7.3.1 复数的三角表示式

带星号的这一节要给复数换一件外衣。换衣服本身不难，难的是看懂为什么值得换—— 理由要到下一节才完全兑现：三角形式下的乘、除运算只动”模”和”辐角”两个数， 几何上就是旋转加伸缩。本节先把这件外衣裁好。

前面我们研究了复数 $a + bi$ 及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示。它可以帮助我们进一步认识复数，同时能给复数的运算带来便利。

一、换表示法的动机：向量本来就有两种说法

我们知道，复数可以用 $a + b\mathrm{i}(a,b\in \mathbf{R})$ 的形式来表示，复数 $a + b\mathrm{i}$ 与复平面内的点$Z(a,b)$ 是一一对应的，与平面向量 $\overrightarrow{OZ} = (a,b)$ 也是一一对应的.借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？

如图7.3-1，复数 $z = a + bi$ 与向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$ 一一对应，复数 $z$ 由向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的坐标 $(a, b)$ 唯一确定。我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？

这个”探究”的落点是一个很朴素的类比：

• 描述一个向量，可以说它的坐标 $(a,b)$，也可以说它的大小和方向；
• 复数与向量一一对应，所以描述复数也该有这两套说法。

代数形式 $a+b\mathrm i$ 走的是第一条路。本节要走第二条。

向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图7.3-1容易想到，可以借助以 $x$ 轴的非负半轴为始边，以向量 $\overrightarrow{OZ}$ 所在射线（射线 $OZ$ ）为终边的角 $\theta$ 来刻画$\overrightarrow{OZ}$ 的方向.

“方向”这个词必须先量化成一个数，否则没法写进式子。 课本的办法是用角：以 $x$ 轴非负半轴为始边、以射线 $OZ$ 为终边的角 $\theta$。 这正是必修一学过的任意角的定义，所以 $\theta$ 天然可以超过 $2\pi$，也可以是负的—— 这一点后面讲主值时要用到。

二、三角形式是怎么算出来的

你能用向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的模和角 $\theta$ 来表示复数 $z$ 吗？

记向量的模 $|\overrightarrow{OZ}| = |a + bi| = r$ ，由图7.3-1可以得到，

$\left\{ \begin{array}{l} a = r \cos \theta , \\ b = r \sin \theta . \end{array} \right.$

$a + b \mathrm{i} = r \cos \theta + \mathrm{i} r \sin \theta = r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),$

这三行是本节的全部推导，逐字看一遍：

1. 由三角函数的定义（终边上一点的坐标），$a=r\cos\theta$、$b=r\sin\theta$；
2. 把它们代回 $a+b\mathrm i$，得到 $r\cos\theta+\mathrm i\,r\sin\theta$；
3. 提取公因式 $r$，就是 $r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$。

第 3 步只是提公因式，没有任何新内容——这也说明三角形式并不是一种”新的复数”， 只是同一个复数的另一种写法。

$r = \sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}},$

$\cos \theta = \frac {a}{r},$

$\sin \theta = \frac {b}{r}.$

注意 $\theta$ 是由 $\cos\theta$ 与 $\sin\theta$ 两式联合确定的，不是由 $\tan\theta$ 定的。 只算 $\tan\theta=\dfrac ba$ 会得到两个相差 $\pi$ 的候选角，落在哪个象限分不出来。 两式一起用，象限就唯一了。

边界情形：点在坐标轴上时还成立吗

当点 $Z$ 在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？

成立，而且值得逐种验一遍，因为公式里出现了分母 $r$：

• $z$ 是正实数（点在实轴正半轴）：$r=a>0$，$\cos\theta=1$、$\sin\theta=0$，$\theta=0$， $z=r(\cos0+\mathrm i\sin0)=r$，对；
• $z$ 是负实数：$r=|a|$，$\cos\theta=-1$、$\sin\theta=0$，$\theta=\pi$，$z=-r$，对；
• $z$ 是纯虚数 $b\mathrm i$（$b>0$）：$r=b$，$\cos\theta=0$、$\sin\theta=1$，$\theta=\dfrac\pi2$， $z=b\mathrm i$，对；$b<0$ 时 $\theta=\dfrac{3\pi}2$，同样对；
• $z=0$：这时 $r=0$，$\cos\theta=\dfrac ar$ 与 $\sin\theta=\dfrac br$ 的分母为零，公式失效。 但 $0=0\cdot(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 对任何 $\theta$ 都成立， 所以三角形式仍然写得出来，只是辐角不唯一。这正是下面”零的辐角任意”那句话的来历。

所以答案是：只要 $z\neq 0$，坐标轴上的点毫无例外；$z=0$ 是唯一需要单说的情形。

三、模、辐角与辐角的主值

这样，我们就用刻画向量大小的模 r 和刻画向量方向的角 $\theta$ 表示了复数 z.

一般地，任何一个复数 $z=a+bi$ 都可以表示成

$r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$

的形式. 其中，r 是复数 z 的模； $\theta$ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 $\overrightarrow{OZ}$ 所在射线（射线 OZ）为终边的角，叫做复数 $z = a + bi$ 的辐角（argument of a complex number）. $r(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$ 叫做复数 $z = a + bi$ 的三角表示式，简称三角形式. 为了与三角形式区分开来， $a + bi$ 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 $2\pi$ 的整数倍。例如，复数i的辐角是 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ，其中 $k$ 可以取任何整数。对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。我们规定在 $0 \leqslant \theta < 2\pi$ 范围内的辐角 $\theta$ 的值为辐角的主值。通常记作 $\arg z$ ，即 $0 \leqslant \arg z < 2\pi$ 。例如，$\arg 1 = 0$ ，$\arg \mathrm{i} = \frac{\pi}{2}$ ，$\arg (-1) = \pi$ ，$\arg (-\mathrm{i}) = \frac{3\pi}{2}$。

这一段信息量很大，拆成四条记：

• 模 $r$ 是唯一的，$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}\geqslant 0$；
• 辐角不唯一，任意两个辐角相差 $2\pi$ 的整数倍。 所以”$z$ 的辐角”是一族数，写成 $\theta+2k\pi$；
• 辐角的主值 $\arg z$ 是唯一的，规定取在 $0\leqslant\arg z<2\pi$ 里。 注意这个区间是 $[0,2\pi)$，不是 $(-\pi,\pi]$——不同教材约定不同，本册用前者；
• $0$ 的辐角是任意的，因为零向量没有方向。于是 $\arg 0$ 没有定义。

课本给的四个例子值得记住，它们是坐标轴上四个方向的标准答案：

$\arg(-\mathrm i)=\dfrac{3\pi}2$ 而不是 $-\dfrac\pi2$，就是因为主值被规定在 $[0,2\pi)$ 内。

复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式. 我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.

四、两道例题

例 1 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

(1) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$; (2) $1 - \mathrm{i}$.

分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

这句”分析”其实给出了通法：定模、定一个辐角，两步就够。

解：（1）复数 $\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 对应的向量如图7.3-2所示，则

$r = \sqrt {\left(\frac {1}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\sqrt {3}}{2}\right) ^ {2}} = 1, \cos \theta = \frac {1}{2}.$

因为与 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 对应的点在第一象限，所以 $\arg\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{\pi}{3}$ .

于是 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$ .

(2) 复数 1-i 对应的向量如图 7.3-3 所示，则

$r = \sqrt {1 ^ {2} + (- 1) ^ {2}} = \sqrt {2}, \cos \theta = \frac {1}{\sqrt {2}} = \frac {\sqrt {2}}{2}.$

因为与 1-i 对应的点在第四象限，所以 $\arg(1-i)=\frac{7\pi}{4}$ .

于是 $1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$ .

两小题都只写了 $\cos\theta$，没写 $\sin\theta$，靠的是”点在第几象限”这句话补足。 这是课本的省写法，但自己做题时最好两式都写： 第 (1) 题 $\cos\theta=\dfrac12$ 的候选是 $\dfrac\pi3$ 和 $\dfrac{5\pi}3$， 是”点在第一象限”（等价于 $\sin\theta>0$）把它定死在 $\dfrac\pi3$； 第 (2) 题 $\cos\theta=\dfrac{\sqrt2}2$ 的候选是 $\dfrac\pi4$ 和 $\dfrac{7\pi}4$， 是”点在第四象限”（等价于 $\sin\theta<0$）选中了 $\dfrac{7\pi}4$。

当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角 $\theta$ 不一定取主值。例如 $\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]$ 也是 $1 - \mathrm{i}$ 的三角形式。

这句话把”三角形式”和”主值”分开了，别混为一谈： 三角形式只要求写成 $r(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$，$\theta$ 取哪个辐角都算对； 只有题目明确要”辐角的主值”时，才必须调进 $[0,2\pi)$。

例 2 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

(1) $\cos \pi + \mathrm{i}\sin \pi$; (2) $6\left(\cos \frac{11\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi}{6}\right)$.

解：（1）复数 $\cos\pi + \mathrm{i}\sin\pi$ 的模 r = 1，一个辐角 $\theta = \pi$ ，对应的向量如图 7.3-4 所示。所以

$\cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi = - 1 + 0 \mathrm{i} = - 1.$

(2) 复数 $6\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)$ 的模 r=6，一个辐角 $\theta=\frac{11\pi}{6}$ ，对应的向量如图 7.3-5 所示。所以

（转写到这里断了，第 (2) 小题的结果是

$$6\left(\cos\frac{11\pi}6+\mathrm i\sin\frac{11\pi}6\right) =6\left(\frac{\sqrt3}2-\frac12\mathrm i\right)=3\sqrt3-3\mathrm i$$

$\dfrac{11\pi}6$ 在第四象限，所以实部为正、虚部为负，与结果吻合。）

例 2 是例 1 的逆向：例 1 从代数形式出发求模和辐角，例 2 从三角形式出发代回三角函数值。 两个方向都要熟，因为下一节做乘除时经常要”先化成三角形式算，再化回代数形式答”。

五、思考：两个三角形式的复数何时相等

两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？

先想清楚为什么这个问题值得问：代数形式下判断相等很简单——实部和虚部分别相等。 但三角形式下 $\theta$ 不唯一，$1\cdot(\cos 0+\mathrm i\sin 0)$ 和 $1\cdot(\cos 2\pi+\mathrm i\sin 2\pi)$ 写法不同却是同一个复数， 所以不能简单地说”$r$ 相等且 $\theta$ 相等”。

正确的判据是：对两个非零复数，相等当且仅当模相等、且辐角相差 $2\pi$ 的整数倍； 等价地，模相等且辐角的主值相等（因为主值唯一）。零复数要单独说： $z=0$ 当且仅当 $r=0$，此时辐角不作要求。

课本把这个结论写在下一节的开头（第 86 页），本站的 §7.3.2 那一节引用了原文。 这条判据是求 $1$ 的 $n$ 次方根时最关键的一步： 若按”辐角必须相等”去解，$n$ 个根只会解出一个。

六、常见错法

• 只用 $\tan\theta=\dfrac ba$ 定辐角。它分不出象限，会差 $\pi$。 必须由 $\cos\theta=\dfrac ar$ 和 $\sin\theta=\dfrac br$ 联合确定。
• 把主值区间记成 $(-\pi,\pi]$。本册规定 $0\leqslant\arg z<2\pi$， 所以 $\arg(-\mathrm i)=\dfrac{3\pi}2$，不是 $-\dfrac\pi2$。
• 把模写成负数。$r=\sqrt{a^2+b^2}\geqslant 0$， 形如 $-2(\cos\theta+\mathrm i\sin\theta)$ 的式子不是三角形式， 要把负号并进辐角（加 $\pi$）。
• 对 $z=0$ 谈辐角。零向量没有方向，$\arg 0$ 没有定义。
• 把 $r(\cos\theta-\mathrm i\sin\theta)$ 当成三角形式。中间必须是加号； 遇到减号先用 $\cos(-\theta)=\cos\theta$、$\sin(-\theta)=-\sin\theta$ 化过来。
• 认为三角形式的写法唯一。同一个复数有无穷多种三角形式（辐角差 $2k\pi$）， 唯一的是模和主值。