6.2.3 向量的数乘运算

加法、减法之后，第三个运算是数乘。它是”同一个向量连加”的简写， 但真正的价值在本节末尾的共线定理——那才是向量能用来做几何的起点。

一、从连加到数乘

已知非零向量 $a$ ，作出 $a + a + a$ 和 $(-a) + (-a) + (-a)$ .它们的长度和方向分别是怎样的？

如图6.2-14，$\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = a + a + a$。类比数的乘法，我们把 $a + a + a$ 记作 $3a$，即 $\overrightarrow{OC} = 3a$。显然 $3a$ 的方向与 $a$ 的方向相同，$3a$ 的长度是 $a$ 的长度的3倍，即 $|3a| = 3|a|$。

类似地，由图6.2-14可知， $\overrightarrow{PN}=\overrightarrow{PQ}+\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MN}=(-a)+(-a)+(-a)$ ，我们把 $(-a)+(-a)+(-a)$ 记作-3a，即 $\overrightarrow{PN}=-3a$ 。显然-3a的方向与a的方向相反，-3a的长度是a的长度的3倍，即 $|-3a|=3|a|$ 。

于是有定义：

一般地，我们规定实数 $\lambda$ 与向量 a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘（scalar multiplication of vectors），记作 $\lambda a$ ，它的长度与方向规定如下：

(1) $|\lambda a| = |\lambda ||a|$;

(2) 当 $\lambda > 0$ 时， $\lambda a$ 的方向与 a 的方向相同；当 $\lambda < 0$ 时， $\lambda a$ 的方向与 a 的方向相反.

由（1）可知，当 $\lambda=0$ 时， $\lambda a=0$ .

由（1）（2）可知， $(-1)a=-a$ .

定义里的两条分别管什么：

• (1) 管长度：$|\lambda a|=|\lambda|\,|a|$。注意右边是 $\lambda$ 的绝对值， 长度永远非负。
• (2) 管方向：$\lambda>0$ 同向，$\lambda<0$ 反向。

$\lambda=0$ 与 $a=0$ 这两种情形要单独看：这时 $\lambda a=0$， 零向量的方向不确定，所以 (2) 对它不适用——方向只在 $\lambda\neq 0$ 且 $a\neq 0$ 时才谈。

你对零向量、相反向量有什么新的认识？

这个”?”要认真回答，它把前两节的两个规定统一了：

• 零向量：$0\cdot a=0$，$\lambda\cdot 0=0$。 也就是说，零向量就是”$0$ 倍的任意向量”，不必再当成一个孤立的特例。
• 相反向量：$(-1)a=-a$。 也就是说，相反向量就是”$-1$ 倍”，$-a$ 这个记号从此有了运算上的解释， 减法 $a-b=a+(-1)b$ 也统一进了线性运算。

如果把非零向量 $a$ 的长度伸长到原来的3.5倍，方向不变得到向量 $\pmb{b}$，向量 $\pmb{b}$ 该如何表示？向量 $a, b$ 之间的关系怎样？

答：$b=3.5a$；$a$ 与 $b$ 共线（方向相同，$|b|=3.5|a|$）。 这个思考是共线定理的预演：$b$ 能写成实数乘 $a$，当且仅当两者共线。

二、运算律

根据实数与向量的积的定义，可以验证下面的运算律是成立的.设 $\lambda,\mu$ 为实数，那么

(1) $\lambda (\mu \pmb {a}) = (\lambda \mu)\pmb {a}$;

(2) $(\lambda + \mu)\boldsymbol{a} = \lambda \boldsymbol{a} + \mu \boldsymbol{a}$;

(3) $\lambda (\pmb {a} + \pmb {b}) = \lambda \pmb {a} + \lambda \pmb{b}$.

你能证明这些运算律吗？

三条的名字与验证要点：

(2) 最容易证漏：$\lambda$、$\mu$ 异号时，$\lambda a$ 与 $\mu a$ 反向， 它们的和要按共线反向的加法算，长度是两者之差——必须分情形，不能一句”显然”带过。

(3) 的几何内容是位似：把 $\triangle$ 的两边同时放大 $\lambda$ 倍，第三边也放大 $\lambda$ 倍。

特别地，我们有

$\begin{array}{c} {(- \lambda) a = - (\lambda a) = \lambda (- a),} \\ {\lambda (a - b) = \lambda a - \lambda b.} \end{array}$

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算. 向量线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量 $a, b$，以及任意实数 $\lambda, \mu_1, \mu_2$，恒有

$\lambda (\mu_ {1} \boldsymbol {a} \pm \mu_ {2} \boldsymbol {b}) = \lambda \mu_ {1} \boldsymbol {a} \pm \lambda \mu_ {2} \boldsymbol {b}.$

“向量线性运算的结果仍是向量”这句话不是废话—— 它保证了你可以像处理多项式一样处理向量式子：合并同类项、去括号、移项， 规则与实数完全一致。唯一的区别是不能做”向量除以向量”。

三、例 5：像多项式一样算

例 5 计算:

(1) $(-3) \times 4a$; (2) $3(a + b) - 2(a - b) - a$;

(3) $(2a+3b-c)-(3a-2b+c)$ .

解：（1）原式 $= (-3 \times 4)a = -12a$；

(2) 原式 $=3a+3b-2a+2b-a=5b$ ;

(3) 原式 $= 2a + 3b - c - 3a + 2b - c$ $= -a + 5b - 2c.$

三小题各练一条规则：(1) 用结合律；(2) 用分配律去括号再按 $a$、$b$ 合并； (3) 括号前是负号，每一项都要变号（$-c$ 变成 $-c$、$+2b$ 变成……逐项核）。

自检办法：把 $a$、$b$、$c$ 当成三个未知数，按普通代数算一遍， 系数必须完全一致。(2) 的答案是 $5b$，$a$ 的系数 $3-2-1=0$， 恰好抵消——这类”某个向量消失”的结果最常被写错，务必逐项核系数。

四、例 6：平行四边形对角线的交点

例 6 如图 6.2-15，☐ABCD 的两条对角线相交于点 M，且 $\overrightarrow{AB}=a$ ， $\overrightarrow{AD}=b$ ，用 a，b 表示 $\overrightarrow{MA}$ ， $\overrightarrow{MB}$ ， $\overrightarrow{MC}$ 和 $\overrightarrow{MD}$ .

解：在□ABCD中，

$\overrightarrow {A C} = \overrightarrow {A B} + \overrightarrow {A D} = a + b,$

$\overrightarrow {D B} = \overrightarrow {A B} - \overrightarrow {A D} = a - b.$

由平行四边形的两条对角线互相平分，得

$\overrightarrow {M A} = - \frac {1}{2} \overrightarrow {A C} = - \frac {1}{2} (\boldsymbol {a} + \boldsymbol {b}) = - \frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {1}{2} \boldsymbol {b},$

$\overrightarrow {M B} = \frac {1}{2} \overrightarrow {D B} = \frac {1}{2} (\boldsymbol {a} - \boldsymbol {b}) = \frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {1}{2} \boldsymbol {b},$

$\overrightarrow {M C} = \frac {1}{2} \overrightarrow {A C} = \frac {1}{2} \boldsymbol {a} + \frac {1}{2} \boldsymbol {b},$

$\overrightarrow {M D} = - \frac {1}{2} \overrightarrow {D B} = - \frac {1}{2} \boldsymbol {a} + \frac {1}{2} \boldsymbol {b}.$

这道例题的关键一步是”互相平分”怎么翻译成向量式：

• $M$ 是 $AC$ 的中点 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{AM}=\tfrac12\overrightarrow{AC}$， 所以 $\overrightarrow{MA}=-\tfrac12\overrightarrow{AC}$（方向相反，多一个负号）；
• $M$ 是 $DB$ 的中点 $\Rightarrow$ $\overrightarrow{MB}=\tfrac12\overrightarrow{DB}$， 而 $\overrightarrow{MD}=-\tfrac12\overrightarrow{DB}$。

四个答案两两互为相反向量：$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MC}$、 $\overrightarrow{MB}=-\overrightarrow{MD}$。这正是”$M$ 是两条对角线的中点”的直接体现， 是核对答案的现成自检。

五、共线定理

引入向量数乘运算后，你能发现实数与向量的积与原向量之间的位置关系吗？

可以发现，实数与向量的积与原向量共线.

事实上，对于向量 $a$ （$a \neq 0$），$b$，如果有一个实数 $\lambda$，使 $b = \lambda a$，那么由向量数乘的定义可知 $a$ 与 $b$ 共线.

反过来，已知向量 $a$ 与 $b$ 共线，且向量 $b$ 的长度是向量 $a$ 的长度的 $\mu$ 倍，即 $|b| = \mu |a|$，那么当 $a$ 与 $b$ 同方向时，有 $b = \mu a$；当 $a$ 与 $b$ 反方向时，有 $b = -\mu a$。

综上，我们有如下定理：

向量 $a$ （$a \neq 0$）与 $b$ 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 $\lambda$，使 $b = \lambda a$.

这条定理是本章的第一个”定理”，要逐字抠：

• $a\neq 0$ 这个条件不能丢。 若 $a=0$ 而 $b\neq 0$，则 $0$ 与 $b$ 共线 （规定零向量与任意向量共线），但找不到 $\lambda$ 使 $b=\lambda 0$。 定理写的是"$a\neq 0$"，所以那个非零的向量必须放在 $a$ 的位置。
• “唯一”两个字也不能丢。 $\lambda$ 由 $b$ 和 $a$ 唯一确定： 若 $\lambda_1a=\lambda_2a$ 且 $a\neq 0$，则 $(\lambda_1-\lambda_2)a=0$， 由 $|(\lambda_1-\lambda_2)a|=|\lambda_1-\lambda_2||a|=0$ 及 $|a|\neq 0$ 得 $\lambda_1=\lambda_2$。
• 充要条件两个方向的证法不同： "$\Leftarrow$"由数乘定义直接得（$\lambda a$ 与 $a$ 共线）； "$\Rightarrow$"要按同向、反向分两种，令 $\lambda=\pm\mu$。

根据这一定理，设非零向量 a 位于直线 l 上，那么对于直线 l 上的任意一个向量 b，都存在唯一的一个实数 $\lambda$ ，使 $b = \lambda a$ 。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。

这句话是坐标法的萌芽：一条直线上的所有向量， 只要挑定一个非零向量就能全部表示出来——一个基向量定住一条直线。 下一节 §6.3 把它推广到平面：两个不共线向量定住一个平面。

六、例 7：证三点共线

例 7 如图 6.2-16，已知任意两个非零向量 a，b，试作 $\overrightarrow{OA}=a+b,\overrightarrow{OB}=a+2b,\overrightarrow{OC}=a+3b$ 。猜想 A，B，C 三点之间的位置关系，并证明你的猜想。

分析：判断三点之间的位置关系，主要是看这三点是否共线，为此只要看其中一点是否在另两点所确定的直线上。在本题中，应用向量知识判断 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点是否共线，可以通过判断向量 $\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AB}$ 是否共线，即是否存在 $\lambda$ ，使 $\overrightarrow{AC} = \lambda \overrightarrow{AB}$ 成立。

解：分别作向量 $\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$，过点 $A$，$C$ 作直线 $AC$（图6.2-17）。观察发现，不论向量 $a$，$b$ 怎样变化，点 $B$ 始终在直线 $AC$ 上，猜想 $A$，$B$，$C$ 三点共线。

事实上，因为

$\begin{array}{l} \overrightarrow {A B} = \overrightarrow {O B} - \overrightarrow {O A} = a + 2 b - (a + b) = b, \\ \overrightarrow {A C} = \overrightarrow {O C} - \overrightarrow {O A} = a + 3 b - (a + b) = 2 b, \end{array}$

所以 $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AB}.$

因此，A，B，C三点共线.

证三点共线的标准套路，三步：

1. 挑一个公共点（这里是 $A$），把要用的两个向量都从它出发：$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$；
2. 用起点相同的两个向量相减把它们算出来：$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$；
3. 找 $\lambda$ 使 $\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}$，由共线定理得两向量共线， 再加上”它们有公共点 $A$“，才能断定三点共线。

第 3 步末尾那句”有公共点”是必须的：两个向量共线只说明它们平行， 平行的两条线段可以不在同一条直线上。共线 $+$ 共点 $=$ 三点共线。

七、例 8：由共线求参数

例8 已知 $a, b$ 是两个不共线的向量，向量 $b - ta$，$\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线，求实数 $t$ 的值.

解：由 $a$ ， $b$ 不共线，易知向量 $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 为非零向量.由向量 $b - ta$ ， $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线，可知存在实数 $\lambda$ ，使得

$\boldsymbol {b} - t \boldsymbol {a} = \lambda \left(\frac {1}{2} \boldsymbol {a} - \frac {3}{2} \boldsymbol {b}\right),$

即

$(t + \frac {1}{2} \lambda) \boldsymbol {a} = (\frac {3}{2} \lambda + 1) \boldsymbol {b}.$

由 a, b 不共线，必有 $t + \frac{1}{2}\lambda = \frac{3}{2}\lambda + 1 = 0$ . 否则，不妨设 $t + \frac{1}{2}\lambda \neq 0$ ，则 $a = \frac{\frac{3}{2}\lambda + 1}{t + \frac{1}{2}\lambda}b$ . 由两个向量共线的充要条件知，a, b 共线，与已知矛盾.

由 $\left\{\begin{aligned}t+\frac{1}{2}\lambda=0,\\ \frac{3}{2}\lambda+1=0,\end{aligned}\right.$ 解得 $t=\frac{1}{3}.$

因此，当向量 $b - ta$ ， $\frac{1}{2} a - \frac{3}{2} b$ 共线时， $t = \frac{1}{3}$

这道例题真正要教的是那段反证法，很多人会跳过它：

由 $(t+\tfrac12\lambda)a=(\tfrac32\lambda+1)b$ 不能直接说两边系数为零—— 必须先论证”若某个系数非零，就能把 $a$ 解成 $b$ 的倍数，与 $a$、$b$ 不共线矛盾”。 「$a$、$b$ 不共线时 $xa=yb$ 只能 $x=y=0$」这条结论，要到 §6.3 才由平面向量基本定理正式给出， 在本节必须每次现证。

另外注意开头那句”易知 $\tfrac12a-\tfrac32b$ 为非零向量”也不能省： 共线定理要求作为"$a$"的那个向量非零，才能写出 $b-ta=\lambda(\cdots)$。

核一遍答案：$\tfrac32\lambda+1=0\Rightarrow\lambda=-\tfrac23$； 代入 $t+\tfrac12\lambda=0$ 得 $t=-\tfrac12\times(-\tfrac23)=\tfrac13$ ✓。

八、常见错法

• $|\lambda a|=\lambda|a|$。 少了绝对值。$\lambda<0$ 时右边是负数，而长度非负。
• 对零向量谈方向。 $\lambda=0$ 或 $a=0$ 时 $\lambda a=0$，方向不确定， “同向/反向”的说法在这里无效。
• 用共线定理时忘记 $a\neq 0$。 尤其是”由 $b=\lambda a$ 推 $a$、$b$ 共线”反过来用的时候。
• 证三点共线时只证了向量共线。 还要说明两个向量有公共点。
• 由 $xa=yb$ 直接断言 $x=y=0$。 必须先有”$a$、$b$ 不共线”， 并且要把反证的理由写出来（本节还没有平面向量基本定理可引）。
• 合并同类项时漏系数。 例 5(2) 里 $a$ 的系数是 $3-2-1=0$， 这类”整项消失”的情形最容易看漏。
• 把 $\overrightarrow{MA}$ 写成 $\tfrac12\overrightarrow{AC}$。 $M$ 是中点给出的是 $\overrightarrow{AM}=\tfrac12\overrightarrow{AC}$； 换成 $\overrightarrow{MA}$ 要变号。

本节页面（page-0020—page-0023，印刷第 13—16 页）上收着三组题：

• §6.2.2 减法那一节的「练习」第 2、3 题——它们排在第 13 页，按页归属收在这里 （第 1 题的题干印在第 12 页，解答在 §6.2.2 的习题详解里，本页只有它的四个小图）；
• §6.2.3 前半段的「练习」3 道（第 15 页）；
• §6.2.3 后半段共线定理之后的「练习」3 道（第 16 页）。

共 8 道。

减法练习（第 13 页）第 2 题

2. 填空： $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=$ ____ ; $\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=$ ____ ; $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=$ ____ ; $\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OA}=$ ____ ; $\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=$ ____ .

五个空全靠同一条法则，就是 §6.2.2 的几何意义写成字母形式：

$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{BA}$

读法：两个向量的起点字母相同时，差就是”从减向量的终点字母，指向被减向量的终点字母”。 起点那个字母在结果里消失了。

逐空填

第 2、3 空是一对：$\overrightarrow{BA}-\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{CA}$ 与 $\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{AC}$ 互为相反向量， 交换被减数与减数，结果就换个箭头方向。课本把它们排在一起，就是让你看清这一点。

若一时记不住法则，可以退回定义验一遍：

$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DB}$

（用了 $-\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{DA}$ 和加法的交换律、三角形法则）✓

常见错法：把 $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}$ 填成 $\overrightarrow{BD}$。 箭头指反了——差向量从减向量的终点出发，这里减的是 $\overrightarrow{AD}$， 所以起点是 $D$。

减法练习（第 13 页）第 3 题

3. 作图验证： $-(a+b)=-a-b.$

这是一道作图题，但要验的是一条恒等式。 下面给作法，再给它成立的道理。

作法

1. 任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=a$、$\overrightarrow{AB}=b$（首尾相接）， 则 $\overrightarrow{OB}=a+b$。

2. 左边：$-(a+b)$ 是 $\overrightarrow{OB}$ 的相反向量，即 $\overrightarrow{BO}$。 在图上就是把 $\overrightarrow{OB}$ 的箭头掉个头。

3. 右边：仍从 $B$ 出发，作 $\overrightarrow{BA}=-b$ （$\overrightarrow{BA}$ 与 $\overrightarrow{AB}=b$ 等长反向）， 再作 $\overrightarrow{AO}=-a$，则由三角形法则

   $-a-b=(-b)+(-a)=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{BO}$

4. 两边都是 $\overrightarrow{BO}$，重合，恒等式得证。

一句话概括这张图：$\triangle OAB$ 顺着走一圈是 $a+b$，倒着走一圈就是 $-a-b$， 两条路的起点终点恰好互换。

换个角度：用数乘看

学了本节的数乘之后，还有一个更省事的解释：

$-(a+b)=(-1)(a+b)=(-1)a+(-1)b=-a-b$

中间一步用的是数乘对向量加法的分配律（本节运算律 (3)，取 $\lambda=-1$）。 这说明这条恒等式不是新性质，它是分配律的一个特例。

一处要说准

别把 $-a-b$ 读成”先求 $a-b$ 再取反”。 $-a-b$ 的意思是 $(-a)+(-b)$， 而 $-(a-b)=-a+b$，两者不同。减号的作用范围要看清。

练习（第 15 页）第 1 题

1. 任画一向量 e，分别求作向量 a=4e，b=-4e.

作法

任画一个非零向量 $\overrightarrow{OE}=e$。

• $a=4e$：在 $e$ 所在的射线上，从 $O$ 出发量取 $4$ 个 $|e|$ 的长度得到点 $A$， 则 $\overrightarrow{OA}=a$。方向与 $e$ 相同，长度是 $|e|$ 的 $4$ 倍。
• $b=-4e$：在 $e$ 的反方向射线上，从 $O$ 出发量取 $4$ 个 $|e|$ 的长度得到点 $B$， 则 $\overrightarrow{OB}=b$。方向与 $e$ 相反，长度同样是 $|e|$ 的 $4$ 倍。

作图上最省事的办法是把 $e$ 首尾相接地连画四次： $4e=e+e+e+e$，这正是本节开头”数乘就是连加的简写”那句话的直接兑现。

三处要点

• $|a|=|b|=4|e|$：两个长度相同，$|-4|=4$ 而不是 $-4$。
• $a$ 与 $b$ 互为相反向量：$b=-a$，$a+b=0$。
• $a$、$b$、$e$ 三者共线：都在过 $O$ 且与 $e$ 平行的那条直线上。 这是本节末尾共线定理的直观例子。

练习（第 15 页）第 2 题

2. 点 C 在线段 AB 上，且 $\frac{AC}{CB} = \frac{5}{2}$ ，则 $\overrightarrow{AC} =$ ____ $\overrightarrow{AB}$ ， $\overrightarrow{BC} =$ ____ $\overrightarrow{AB}$ .

先把比例化成”占全长的几分之几”

$C$ 在线段 $AB$ 上（不是延长线上），所以 $AC+CB=AB$。由 $AC:CB=5:2$，

$AC:CB:AB=5:2:7$

于是

$\frac{AC}{AB}=\frac57,\qquad \frac{CB}{AB}=\frac27$

第一个空

$\overrightarrow{AC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 同向（$C$ 在 $A$ 到 $B$ 之间， 从 $A$ 看过去方向一致），长度之比是 $\tfrac57$，故

$\overrightarrow{AC}=\frac57\overrightarrow{AB}$

第一个空填 $\dfrac57$。

第二个空

$\overrightarrow{BC}$ 的方向是从 $B$ 指向 $C$，而 $\overrightarrow{AB}$ 是从 $A$ 指向 $B$， 两者反向；长度之比是 $\dfrac{BC}{AB}=\dfrac27$。故

$\overrightarrow{BC}=-\frac27\overrightarrow{AB}$

第二个空填 $-\dfrac27$。

这道题唯一的坑就是那个负号

第二个空最常见的错答是 $\dfrac27$，漏掉负号。 判断方法很机械：看两个向量的箭头是不是朝同一边。

• $\overrightarrow{AC}$：$A\to C$，向右（设 $B$ 在 $A$ 右侧）；$\overrightarrow{AB}$：$A\to B$，也向右 $\Rightarrow$ 系数为正。
• $\overrightarrow{BC}$：$B\to C$，向左；$\overrightarrow{AB}$ 向右 $\Rightarrow$ 系数为负。

验算：$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}$， 而 $\overrightarrow{CB}=-\overrightarrow{BC}=\tfrac27\overrightarrow{AB}$， 于是 $\tfrac57\overrightarrow{AB}+\tfrac27\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AB}$ ✓。

练习（第 15 页）第 3 题

3. 把下列各小题中的向量 b 表示为实数与向量 a 的积:

(1) $a = 3e, b = 6e$; (2) $a = 8e, b = -14e$;

(3) $a=-\frac{2}{3}e,\quad b=\frac{1}{3}e;$

(4) $a = -\frac{3}{4} e, b = -\frac{2}{3} e.$

通法：设 $b=\lambda a$。两边都用 $e$ 表示，比较 $e$ 的系数即可 （$e$ 是非零向量，系数唯一确定）。若 $a=\alpha e$、$b=\beta e$，则

$\lambda=\frac{\beta}{\alpha}$

(1) $a=3e$，$b=6e$

$\lambda=\frac{6}{3}=2,\qquad b=2a$

(2) $a=8e$，$b=-14e$

$\lambda=\frac{-14}{8}=-\frac74,\qquad b=-\frac74 a$

约分不要漏：$-\tfrac{14}{8}$ 要化成 $-\tfrac74$。

(3) $a=-\dfrac23e$，$b=\dfrac13e$

$\lambda=\frac{\ \tfrac13\ }{-\tfrac23}=\frac13\times\left(-\frac32\right)=-\frac12,\qquad b=-\frac12 a$

(4) $a=-\dfrac34e$，$b=-\dfrac23e$

$\lambda=\frac{-\tfrac23}{-\tfrac34}=\frac23\times\frac43=\frac89,\qquad b=\frac89 a$

负负得正，这一小题的答案是正数。

四小题的用意

四种组合各占一个：$\lambda$ 的符号管方向、绝对值管长短。 这张表就是数乘定义 (1)(2) 两条的全部内容。

每题都要回代验一遍，例如 (4)：$\tfrac89\times\left(-\tfrac34\right)e=-\tfrac{24}{36}e=-\tfrac23e=b$ ✓。

练习（第 16 页）第 1 题

1. 判断下列各小题中的向量 $a$ 与 $b$ 是否共线：

(1) $a = -2e, b = 2e$; (2) $a = e_1 - e_2, b = -2e_1 + 2e_2$.

判据：由本节的共线定理，$a\neq 0$ 时，$a$ 与 $b$ 共线 $\iff$ 存在实数 $\lambda$ 使 $b=\lambda a$。 所以做法是：试着把 $b$ 写成 $a$ 的倍数。

(1) $a=-2e$，$b=2e$

$b=2e=(-1)\times(-2e)=-a$

取 $\lambda=-1$ 即可，$a$ 与 $b$ 共线（方向相反、长度相等，互为相反向量）。

若 $e=0$：则 $a=b=0$，两个零向量仍然共线（零向量与任意向量共线）。 两种情形结论一致，都共线。

(2) $a=e_1-e_2$，$b=-2e_1+2e_2$

把 $b$ 提公因数：

$b=-2e_1+2e_2=-2(e_1-e_2)=-2a$

取 $\lambda=-2$，$a$ 与 $b$ 共线。

这一小题的技巧就是”提公因数”：看两个式子里 $e_1$、$e_2$ 的系数是否成同一比例。 这里 $\dfrac{-2}{1}=\dfrac{2}{-1}=-2$，比例相同，故共线。

反例对照：若 $b=-2e_1+3e_2$，两个比例 $\dfrac{-2}{1}=-2$ 与 $\dfrac{3}{-1}=-3$ 不等， $b$ 就写不成 $\lambda a$，当 $e_1$、$e_2$ 不共线时 $a$ 与 $b$ 不共线。

练习（第 16 页）第 2 题

2. 化简： (1) $5(3a-2b)+4(2b-3a)$ ; (2) $\frac{1}{3}(a-2b)-\frac{1}{4}(3a-2b)-\frac{1}{2}(a-b)$ ;

(3) $(x + y)\boldsymbol{a} - (x - y)\boldsymbol{a}$.

做法与整式化简一字不差：去括号、按 $a$、$b$ 合并同类项。 依据是本节的三条运算律，结果仍是向量。

(1)

$5(3a-2b)+4(2b-3a)=15a-10b+8b-12a$

$=(15-12)a+(-10+8)b=3a-2b$

答：$3a-2b$。

(2)

先逐项去括号：

$\frac13(a-2b)=\frac13a-\frac23b$

$-\frac14(3a-2b)=-\frac34a+\frac12b$

$-\frac12(a-b)=-\frac12a+\frac12b$

再按 $a$、$b$ 合并。$a$ 的系数：

$\frac13-\frac34-\frac12=\frac{4-9-6}{12}=-\frac{11}{12}$

$b$ 的系数：

$-\frac23+\frac12+\frac12=-\frac23+1=\frac13$

答：$-\dfrac{11}{12}a+\dfrac13 b$。

这一小题只考通分不出错。 建议像上面这样先把三项各自去括号列出来，再分别算两个系数， 不要一口气心算。

(3)

$(x+y)a-(x-y)a=\bigl[(x+y)-(x-y)\bigr]a=2ya$

答：$2ya$。

这里用的是分配律 (2) 的逆用：$\lambda a+\mu a=(\lambda+\mu)a$， 把两个系数合并成一个。

注意第二个括号前是减号：去括号时 $x-y$ 整体变号成 $-x+y$，与 $x+y$ 相加得 $2y$。 漏了变号就会写成 $2xa$。

练习（第 16 页）第 3 题

3. 已知 $e_1, e_2$ 是两个不共线的向量，$a = e_1 - 2e_2, b = 2e_1 + ke_2$. 若 $a$ 与 $b$ 是共线向量，求实数 $k$ 的值.

先确认 $a\neq 0$

共线定理要求被当作"$a$"的那个向量非零，这一步不能省。

若 $a=e_1-2e_2=0$，则 $e_1=2e_2$，由共线定理 $e_1$ 与 $e_2$ 共线， 与题设”$e_1$、$e_2$ 不共线”矛盾。故 $a\neq 0$。

由共线写出方程

由 $a$ 与 $b$ 共线且 $a\neq 0$，存在实数 $\lambda$ 使 $b=\lambda a$，即

$2e_1+ke_2=\lambda(e_1-2e_2)=\lambda e_1-2\lambda e_2$

移项整理：

$(2-\lambda)e_1+(k+2\lambda)e_2=0$

用”不共线”逼出系数为零

这一步必须论证，不能直接说”系数为零”。

若 $2-\lambda\neq 0$，则

$e_1=-\frac{k+2\lambda}{2-\lambda}e_2$

由共线定理知 $e_1$ 与 $e_2$ 共线，与题设矛盾。故 $2-\lambda=0$。 代回原式得 $(k+2\lambda)e_2=0$，而 $e_2\neq 0$（否则 $e_1$、$e_2$ 共线）， 故 $k+2\lambda=0$。

解出

$\begin{cases}2-\lambda=0\\ k+2\lambda=0\end{cases}\Longrightarrow \lambda=2,\quad k=-2\lambda=-4$

$\boxed{k=-4}$

回代验算

$k=-4$ 时 $b=2e_1-4e_2=2(e_1-2e_2)=2a$ ✓，确实共线。

更快的口算法（但要说明依据）

$a$、$b$ 用同一组不共线向量 $e_1$、$e_2$ 表示时， 共线 $\iff$ 两组系数成比例，即

$\frac{2}{1}=\frac{k}{-2}\ \Longrightarrow\ k=-4$

用这一步之前必须先说明 $e_1$、$e_2$ 不共线， 否则系数的表示不唯一，“成比例”这句话就没有意义。 考场上写这一行可以，但前面那句前提不能省。