8.2 立体图形的直观图

这一节只做一件事：把立体图形画到纸上，并且能从纸上的图把立体读回来。 课本给的工具叫斜二测画法。学会它之后，柱、锥、台、球以及简单组合体都可以按同一套步骤画； 后面整章的线面关系，用的都是这一节画出来的图。

讲法与课本略有不同：课本按「先平面、再几何体、再组合体」的发现顺序写，这里按怎么画、怎么读 重组——先把三条规矩钉死，再专门练「从图上把真长度、真角度还原」，最后才是柱锥球的成图步骤。 会画与画对之间的差距，几乎全在「$y$ 方向取一半」这一条上。

一、直观图不是照片

直观图是观察者站在某一点看一个空间几何体得到的图形。画它，就是把不完全在同一平面内的点， 用同一张纸上的点表示。所以直观图往往与真实形状不完全相同：正方形会画成平行四边形， 圆会画成椭圆，直角会画成 $45^\circ$。这不是画错，这是投影带来的。

立体几何里用的是平行投影下的平面图形，不是绘画里那种近大远小的中心投影。平行投影保一件 对画图最有用的事：平行的线段，投影之后仍然平行。斜二测画法就是利用这一点定出来的一套 操作规程。

要画立体，先会画水平放置的平面图形——几何体的底面几乎都是水平放的，底面画对了，竖起来 就是立体。

二、斜二测画法：三条规矩

画水平放置的平面图形，课本给了三步。把它们记成三条可执行的规矩，比记「步骤」好用：

1. 轴。 在原图里取互相垂直的 $x$ 轴、$y$ 轴，交于 $O$。画直观图时，把它们画成 $x'$ 轴、 $y'$ 轴，交于 $O'$，并且 $\angle x'O'y' = 45^\circ$（或 $135^\circ$）。这两条轴确定的平面 就表示水平面。
2. 平行性。 原图中平行于 $x$ 轴或 $y$ 轴的线段，在直观图里分别画成平行于 $x'$ 轴或 $y'$ 轴 的线段。
3. 长度。 平行于 $x$ 轴的线段，长度保持不变；平行于 $y$ 轴的线段，长度变成原来的一半。

三条里真正要抠的是第 1 条和第 3 条的配合：横的（$x$）长度不动，斜的（$y$，画成 $45^\circ$）长度折半。 漏掉「折半」或把折半用到了竖线上，图立刻失去立体感，后面量长度也会错。

课本图 8.2-3 是这三条的标准样板：水平放置的正方形 $ABCD$，直观图是 $\square A'B'C'D'$，

$$A'B' = AB,\quad C'D' = CD,\quad A'D' = \frac12 AD,\quad B'C' = \frac12 BC,\quad \angle D'A'B' = 45^\circ.$$

正方形变成了平行四边形——四个角不再是直角，邻边不再等长。这就是「直观图与真实形状不完全相同」 的具体样子。

选轴有一个实用原则：让尽量多的边落到 $x$、$y$ 上。正六边形取最长的那条对角线为 $x$ 轴、 它的垂直平分线为 $y$ 轴（课本例 1）；等腰三角形取底边为 $x$ 轴、底边上的高为 $y$ 轴。 轴选得好，后面几乎不用另找点，直接在两轴上截长度。

轴本身是辅助线，图画完要擦掉。

三、怎么读：把三条规矩反过来用

画是「原图 $\to$ 纸上的图」，读是「纸上的图 $\to$ 原来的长度和角度」。立体几何后半段看图做题， 用的全是这一面。把三条规矩倒过来：

最容易读错的是第二行：看见一条短斜线，以为空间里它就那么短。它是 $y$ 方向被折半之后的像， 还原时要乘回 2。正方体的底面在纸上是「邻边比 $2:1$ 的平行四边形」，空间里那两条边一样长。

读的时候还有一条画图规范要会用：被挡住的棱画成虚线。虚线不是「这条棱不存在」，是「从我们选的 那个观察点看不见」。数棱、数面的时候虚线要算进去。

四、加上 $z$ 轴：几何体只多一条规矩

画几何体，与画平面图形相比，只多画一个与 $x$ 轴、$y$ 轴都垂直的 $z$ 轴，并且

平行于 $z$ 轴的线段，平行性与长度都不变。

操作上就是：$\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$（$z$ 轴画成竖直线）。底面按第二节 那三条画，再从每个底面顶点竖一条与 $z$ 轴平行、长度等于侧棱（或高）的线段，连上底，擦辅助线， 把挡住的棱改成虚线。

课本例 2 是标准样板。长方体长、宽、高分别是 $3\,\mathrm{cm}$、$2\,\mathrm{cm}$、$1.5\,\mathrm{cm}$：

• 取过一个顶点的三条棱为 $x$、$y$、$z$；
• 底面上 $AB = 3\,\mathrm{cm}$（$x$ 方向，长度不变），$AD = 1\,\mathrm{cm}$（$y$ 方向，原长 $2\,\mathrm{cm}$ 的一半）；
• 侧棱 $AA' = 1.5\,\mathrm{cm}$（$z$ 方向，长度不变）。

棱柱、棱锥、棱台都走同一条路：先画水平底面，再沿 $z$ 轴竖起来。 棱锥是竖到一个公共顶点， 棱台是竖出另一个较小的平行底面。尺寸若不作严格要求，可以适当选取，角度也可以略调，但立体感 来自「$y$ 折半、$z$ 不变」这一对反差，这两条不要改。

五、圆、柱、锥、球、组合体

多边形用斜二测。圆是例外：水平放置的圆看起来非常像椭圆，一般就用椭圆当圆的直观图，画的时候 用椭圆模板。课本补了一句：立体几何里画水平放置的圆，常用正等测画法——不必把正等测的角度 规矩另背一套，操作上就是「椭圆模板贴上去，让椭圆经过 $x$ 轴上关于中心对称的两点」。

于是几种旋转体的画法都收成「椭圆 + 竖线」：

• 圆柱（例 3）：先画下底面椭圆，再在 $z$ 轴上截母线长得到上底面圆心，同样画一个椭圆， 左右各连一条竖着的母线。被挡住的那段椭圆弧画虚线。
• 圆锥：先画底面椭圆，再在轴上定顶点，最后画两侧两条母线（图 8.2-8）。
• 球：轮廓线是一个圆；再画一两条过球心的截面圆（它们的直观图是椭圆），用来衬托球体 （图 8.2-9）。没有截面椭圆的「光圆」看不出是球还是圆饼。

组合体先分析结构，再拼着画。例 4 是「下圆柱、上圆锥，圆锥底面与圆柱上底面重合」： 先画圆柱的上、下底面，再在共同轴线上定圆锥顶点，最后画母线。练习里还有「下圆柱、上半球， 半球球心就是圆柱上底面圆心」——半球的赤道恰好就是圆柱的上底面椭圆，轮廓补一段圆弧即可。

六、易错清单

按画错、读错的频率排：

1. $y$ 方向忘了取一半。 正方体底面画成了菱形或另一个正方形，立体感立刻没了；量长度时 还会把宽当成与长相等。口诀就一句：横不变、斜折半、竖不变。
2. 把折半用到了竖线上。 $z$ 轴方向长度不变。正方体的高和底面的宽不是一回事：宽要折半， 高不折。
3. 轴的夹角画成了 $90^\circ$。 $x'$、$y'$ 必须是 $45^\circ$ 或 $135^\circ$，不是原图里的直角。 原图的直角画到纸上就应该「歪」。
4. 以为相等的线段、相等的角在图上仍然相等。 只有方向相同（都平行于 $x$，或都平行于 $y$， 或都平行于 $z$）的相等线段，直观图里才仍然相等。$x$ 方向的 $2\,\mathrm{cm}$ 和 $y$ 方向的 $2\,\mathrm{cm}$，画出来一个是 $2$、一个是 $1$。直角画成 $45^\circ$ 或 $135^\circ$， 原来相等的角一般也不再相等。练习第 109 页第 1 题、习题 8.2 第 1 题专门卡这两条。
5. 被挡的棱画成实线，或漏画。 整理图的最后一步是「挡住的改虚线」。漏了虚线，后面数棱、 找异面直线会对不上。
6. 圆仍画成圆。 水平圆的直观图是椭圆。圆柱、圆锥的底面画成正圆，看起来像在竖着面对你， 不是水平放置。
7. 组合体没先认结构就动手。 先说出「由哪几个简单几何体、怎么拼或怎么挖」，再画。 认错结构，图再漂亮也是另一个几何体。

七、这一节和真题的关系

本节正文教的是斜二测与直观图。现行人教A版不定义三视图——正视图、侧视图、俯视图这三个词 只出现在本节习题第 7 题的插图标注里，课本把它当已知对象用，没有讲三投影面，也没有「长对正、 高平齐、宽相等」那一套。概念「三视图」在站上有显式的无教材出处声明，这一节不要把它补成课文。

页面下方「考过本节的真题」是构建期从知识图谱派生的清单。三视图那一类题挂在「三视图」这个 实体上，不会因为本节习题用过这个词就自动出现在清单里——那是正常的空，不要为了填它去新建实体。

盘上能直接看见的对照有两处：习题 8.2 第 7 题（给三视图画直观图），以及浙江 2018 年第 3 题 （给三视图求体积）。两道都是「先由视图还原几何体」；还原之后，2018 年第 3 题走体积， 本节第 7 题走斜二测把图画出来。读 2018 年第 3 题之前，要先知道三视图的读法不在本节正文里。 )

本节覆盖课本第 107–113 页（PDF 页 0114–0120），课本习题共 13 道：第 109 页「练习」2 道、 第 111 页「练习」3 道、第 111–112 页「习题 8.2」8 道（复习巩固 1–4、综合运用 5–7、拓广探索 8）。 逐题做 12 道。不收习题 8.2 第 8 题「画出你所在学校的一些建筑物的直观图（尺寸自定）」—— 它是开放式观察作业，没有指定对象、也没有唯一解答。

每道题先逐字引课本的题面（引用块，读图题把附图引用行也带上），再写解答。

练习（第 109 页）第 1 题

1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 相等的线段在直观图中仍然相等. ( )

(2) 平行的线段在直观图中仍然平行. ( )

(3) 一个角的直观图仍是一个角. ( )

(4) 相等的角在直观图中仍然相等. ( )

(1) ×。 斜二测只保证「平行于 $x$ 轴的线段长度不变、平行于 $y$ 轴的线段长度折半」。 两条原来相等的线段，若一条平行于 $x$、一条平行于 $y$，画出来一条仍是原长、一条是原长的一半， 不再相等。正方形的邻边就是现成的反例（图 8.2-3）。

(2) √。 斜二测来自平行投影，平行投影保平行：原图里平行的线段，直观图里仍然平行。 这正是画法第二条「平行于 $x$ 或 $y$ 的线段，分别画成平行于 $x'$ 或 $y'$ 的线段」能成立的理由。

(3) √。 一个角是从一点出发的两条射线。平行投影把点映成点、射线映成射线，所以像仍是一个角 （角度一般会变，但「是一个角」这件事不变）。

(4) ×。 原图里 $x$ 轴与 $y$ 轴的夹角是 $90^\circ$，画到纸上变成 $45^\circ$ 或 $135^\circ$。 正方形的四个直角，两个变成 $45^\circ$、两个变成 $135^\circ$，原来相等的角不再相等。

自检：四条里「保平行、保是角」对，「保长度相等、保角度相等」不对——斜二测不是相似变换。

这道题的动作：先分清斜二测保什么、不保什么，再拿正方形当统一的反例。

练习（第 109 页）第 2 题

2. 用斜二测画法画出下列水平放置的平面图形的直观图（尺寸自定）.

(1) 矩形； (2) 平行四边形；

(3) 正三角形； (4) 正五边形.

尺寸自定。下面各给一套可执行的画法，并写出用到的长度。

(1) 矩形。 取矩形 $ABCD$，设 $AB = 4$，$AD = 2$，以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴、$AD$ 为 $y$ 轴。

画 $x'$、$y'$，使 $\angle x'O'y' = 45^\circ$。在 $x'$ 上取 $A'B' = 4$（长度不变），在 $y'$ 上取 $A'D' = 1$（原长 $2$ 的一半）。过 $B'$ 作 $y'$ 的平行线、过 $D'$ 作 $x'$ 的平行线，交于 $C'$。 四边形 $A'B'C'D'$ 就是该矩形的直观图——一个邻边为 $4$ 与 $1$、夹角 $45^\circ$ 的平行四边形。

(2) 平行四边形。 一般的平行四边形邻边不垂直，不能同时取两条边为 $x$、$y$ 轴。取 $ABCD$， 以 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴，过 $A$ 作 $AB$ 的垂线为 $y$ 轴。设 $AB = 4$，点 $D$ 在这组轴下的 坐标是 $(1, 3)$（也就是 $D$ 到 $AB$ 的距离为 $3$，到过 $A$ 的垂线的有向距离为 $1$）。

画 $x'$、$y'$，$\angle x'O'y' = 45^\circ$。取 $A'B' = 4$（在 $x'$ 上）。点 $D'$ 的取法：从 $A'$ 沿 $x'$ 走 $1$，再沿 $y'$ 走 $\dfrac{3}{2} = 1.5$。过 $B'$ 作 $A'D'$ 的平行线、过 $D'$ 作 $A'B'$ 的平行线，交于 $C'$。所得 $\square A'B'C'D'$ 就是原平行四边形的直观图。

(3) 正三角形。 取正三角形 $ABC$，边长 $2$，以 $BC$ 为 $x$ 轴、$BC$ 边上的高为 $y$ 轴， 垂足（$BC$ 中点）为 $O$。原图里高是 $\sqrt{3}$。

画 $x'$、$y'$，$\angle x'O'y' = 45^\circ$。以 $O'$ 为中点在 $x'$ 上取 $B'C' = 2$；在 $y'$ 正半轴上 取 $O'A' = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$（高折半）。连接 $A'B'$、$A'C'$，三角形 $A'B'C'$ 就是该正三角形的 直观图。

先验一件事：高 $\sqrt{3} > 0$，三个顶点不共线，像仍是三角形。

(4) 正五边形。 取正五边形 $ABCDE$，中心为 $O$。取过顶点 $A$ 与对边 $CD$ 中点的直线为 $y$ 轴 （这是一条对称轴），过 $O$ 与它垂直的直线为 $x$ 轴。于是 $A$ 在 $y$ 轴上，$CD \parallel x$ 轴， $B$ 与 $E$、$C$ 与 $D$ 分别关于 $y$ 轴对称。

画 $x'$、$y'$，$\angle x'O'y' = 45^\circ$。把每个顶点按「$x$ 坐标不变、$y$ 坐标折半」搬到 $x'O'y'$ 坐标系里： $A'$ 落在 $y'$ 上，长度为 $OA$ 的一半；$C'D'$ 平行于 $x'$ 且等于 $CD$， 到 $O'$ 的距离是原距离的一半；$B'$、$E'$ 同样关于 $y'$ 对称。依次连接 $A'B'C'D'E'$，擦掉两轴， 就得到水平放置的正五边形的直观图。

自检四幅图：每幅都应满足「横向长度没变、$45^\circ$ 方向长度是原来的一半、原图里平行的边 在图上仍然平行」。

这道题的动作：先把原图嵌进一组直角坐标轴，再按「$x$ 不变、$y$ 折半、$xy$ 夹角改成 $45^\circ$」搬点。

练习（第 111 页）第 1 题

1. 用斜二测画法画一个棱长为 $3\mathrm{cm}$ 的正方体的直观图.

正方体是长、宽、高都等于 $3\,\mathrm{cm}$ 的长方体，走课本例 2 的四步，只是三条棱一样长。

（1）画轴。 画 $x$、$y$、$z$ 三轴交于点 $O(A)$，使 $\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$。

（2）画底面。 在 $x$ 轴正半轴上取 $AB = 3\,\mathrm{cm}$（长度不变）；在 $y$ 轴正半轴上取 $AD = 1.5\,\mathrm{cm}$（原长 $3\,\mathrm{cm}$ 的一半）。过 $B$ 作 $y$ 轴的平行线，过 $D$ 作 $x$ 轴 的平行线，交于 $C$。$\square ABCD$ 是底面的直观图。

（3）画侧棱。 在 $z$ 轴正半轴上取 $AA' = 3\,\mathrm{cm}$（竖线长度不变）。过 $B$、$C$、$D$ 分别 作 $z$ 轴的平行线，各截取 $3\,\mathrm{cm}$，得 $B'$、$C'$、$D'$。

（4）成图。 顺次连接 $A'B'C'D'$，擦掉三轴，把被挡住的三条棱 $AD$、$DC$、$DD'$ 改成虚线。

自检：纸上能看见的底面邻边之比是 $3:1.5 = 2:1$，侧棱与横向棱都是 $3\,\mathrm{cm}$， 挡住的三条棱是虚线——这就是棱长 $3\,\mathrm{cm}$ 的正方体的斜二测直观图。

这道题的动作：底面的「宽」折半，高不折。 正方体在纸上不是每个方向都一样长。

练习（第 111 页）第 2 题

2. 用斜二测画法画一个正六棱柱的直观图.

尺寸自定。正六棱柱 = 底面是正六边形的直棱柱，底面走课本例 1，侧棱走例 2。

设底面正六边形 $ABCDEF$ 的边长为 $2\,\mathrm{cm}$，侧棱长为 $3\,\mathrm{cm}$。 正六边形里最长对角线 $AD = 4\,\mathrm{cm}$，与 $AD$ 垂直的那条对称轴上 $MN = 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$ （$M$、$N$ 分别是 $FE$、$BC$ 的中点），且 $BC = FE = 2\,\mathrm{cm}$。

（1）画轴。 画 $x$、$y$、$z$，使 $\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$，三轴交于 $O$。

（2）画下底面。 以 $O$ 为中点，在 $x$ 轴上取 $AD = 4\,\mathrm{cm}$；以 $O$ 为中点，在 $y$ 轴上取 $MN = \sqrt{3}\,\mathrm{cm}$（原长 $2\sqrt{3}$ 的一半）。以 $N$ 为中点画 $BC \parallel x$ 且 $BC = 2\,\mathrm{cm}$；以 $M$ 为中点画 $FE \parallel x$ 且 $FE = 2\,\mathrm{cm}$。 连接 $AB$、$CD$、$DE$、$FA$，得下底面 $ABCDEF$ 的直观图。

（3）画侧棱。 过 $A,B,C,D,E,F$ 各作 $z$ 轴的平行线，向上截取 $3\,\mathrm{cm}$， 得 $A',B',C',D',E',F'$。

（4）成图。 顺次连接上底面 $A'B'C'D'E'F'$，擦辅助线，把被挡住的棱（通常是下底面靠后的边 以及后方的侧棱）改成虚线。

自检：上、下底面是全等的「压扁了的正六边形」，六条侧棱等长、平行且垂直于底面（在图上都是竖直线）。

这道题的动作：正六边形按例 1 画，再沿 $z$ 轴平移一次。

练习（第 111 页）第 3 题

3. 一个简单组合体由上下两部分组成，下部是一个圆柱，上部是一个半球，并且半球的球心就是圆柱的上底面圆心。画出这个组合体的直观图。

没有尺寸要求，选合适的大小，把结构画清楚即可。半球的球心在圆柱上底面圆心 $O'$，只说明 赤道面经过 $O'$。要使赤道圆与上底面圆周重合、两部分贴成一个组合体，还要把半球半径取成与 圆柱底面半径相同。下面就按这个取法画。

（1）画轴。 画 $x$、$y$、$z$，使 $\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$， 三轴交于下底面圆心 $O$。

（2）画下底面。 取半径 $r$（自定）。以 $O$ 为中点在 $x$ 轴上取 $AB = 2r$；以 $O$ 为中点 在 $y$ 轴上取 $CD = r$（原直径 $2r$ 折半）。过 $A,B,C,D$ 画椭圆——四点把椭圆定死， 不是「过 $A$、$B$ 随便画一个椭圆」。

（3）画圆柱。 在 $Oz$ 上截取 $OO'$ 等于选定的母线长。过 $O'$ 作 $O'x' \parallel Ox$、 $O'y' \parallel Oy$，同样画上底面椭圆 $A'B'C'D'$。连接左右轮廓母线。

（4）画半球。 球心 $O'$，半径 $r$。赤道就是已经画好的上底面椭圆。轮廓补一段过 $A'$、$B'$ 的上半圆弧（把椭圆的上半包住）。半球整个在圆柱上方，没有被柱身挡住的部分。

（5）虚实线。 轴已经把观察方向钉死（$y$ 后退、$xOz$ 正面）：

• 下底面后弧被柱身挡，画虚线；
• 上底面（赤道）的前弧是柱面与半球的接缝，看得见，画实线；后弧被半球挡住，画虚线；
• 半球轮廓圆弧画实线。

不要写成「上底面前半被柱身挡住」——上底面在柱身之上，柱身挡不住它的前弧。

自检：半球轮廓与上底面椭圆在 $A'$、$B'$ 相接；球心 $O'$ 就是上底面椭圆中心；赤道半径与 圆柱底面半径相同，没有圆环面夹在中间。

这道题的动作：先取半径相等，让赤道等于上底面；虚实线按「柱挡下底、球挡赤道后弧」来画。

习题 8.2 第 1 题

1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论是否正确？正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.

(1) 三角形的直观图是三角形. ( )

(2) 平行四边形的直观图是平行四边形. ( )

(3) 正方形的直观图是正方形. ( )

(4) 菱形的直观图是菱形. ( )

(1) √。 三角形的三个顶点不共线。斜二测只是把 $x$ 方向的长度保持、$y$ 方向的长度折半、 再把两轴夹角改成 $45^\circ$——三点仍然不落在同一条直线上，所以像仍是三角形。

(2) √。 平行四边形两组对边分别平行。平行投影保平行，所以像的两组对边仍然分别平行， 是平行四边形。

(3) ×。 正方形四边相等、四角为直角。斜二测之后：平行于 $x$ 的边长度不变，平行于 $y$ 的边 长度折半，夹角变成 $45^\circ$——邻边不再相等，角不再是直角，所以不是正方形。图 8.2-3 就是 这个反例。

(4) ×。 菱形四边相等。斜二测对 $x$、$y$ 两个方向的缩放比不同（$1$ 与 $\dfrac12$）， 邻边落到不同方向上之后长度不再相等，所以一般不再是菱形。把菱形的一组邻边分别放到 $x$、$y$ 上，画出来一边是原长、一边是原长的一半，立刻不是菱形。

自检：(1)(2) 保的是「几个点、几组平行」这种组合关系；(3)(4) 不保的是「边相等、角相等」 这种度量关系。与第 109 页练习第 1 题是同一条分界。

这道题的动作：斜二测保平行，不保等长与等角。

习题 8.2 第 2 题

2. 用斜二测画法画出下列水平放置的等腰直角三角形的直观图：

(1) 直角边横向；

(2) 斜边横向.

设等腰直角三角形 $ABC$，$\angle C = 90^\circ$，$AC = BC = 2$。斜边 $AB = 2\sqrt{2}$。 两种放法的差别，全在哪一条边落到 $x$ 轴上。

(1) 直角边横向。 以 $C$ 为原点、$CA$ 为 $x$ 轴、$CB$ 为 $y$ 轴。于是 $CA$ 横向，$CB$ 沿纵深。

画 $x'$、$y'$，$\angle x'O'y' = 45^\circ$，原点为 $C'$。在 $x'$ 上取 $C'A' = 2$（横向，长度不变）； 在 $y'$ 上取 $C'B' = 1$（纵深，原长 $2$ 的一半）。连接 $A'B'$。三角形 $A'B'C'$ 就是所求直观图： $\angle A'C'B' = 45^\circ$，两条直角边在纸上分别是 $2$ 和 $1$。

(2) 斜边横向。 以斜边 $AB$ 为 $x$ 轴，$AB$ 边上的高为 $y$ 轴。等腰直角三角形斜边上的高 也是中线、角平分线，长度为

$$\frac{AC \cdot BC}{AB} = \frac{2 \cdot 2}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2},$$

垂足 $M$ 是 $AB$ 的中点。

画 $x'$、$y'$，$\angle x'O'y' = 45^\circ$，原点为 $M'$。以 $M'$ 为中点在 $x'$ 上取 $A'B' = 2\sqrt{2}$ （斜边横向，长度不变）；在 $y'$ 上取 $M'C' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$（高折半）。连接 $A'C'$、$B'C'$。 三角形 $A'B'C'$ 就是所求直观图：底边 $A'B'$ 横向，顶点 $C'$ 在 $45^\circ$ 方向上。

自检两幅：都是三角形；(1) 的直角画成了 $45^\circ$，两条直角边不再等长；(2) 的斜边保持 $2\sqrt{2}$， 高变成 $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。同一块三角形，轴选得不同，纸上的样子差得很远——这正是「先选轴」 的意义。

这道题的动作：哪条边放到 $x$ 轴上，哪条边就保持原长。 等腰直角三角形只有一条对称轴 （直角顶点到斜边中点），它在 (2) 里被当成了 $y$ 轴，不是「两条对称轴各用一次」。

习题 8.2 第 3 题

3. 用斜二测画法画出底面边长为 $2\mathrm{cm}$，侧棱长为 $3\mathrm{cm}$ 的正三棱柱的直观图.

正三棱柱 = 底面是正三角形的直棱柱。底面边长 $2\,\mathrm{cm}$，所以底面上的高是 $\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$； 侧棱长 $3\,\mathrm{cm}$，且垂直于底面。

（1）画轴。 画 $x$、$y$、$z$，使 $\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$，三轴交于 $O$。

（2）画下底面。 取正三角形 $ABC$，以 $BC$ 为 $x$ 轴、$BC$ 边上的高为 $y$ 轴，$O$ 为 $BC$ 中点。 以 $O$ 为中点在 $x$ 轴上取 $BC = 2\,\mathrm{cm}$；在 $y$ 轴正半轴上取 $OA = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\,\mathrm{cm}$ （高 $\sqrt{3}$ 的一半）。连接 $AB$、$AC$，得下底面 $ABC$ 的直观图。

（3）画侧棱。 过 $A$、$B$、$C$ 各作 $z$ 轴的平行线，向上截取 $3\,\mathrm{cm}$，得 $A'$、$B'$、$C'$。

（4）成图。 连接 $A'B'$、$B'C'$、$C'A'$，擦辅助轴。轴已经把观察方向钉死：$y$ 轴后退， $xOz$ 是正面。对着正面略俯视时，看得见的是正面矩形 $BCC'B'$ 和上底面 $A'B'C'$， 两个侧面都朝后，看不见。九条棱因此是：实线 $BB'$、$CC'$、$BC$、$B'C'$、$A'B'$、$A'C'$； 虚线 $AA'$、$AB$、$AC$。$CC'$ 在正面里，不是虚线；$AB$ 与 $AC$ 同属看不见的下底面， 两条都要画虚线，没有「通常只挡一条」的分类。

先验：底面高 $\sqrt{3} > 0$，三个顶点不共线；侧棱 $3 > 0$，上、下底面不重合。条件能画出一个 真正的正三棱柱。

自检：上、下底面是全等的「压扁了的正三角形」，三条侧棱等长、平行、在图上都是竖直线，长度都是 $3\,\mathrm{cm}$。

这道题的动作：正三角形按「底边为 $x$、高为 $y$」画，再沿 $z$ 轴竖起 $3\,\mathrm{cm}$。

习题 8.2 第 4 题

4. 画底面半径为 $1\mathrm{cm}$，母线长为 $3\mathrm{cm}$ 的圆柱的直观图.

与课本例 3 是同一道题（例 3 的数据就是半径 $1\,\mathrm{cm}$、母线 $3\,\mathrm{cm}$）。 例 3 把底面收成「椭圆模板过 $x$ 轴上对称两点」，那是课本给圆开的正等测口子； 题面写的是斜二测，水平圆的像要由一对共轭直径定死，轮廓母线是两椭圆的外公切线， 不是把 $A$、$B$ 竖直连起来。

（1）画轴。 画 $x$、$y$、$z$，使 $\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$， 三轴交于下底面圆心 $O$。

（2）画下底面。 以 $O$ 为中点，在 $x$ 轴上取 $AB$，使 $OA = OB = 1\,\mathrm{cm}$； 以 $O$ 为中点，在 $y$ 轴上取 $CD$，使 $OC = OD = \dfrac12\,\mathrm{cm}$（直径折半）。 以 $AB$、$CD$ 为一对共轭直径画椭圆：过 $A,B$ 作 $CD$ 的平行线、过 $C,D$ 作 $AB$ 的平行线， 得到外切平行四边形，椭圆与四边切于 $A,B,C,D$。只写「过四点」定不死椭圆 （过这四点的有心二次曲线是一族），必须点明共轭直径。

（3）画上底面。 在 $Oz$ 上截取 $O'$，使 $OO' = 3\,\mathrm{cm}$。过 $O'$ 作 $O'x' \parallel Ox$、$O'y' \parallel Oy$，同样画全等的上底面椭圆。

（4）成图。 作两椭圆的两条竖着的外公切线，作为可见轮廓母线 （它们一般不是 $AA'$、$BB'$：$A$、$B$ 处原圆的切线平行于 $y$ 轴，像是 $45^\circ$， 不是竖直线）。擦辅助轴，下底面被挡住的那段椭圆弧改成虚线。

自检：上、下两个椭圆全等且对应轴平行；两条轮廓母线平行、等于 $3\,\mathrm{cm}$、 垂直于底面（在图上都是竖直线）。这就是底面半径 $1\,\mathrm{cm}$、母线 $3\,\mathrm{cm}$ 的圆柱的斜二测。

这道题的动作：水平圆用 $x$ 向直径加 $y$ 向折半直径定椭圆，高沿 $z$ 轴原样截。 不要把底面画成正圆，也不要把 $AA'$、$BB'$ 当成轮廓。

习题 8.2 第 5 题

5. 一个菱形的边长为 $4\mathrm{cm}$，一内角为 $60^{\circ}$，将菱形水平放置并且使较长的对角线成横向，试用斜二测画法画出这个菱形的直观图.

先把原图的两条对角线算清楚，再放轴。

设菱形 $ABCD$，$AB = 4\,\mathrm{cm}$，$\angle DAB = 60^\circ$。则 $\angle ABC = 120^\circ$， $\angle BCD = 60^\circ$，$\angle CDA = 120^\circ$。

$\triangle ABD$ 中 $AB = AD = 4\,\mathrm{cm}$ 且 $\angle A = 60^\circ$，所以 $\triangle ABD$ 是等边三角形， 较短的对角线 $BD = 4\,\mathrm{cm}$。同一条 $BD$ 也把另一侧切成等边 $\triangle CBD$。 较长的对角线 $AC$ 是这两个等边三角形底边 $BD$ 上的高的两倍（$AO$ 是 $\triangle ABD$ 的高）：

$$AC = 2 \times 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}.$$

核一遍：$AC^{2} + BD^{2} = (4\sqrt{3})^{2} + 4^{2} = 48 + 16 = 64 = 4 \times 4^{2}$，符合菱形对角线 互相垂直平分的关系。所以较长的对角线是 $AC = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$，应放成横向。

菱形的对角线互相垂直平分，交于 $O$。以 $AC$ 为 $x$ 轴、$BD$ 为 $y$ 轴。

画法。 画 $x'$、$y'$，使 $\angle x'O'y' = 45^\circ$，交于 $O'$。

• 以 $O'$ 为中点，在 $x'$ 上取 $A'C' = 4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$（较长对角线横向，长度不变）， 即 $O'A' = O'C' = 2\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$；
• 以 $O'$ 为中点，在 $y'$ 上取 $B'D' = \dfrac{4}{2} = 2\,\mathrm{cm}$（较短对角线沿纵深，长度折半）， 即 $O'B' = O'D' = 1\,\mathrm{cm}$；
• 连接 $A'B'$、$B'C'$、$C'D'$、$D'A'$，擦两轴。

四边形 $A'B'C'D'$ 就是所求直观图。它是一个平行四边形（对角线互相平分），但四边不再相等—— $x$、$y$ 方向缩放比不同，所以它不再是菱形。这与习题 8.2 第 1 题（4）一致。

自检：图上横向对角线 $4\sqrt{3}\,\mathrm{cm}$、斜向对角线 $2\,\mathrm{cm}$，二者交于中点、 夹角 $45^\circ$。还原回去：横向不变、斜向乘 $2$，得到 $4\sqrt{3}$ 与 $4$，正是原菱形的两条对角线。

这道题的动作：先用「$60^\circ$ 那边的对角线切出两个等边三角形」算出哪条对角线更长，再把它放到 $x$ 轴上。

习题 8.2 第 6 题

6. 已知一个圆锥由等腰直角三角形旋转形成，画出这个圆锥的直观图.

「一个圆锥」说明旋转轴是等腰直角三角形的一条直角边：另一条直角边转出底面圆，斜边转出侧面。 （若绕斜边转，会得到两个底面重合的圆锥，不是「一个」。）

设等腰直角三角形 $SAC$，$\angle C = 90^\circ$，$SC = AC$。以 $SC$ 所在直线为轴旋转一周： 顶点是 $S$，底面圆心是 $C$，底面半径 $r = AC$，高 $h = SC$，且 $h = r$。母线 $SA = r\sqrt{2}$。 尺寸自定，取 $r = h = 2$。

（1）画轴。 画 $x$、$y$、$z$，使 $\angle xOy = 45^\circ$，$\angle xOz = 90^\circ$， 三轴交于底面圆心 $O$（即上面的 $C$）。

（2）画底面。 以 $O$ 为中点在 $x$ 轴上取 $AB$，使 $OA = OB = 2$；以 $O$ 为中点 在 $y$ 轴上取 $CD$，使 $OC = OD = 1$（直径折半）。过 $A,B,C,D$ 画椭圆——四点把椭圆定死。

（3）定顶点。 在 $Oz$ 上截取 $OS = 2$（高等于半径）。

（4）成图。 从 $S$ 向椭圆作两条切线，作为轮廓母线（不是连 $SA$、$SB$： $A$、$B$ 只是 $x$ 向直径端点，一般不是切点）。擦辅助轴，底面被挡住的那段椭圆弧改成虚线。

得到的就是高与底面半径相等的圆锥的斜二测直观图。

自检：母线长 $2\sqrt{2}$，满足 $l^{2} = r^{2} + h^{2} = 4 + 4 = 8$。顶点在底面圆心的正上方， 两条轮廓母线关于轴对称。

这道题的动作：先判定转哪一条边——绕直角边转才是一个圆锥，且这个圆锥满足 $h = r$； 底面圆用 $x$ 向直径加 $y$ 向折半直径定椭圆。

习题 8.2 第 7 题

7. 一个几何体的三视图如图所示，画出这个几何体的直观图.

现行教材正文不定义三视图，这道题把它当已知对象用。图在第 112 页右侧：正视图、侧视图都是 「倒立的等腰三角形，顶边上坐着一个圆」，俯视图是两个同心圆（转写里 page-0119.fig-4.jpg 那张标成了「侧视图」，对着扫描图看，它是俯视图——两个同心圆）。

先由三张图还原几何体，再画直观图。

还原。

• 正视图与侧视图相同：下方一个顶点朝下的等腰三角形，上方一个圆坐在三角形的底边上， 圆的直径小于三角形底边。说明这个几何体左右、前后对称，下部是圆锥（顶点朝下）， 上部是一个球。
• 俯视图两个同心圆：外圆是圆锥的底面圆，内圆是球的轮廓。内圆明显小于外圆，与正视图里 「圆比三角形底边短」一致。
• 正视图里圆与三角形底边外切（圆坐在底边上、没有嵌进三角形），所以球在圆锥底面所在平面 的上方，与该平面相切于底面圆心。

于是：几何体是「顶点朝下的圆锥 + 放在底面圆心正上方的一个球」，球与圆锥底面相切， 球的直径小于圆锥底面直径。尺寸题面没给，自定一组合适的即可，例如圆锥底面半径 $2$、高 $4$， 球半径 $1$。

画直观图。

（1）画圆锥（顶点朝下）。 画 $x$ 轴、$z$ 轴，$\angle xOz = 90^\circ$，交于圆锥底面圆心 $O$。 以 $O$ 为中点在 $x$ 上取 $AB$，使 $OA = OB = 2$，用椭圆模板画经过 $A$、$B$ 的椭圆（这是朝上的 底面）。在 $z$ 轴负方向截取顶点 $S$，使 $OS = 4$。从 $S$ 向椭圆两侧作轮廓母线。

（2）画球。 球心 $Q$ 在 $z$ 轴正方向上，$OQ = 1$（球与底面相切于 $O$，半径为 $1$）。 以 $Q$ 为圆心画轮廓圆（半径取成看起来等于 $1$ 的那个圆，并让它在左右大约过「距轴 $1$」的位置）； 再画一条过 $Q$ 的水平截面椭圆，衬托球体。球的下半被圆锥底面挡住的部分画虚线，或不画。

（3）成图。 擦辅助轴。圆锥底面椭圆被球挡住的那段弧改虚线；圆锥被自身挡住的那段底面弧 也改虚线。

自检三件事：俯视应看到两个同心圆（球小、底面大）；从前往后看，应看到「倒立三角形上头坐一个圆」； 球与圆锥底面只在圆心处相切，没有交线。三张视图对得上，图就对了。

这道题的动作：先读三视图还原成「下圆锥（顶点朝下）+ 上球」，再按第四节、第五节的办法分别画、拼起来。 )