5.1.2 弧度制

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5.1.2 弧度制

度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制。不同的单位制能给解决问题带来方便。角的度量是否也能用不同的单位制呢？能否像度量长度那样，用十进制的实数来度量角的大小呢？

我们知道，角可以用度为单位进行度量，1度的角等于周角的 $\frac{1}{360}$。这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。

下面介绍在数学和其他科学研究中经常采用的另一种度量角的单位制——弧度制.

如图 5.1-9，射线 OA 绕端点 O 旋转到 OB 形成角 $\alpha$ 。在旋转过程中，射线 OA 上的一点 P（不同于点 O）的轨迹是一条圆弧，这条圆弧对应于圆心角 $\alpha$ 。

设 $\alpha = n^{\circ}$ ， $OP = r$ ，点 $P$ 所形成的圆弧 $\widehat{PP_1}$ 的长为 $l$ ．由初中所学知识可知 $l = \frac{n\pi r}{180}$ ，于是

$\frac {l}{r} = n \frac {\pi}{1 8 0}.$

探究

如图 5.1-10，在射线 OA 上任取一点 Q（不同于点 O）， $OQ = r_{1}$ 。在旋转过程中，点 Q 所形成的圆弧 $\widehat{QQ_{1}}$ 的长为 $l_{1}$ 。 $l_{1}$ 与 $r_{1}$ 的比值是多少？你能得出什么结论？

可以发现，圆心角 $\alpha$ 所对的弧长与半径的比值，只与 $\alpha$ 的大小有关。也就是说，这个比值随 $\alpha$ 的确定而唯一确定。这就启发我们，可以利用圆的弧长与半径的关系度量圆心角。

我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度（radian）的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.

我们把半径为1的圆叫做单位圆. 如图5.1-11，在单位圆 $O$ 中，$\widehat{AB}$ 的长等于1，$\angle AOB$ 就是1弧度的角.

根据上述规定，在半径为 r 的圆中，弧长为 l 的弧所对的圆心角为 $\alpha$ rad，那么

$| \alpha | = \frac {l}{r}.$

其中，$\alpha$ 的正负由角 $\alpha$ 的终边的旋转方向决定，即逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。当角的终边旋转一周后继续旋转，就可以得到弧度数大于 $2\pi$ 或小于 $-2\pi$ 的角。这样就可以得到弧度为任意大小的角。

一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

探究

角度制、弧度制都是角的度量制，它们之间应该可以换算。如何换算呢？

用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量数相同（都是0）；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同。因为周角的弧度数是 $2\pi$ ，而在角度制下的度数是360，所以

$3 6 0 ^ {\circ} = 2 \pi \mathrm{rad}, 1 8 0 ^ {\circ} = \pi \mathrm{rad},$

$1 ^ {\circ} = \frac {\pi}{1 8 0} \mathrm{rad} \approx 0. 0 1 7 4 5 \mathrm{rad}.$

反过来有

● ●

$1 \mathrm{rad} = \left(\frac {1 8 0}{\pi}\right) ^ {\circ} \approx 5 7. 3 0 ^ {\circ} = 5 7 ^ {\circ} 1 8 ^ {\prime}.$

一般地，只需根据

$\begin{array}{r l} & 1 8 0 ^ {\circ} = \pi \text {rad} \\ & \left\{ \begin{array}{l l} 1 ^ {\circ} = \frac {\pi}{1 8 0} \text {rad} \approx 0. 0 1 7 4 5 \text {rad} \\ 1 \text {rad} = \left(\frac {1 8 0}{\pi}\right) ^ {\circ} \approx 5 7. 3 0 ^ {\circ} \end{array} \right. \end{array}$

公元6世纪，印度人在制作正弦表时，曾用同一单位度量半径和圆周，孕育着最早的弧度制概念。欧拉是明确提出弧度制思想的数学家。1748年，在他的一部划时代著作《无穷小分析概论》中，提出把圆的半径作为弧长的度量单位，使一个圆周角等于 $2\pi$ 弧度，1弧度等于周角的 $\frac{1}{2\pi}$。这一思想将线段与弧的度量统一起来，大大简化了三角公式及计算。

就可以进行弧度与角度的换算了.

例 4 按照下列要求，把 $67^{\circ}30'$ 化成弧度：

(1) 精确值； (2) 精确到 0.001 的近似值.

解：（1）因为 $67^{\circ}30^{\prime} = \left(\frac{135}{2}\right)^{\circ}$ ，所以

$6 7 ^ {\circ} 3 0 ^ {\prime} = \frac {1 3 5}{2} \times \frac {\pi}{1 8 0} \mathrm{rad} = \frac {3}{8} \pi \mathrm{rad}.$

(2) 利用计算器有

因此， $67^{\circ}30^{\prime}\approx1.178\ rad.$

例 5 将 3.14 rad 换算成角度（用度数表示，精确到 0.001）.

解：利用计算器有

3 • 1 4 OPTN 2 2 = 179.908 747 7.

因此，3.14 rad≈179.909°.

今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角所对应的弧度数。例如，角 $\alpha = 2$ 就表示 $\alpha$ 是 2 rad 的角； $\sin \frac{\pi}{3}$ 就表示 $\frac{\pi}{3}$ rad 的角的正弦，即 $\sin \frac{\pi}{3} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：

角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集 R 之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数（等于这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应（图 5.1-12）.

例6 利用弧度制证明下列关于扇形的公式：(1) $l = \alpha R$ (2) $S = \frac{1}{2}\alpha R^2$ (3) $S = \frac{1}{2} lR.$

其中 R 是圆的半径， $\alpha(0<\alpha<2\pi)$ 为圆心角，l 是扇形的弧长，S 是扇形的面积.

证明：由公式 $|\alpha| = \frac{l}{r}$ 可得

$l = \alpha R.$

下面证明 (2)(3).

半径为 $R$ ，圆心角为 $n^{\circ}$ 的扇形的弧长公式和面积公式分别是

$l = \frac {n \pi R}{1 8 0}, S = \frac {n \pi R ^ {2}}{3 6 0},$

将 $n^{\circ}$ 转换为弧度，得

$\alpha = \frac {n \pi}{1 8 0},$

于是，

$S = \frac {1}{2} \alpha R ^ {2}.$

将 $l=\alpha R$ 代入上式，即得

$S = \frac {1}{2} l R.$

显然，弧度制下的弧长公式和扇形面积公式形式简单了。在今后的学习中，我们还将进一步看到弧度制带来的便利。

练习

1. 把下列角度化成弧度： (1) $22^{\circ}30'$ ; (2) $-210^{\circ}$ ; (3) $1200^{\circ}$ .

2. 把下列弧度化成角度： (1) $\frac{\pi}{12}$ ; (2) $-\frac{4\pi}{3}$ ; (3) $\frac{3\pi}{10}$ .

3. 用弧度表示：

(1) 终边在 x 轴上的角的集合；

(2) 终边在 y 轴上的角的集合.

4. 利用计算工具比较下列各对值的大小：

(1) $\cos 0.75^{\circ}$ 和 $\cos 0.75$ ; (2) $\tan 1.2^{\circ}$ 和 $\tan 1.2$ .

5. 分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为 $1 \mathrm{~m}$ 的圆中，$60^{\circ}$ 的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.

6. 已知半径为 $120 \mathrm{~mm}$ 的圆上, 有一条弧的长是 $144 \mathrm{~mm}$, 求该弧所对的圆心角 (正角) 的弧度数.

习题5.1

复习巩固

1. 在 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1) $-265^{\circ}$ ; (2) $-1000^{\circ}$ ; (3) $-843^{\circ}10'$ ; (4) $3900^{\circ}$ .

2. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 $-360^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ}$ 的元素 $\beta$ ： (1) $60^{\circ}$ ; (2) $-75^{\circ}$ ; (3) $-824^{\circ}30'$ ; (4) $475^{\circ}$ ; (5) $90^{\circ}$ ; (6) $270^{\circ}$ ; (7) $180^{\circ}$ ; (8) $0^{\circ}$ .

3. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.

4. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？

5. 把下列角度化成弧度： (1) $36^{\circ}$ ; (2) $-150^{\circ}$ ; (3) $1095^{\circ}$ ; (4) $1440^{\circ}$ .

6. 把下列弧度化成角度（第(3)(4)题精确到 $0.01^{\circ}$）：(1） $-\frac{7}{6}\pi$ ； (2） $-\frac{10}{3}\pi$ ； (3）1.4； (4） $\frac{2}{3}$

综合运用

7. 选择题

(1) 已知 $\alpha$ 是锐角，那么 $2\alpha$ 是（）. （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）小于 $180^{\circ}$ 的正角 （D）第一或第二象限角

(2) 已知 $\alpha$ 是第一象限角，那么 $\frac{\alpha}{2}$ 是（）. （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第一或第二象限角 （D）第一或第三象限角

8. 要在半径 $OA = 100 \mathrm{~cm}$ 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 $AB$ 的长为 $112 \mathrm{~cm}$，那么圆心角 $\angle AOB$ 是多少度（可用计算工具，精确到 $1^{\circ}$）？

9. 已知弧长 $50 \, cm$ 的弧所对圆心角为 $200^{\circ}$ ，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到 $1 \, cm$ ）.

拓广探索

10. 每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积 $S_{1}$.

（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值；

(2) 要使 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到 $1^{\circ}$ ）？

11.（1）时间经过 $4\mathrm{h}$ （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

(2) 有人说, 钟的时针和分针一天内会重合 24 次. 你认为这种说法是否正确? 请说明理由. (提示: 从午夜零时算起, 假设分针走了 $t \min$ 会与时针重合, 一天内分针和时针会重合 $n$ 次, 利用分针与时针转动的速度, 建立 $t$ 关于 $n$ 的函数解析式, 并求解.)

12. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿.

(1) 当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；

(2) 如果大轮的转速为 $180 \mathrm{r} / \mathrm{min}$ (转/分), 小轮的半径为 $10.5 \mathrm{~cm}$, 那么小轮周上一点每 $1 \mathrm{~s}$ 转过的弧长是多少?