5.6 函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$

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5.6 函数 $y = A\sin (\omega x + \varphi)$

我们知道，单位圆上的点，以（1，0）为起点，以单位速度按逆时针方向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以用怎样的数学模型刻画呢？下面先看一个实际问题。

5.6.1 匀速圆周运动的数学模型

问题 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图 5.6-1）。明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了简车的工作原理（图 5.6-2）。

假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动。你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？

因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.

思考

与盛水筒运动相关的量有哪些？它们之间有怎样的关系？

如图 5.6-3，将筒车抽象为一个几何图形，设经过 t s 后，盛水筒 M 从点 $P_{0}$ 运动到点 P。由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度 H，由以下量所决定：筒车转轮的中心 O 到水面的距离 h，筒车的半径 r，筒车转动的角速度 $\omega$ ，盛水筒的初始位置 $P_{0}$ 以及所经过的时间 t。

下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒 $M$ 运动的数学模型.