime}C^{\prime}D^{\prime} 是正方体，所以 AA′⊥CC′AA^{\prime}\bot CC^{\prime} ，从而四边形 AA′C′CAA^{\prime}C^{\prime}C 是平行四边形，所以AC//A′C′AC / / A^{\prime}C^{\prime} ，于是 ∠BA′C′\angle BA^{\prime}C^{\prime} 为异面直线 BA′BA^{\prime} 与 ACAC 所成的角.

连接 BC′BC'，易知 △A′BC′\triangle A'BC' 是等边三角形，所以 ∠BA′C′=60∘\angle BA'C' = 60^\circ。从而异面直线 BA′BA' 与 ACAC 所成的角等于 60∘60^\circ。

图8.6-4

例 2 如图 8.6-5（1），在正方体 ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 中， O1O_{1} 为底面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的中心。求证 AO1⊥BDAO_{1} \perp BD 。

分析：要证明 AO1⊥BDAO_{1} \perp BD ，应先构造直线 AO1AO_{1} 与 BDBD 所成的角，若能证明这个角是直角，即得 AO1⊥BDAO_{1} \perp BD.

(1)

图8.6-5(2)

证明：如图 8.6-5（2），连接 B1D1B_{1}D_{1} .

∵ ABCD−A1B1C1D1ABCD-A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 是正方体，

∴BB1⊥DD1\therefore BB_{1} \perp DD_{1}.

∴ 四边形 BB1D1DBB_{1}D_{1}D 是平行四边形.

∴B1D1//BD.\therefore \quad B _ {1} D _ {1} / / B D.

∴ 直线 AO1AO_{1} 与 B1D1B_{1}D_{1} 所成的角即为直线 AO1AO_{1} 与 BD 所成的角.

连接 AB1AB_{1} ， AD1AD_{1} ，易证 AB1=AD1AB_{1}=AD_{1} .

又 O1O_{1} 为底面 A1B1C1D1A_{1}B_{1}C_{1}D_{1} 的中心，

∴ O1O_{1} 为 B1D1B_{1}D_{1} 的中点，

∴AO1⊥B1D1\therefore \quad A O _ {1} \perp B _ {1} D _ {1}

∴AO1⊥BD.\therefore \quad A O _ {1} \perp B D.

从例 1 与例 2 的解答可以看到，为了简便，求异面直线 a，b 所成的角时，点 O 常取在两条异面直线中的一条上．例如取在直线 b 上，然后经过点 O 作直线 a′∥aa' \parallel a ，那么 a′a' 与 b 所成的角就是异面直线 a 与 b 所成的角（图 8.6-6）.

图8.6-6

练习

  1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

（1）如果两条平行直线中的一条与已知直线垂直，那么另一条也与已知直线垂直. （）

(2) 垂直于同一条直线的两条直线平行. ()

  1. 如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 的各条棱所在直线中，

(1) 与直线 AB 垂直的直线有 ____ 条;

(2) 与直线 AB 异面且垂直的直线有 ____ 条;

(3) 与直线 ABAB 和 A′D′A^{\prime}D^{\prime} 都垂直的直线有 ____ 条;

(4) 与直线 ABAB 和 A′D′A^{\prime}D^{\prime} 都垂直且相交的直线是直线 ____.

(第2题)

(第3题)

  1. 如图，在长方体 ABCD−A′B′C′D′ABCD - A'B'C'D' 中，AB=AD=23AB = AD = 2\sqrt{3}，AA′=2AA' = 2，求：

(1) 直线 BC 和 A′C′A^{\prime}C^{\prime} 所成的角的大小;

(2) 直线 AA′AA' 和 BC′BC' 所成的角的大小.

  1. 如图，在正三棱柱 ABC−A′B′C′ABC-A'B'C' 中，DD 为棱 ACAC 的中点，AB=BB′=2AB = BB' = 2，求证 BD⊥AC′BD \perp AC'.

(第4题)