10.2 事件的相互独立性

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10.2 事件的相互独立性

前面我们研究过互斥事件、对立事件的概率性质，还研究过和事件的概率计算方法。对于积事件的概率，你能提出什么值得研究的问题吗？

我们知道，积事件 AB 就是事件 A 与事件 B 同时发生。因此，积事件 AB 发生的概率一定与事件 A，B 发生的概率有关。那么，这种关系会是怎样的呢？

下面我们来讨论一类与积事件有关的特殊问题.

探究

下面两个随机试验各定义了一对随机事件 A 和 B，你觉得事件 A 发生与否会影响事件 B 发生的概率吗？

试验1：分别抛掷两枚质地均匀的硬币， $A =$ “第一枚硬币正面朝上”， $B =$ “第二枚硬币反面朝上”.

试验 2：一个袋子中装有标号分别是 1，2，3，4 的 4 个球，除标号外没有其他差异。采用有放回方式从袋中依次任意摸出两球。设 A = “第一次摸到球的标号小于 3”，B = “第二次摸到球的标号小于 3”。

分别计算 $P(A)$ , $P(B)$ , $P(AB)$ ，你有什么发现？

显然，对于试验1，因为两枚硬币分别抛掷，第一枚硬币的抛掷结果与第二枚硬币的抛掷结果互相不受影响，所以事件 $A$ 发生与否不影响事件 $B$ 发生的概率.

对于试验 2，因为是有放回摸球，第一次摸球的结果与第二次摸球的结果互相不受影响，所以事件 A 发生与否也不影响事件 B 发生的概率.

在试验1中，用1表示硬币“正面朝上”，用0表示硬币“反面朝上”，则样本空间为$\Omega = \{(1,1),(1,0),(0,1),(0,0)\}$，包含4个等可能的样本点．而 $A = \{(1,1),(1,0)\},B = \{(1,0),(0,0)\}$，所以 $AB = \{(1,0)\}$．由古典概型概率计算公式，得

$P (A) = P (B) = \frac {1}{2}, \quad P (A B) = \frac {1}{4}.$

于是

$P (A B) = P (A) P (B).$

积事件 AB 的概率 $P(AB)$ 恰好等于 $P(A)$ 与 $P(B)$ 的乘积.

在试验2中，样本空间 $\Omega = \{(m, n) \mid m, n \in \{1, 2, 3, 4\}\}$，而

$A = \{(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4),$

$(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4) \},$

$B = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2),$

$(3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) \},$

$A B = \{(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2) \},$

所以

$P (A) = P (B) = \frac {1}{2}, P (A B) = \frac {1}{4}.$

于是也有

$P (A B) = P (A) P (B).$

积事件 AB 的概率 $P(AB)$ 也等于 $P(A)$ 与 $P(B)$ 的乘积.

从上述两个试验的共性中得到启发，我们引入这种事件关系的一般定义：

对任意两个事件 A 与 B ，如果

$P (A B) = P (A) P (B)$

成立，则称事件 A 与事件 B 相互独立，简称为独立.

由两个事件相互独立的定义，容易验证必然事件 $\Omega$ 、不可能事件 $\varnothing$ 都与任意事件相互独立。这是因为必然事件 $\Omega$ 总会发生，不会受任何事件是否发生的影响；同样，不可能事件 $\varnothing$ 总不会发生，也不受任何事件是否发生的影响。当然，它们也不影响其他事件是否发生。

探究

互为对立的两个事件是非常特殊的一种事件关系. 如果事件 $A$ 与事件 $B$ 相互独立, 那么它们的对立事件是否也相互独立? 以有放回摸球试验为例, 分别验证 $A$ 与 $\bar{B}, \bar{A}$ 与 $B, \bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 是否独立, 你有什么发现?

对于 $A$ 与 $\bar{B}$，因为 $A = AB \cup A\bar{B}$，而且 $AB$ 与 $A\bar{B}$ 互斥，所以

$\begin{array}{r l} P (A) & = P (A B \cup A \bar {B}) = P (A B) + P (A \bar {B}) \\ & = P (A) P (B) + P (A \bar {B}), \end{array}$

…

所以

$\begin{array}{r l} P (A \bar {B}) & = P (A) - P (A) P (B) \\ & = P (A) (1 - P (B)) = P (A) P (\bar {B}). \end{array}$

我们知道，如果三个事件 A, B, C 两两互斥，那么概率加法公式 $P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$ 成立。但当三个事件 A, B, C 两两独立时，等式 $P(ABC) = P(A) \cdot P(B)P(C)$ 一般不成立。

由事件的独立性定义，A 与 B 相互独立.

类似地，可以证明事件 $\bar{A}$ 与 B， $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也都相互独立.

例 1 一个袋子中有标号分别为 1, 2, 3, 4 的 4 个球，除标号外没有其他差异。采用不放回方式从中任意摸球两次。设事件 A = “第一次摸出球的标号小于 3”，事件 B = “第二次摸出球的标号小于 3”，那么事件 A 与事件 B 是否相互独立？

解：因为样本空间 $\Omega = \{(m, n) \mid m, n \in \{1, 2, 3, 4\}$，且 $m \neq n\}$，

$A=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)\}$ ,

$B = \{(1, 2), (2, 1), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2) \},$

所以

$P (A) = P (B) = \frac {6}{1 2} = \frac {1}{2}, \quad P (A B) = \frac {2}{1 2} = \frac {1}{6}.$

此时 $P(AB) \neq P(A)P(B)$ ，因此，事件 A 与事件 B 不独立.

例 2 甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，求下列事件的概率：

(1) 两人都中靶；

(2) 恰好有一人中靶；

(3) 两人都脱靶；

(4) 至少有一人中靶.

分析：设 $A =$ “甲中靶”， $B =$ “乙中靶”。从要求的概率可知，需要先分别求 $A, B$ 的对立事件 $\bar{A}, \bar{B}$ 的概率，并利用 $A, B, \bar{A}, \bar{B}$ 构建相应的事件。

解：设 $A =$ “甲中靶”， $B =$ “乙中靶”，则 $\bar{A} =$ “甲脱靶”， $\bar{B} =$ “乙脱靶”。由于两个人射击的结果互不影响，所以 $A$ 与 $B$ 相互独立， $A$ 与 $\bar{B}$ ， $\bar{A}$ 与 $B$ ， $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 都相互独立。

由已知可得， $P(A)=0.8, P(B)=0.9, P(\bar{A})=0.2, P(\bar{B})=0.1.$

(1) $AB =$ “两人都中靶”，由事件的独立性定义，得

$P (A B) = P (A) P (B) = 0. 8 \times 0. 9 = 0. 7 2.$

（2）“恰好有一人中靶” $= A\bar{B} \cup \bar{A}B$，且 $A\bar{B}$ 与 $\bar{A}B$ 互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，得

$\begin{array}{r l} P (A \bar {B} \cup \bar {A} B) & = P (A \bar {B}) + P (\bar {A} B) = P (A) P (\bar {B}) + P (\bar {A}) P (B) \\ & = 0. 8 \times 0. 1 + 0. 2 \times 0. 9 = 0. 2 6. \end{array}$

（3）事件 “两人都脱靶” = AB ，所以

$P (\bar {A} \bar {B}) = P (\bar {A}) P (\bar {B}) = (1 - 0. 8) \times (1 - 0. 9) = 0. 0 2.$

（4）方法1：事件“至少有一人中靶” $= AB \cup AB \cup AB$，且 $AB, AB$ 与 $AB$ 两两互斥，所以

$\begin{array}{r l} P (A B \cup A B \cup A B) & = P (A B) + P (A B) + P (A B) \\ & = P (A B) + P (A \bar {B} \cup \bar {A} B) \\ & = 0. 7 2 + 0. 2 6 = 0. 9 8. \end{array}$

方法 2：由于事件 “至少有一人中靶” 的对立事件是 “两人都脱靶”，根据对立事件的性质，得事件 “至少有一人中靶” 的概率为

$1 - P (\bar {A} \bar {B}) = 1 - 0. 0 2 = 0. 9 8.$

例3 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$。在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响。求“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率。

分析：两轮活动猜对3个成语，相当于事件“甲猜对1个，乙猜对2个”、事件“甲猜对2个，乙猜对1个”的和事件发生.

解：设 $A_{1}$，$A_{2}$ 分别表示甲两轮猜对1个，2个成语的事件，$B_{1}$，$B_{2}$ 分别表示乙两轮猜对1个，2个成语的事件。根据独立性假定，得

$P (A _ {1}) = \frac {3}{4} \times \frac {1}{4} + \frac {1}{4} \times \frac {3}{4} = \frac {3}{8}, P (A _ {2}) = \left(\frac {3}{4}\right) ^ {2} = \frac {9}{1 6}.$

$P (B _ {1}) = \frac {2}{3} \times \frac {1}{3} + \frac {1}{3} \times \frac {2}{3} = \frac {4}{9}, P (B _ {2}) = \left(\frac {2}{3}\right) ^ {2} = \frac {4}{9}.$

设 $A =$ “两轮活动‘星队’猜对3个成语”，则 $A = A_{1}B_{2}\cup A_{2}B_{1}$ ，且 $A_{1}B_{2}$ 与 $A_{2}B_{1}$ 互斥， $A_{1}$ 与 $B_{2}$ ， $A_{2}$ 与 $B_{1}$ 分别相互独立，所以

$\begin{array}{r l} P (A) & = P (A _ {1} B _ {2}) + P (A _ {2} B _ {1}) = P (A _ {1}) P (B _ {2}) + P (A _ {2}) P (B _ {1}) \\ & = \frac {3}{8} \times \frac {4}{9} + \frac {9}{1 6} \times \frac {4}{9} = \frac {5}{1 2}. \end{array}$

因此，“星队”在两轮活动中猜对3个成语的概率是 $\frac{5}{12}$ .

练习

1. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件 $A =$ “第1枚正面朝上”，事件 $B =$ “第2枚正面朝上”，事件 $C =$ “两枚硬币朝上的面相同”，$A, B, C$ 中哪两个相互独立？

2. 设样本空间 $\Omega = \{a, b, c, d\}$ 含有等可能的样本点，且

$A = \{a, b \}, B = \{a, c \}, C = \{a, d \}.$

请验证 A, B, C 三个事件两两独立，但 $P(ABC) \neq P(A)P(B)P(C)$ .

3. 天气预报报道：元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3。假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：

(1) 甲、乙两地都降雨的概率;

(2) 甲、乙两地都不降雨的概率;

(3) 至少一个地方降雨的概率.

4. 证明必然事件 $\Omega$ 和不可能事件 $\varnothing$ 与任意事件相互独立.

习题 10.2

复习巩固

1. 掷两枚质地均匀的骰子，设 $A =$ “第一枚出现奇数点”， $B =$ “第二枚出现偶数点”，则 $A$ 与 $B$ 的关系为（）.（A）互斥 (B）互为对立 (C）相互独立 (D）相等

2. 假设 $P(A) = 0.7, P(B) = 0.8$，且 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P(AB) = \_$，$P(A \cup B) = \_$．

3. 若 $P(A) > 0, P(B) > 0$，证明：事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不能同时成立.

综合运用

4. 甲、乙两人独立地破译一份密码，已知各人能破译的概率分别是 $\frac{1}{3}$，$\frac{1}{4}$，求：

(1) 两人都成功破译的概率;

(2) 密码被成功破译的概率.

5. 如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为 $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$。构造适当的事件 $A, B, C$，使 $P(ABC) = P(A)P(B)P(C)$ 成立，但不满足 $A, B, C$ 两两独立。

拓广探索

6. 分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题.

$E_{1}$ ：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件 A = “两枚都正面朝上”.

$\mathrm{E}_2$ ：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件 $B =$ “命中两次目标”.

$E_{3}$ ：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次不放回任意摸出两球；事件C=“两次都摸到红球”.

（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；

(2) 指出这三个试验的共同特征和区别；

(3) 分别求 A, B, C 的概率.