6.2 平面向量的运算

本节是全章第一个运算。课本开门见山地说明为什么要给向量定义运算：

我们知道，数能进行运算，因为有了运算而使数的威力无穷. 那么，向量是否也能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算. 本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.

下面先学习向量的加法.

这一节只讲加法（$6.2.1$ 向量的加法运算）。后面的减法、数乘、数量积都建立在它之上。

一、两个法则从哪来：位移与力

课本没有凭空定义"$a+b$"，而是从两个物理事实里把它读出来。

位移的合成 → 三角形法则

我们知道，位移、力是向量，它们可以合成. 能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？

如图6.2-1，某质点从点 $A$ 经过点 $B$ 到点 $C$ ，这个质点的位移如何表示？

物理知识告诉我们，这个质点两次位移 $\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$ 的结果，与从点 $A$ 直接到点 $C$ 的位移 $\overrightarrow{AC}$ 结果相同。因此，位移 $\overrightarrow{AC}$ 可以看作位移 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 合成的。数的加法启发我们，从运算的角度看，$\overrightarrow{AC}$ 可以看作 $\overrightarrow{AB}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的和，即位移的合成可以看作向量的加法。

于是有定义：

如图 6.2-2，已知非零向量 a，b，在平面内取任意一点 A，作 $\overrightarrow{AB}=a$ ， $\overrightarrow{BC}=b$ ，则向量 $\overrightarrow{AC}$ 叫做 a 与 b 的和，记作 $a+b$ ，即 $a+b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ .

求两个向量和的运算，叫做向量的加法。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型。

这个定义里有两处必须盯住：

• “在平面内取任意一点 $A$“——向量是自由向量，起点可以随便挑。 换一个起点，作出的 $\overrightarrow{AC}$ 是另一条有向线段，但它与原来的相等（同向等长）， 所以”和”不依赖于起点的选择。这条是定义合理性的全部内容，不能跳过。
• “作 $\overrightarrow{AB}=a$，$\overrightarrow{BC}=b$”——$b$ 的起点必须接在 $a$ 的终点上。 首尾相接四个字就是三角形法则的操作口令。

力的合成 → 平行四边形法则

我们再来看力的合成问题.

如图6.2-3，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力 $F_{1}$ 与 $F_{2}$ 的作用，你能作出这个物体所受的合力 $\pmb{F}$ 吗？

我们知道，合力 $\pmb{F}$ 在以 $OA$ ， $OB$ 为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看， $\pmb{F}$ 可以看作 $\pmb{F}_1$ 与 $\pmb{F}_2$ 的和，即力的合成可以看作向量的加法.

如图 6.2-4，以同一点 O 为起点的两个已知向量 a，b，以 OA，OB 为邻边作 □OACB，则以 O 为起点的向量 $\overrightarrow{OC}$ （OC 是 □OACB 的对角线）就是向量 a 与 b 的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

两个法则为什么一致

向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？

回答：在 $\square OACB$ 里，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OA}=a$（对边平行且相等，方向也相同）。 于是沿 $O\to B\to C$ 走，正是 $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}=b+a$； 沿 $O\to A\to C$ 走，是 $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AC}=a+b$。 两条路径的终点都是 $C$，所以两个法则给出同一个和向量。

两者的适用场合不同，这才是要记住的：

共线时只能用三角形法则，这是下面”探究”要处理的情形，也是最常被忘掉的一条。

二、零向量的规定

对于零向量与任意向量 a，我们规定

$a + 0 = 0 + a = a.$

为什么这是”规定”而不是”推出”的？ 因为零向量的方向不确定， 作不出"$\overrightarrow{AB}=0$"那样一条有正经方向的有向线段， 三角形法则的作图在这里退化了。所以课本直接规定这个等式， 使 $0$ 在向量加法中扮演与数 $0$ 相同的角色。

三、例 1：作 $a+b$ 的两种作法

例 1 如图 6.2-5，已知向量 a，b，求作向量 $a+b$ .

作法1：在平面内任取一点 $O$ （图6.2-6（1）），作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{AB} = b$ .则 $\overrightarrow{OB} = a + b$

作法2：在平面内任取一点 $O$ （图6.2-6（2）），作 $\overrightarrow{OA} = a$ ， $\overrightarrow{OB} = b$ ．以 $OA$ ， $OB$ 为邻边作 $\square OACB$ ，连接 $OC$ ，则 $\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} = a + b$

两种作法的对照：

• 作法 1（三角形法则）：$a$ 画完，把 $b$ 的起点平移到 $a$ 的终点，连起点到终点；
• 作法 2（平行四边形法则）：把 $a$、$b$ 的起点平移到同一点，补成平行四边形，取对角线。

两者作出的是同一个向量，只是图形不同。 考试里给定的两个向量往往摆得七零八落（相交、终点重合、首尾相接都有）， 第一步永远是平移——把它们摆成法则要求的样子。

四、探究：共线情形与三角形不等式

（1）如果向量 $a$ ， $b$ 共线，它们的加法与数的加法有什么关系？你能作出向量$a + b$ 吗？

(2) 结合例 1，探索 $\left|a+b\right|$ ， $\left|a\right|$ ， $\left|b\right|$ 之间的关系.

(1) 共线时怎么办

只能用三角形法则（共线向量作不出平行四边形）。分两种：

• 同向：$a$、$b$ 同向时，$a+b$ 与它们同向，且

  $|a+b|=|a|+|b|$

  这时向量加法与数的加法完全一致（都是长度相加）。

• 反向：设 $|a|\geqslant|b|$，则 $a+b$ 与 $a$ 同向，且

  $|a+b|=|a|-|b|$

  这时对应的是数的减法。若 $|a|=|b|$ 则 $a+b=0$。

一句话：共线向量的加法，就是把它们看成数轴上的有向线段做代数和。

(2) 三角形不等式

$\left| a + b \right| \leqslant \left| a \right| + \left| b \right|,$

当且仅当 a，b 方向相同时等号成立.

几何解释：三角形两边之和大于第三边； 退化成”共线同向”时三点共线，不等式取等号。

课本没写但同样要会的是下界：

$\bigl||a|-|b|\bigr|\leqslant|a+b|$

当且仅当 $a$、$b$ 方向相反（或其中之一为零向量）时取等号。 两条合起来：

$\bigl||a|-|b|\bigr|\leqslant|a+b|\leqslant|a|+|b|$

练习第 $2$ 题问的就是左边那个等号什么时候成立。

五、运算律

根据数的运算的学习经验，定义了一种运算，就要研究相应的运算律，运算律可以有效地简化运算.

数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？

交换律 $a+b=b+a$

如图6.2-7（1），作 $\overrightarrow{AB} = a$ ， $\overrightarrow{AD} = b$ ，以 $AB$ ， $AD$ 为邻边作 $\square ABCD$ ，容易发现$\overrightarrow{BC} = b$ ， $\overrightarrow{DC} = a$ ，故 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} +\overrightarrow{BC} = a + b.$ 又 $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} +\overrightarrow{DC} = b + a$ ，所以 $a + b = b + a$

这条证明的要点是 $\overrightarrow{BC}=b$：在 $\square ABCD$ 中 $BC\parallel AD$ 且 $|BC|=|AD|$， 方向也相同，所以 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}=b$。同理 $\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}=a$。 于是从 $A$ 到 $C$ 有两条首尾相接的路径，一条给出 $a+b$，另一条给出 $b+a$。

注意这条证明默认 $a$、$b$ 不共线（否则作不出平行四边形）。 共线情形要单独用上面”探究”里的结论验证——结论仍然成立。

结合律 $(a+b)+c=a+(b+c)$

由图 6.2-7（2），你能否验证

$(a + b) + c = a + (b + c)?$

验证：取 $\overrightarrow{AB}=a$、$\overrightarrow{BC}=b$、$\overrightarrow{CD}=c$，则

$(a+b)+c=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$

$a+(b+c)=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}$

两者都等于 $\overrightarrow{AD}$。

综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.

结合律的实际价值是”多边形法则”：若干个向量首尾顺次相接， 它们的和就是从第一个起点指向最后一个终点的向量，中间怎么加括号都一样。 特别地，首尾相接围成一圈时和为零向量——练习第 $3$ 题、第 $4$ 题用的都是这条。

六、例 2：渡船问题

例 2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输．如图 6.2-8，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为 15 km/h，同时江水的速度为向东 6 km/h.

（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；

（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到 $1^{\circ}$ ）.

解：（1）如图6.2-9. $\overrightarrow{AD}$ 表示船速，$\overrightarrow{AB}$ 表示江水速度，以 $AD$，$AB$ 为邻边作 $\square ABCD$，则 $\overrightarrow{AC}$ 表示船实际航行的速度.

(2) 在Rt△ABC中， $|\overrightarrow{AB}|=6$ ， $|\overrightarrow{BC}|=15$ ，于是

$\left| \overrightarrow {A C} \right| = \sqrt {\left| \overrightarrow {A B} \right| ^ {2} + \left| \overrightarrow {B C} \right| ^ {2}} = \sqrt {6 ^ {2} + 1 5 ^ {2}} = \sqrt {2 6 1} \approx 1 6. 2.$

因为 $\tan\angle CAB=\frac{|\overrightarrow{BC}|}{|\overrightarrow{AB}|}=\frac{5}{2}$ ，所以利用计算工具可得 $\angle CAB\approx68^{\circ}$ .

因此，船实际航行速度的大小约为 $16.2 \, km/h$ ，方向与江水速度间的夹角约为 $68^{\circ}$ .

这道例题的三个关卡：

1. “垂直于对岸航行”说的是船头的指向，不是实际航线。 船速 $\overrightarrow{AD}$ 垂直于岸，江水 $\overrightarrow{AB}$ 沿岸向东， 实际速度是两者的和，一定偏向下游。把 $15$ 当成实际速度是本题第一个坑。
2. 为什么是 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$。 在 $\square ABCD$ 中 $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$， 所以 $|\overrightarrow{BC}|=15$；又 $AD\perp AB$，故 $BC\perp AB$，三角形在 $B$ 处是直角。 这一步就是”把平行四边形对角线的长度化成勾股定理”。
3. 方向怎么报。 题目要求”用与江水速度间的夹角表示”， 所以报的是 $\angle CAB\approx 68^{\circ}$， 而不是”与河岸垂直方向成 $22^{\circ}$“。问哪个角就答哪个角。

顺带核一下数：$\sqrt{261}=16.155\ldots\approx 16.2$ ✓； $\tan\angle CAB=\dfrac{15}{6}=\dfrac52=2.5$，$\arctan 2.5=68.198\ldots^{\circ}\approx 68^{\circ}$ ✓。

七、常见错法

• 不平移就直接连线。 两个向量在图上相交或终点重合时， 直接把两条线段的端点连起来是没有意义的。 三角形法则要首尾相接、平行四边形法则要共起点，先平移再作图。
• 对共线向量用平行四边形法则。 作不出平行四边形，只能用三角形法则。
• 把 $|a+b|=|a|+|b|$ 当成通例。 这只在 $a$、$b$ 同向时成立。 一般只有不等式 $|a+b|\leqslant|a|+|b|$。
• 忘了下界。 $|a+b|$ 可以很小甚至为 $0$，但不会小于 $\bigl||a|-|b|\bigr|$。
• 把 $a+b=0$ 写成 $a+b=0$（数零）。 向量的和是向量， 两个互为相反向量的和是零向量 $0$，不是数 $0$。
• 多个向量相加时漏掉”顺次”。 多边形法则要求首尾顺次相接； 次序打乱后中间的连接点对不上，就不能直接读出首尾向量。

本节页面（page-0014—page-0017，印刷第 7—10 页）上的课本习题是印刷第 10 页的「练习」，共 5 道。 第 1、3、4 题的图在转写中只剩图片占位，下面按本目录的扫描图 （page-0017.fig-2 至 page-0017.fig-7）把图上的信息逐一录出，并注明出处。

练习（第 10 页）第 1 题

1. 如图，在下列各小题中，已知向量 $a, b$，分别用两种方法求作向量 $a + b$.

四个小图给的是同一件事的四种摆法，按扫描图 page-0017.fig-2 至 fig-5 录出：

四小题的答案不是四个不同的做法，而是同一套做法—— 这正是本题的用意：向量是自由向量，图上怎么摆都不影响 $a+b$，动手前先平移。

通用作法一：三角形法则

1. 在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=a$（把 $a$ 平移过来，保持方向与长度不变）；
2. 以 $A$ 为起点作 $\overrightarrow{AB}=b$（把 $b$ 平移到 $a$ 的终点上）；
3. 连接 $OB$，则 $\overrightarrow{OB}=a+b$。

通用作法二：平行四边形法则

1. 在平面内任取一点 $O$，作 $\overrightarrow{OA}=a$、$\overrightarrow{OB}=b$（两个向量共起点）；
2. 以 $OA$、$OB$ 为邻边作 $\square OACB$；
3. 连接对角线 $OC$，则 $\overrightarrow{OC}=a+b$。

四小题分别要做的平移

• (1) 相交：两条线段虽然交叉，但交点既不是起点也不是终点，两种作法都要先平移。
• (2) 首尾相接：$a$ 的终点已经是 $b$ 的起点，三角形法则可以直接连， 从 $a$ 的起点连到 $b$ 的终点即得；用平行四边形法则则要把 $b$ 平移到与 $a$ 共起点。
• (3) 终点重合：两种作法都要平移。 这一小题最容易出错——直接把两个箭头的公共终点当成”和”的终点是错的。 （顺带一提：这个图形里现成能读出的是差，$a-b$ 或 $b-a$ 就是连接两起点的向量， 那是下一节的内容。）
• (4) $b$ 的终点接 $a$ 的起点：这时现成就是 $b+a$ 的首尾相接图， 从 $b$ 的起点连到 $a$ 的终点即得 $b+a$；由交换律，它也就是 $a+b$。 若一定要按 $a+b$ 的次序作，就把 $b$ 平移到 $a$ 的终点上。

自检：四小题作出的和向量，用两种作法得到的必须是同一个向量（同向等长）。 若两种作法结果不一致，一定是某一步平移时改变了方向或长度。

练习（第 10 页）第 2 题

2. 当向量 a, b 满足什么条件时， $|a+b|=|a|-|b|$ （或 $|b|-|a|$ ）?

结论

当 $a$ 与 $b$ 方向相反（即共线且反向），或者 $a$、$b$ 中至少有一个是零向量时成立。

进一步分清两个式子各自的条件：

• $|a+b|=|a|-|b|$ 成立 $\iff$ $a$ 与 $b$ 方向相反且 $|a|\geqslant|b|$，或 $b=0$；
• $|a+b|=|b|-|a|$ 成立 $\iff$ $a$ 与 $b$ 方向相反且 $|b|\geqslant|a|$，或 $a=0$。

两式合起来就是 $|a+b|=\bigl||a|-|b|\bigr|$。

为什么

先说范围。 对任意两个向量，

$\bigl||a|-|b|\bigr|\leqslant|a+b|\leqslant|a|+|b|$

右边是课本给出的三角形不等式；左边把 $a$ 换成 $a+b$、$b$ 换成 $-b$ 代进右边即得。 所以 $|a|-|b|$（当它非负时）已经是 $|a+b|$ 能取到的最小值， 本题问的就是下界什么时候取到。

再说取等条件。 设 $a$、$b$ 都非零。

• 若 $a$、$b$ 不共线：$a$、$b$、$a+b$ 构成一个真三角形， 两边之差严格小于第三边，即 $\bigl||a|-|b|\bigr|<|a+b|$，取不到等号。
• 若 $a$、$b$ 同向：$|a+b|=|a|+|b|>\bigl||a|-|b|\bigr|$（两者都非零），取不到等号。
• 若 $a$、$b$ 反向：设 $|a|\geqslant|b|$，则 $a+b$ 与 $a$ 同向，长度是 $|a|-|b|$， 等号成立。$|b|\geqslant|a|$ 时同理，等号是另一式。

零向量的情形单列：$b=0$ 时 $|a+0|=|a|=|a|-0$，成立；$a=0$ 时对称。 这一支不能漏——零向量没有确定的方向，不在”反向”的讨论里。

一个常见的漏答

只写”$a$ 与 $b$ 方向相反”是不完整的：

• 漏了零向量这一支；
• 漏了长度的大小关系——题目写了”（或 $|b|-|a|$）”， 就是在提示你按 $|a|$ 与 $|b|$ 谁大分两种情形，答案要分别对应。

练习（第 10 页）第 3 题

3. 根据图示填空：

(1) $a + b =$ ____； (2) $c + d =$ ____； (3) $a + b + d =$ ____； (4) $c + d + e =$ ____。

图在转写中丢了，按扫描图 page-0017.fig-6 录出。 图上有 $A$、$B$、$C$、$D$、$E$ 五个点（$A$ 在左下，$B$ 在下方偏右， $C$ 在右侧，$D$ 在上方，$E$ 在左上），七个向量分别是：

读图的要点是看箭头落在哪一端：$d$ 的箭头在 $D$ 上，所以 $d=\overrightarrow{CD}$ 而不是 $\overrightarrow{DC}$； $e$ 的箭头在 $E$ 上，所以 $e=\overrightarrow{DE}$。这两处读反，四个空全错。

逐空填

(1) 首尾相接：$A\to B\to C$。

$a+b=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}=c$

填 $c$。

(2) 首尾相接：$A\to C\to D$。

$c+d=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}=f$

填 $f$。

(3) 由 (1)，$a+b=c$，再接上 $d$：

$a+b+d=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}=f$

填 $f$。

(4) 首尾相接：$A\to C\to D\to E$。

$c+d+e=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{AE}=g$

填 $g$。

这道题在练什么

多边形法则：若干向量首尾顺次相接时，和就是从第一个起点指向最后一个终点的那个向量， 中间经过哪些点、加了几次，都不影响结果。

• (2) 与 (3) 答案相同（都是 $f$），正是这条法则的直接体现： $A\to C\to D$ 与 $A\to B\to C\to D$ 起点终点相同，中间路径不同，和一样。
• 动手时只要检查一件事：相邻两个向量的”前一个终点 $=$ 后一个起点”。 对不上就先用交换律换序，或者先把某一段合并。

练习（第 10 页）第 4 题

4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 在 CD 上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打 “√”，错误的打 “×”）. (1) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{DP} = \overrightarrow{PA}.$ ( ) (2) $\overrightarrow{DA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BP} = \overrightarrow{DP}.$ ( ) (3) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CP} = \overrightarrow{PA}.$ ( )

图（按扫描图 page-0017.fig-7）：平行四边形 $ABCD$ 中，$A$ 在左下、$B$ 在右下、 $C$ 在右上、$D$ 在左上，$P$ 是上边 $DC$ 上的一点，图中另画出了 $\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{BP}$。

(1) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{PA}$ —— ×

首尾对不上。 $\overrightarrow{DA}$ 的终点是 $A$，$\overrightarrow{DP}$ 的起点是 $D$， 不是首尾相接，不能用三角形法则直接合并。

这两个向量共起点 $D$，所以要用平行四边形法则： 以 $DA$、$DP$ 为邻边作平行四边形 $DAQP$，则 $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DP}=\overrightarrow{DQ}$， 其中 $Q$ 是第四个顶点。这个 $\overrightarrow{DQ}$ 一般不等于 $\overrightarrow{PA}$。

用一个反例把它钉死：取 $A(0,0)$、$B(2,0)$、$C(3,1)$、$D(1,1)$，$P$ 取 $DC$ 的中点 $(2,1)$。

• $\overrightarrow{DA}=(-1,-1)$，$\overrightarrow{DP}=(1,0)$，两者之和为 $(0,-1)$；
• $\overrightarrow{PA}=(-2,-1)$。

$(0,-1)\neq(-2,-1)$，不成立。

顺带说清楚正确的式子长什么样：$\overrightarrow{PD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{PA}$ （$P\to D\to A$ 首尾相接）。把 $\overrightarrow{DP}$ 写反成 $\overrightarrow{PD}$，就对了—— 本小题考的就是这一个字母顺序。

(2) $\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{DP}$ —— √

首尾顺次相接：$D\to A\to B\to P$。由多边形法则，

$\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{DP}$

起点是 $D$、终点是 $P$，成立。

注意这里根本没用到”平行四边形”这个条件—— 多边形法则对任意四点都成立，$ABCD$ 是不是平行四边形、$P$ 在不在 $CD$ 上都不影响。

(3) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{PA}$ —— ×

左边算出来是 $\overrightarrow{AP}$，不是 $\overrightarrow{PA}$。 首尾顺次相接 $A\to B\to C\to P$，

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}$

而 $\overrightarrow{AP}=-\overrightarrow{PA}$，两者方向相反， 只有当 $\overrightarrow{AP}=0$（即 $P$ 与 $A$ 重合）时才相等，但 $P$ 在 $CD$ 上，不可能与 $A$ 重合。 所以不成立。

改对的写法：$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}$。

三小题合起来在考什么

只有一件事：起点和终点认准了没有。

• 相邻两项要”前一个的终点 $=$ 后一个的起点”（(1) 就栽在这里）；
• 结果的起点是第一项的起点、终点是最后一项的终点（(3) 就栽在这里）；
• 至于图形是不是平行四边形、点在不在边上，在这三小题里都是干扰信息。

练习（第 10 页）第 5 题

5. 有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河。小船航行速度的大小为 $15 \, km/h$ ，方向为北偏西 $30^{\circ}$ ，河水的速度为向东 $7.5 \, km/h$ ，求小船实际航行速度的大小与方向。

建模

实际速度 $=$ 船速 $+$ 水速（向量加法），这是例 2 用过的模型。 本题与例 2 的差别是：船头不再垂直于河岸，而是朝上游偏了 $30^{\circ}$。

取正东为 $x$ 轴正向、正北为 $y$ 轴正向建立直角坐标系（坐标法在 §6.3 才正式学， 这里只是把方向写清楚，用几何方法同样能做，见下面的”不用坐标的做法”）。

船速 $v_{1}$：大小 $15$，方向北偏西 $30^{\circ}$—— 从正北向西转 $30^{\circ}$，所以它与正北的夹角是 $30^{\circ}$，

$v_{1}=\bigl(-15\sin 30^{\circ},\ 15\cos 30^{\circ}\bigr)=\Bigl(-7.5,\ \tfrac{15\sqrt3}{2}\Bigr)$

水速 $v_{2}$：大小 $7.5$，方向正东，

$v_{2}=(7.5,\ 0)$

求和

$v=v_{1}+v_{2}=\bigl(-7.5+7.5,\ \tfrac{15\sqrt3}{2}\bigr)=\Bigl(0,\ \tfrac{15\sqrt3}{2}\Bigr)$

$x$ 分量恰好抵消为 $0$。 于是

$|v|=\frac{15\sqrt3}{2}=7.5\sqrt3\approx 12.99\approx 13.0\ (\mathrm{km/h})$

方向沿 $y$ 轴正向，即正北。

答：小船实际航行速度的大小约为 $13.0$ km/h（精确值 $7.5\sqrt3$ km/h），方向为正北。

不用坐标的做法

以渡口 $A$ 为起点，作 $\overrightarrow{AD}=v_{1}$（北偏西 $30^{\circ}$，长 $15$）、 $\overrightarrow{AB}=v_{2}$（正东，长 $7.5$），以 $AD$、$AB$ 为邻边作 $\square ABCD$， 则 $\overrightarrow{AC}=v$。

在 $\triangle ABC$ 中，$|\overrightarrow{AB}|=7.5$，$|\overrightarrow{BC}|=|\overrightarrow{AD}|=15$， 而 $\overrightarrow{BC}$ 与 $\overrightarrow{AB}$ 的夹角

$\angle ABC=180^{\circ}-(90^{\circ}+30^{\circ})=60^{\circ}$

（$\overrightarrow{AD}$ 与正东方向成 $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$，$\overrightarrow{BC}$ 与它同向）。由余弦定理，

$|AC|^{2}=7.5^{2}+15^{2}-2\times 7.5\times 15\times\cos 60^{\circ}=56.25+225-112.5=168.75$

$|AC|=\sqrt{168.75}=7.5\sqrt3\approx 13.0$

再由 $|AB|=7.5$、$|BC|=15$、$|AC|=7.5\sqrt3\approx 12.99$ 可验

$|AB|^{2}+|AC|^{2}=56.25+168.75=225=|BC|^{2}$

故 $\angle BAC=90^{\circ}$，即 $\overrightarrow{AC}$ 与正东方向垂直——正北，与坐标法一致 ✓。

这道题为什么这么”巧”

$15\sin 30^{\circ}=15\times\tfrac12=7.5$

船速的向西分量恰好等于水速的向东分量，两者抵消，所以实际航线正好垂直于河岸。 这正是现实中渡船的做法：要想直着过河，船头就得朝上游偏一个角度， 偏多少由水速与船速之比定——本题里 $\sin\theta=\dfrac{7.5}{15}=\dfrac12$，故 $\theta=30^{\circ}$。

与例 2 对照着看：例 2 是船头垂直、航线偏向下游； 本题是船头偏向上游、航线垂直。两道题正好是同一个模型的正反两问。

两处容易丢分

• 把 $15$ 当成实际速度的大小。 $15$ 是船在静水中的速度，实际速度要加上水速。
• 方向答成”北偏西 $30^{\circ}$“或”北偏东某角”。 实际航行方向是正北，不带偏角；$30^{\circ}$ 是船头的指向，不是航线的方向。