6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

文字转写

直角三角形.

证明：如图6.3-6，设 $\overrightarrow{CD} = a$ ， $\overrightarrow{DA} = b$ ，则 $\overrightarrow{CA} = a + b$ ，$\overrightarrow{DB} = -b$ ，于是 $\overrightarrow{CB} = a - b$

$\overrightarrow {C A} \cdot \overrightarrow {C B} = (a + b) \cdot (a - b) = a ^ {2} - b ^ {2}.$

因为 $CD=\frac{1}{2}AB$ ,

所以 CD=DA.

因为 $a^{2}=CD^{2}$ ， $b^{2}=DA^{2}$ ，

所以 $\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB} = 0.$

因此 $CA \perp CB$.

于是 $\triangle ABC$ 是直角三角形.

向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段（或直线）是否垂直的重要方法之一.

练习

1. 如图，AD，BE，CF 是△ABC 的三条中线， $\overrightarrow{CA}=a$ ， $\overrightarrow{CB}=b$ 。用 a，b 表示 $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{AD}$ ， $\overrightarrow{BE}$ ， $\overrightarrow{CF}$ 。

2. 如图，平行四边形 $ABCD$ 的两条对角线相交于点 $O$，$\overrightarrow{AB} = a$，$\overrightarrow{AD} = b$，点 $E$，$F$ 分别是 $OA$，$OC$ 的中点，$G$ 是 $CD$ 的三等分点（$DG = \frac{1}{3}CD$）.

(1) 用 a, b 表示 $\overrightarrow{DE}$ , $\overrightarrow{FB}$ , $\overrightarrow{OG}$ ;

(2) 能由 (1) 得出 DE, BF 的关系吗?

3. 如图，在 $\triangle ABC$ 中，$AD = \frac{1}{4} AB$，点 $E$，$F$ 分别是 $AC$，$BC$ 的中点。设 $\overrightarrow{AB} = \boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AC} = \boldsymbol{b}$。

(1) 用 a, b 表示 $\overrightarrow{CD}$ , $\overrightarrow{EF}$ .

(2) 如果 $\angle A = 60^{\circ}$ ，AB = 2AC，CD，EF 有什么关系？用向量方法证明你的结论.

(第3题)

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示

给定平面内两个不共线的向量 $e_1$ ， $e_2$ ，由平面向量基本定理可知，平面上的任意向量 $a$ ，均可分解为两个向量 $\lambda_1e_1$ ， $\lambda_2e_2$ ，即 $a = \lambda_1e_1 + \lambda_2e_2$ ，其中向量 $\lambda_1e_1$ 与 $e_1$ 共线，向

量 $\lambda_{2}e_{2}$ 与 $e_{2}$ 共线.

不共线的两个向量相互垂直是一种重要的情形. 把一个向量分解为两个互相垂直的向量, 叫做把向量作正交分解. 如图 6.3-7, 重力 $G$ 沿互相垂直的两个方向分解就是正交分解. 正交分解是向量分解中常见而实用的一种情形.

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重力 G 可以分解为这样两个分力：平行于斜面使木块沿斜面下滑的力 $F_{1}$ ，垂直于斜面的压力 $F_{2}$ .

在平面上，如果选取互相垂直的向量作为基底时，将为我们研究问题带来方便.

思考

我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对有序实数（即它的坐标）表示.那么，如何表示直角坐标平面内的一个向量呢？

如图 6.3-8，在平面直角坐标系中，设与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为 i，j，取 $\{i, j\}$ 作为基底。对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数 x，y，使得

$\boldsymbol {a} = x \boldsymbol {i} + y \boldsymbol {j}.$

这样，平面内的任一向量 a 都可由 x，y 唯一确定，我们把有序数对 $(x, y)$ 叫做向量 a 的坐标，记作

\boldsymbol {a} = (x, y).\tag{①}

其中，x 叫做 a 在 x 轴上的坐标，y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，①叫做向量 a 的坐标表示.

显然， $i=(1,0)$ ， $j=(0,1)$ ， $\mathbf{0}=(0,0)$ .

如图 6.3-9，在直角坐标平面中，以原点 O 为起点作 $\overrightarrow{OA}=a$ ，则点 A 的位置由向量 a 唯一确定.

设 $\overrightarrow{OA}=xi+yj$ ，则向量 $\overrightarrow{OA}$ 的坐标 $(x,y)$ 就是终点A的坐标；反过来，终点A的坐标 $(x,y)$ 也就是向量 $\overrightarrow{OA}$ 的坐标。因为 $\overrightarrow{OA}=a$ ，所以终点A的坐标 $(x,y)$ 就是向量a的坐标。这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系。