10.1.2 事件的关系和运算

文字转写

练习

1. 写出下列各随机试验的样本空间：

（1）采用抽签的方式，随机选择一名同学，并记录其性别；

(2) 采用抽签的方式, 随机选择一名同学, 观察其 ABO 血型;

(3) 随机选择一个有两个小孩的家庭，观察两个孩子的性别；

（4）射击靶3次，观察各次射击中靶或脱靶情况；

(5) 射击靶 3 次，观察中靶的次数.

2. 如图，由 A，B 两个元件分别组成串联电路（图（1））和并联电路（图（2）），观察两个元件正常或失效的情况.

(1) 写出试验的样本空间;

（2）对串联电路，写出事件 M=“电路是通路”包含的样本点；

（3）对并联电路，写出事件 N = “电路是断路” 包含的样本点.

3. 袋子中有 9 个大小和质地相同的球，标号为 1，2，3，4，5，6，7，8，9，从中随机摸出一个球.

(1) 写出试验的样本空间；

（2）用集合表示事件 $A =$ “摸到球的号码小于5”，事件 $B =$ “摸到球的号码大于4”，事件 $C =$ “摸到球的号码是偶数”.

10.1.2 事件的关系和运算

从前面的学习中可以看到，我们在一个随机试验中可以定义很多随机事件。这些事件有的简单，有的复杂。我们希望从简单事件的概率推算出复杂事件的概率，所以需要研究事件之间的关系和运算。

探究

在掷骰子试验中，观察骰子朝上面的点数，可以定义许多随机事件，例如：

$C_{i}=$ “点数为i”，i=1，2，3，4，5，6；

$D_{1}=$ “点数不大于3”; $D_{2}=$ “点数大于3”;

$E_{1} =$ “点数为1或2”； $E_{2} =$ “点数为2或3”；

$F =$ “点数为偶数”； $G =$ “点数为奇数”；

你还能写出这个试验中其他一些事件吗？请用集合的形式表示这些事件。借助集合与集合的关系和运算，你能发现这些事件之间的联系吗？

事实上，利用样本空间的子集表示事件，使我们可以利用集合的知识研究随机事件，从而为研究概率的性质和计算等提供有效而简便的方法。下面我们按照这一思路展开研究。

1. 用集合的形式表示事件 $C_{1}=\text{“点数为1”和事件 }G=\text{“点数为奇数”},$ 它们分别是 $C_{1}=\{1\}$ 和 $G=\{1,3,5\}$ .

显然，如果事件 $C_1$ 发生，那么事件 $G$ 一定发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 $\{1\} \subseteq \{1, 3, 5\}$，即 $C_1 \subseteq G$。这时我们说事件 $G$ 包含事件 $C_1$。

一般地，若事件 A 发生，则事件 B 一定发生，我们就称事件 B 包含事件 A（或事件 A 包含于事件 B），记作 $B \supseteq A$ （或 $A \subseteq B$ ）。可以用图 10.1-4 表示。

图10.1-4

特别地，如果事件 $B$ 包含事件 $A$ ，事件 $A$ 也包含事件 $B$ ，即 $B \supseteq A$ 且 $A \supseteq B$ ，则称事件 $A$ 与事件 $B$ 相等，记作 $A = B$

2. 用集合的形式表示事件 $D_{1} =$ “点数不大于3”、事件 $E_{1} =$ “点数为1或2”和事件 $E_{2} =$ “点数为2或3”，它们分别是 $D_{1} = \{1, 2, 3\}$，$E_{1} = \{1, 2\}$ 和 $E_{2} = \{2, 3\}$.

可以发现，事件 $E_{1}$ 和事件 $E_{2}$ 至少有一个发生，相当于事件 $D_{1}$ 发生。事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 $\{1, 2\} \cup \{2, 3\} = \{1, 2, 3\}$，即 $E_{1} \cup E_{2} = D_{1}$，这时我们称事件 $D_{1}$ 为事件 $E_{1}$ 和事件 $E_{2}$ 的并事件。

一般地，事件 $A$ 与事件 $B$ 至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件 $A$ 中，或者在事件 $B$ 中，我们称这个事件为事件 $A$ 与事件 $B$ 的并事件（或和事件），记作 $A \cup B$ （或 $A + B$）。可以用图10.1-5中的绿色区域和黄色区域表示这个并事件。

3. 事件 $C_{2}=\text{“点数为2”可以用集合的形式表示为 }C_{2}=\{2\}$ .

可以发现，事件 $E_{1} =$ “点数为1或2”和事件 $E_{2} =$ “点数为2或3”同时发生，相当于事件 $C_2$ 发生.事件之间的这种关系用集合的形式表示，就是 $\{1,2\} \cap \{2,3\} = \{2\}$ 即 $E_{1}\cap E_{2} = C_{2}$ .我们称事件 $C_2$ 为事件 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 的交事件.

一般地，事件 $A$ 与事件 $B$ 同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件 $A$ 中，也在事件 $B$ 中，我们称这样的一个事件为事件 $A$ 与事件 $B$ 的交事件（或积事件），记作 $A \cap B$ （或 $AB$）。可以用图10.1-6中的蓝色区域表示这个交事件。

4. 用集合的形式表示事件 $C_3 =$ “点数为 3”和事件 $C_4 =$ “点数为 4”，它们分别是 $C_3 = \{3\}$, $C_4 = \{4\}$.

显然，事件 $C_3$ 与事件 $C_4$ 不可能同时发生，用集合的形式表示这种关系，就是 $\{3\} \cap \{4\} = \emptyset$ ，即 $C_3 \cap C_4 = \emptyset$ ，这时我们称事件 $C_3$ 与事件 $C_4$ 互斥.

一般地，如果事件 A 与事件 B 不能同时发生，也就是说 $A \cap B$ 是一个不可能事件，即 $A \cap B = \varnothing$ ，则称事件 A 与事件 B 互斥（或互不相容）。可以用图 10.1-7 表示这两个事件互斥。

5. 用集合的形式表示事件 $F =$ “点数为偶数”、事件 $G =$ “点数为奇数”，它们分别是 $F = \{2, 4, 6\}$，$G = \{1, 3, 5\}$.

在任何一次试验中，事件 $F$ 与事件 $G$ 两者只能发生其中之一，而且也必然发生其中之一。事件之间的这种关系，用集合的形式可以表示为 $\{2, 4, 6\} \cup \{1, 3, 5\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$，即 $F \cup G = \Omega$，且 $\{2, 4, 6\} \cap \{1, 3, 5\} = \emptyset$，即 $F \cap G = \emptyset$。此时我们称

事件 $F$ 与事件 $G$ 互为对立事件. 事件 $D_{1}$ 与 $D_{2}$ 也有这种关系.

一般地，如果事件 A 和事件 B 在任何一次试验中有且仅有一个发生，即 $A \cup B = \Omega$ ，且 $A \cap B = \varnothing$ ，那么称事件 A 与事件 B 互为对立。事件 A 的对立事件记为 $\bar{A}$ ，可以用图 10.1-8 表示。

综上所述，事件的关系或运算的含义，以及相应的符号表示如下（表 10.1-1）：

类似地，我们可以定义多个事件的和事件以及积事件。例如，对于三个事件 $A, B, C, A \cup B \cup C$ （或 $A + B + C$）发生当且仅当 $A, B, C$ 中至少一个发生，$A \cap B \cap C$（或 $ABC$）发生当且仅当 $A, B, C$ 同时发生，等等。

例 5 如图 10.1-9，由甲、乙两个元件组成一个并联电路，每个元件可能正常或失效。设事件 A = “甲元件正常”，B = “乙元件正常”。

(1) 写出表示两个元件工作状态的样本空间；

(2) 用集合的形式表示事件 A, B 以及它们的对立事件;

(3) 用集合的形式表示事件 $A \cup B$ 和事件 $A \cap B$ ，并说明它们的含义及关系.

分析：注意到试验由甲、乙两个元件的状态组成，所以可以用数组 $(x_{1}, x_{2})$ 表示样本点。这样，确定事件 $A$，$B$ 所包含的样本点时，不仅要考虑甲元件的状态，还要考虑乙元件的状态。

解：（1）用 $x_{1}$，$x_{2}$ 分别表示甲、乙两个元件的状态，则可以用 $(x_{1}, x_{2})$ 表示这个并联电路的状态。以1表示元件正常，0表示元件失效，则样本空间为 $\Omega = \{(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$。

(2) 根据题意，可得

$\begin{array}{l} A = \{(1, 0), (1, 1) \}, B = \{(0, 1), (1, 1) \}, \\ \bar {A} = \{(0, 0), (0, 1) \}, \bar {B} = \{(0, 0), (1, 0) \}. \end{array}$

(3) $A \cup B = \{(0, 1), (1, 0), (1, 1)\}$, $A \cap B = \{(0, 0)\}$; $A \cup B$ 表示电路工作正常, $\bar{A} \cap \bar{B}$ 表示电路工作不正常; $A \cup B$ 和 $\bar{A} \cap \bar{B}$ 互为对立事件.

例 6 一个袋子中有大小和质地相同的 4 个球，其中有 2 个红色球（标号为 1 和 2），2 个绿色球（标号为 3 和 4），从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球。设事件 $R_{1} =$ “第一次摸到红球”， $R_{2} =$ “第二次摸到红球”，R = “两次都摸到红球”，G = “两次都摸到绿球”，M = “两个球颜色相同”，N = “两个球颜色不同”。

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

(2) 事件 R 与 $R_{1}$ ，R 与 G，M 与 N 之间各有什么关系？

（3）事件 $R$ 与事件 $G$ 的并事件与事件 $M$ 有什么关系？事件 $R_{1}$ 与事件 $R_{2}$ 的交事件与事件 $R$ 有什么关系？

解：（1）所有的试验结果如图 10.1-10 所示. 用数组 $(x_{1}, x_{2})$ 表示可能的结果， $x_{1}$ 是第一次摸到的球的标号， $x_{2}$ 是第二次摸到的球的标号，则试验的样本空间

$\Omega = \{(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 3), (2, 4),$

事件 $R_{1} =$ “第一次摸到红球”，即 $x_{1} = 1$ 或2，于是

$R_{1}=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)\};$

事件 $R_{2}$ = “第二次摸到红球”，即 $x_{2}=1$ 或 2，于是

$R _ {2} = \{(2, 1), (3, 1), (4, 1), (1, 2), (3, 2), (4, 2) \}.$

同理，有

$R = \{(1, 2), (2, 1) \},$

$G = \{(3, 4), (4, 3) \},$