7.3.1 复数的三角表示式

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7.3* 复数的三角表示

前面我们研究了复数 $a + bi$ 及其四则运算，本节研究复数的另一种重要表示——复数的三角表示。它可以帮助我们进一步认识复数，同时能给复数的运算带来便利。

7.3.1 复数的三角表示式

我们知道，复数可以用 $a + b\mathrm{i}(a,b\in \mathbf{R})$ 的形式来表示，复数 $a + b\mathrm{i}$ 与复平面内的点$Z(a,b)$ 是一一对应的，与平面向量 $\overrightarrow{OZ} = (a,b)$ 也是一一对应的.借助复数的几何意义，复数能不能用其他形式来表示呢？

探究

如图7.3-1，复数 $z = a + bi$ 与向量 $\overrightarrow{OZ} = (a, b)$ 一一对应，复数 $z$ 由向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的坐标 $(a, b)$ 唯一确定。我们知道向量也可以由它的大小和方向唯一确定，那么能否借助向量的大小和方向这两个要素来表示复数呢？如何表示？

向量的大小可以用模来刻画，那么向量的方向如何刻画呢？由图7.3-1容易想到，可以借助以 $x$ 轴的非负半轴为始边，以向量 $\overrightarrow{OZ}$ 所在射线（射线 $OZ$ ）为终边的角 $\theta$ 来刻画$\overrightarrow{OZ}$ 的方向.

思考

你能用向量 $\overrightarrow{OZ}$ 的模和角 $\theta$ 来表示复数 $z$ 吗？

记向量的模 $|\overrightarrow{OZ}| = |a + bi| = r$ ，由图7.3-1可以得到，

$\left\{ \begin{array}{l} a = r \cos \theta , \\ b = r \sin \theta . \end{array} \right.$

所以

$a + b \mathrm{i} = r \cos \theta + \mathrm{i} r \sin \theta = r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta),$

其中

$r = \sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}},$

$\cos \theta = \frac {a}{r},$

$\sin \theta = \frac {b}{r}.$

当点 $Z$ 在实轴或虚轴上时，这个结论成立吗？

这样，我们就用刻画向量大小的模 r 和刻画向量方向的角 $\theta$ 表示了复数 z.

一般地，任何一个复数 $z=a+bi$ 都可以表示成

$r (\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$

的形式. 其中，r 是复数 z 的模； $\theta$ 是以 x 轴的非负半轴为始边，向量 $\overrightarrow{OZ}$ 所在射线（射线 OZ）为终边的角，叫做复数 $z = a + bi$ 的辐角（argument of a complex number）. $r(\cos \theta + \mathrm{i} \sin \theta)$ 叫做复数 $z = a + bi$ 的三角表示式，简称三角形式. 为了与三角形式区分开来， $a + bi$ 叫做复数的代数表示式，简称代数形式.

显然，任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 $2\pi$ 的整数倍。例如，复数i的辐角是 $\frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ，其中 $k$ 可以取任何整数。对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的。我们规定在 $0 \leqslant \theta < 2\pi$ 范围内的辐角 $\theta$ 的值为辐角的主值。通常记作 $\arg z$ ，即 $0 \leqslant \arg z < 2\pi$ 。例如，$\arg 1 = 0$ ，$\arg \mathrm{i} = \frac{\pi}{2}$ ，$\arg (-1) = \pi$ ，$\arg (-\mathrm{i}) = \frac{3\pi}{2}$。

复数的代数形式可以转化为三角形式，三角形式也可以转化为代数形式. 我们可以根据运算的需要，将复数的三角形式和代数形式进行互化.

例 1 画出下列复数对应的向量，并把这些复数表示成三角形式：

(1) $\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \mathrm{i}$; (2) $1 - \mathrm{i}$.

分析：只要确定复数的模和一个辐角，就能将复数的代数形式转化为三角形式.

解：（1）复数 $\frac{1}{2} +\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{i}$ 对应的向量如图7.3-2所示，则

$r = \sqrt {\left(\frac {1}{2}\right) ^ {2} + \left(\frac {\sqrt {3}}{2}\right) ^ {2}} = 1, \cos \theta = \frac {1}{2}.$

因为与 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ 对应的点在第一象限，所以 $\arg\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=\frac{\pi}{3}$ . 于是 $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i=\cos\frac{\pi}{3}+i\sin\frac{\pi}{3}$ .

(2) 复数 1-i 对应的向量如图 7.3-3 所示，则

$r = \sqrt {1 ^ {2} + (- 1) ^ {2}} = \sqrt {2}, \cos \theta = \frac {1}{\sqrt {2}} = \frac {\sqrt {2}}{2}.$

因为与 1-i 对应的点在第四象限，所以 $\arg(1-i)=\frac{7\pi}{4}$ . 于是 $1-i=\sqrt{2}\left(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\right)$ .

当然，把一个复数表示成三角形式时，辐角 $\theta$ 不一定取主值。例如 $\sqrt{2}\left[\cos \left(-\frac{\pi}{4}\right) + \mathrm{i}\sin \left(-\frac{\pi}{4}\right)\right]$ 也是 $1 - \mathrm{i}$ 的三角形式。

例 2 分别指出下列复数的模和一个辐角，画出它们对应的向量，并把这些复数表示成代数形式：

(1) $\cos \pi + \mathrm{i}\sin \pi$; (2) $6\left(\cos \frac{11\pi}{6} + \mathrm{i}\sin \frac{11\pi}{6}\right)$.

解：（1）复数 $\cos\pi + \mathrm{i}\sin\pi$ 的模 r = 1，一个辐角 $\theta = \pi$ ，对应的向量如图 7.3-4 所示。所以

$\cos \pi + \mathrm{i} \sin \pi = - 1 + 0 \mathrm{i} = - 1.$

(2) 复数 $6\left(\cos\frac{11\pi}{6}+\mathrm{i}\sin\frac{11\pi}{6}\right)$ 的模 r=6，一个辐角 $\theta=\frac{11\pi}{6}$ ，对应的向量如图 7.3-5 所示。所以

思考

两个用三角形式表示的复数在什么条件下相等？