7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

文字转写

每一个不等于零的复数有唯一的模与辐角的主值，并且由它的模与辐角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等。

练习

1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式： (1) 4; (2) -i; (3) $2\sqrt{3} + 2i$ ; (4) $-\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$ .

2. 下列复数是不是三角形式？如果不是，把它们表示成三角形式. (1) $\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}-\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ; (2) $-\frac{1}{2}\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)$ ; (3) $\frac{1}{2}\left(\sin\frac{5\pi}{12}+\mathrm{i}\cos\frac{5\pi}{12}\right)$ ; (4) $\cos\frac{7\pi}{5}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{5}$ ;

$2 \left(\cos \frac {\pi}{3} + \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{6}\right)$

3. 把下列复数表示成代数形式： (1) $6\left(\cos\frac{3\pi}{2}+\mathrm{i}\sin\frac{3\pi}{2}\right)$ ; (2) $2\left(\cos\frac{5\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{3}\right)$ .

7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

前面，我们研究了复数代数形式的乘、除运算，下面我们利用复数的三角表示研究复数的乘、除运算及其几何意义.

思考

如果把复数 $z_{1}$，$z_{2}$ 分别写成三角形式 $z_{1} = r_{1}(\cos \theta_{1} + \mathrm{i}\sin \theta_{1})$，$z_{2} = r_{2}(\cos \theta_{2} + \mathrm{i}\sin \theta_{2})$，你能计算 $z_{1}z_{2}$ 并将结果表示成三角形式吗？

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到

$\begin{array}{r l} z _ {1} z _ {2} & = r _ {1} (\cos \theta_ {1} + \mathrm{i} \sin \theta_ {1}) \cdot r _ {2} (\cos \theta_ {2} + \mathrm{i} \sin \theta_ {2}) \\ & = r _ {1} r _ {2} (\cos \theta_ {1} + \mathrm{i} \sin \theta_ {1}) (\cos \theta_ {2} + \mathrm{i} \sin \theta_ {2}) \\ & = r _ {1} r _ {2} \big [ (\cos \theta_ {1} \cos \theta_ {2} - \sin \theta_ {1} \sin \theta_ {2}) + \mathrm{i} (\sin \theta_ {1} \cos \theta_ {2} + \cos \theta_ {1} \sin \theta_ {2}) \big ] \\ & = r _ {1} r _ {2} \big [ \cos (\theta_ {1} + \theta_ {2}) + \mathrm{i} \sin (\theta_ {1} + \theta_ {2}) \big ], \end{array}$

即

$\begin{array}{r l} & r _ {1} (\cos \theta_ {1} + \mathrm{i} \sin \theta_ {1}) \cdot r _ {2} (\cos \theta_ {2} + \mathrm{i} \sin \theta_ {2}) \\ & = r _ {1} r _ {2} \big [ \cos (\theta_ {1} + \theta_ {2}) + \mathrm{i} \sin (\theta_ {1} + \theta_ {2}) \big ]. \end{array}$

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

探究

由复数乘法运算的三角表示，你能得到复数乘法的几何意义吗？

两个复数 $z_{1}$，$z_{2}$ 相乘时，可以像图7.3-6那样，先分别画出与 $z_{1}$，$z_{2}$ 对应的向量 $\overrightarrow{OZ_1}$，$\overrightarrow{OZ_2}$，然后把向量 $\overrightarrow{OZ_1}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转角 $\theta_{2}$（如果 $\theta_{2} < 0$，就要把 $\overrightarrow{OZ_1}$ 绕点 $O$ 按顺时针方向旋转角 $|\theta_{2}|$），再把它的模变为原来的 $r_2$ 倍，得到向量 $\overrightarrow{OZ}$，$\overrightarrow{OZ}$ 表示的复数就是积 $z_{1}z_{2}$. 这是复数乘法的几何意义.

你能解释 $i^2 = -1$ 和 $(-1)^2 = 1$ 的几何意义吗？

例 3 已知 $z_{1}=\frac{3}{2}\left(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)$ ， $z_{2}=2\left(\cos\frac{\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{3}\right)$ ，求 $z_{1}z_{2}$ ，请把结果化为代数形式，并作出几何解释.

$\begin{array}{r l} \text {解:} & z _ {1} z _ {2} = \frac {3}{2} \big (\cos \frac {\pi}{6} + \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{6} \big) \times 2 \big (\cos \frac {\pi}{3} + \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{3} \big) \\ & \qquad = \frac {3}{2} \times 2 \left[ \cos \big (\frac {\pi}{6} + \frac {\pi}{3} \big) + \mathrm{i} \sin \big (\frac {\pi}{6} + \frac {\pi}{3} \big) \right] \\ & \qquad = 3 \big (\cos \frac {\pi}{2} + \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{2} \big) \\ & \qquad = 3 \mathrm{i}. \end{array}$

• •

当不要求把计算结果化为代数形式时，也可以用三角形式表示.

首先作与 $z_{1}$，$z_{2}$ 对应的向量 $\overrightarrow{OZ_{1}}$，$\overrightarrow{OZ_{2}}$，然后把向量 $\overrightarrow{OZ_{1}}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{\pi}{3}$，再将其长度伸长为原来的2倍，这样得到一个长度为3，辐角为 $\frac{\pi}{2}$ 的向量 $\overrightarrow{OZ}$（图7.3-7）。$\overrightarrow{OZ}$ 即为积 $z_{1}z_{2} = 3\mathrm{i}$ 所对应的向量。

例 4 如图 7.3-8，向量 $\overrightarrow{OZ}$ 对应的复数为 $1 + i$ ，把 $\overrightarrow{OZ}$ 绕点 O 按逆时针方向旋转 $120^{\circ}$ ，得到 $\overrightarrow{OZ'}$ 。求向量 $\overrightarrow{OZ'}$ 对应的复数（用代数形式表示）。

分析：根据复数乘法的几何意义，向量 $\overrightarrow{OZ'}$ 对应的复数是复数 $1+i$ 与 $z_{0}$ 的积，其中复数 $z_{0}$ 的模是1，辐角的主值是 $120^{\circ}$ .

解：向量 $\overrightarrow{OZ'}$ 对应的复数为

$\begin{array}{r l} & (1 + \mathrm{i}) (\cos 1 2 0 ^ {\circ} + \mathrm{i} \sin 1 2 0 ^ {\circ}) \\ & = (1 + \mathrm{i}) \left(- \frac {1}{2} + \frac {\sqrt {3}}{2} \mathrm{i}\right) \\ & = \frac {- 1 - \sqrt {3}}{2} + \frac {\sqrt {3} - 1}{2} \mathrm{i}. \end{array}$

探究

复数的除法运算是乘法运算的逆运算. 根据复数乘法运算的三角表示, 你能得出复数除法运算的三角表示吗?

设 $z_{1} = r_{1}(\cos \theta_{1} + \mathrm{i}\sin \theta_{1}), z_{2} = r_{2}(\cos \theta_{2} + \mathrm{i}\sin \theta_{2})$ ，且 $z_{2} \neq 0$ ，因为

$r _ {2} (\cos \theta_ {2} + \mathrm{i} \sin \theta_ {2}) \cdot \frac {r _ {1}}{r _ {2}} [ \cos (\theta_ {1} - \theta_ {2}) + \mathrm{i} \sin (\theta_ {1} - \theta_ {2}) ] = r _ {1} (\cos \theta_ {1} + \mathrm{i} \sin \theta_ {1}),$

所以根据复数除法的定义，有

$\frac {r _ {1} (\cos \theta_ {1} + \mathrm{i} \sin \theta_ {1})}{r _ {2} (\cos \theta_ {2} + \mathrm{i} \sin \theta_ {2})} = \frac {r _ {1}}{r _ {2}} \big [ \cos (\theta_ {1} - \theta_ {2}) + \mathrm{i} \sin (\theta_ {1} - \theta_ {2}) \big ].$

这就是说，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差.

探究

类比复数乘法的几何意义，由复数除法运算的三角表示，你能得出复数除法的几何意义吗？

例 5 计算 $4\left(\cos\frac{4\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3}\right)\div\left[2\left(\cos\frac{5\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{6}\right)\right]$ ，并把结果化为代数形式. 解：原式 $=2\left[\cos\left(\frac{4\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right)+\mathrm{i}\sin\left(\frac{4\pi}{3}-\frac{5\pi}{6}\right)\right]$

$= 2 \left(\cos \frac {\pi}{2} + \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{2}\right) = 2 (0 + \mathrm{i}) = 2 \mathrm{i}.$

练习

1. 计算：

(1) $8\left(\cos\frac{\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{6}\right)\times2\left(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ;

(2) $2\left(\cos\frac{4\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3}\right)\times4\left(\cos\frac{5\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{5\pi}{6}\right)$ ;

(3) $\sqrt{2}$ ( $\cos 240^{\circ} + \mathrm{i}\sin 240^{\circ}$ ) $\times \frac{\sqrt{3}}{2}$ ( $\cos 60^{\circ} + \mathrm{i}\sin 60^{\circ}$ );

(4) $3(\cos 18^{\circ} + \mathrm{i}\sin 18^{\circ})\times 2(\cos 54^{\circ} + \mathrm{i}\sin 54^{\circ})\times 5(\cos 108^{\circ} + \mathrm{i}\sin 108^{\circ}).$

2. 计算：

(1) $12\left(\cos\frac{7\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{7\pi}{4}\right)\div\left[6\left(\cos\frac{2\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{2\pi}{3}\right)\right]$;

(2) $\sqrt{3} (\cos 150^{\circ} + \mathrm{i}\sin 150^{\circ})\div [\sqrt{2} (\cos 225^{\circ} + \mathrm{i}\sin 225^{\circ})]$;

(3) $2\div\left(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ;

- \mathrm{i} \div [ 2 (\cos 1 2 0 ^ {\circ} + \mathrm{i} \sin 1 2 0 ^ {\circ}) ]. \tag {4}

3. 在复平面内，把与复数 $3 - \sqrt{3}\mathrm{i}$ 对应的向量绕原点 $O$ 按顺时针方向旋转 $60^{\circ}$，求与所得的向量对应的复数（用代数形式表示）.

习题7.3

复习巩固

1. 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

(1) 6;

(2) $1+i;$

(3) $1-\sqrt{3}i;$

(4) $-\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} \mathrm{i}.$

2. 把下列复数表示成代数形式:

(1) $3\sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}+\mathrm{i}\sin\frac{\pi}{4}\right)$ ;

(2) $8\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)$ ;

(3) $9(\cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi)$ ;

(4) $6\left(\cos\frac{4\pi}{3}+\mathrm{i}\sin\frac{4\pi}{3}\right)$ .

3. 计算：

(1) $3\left(\cos \frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{3}\right) \times 3\left(\cos \frac{\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)$;

(2) $\sqrt{10}\left(\cos \frac{\pi}{2} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{2}\right) \times \sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{4} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{4}\right)$;

(3) $10\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) \div \left[5\left(\cos \frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{3}\right)\right]$;

(4) $12\left(\cos \frac{3\pi}{2} + \mathrm{i}\sin \frac{3\pi}{2}\right) \div \left[6\left(\cos \frac{\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{6}\right)\right].$

4. 计算下列各式，并作出几何解释：

(1) $\sqrt{2}\left(\cos \frac{2\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{2\pi}{3}\right) \times 2\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi}{3} + \mathrm{i}\sin \frac{\pi}{3}\right)$;

(2) $2(\cos 75^{\circ} + \mathrm{i}\sin 75^{\circ}) \times \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}\mathrm{i}\right)$;

(3) $4(\cos 300^{\circ} + \mathrm{i}\sin 300^{\circ})\div \left[\sqrt{2}\left(\cos \frac{3\pi}{4} +\mathrm{i}\sin \frac{3\pi}{4}\right)\right];$

(4) $\left(-\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}\right) \div \left[2 \left(\cos \frac{\pi}{3} + \mathrm{i} \sin \frac{\pi}{3}\right)\right].$

综合运用

5.（1）求证 $\frac{1}{\cos\theta + \mathrm{i}\sin\theta} = \cos \theta - \mathrm{i}\sin \theta;$

(2) 写出下列复数 z 的倒数 $\frac{1}{z}$ 的模与辐角：

$z = 4 \Big (\cos \frac {\pi}{1 2} + \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{1 2} \Big), \quad z = \cos \frac {\pi}{6} - \mathrm{i} \sin \frac {\pi}{6}, \quad z = \frac {\sqrt {2}}{2} (1 - \mathrm{i}).$

6. 求证：

(1) $(\cos 75^{\circ} + \mathrm{i}\sin 75^{\circ})(\cos 15^{\circ} + \mathrm{i}\sin 15^{\circ}) = \mathrm{i}$;

(\cos 3 \theta - \mathrm{i} \sin 3 \theta) (\cos 2 \theta - \mathrm{i} \sin 2 \theta) = \cos 5 \theta - \mathrm{i} \sin 5 \theta . \tag {2}

7. 化简：

(1) $\frac{(\cos 7\theta + \mathrm{i}\sin 7\theta)(\cos 2\theta + \mathrm{i}\sin 2\theta)}{(\cos 5\theta + \mathrm{i}\sin 5\theta)(\cos 3\theta + \mathrm{i}\sin 3\theta)}$;

(2) $\frac{\cos\varphi - \mathrm{i}\sin\varphi}{\cos\varphi + \mathrm{i}\sin\varphi}.$

8. 设 $z = \sqrt{3} - \mathrm{i}$ 对应的向量为 $\overrightarrow{OZ}$，将 $\overrightarrow{OZ}$ 绕点 $O$ 按逆时针方向和顺时针方向分别旋转 $45^{\circ}$ 和 $60^{\circ}$，求所得向量对应的复数（用代数形式表示）.

拓广探索

9. 如下页图，复平面内的 $\triangle ABC$ 是等边三角形，它的两个顶点 $A, B$ 的坐标分别为（1，0），(2，1)，求点 $C$ 的坐标.

10. 如下页图，已知平面内并列的三个全等的正方形，利用复数证明

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = \frac {\pi}{2}.$

探究与发现

1 的 n 次方根

初中我们学过，1的平方根为 $\pm 1$ ，它们互为相反数．如何求1的3次方根，4次方根…… $n$ 次方根？它们有什么性质呢？

我们知道开方是乘方的逆运算，为了探求1的 $n$ 次方根，需要先研究复数的乘方.

由复数乘法运算的三角表示知，若 $z_{1} = r_{1}(\cos \theta_{1} + \mathrm{i}\sin \theta_{1})$ ， z_{2} = r_{2}\cdot (\cos \theta_{2}+$$\mathrm{isin}\theta_{2}) ，则 $z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\left[\cos (\theta_{1} + \theta_{2}) + \mathrm{i}\sin (\theta_{1} + \theta_{2})\right]$ .这个结论可以推广到$n(n\geqslant 2$ ， $n\in \mathbf{N})$ 个复数相乘的情况，即若 $z_{1} = r_{1}(\cos \theta_{1} + \mathrm{i}\sin \theta_{1})$ ， z_{2} = r_{2}(\cos \theta_{2}+$$\mathrm{isin}\theta_{2}) ，…， $z_{n} = r_{n}(\cos \theta_{n} + \mathrm{i}\sin \theta_{n})$ ，则

$z _ {1} z _ {2} \dots z _ {n} = r _ {1} r _ {2} \dots r _ {n} \left[ \cos \left(\theta_ {1} + \theta_ {2} + \dots + \theta_ {n}\right) + \mathrm{i} \sin \left(\theta_ {1} + \theta_ {2} + \dots + \theta_ {n}\right) \right].$

特别地，如果 $z_{1}=z_{2}=\cdots=z_{n}=r(\cos\theta+\mathrm{i}\sin\theta)$ ，那么

$[ r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta) ] ^ {n} = r ^ {n} (\cos n \theta + \mathrm{i} \sin n \theta).$

这就是说，复数的 $n$ （$n \in \mathbf{N}^*$）次幂的模等于这个复数的模的 $n$ 次幂，它的辐角等于这个复数的辐角的 $n$ 倍，这个结论叫做棣莫弗定理.

类比复数乘法的几何意义，你能给出复数乘方的几何意义吗？

下面我们利用棣莫弗定理，探求1的3次方根，给出它们的几何解释，并探求它们的性质.

设 z = \rho (\cos \varphi +\mathrm{i}\sin \varphi)$$(\rho >0) 是1的3次方根，则 $z^3 = 1 = \cos 0 + \mathrm{i}\sin 0$ ，从而

$[ \rho (\cos \varphi + \mathrm{i} \sin \varphi) ] ^ {3} = \rho^ {3} (\cos 3 \varphi + \mathrm{i} \sin 3 \varphi) = \cos 0 + \mathrm{i} \sin 0.$

因为相等的复数的模相等，辐角可以相差 $2\pi$ 的整数倍，所以

$\left\{ \begin{array}{l} \rho^ {3} = 1, \\ 3 \varphi = 0 + 2 k \pi (k \in \mathbf {Z}), \end{array} \right.$

即

$\left\{ \begin{array}{l} \rho = 1, \\ \varphi = \frac {2 k \pi}{3} (k \in \mathbf {Z}). \end{array} \right.$

因此1的3次方根是 $\cos \frac{2k\pi}{3} +\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi}{3} (k\in \mathbf{Z}).$

根据三角函数的周期性可得，1的3次方根为 $\omega_{k} = \cos \frac{2k\pi}{3} +\mathrm{i}\sin \frac{2k\pi}{3}$ （ $k = 0$ 1，2)，即 $\omega_0 = \cos 0 + \mathrm{i}\sin 0 = 1$ ， \omega_{1} = \cos \frac{2\pi}{3} +\mathrm{i}\sin \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i},\omega_{2} = \cos \frac{4\pi}{3} +$$\mathrm{isin}\frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2} -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}.

1的3次方根的几何意义是什么呢？

如图1，在复平面内，设 $\omega_0, \omega_1, \omega_2$ 对应的点分别为 $Z_0, Z_1, Z_2$，对应的向量分别为 $\overrightarrow{OZ_0}, \overrightarrow{OZ_1}, \overrightarrow{OZ_2}$。因为 $|\omega_0| = |\omega_1| = |\omega_2| = 1$，所以 $\omega_0, \omega_1, \omega_2$ 所对应的点 $Z_0, Z_1, Z_2$ 都在以原点 $O$ 为圆心的单位圆上。因为 $\omega_0, \omega_1, \omega_2$ 的辐角依次相差 $\frac{2\pi}{3}$，所以 $Z_0, Z_1, Z_2$ 是单位圆的三等分点（也可以看成单位圆的内接正三角形的顶点），且分点 $Z_0$ 恰为单位圆与实轴的正半轴的交点。

从 $\omega_0, \omega_1, \omega_2$ 对应的向量 $\overrightarrow{OZ_0}, \overrightarrow{OZ_1}, \overrightarrow{OZ_2}$ 来看，容易发现：将 $\overrightarrow{OZ_0}$ 绕原点 $O$ 按逆时针方向旋转 $\frac{2\pi}{3}$ 得到 $\overrightarrow{OZ_1}$，再按逆时针方向旋转 $\frac{2\pi}{3}$ 得到 $\overrightarrow{OZ_2}$，继续按逆时针方向旋转 $\frac{2\pi}{3}$ 得到 $\overrightarrow{OZ_0}$.

我们还可以得到 1 的 3 次方根的一些性质：

(1) $(\omega_{k})^{3}=1,\quad|\omega_{k}|=1$ ，其中k=0,1,2;

(2) $\omega_{1}$ 和 $\omega_{2}$ 互为共轭复数；

(3) $1+\omega_{k}+\omega_{k}^{2}=0$ (k=1, 2).

你能证明这些性质吗？

类比上述研究方法，请你自己探求1的4次方根，5次方根……n次方根.你能解释它们的几何意义，并探求它们的性质吗？

小结

一、本章知识结构

二、回顾与思考

本章我们通过解方程引入了复数，进而研究了复数的表示和运算，以及它们的几何意义，将实数系扩充成复数系.

在数学史上，从古希腊丢番图时代人们求一元二次方程的解时发现复数问题开始，到意大利数学家卡尔达诺在他1545年出版的《大术》中，在求解一元三次方程过程中无法回避虚数问题，再到18世纪末韦塞尔给出复数的几何表示，人们才开始接受复数，这是一个漫长而曲折的过程，其中充满着数学家的想象力、创造力，表现了数学家不屈不挠、精益求精的精神。我们看到，人们是在解决纯粹的数学问题的过程中发现复数的，但它现在在流体力学、信号分析等学科中得到了广泛的应用。1843年，英国数学家哈密顿在复数基础上构造了四元数，从而导致了物理学中著名的麦克斯韦方程的建立，显示了人类理性思维的强大作用。

复数本质上是一对有序实数，因此复数与复平面内的点是一一对应的，与复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，由复数的向量表示可以进一步得到复数的三角形式。因此，复数的代数形式、三角形式都具有明显的几何意义。从复数的运算看，复数代数形式的加、减运算的几何意义，就是相应平面向量的加减运算；复数的乘、除运算的几何意义，就是平面向量的旋转、伸缩。本章强调数与形的结合，学习时应注意把握数形结合的思想方法。

学习本章时，应注意复数与实数、有理数的联系，复数及其代数形式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、乘法运算的联系，应注意复数及其代数形式的加、减运算与平面向量及其加、减运算的联系，还应关注复数的三角表示以及复数的乘、除运算与平面向量、三角函数的联系。这些联系可以用以下框图表示：

多项式及其运算 复数及其运算 类比 平面向量 及其运算 特殊化 实数及其运算 类比 数轴上的向 量及其运算 特殊化 有理数及其运算

请你带着下面的问题，复习一下全章内容吧！

1. 收集一些从实数系扩充到复数系的数学史料，并对“整数—有理数—实数—复数”的数系扩充过程进行整理.

2. 学习复数应联系实数，注意到复数事实上是一对有序实数，请比较实数、虚数、纯虚数、复数之间的区别和联系，比较实数和复数的几何意义的区别.

3. 你对复数四则运算法则规定的合理性，以及复数代数形式的加、减运算与向量的加、减运算的一致性有什么体会？

4. 什么是复数的三角形式？它与复数的几何意义之间有什么联系？复数的代数形式与三角形式之间有什么关系？

5. 复数乘、除运算的几何意义是什么？

6. 比较复数乘、除运算的代数表示与三角表示，体会复数的三角表示给乘、除运算带来的便利.

复习参考题 7

复习巩固

1. 选择题

(1) 复数 $a + bi$ 与 $c + di$ 的积是实数的充要条件是（）. (A) $ad + bc = 0$ (B) $ac + bd = 0$ (C) ac = bd (D) ad = bc

(2) 复数 $\frac{5}{\mathrm{i} - 2}$ 的共轭复数是（）. (A) $\mathrm{i} + 2$ (B) $\mathrm{i} - 2$ (C) $-2 - \mathrm{i}$ (D) $2 - \mathrm{i}$(3) 当 $\frac{2}{3} < m < 1$ 时, 复数 $m(3 + \mathrm{i}) - (2 + \mathrm{i})$ 在复平面内对应的点位于 ( ). (A) 第一象限 (B) 第二象限 (C) 第三象限 (D) 第四象限

*(4) 复数 $\sin 40^{\circ}$ —icos $40^{\circ}$ 的辐角主值是（）. (A) $40^{\circ}$ (B) $140^{\circ}$ (C) $220^{\circ}$ (D) $310^{\circ}$

2. 填空题

（1）若复数 z 的模为 5，虚部为 -4，则复数 z=____。

(2) 已知复数 z=1-2i，那么 $\frac{1}{\bar{z}}=$ ____.

(3) 复数 $6 + 5i$ 与 $-3 + 4i$ 分别表示向量 $\overrightarrow{OA}$ 与 $\overrightarrow{OB}$ ，则表示向量 $\overrightarrow{BA}$ 的复数为

*(4) 如果向量$\overrightarrow{OZ}$对应复数4i，$\overrightarrow{OZ}$绕点O按逆时针方向旋转$45^{\circ}$后再把模变为原来的$\sqrt{2}$倍得到向量$\overrightarrow{OZ_{1}}$，那么与$\overrightarrow{OZ_{1}}$对应的复数是____（用代数形式表示）.

3. 求证： $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = |\bar{z}|^2$.

4. 已知复数 $z$ 与 $(z + 2)^2 - 8\mathrm{i}$ 都是纯虚数，求 $z$.

5. 在复数集 C 中解下列方程： (1) $4x^{2}+9=0;$

(2) $(x-3)(x-5)+2=0.$

综合运用

6. 已知 $z_{1} = 5 + 10\mathrm{i}$, $z_{2} = 3 - 4\mathrm{i}$, $\frac{1}{z} = \frac{1}{z_{1}} + \frac{1}{z_{2}}$, 求 $z$.

7. 已知 $(1 + 2\mathrm{i})\bar{z} = 4 + 3\mathrm{i}$，求 $z$ 及 $\frac{z}{\bar{z}}$.

8.（1）求 $i^{1}$ ， $i^{2}$ ， $i^{3}$ ， $i^{4}$ ， $i^{5}$ ， $i^{6}$ ， $i^{7}$ ， $i^{8}$ 的值；

（2）由（1）推测 $i^{n}$ （ $n \in N^{*}$ ）的值有什么变化规律，并把这个规律用式子表示出来.

拓广探索

9. 已知复数 $z_{1} = m + (4 - m^{2})\mathrm{i}(m\in \mathbf{R})$ ， $z_{2} = 2\cos \theta +(\lambda +3\sin \theta)\mathrm{i}(\lambda ,\theta \in \mathbf{R})$ ，并且 $z_{1} = z_{2}$ 求 $\lambda$ 的取值范围.

*10. 在复平面的上半平面内有一个菱形 $OABC$，$\angle AOC = 120^{\circ}$，点 $A$ 所对应的复数是 $2 + \mathrm{i}$，求另外两个顶点 $B$，$C$ 所对应的复数.

第八章立体几何初步

立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用。在小学和初中，我们已经认识了一些从现实物体中抽象出来的立体图形，你能在下图中找到它们吗？

立体图形各式各样、千姿百态，如何认识和把握它们呢？本章我们将从对空间几何体的整体观察入手，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法；借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、直线、平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质.

立体图形是由现实物体抽象而成的。直观感知、操作确认、推理论证、度量计算，是认识立体图形的基本方法。由整体到局部，由局部再到整体，是认识立体图形的有效途径。学习本章内容要注意观察，并善于想象。