5.1.2 弧度制

5.1.1 把角的范围推广到了任意角，但度量单位还是”度”（角度制）。这一节（5.1.2）引入第二种度量单位——弧度：用”弧长与半径的比值”来度量角。度量长度的单位有米、英尺、码，度量角也可以换单位；而弧度制最大的好处是——角的大小变成了实数。后面定义三角函数时，自变量就是一个实数（弧度数），这是三角函数能成为”刻画周期现象”的工具的前提。

学完这一节，你要能：说清 1 弧度的定义（长度等于半径长的弧所对的圆心角），熟记 $360^{\circ} = 2\pi$、$180^{\circ} = \pi$ 及换算公式，把角度化成弧度、弧度化成角度，并会用弧度制下的扇形公式 $l = \alpha R$、$S = \frac{1}{2}\alpha R^2 = \frac{1}{2}lR$ 解题。

一、为什么用”弧长比半径”来度量角

如图 5.1-9，射线 $OA$ 旋转形成角 $\alpha = n^{\circ}$，$OP = r$，点 $P$ 画出的弧长为 $l$。初中公式 $l = \frac{n\pi r}{180}$ 两边同除以 $r$：

$$\frac{l}{r} = n \cdot \frac{\pi}{180}.$$

右边只含 $n$（角的大小），不含 $r$！所以同一个角，无论半径多大，“弧长 ÷ 半径”这个比值都一样（探究 5.1-10 在半径 $r_1$ 处再取一点 $Q$，同样有 $\frac{l_1}{r_1} = \frac{l}{r}$）。这个比值由角唯一确定，反过来一个比值也只对应一个角——于是可以用它度量角。

定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度（radian） 的角，单位符号 rad。一般地，半径为 $r$ 的圆中，弧长为 $l$ 的弧所对的圆心角为 $\alpha$ rad，则

$$|\alpha| = \frac{l}{r}.$$

$\alpha$ 的正负由旋转方向决定（逆时针为正、顺时针为负），零角的弧度数是 0。转一周后继续转，弧度数可以大于 $2\pi$ 或小于 $-2\pi$——弧度数取遍一切实数，与任意角一一对应。角的集合与实数集 $R$ 之间建立起一一对应关系：每一个角有唯一一个实数（它的弧度数）与它对应，反之亦然（图 5.1-12）。

二、角度与弧度的换算

关键等式：周角的角度数是 $360$，弧度数是 $2\pi$，所以

$$360^{\circ} = 2\pi \ \text{rad}, \qquad 180^{\circ} = \pi \ \text{rad},$$ $$1^{\circ} = \frac{\pi}{180}\ \text{rad} \approx 0.01745\ \text{rad}, \qquad 1\ \text{rad} = \left(\frac{180}{\pi}\right)^{\circ} \approx 57.30^{\circ} = 57^{\circ}18'.$$

记住：$1$ 弧度约等于 $57.3^{\circ}$（比 $60^{\circ}$ 稍小）。常用特殊角对照要背熟：$30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$，$45^{\circ} = \frac{\pi}{4}$，$60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$，$90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$，$180^{\circ} = \pi$，$270^{\circ} = \frac{3\pi}{2}$，$360^{\circ} = 2\pi$。

例 4：$67^{\circ}30'$ 化成弧度。先把分化为度：$67^{\circ}30' = \left(\frac{135}{2}\right)^{\circ}$（$30' = 0.5^{\circ}$），再乘 $\frac{\pi}{180}$：

$$67^{\circ}30' = \frac{135}{2} \times \frac{\pi}{180}\ \text{rad} = \frac{3}{8}\pi\ \text{rad} \approx 1.178\ \text{rad}.$$

例 5：$3.14$ rad 化成角度。乘以 $\frac{180}{\pi}$（用计算器）：$3.14 \times \frac{180}{\pi} \approx 179.909^{\circ}$。

换算是同一种操作的两个方向：角度化弧度乘 $\frac{\pi}{180}$，弧度化角度乘 $\frac{180}{\pi}$。

三、弧度制下的扇形公式（例 6）

半径为 $R$、圆心角为 $\alpha$ rad（$0 < \alpha < 2\pi$）的扇形，由 $|\alpha| = \frac{l}{r}$ 直接得

$$l = \alpha R.$$

面积公式：角度制下 $S = \frac{n\pi R^2}{360}$，把 $n^{\circ}$ 化成弧度 $\alpha = \frac{n\pi}{180}$，则 $\frac{n\pi}{360} = \frac{\alpha}{2}$，得

$$S = \frac{1}{2}\alpha R^2 = \frac{1}{2}lR.$$

弧度制下弧长、面积公式形式简洁（没有 $\frac{\pi}{180}$、$\frac{1}{360}$ 这些常数），这正是弧度制的便利。

四、约定：省略”弧度”二字

今后用弧度制表示角时，“弧度”二字或 rad 通常略去不写，只写弧度数。例如角 $\alpha = 2$ 表示 $\alpha$ 是 2 rad 的角；$\sin\frac{\pi}{3}$ 表示 $\frac{\pi}{3}$ rad 的角的正弦，即 $\sin\frac{\pi}{3} = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$。

特别注意：省略单位后，三角函数符号里的数默认是弧度（$\sin 2$ 中的 $2$ 是 2 rad），这也就是为什么第 4 题（练习 4）要比较 $\cos 0.75^{\circ}$ 和 $\cos 0.75$——前者 $0.75$ 度，后者 $0.75$ 弧度，是两个不同的数。

五、易错点

1. 度与弧度混写：$180^{\circ} = \pi$，不是 $180^{\circ} = \pi^{\circ}$，也不是 $\pi = 180$；换算时 $\frac{\pi}{180}$ 的单位是 rad/度，$\frac{180}{\pi}$ 的单位是 度/rad；
2. 换算比例系数：角度化弧度乘 $\frac{\pi}{180}$（约 0.01745），弧度化角度乘 $\frac{180}{\pi}$（约 57.30）——两个数约相差 3283 倍，乘反了结果会差到离谱，做题时先判断结果数量级是否合理（$3$ rad 应该约 $172^{\circ}$ 而不是约 $0.05^{\circ}$）；
3. 省略单位后的大小比较：$\cos 0.75^{\circ}$ 与 $\cos 0.75$ 不是一回事；解三角方程、比较三角值前先分清角度制还是弧度制；
4. 扇形公式的圆心角必须是弧度：$l = \alpha R$ 中的 $\alpha$ 是弧度数；若给的是度，先化成弧度（或直接用 $l = \frac{n\pi R}{180}$）；
5. 弦长 ≠ 弧长：1 弧度的角所对的弧长等于半径，它对应的弦长小于半径（两点间直线最短）；反过来”弦长等于半径”所对的圆心角是 $60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047$ rad，不是 1 弧度（习题 5.1 第 4 题）；
6. 象限角的弧度写法带周期：第一象限角集合写成 $\{\alpha \mid 2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$，别漏 $2k\pi$ 或把它写成 $k\pi$。

六、怎么读这一节

1. 自己推一遍 $\frac{l}{r}$ 不含半径 $r$ 的过程（例 6 的证明同样重要——用弧度制证明扇形公式，体会”换单位”带来的化简）；
2. 背熟特殊角的度数与弧度对应表，并随手互相换算几个角（如 $120^{\circ}$、$-225^{\circ}$）练手；
3. 用两种弧长公式各算一遍练习 5（$60^{\circ}$ 圆心角、半径 $1$ m），体会结果一致、弧度制更简洁；
4. 思考”角的集合与实数集一一对应”这句话——它告诉你：三角函数定义在实数上，函数图象的横轴是实数轴而不是”度”。

下一节 5.2 三角函数的概念：在弧度制下，用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数。

本节页面覆盖第 179–183 页，课本习题共 18 道（第 182 页「练习」6 道 + 第 182–183 页「习题5.1」12 道），逐题全做。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1. 把下列角度化成弧度： (1) $22^{\circ}30'$ ; (2) $-210^{\circ}$ ; (3) $1200^{\circ}$ .

角度化弧度：乘 $\frac{\pi}{180}$。

(1) $22^{\circ}30' = 22.5^{\circ}$（$30' = 0.5^{\circ}$），所以

$$22^{\circ}30' = 22.5 \times \frac{\pi}{180}\ \text{rad} = \frac{1}{8}\pi\ \text{rad}.$$

(2)

$$-210^{\circ} = -210 \times \frac{\pi}{180}\ \text{rad} = -\frac{7}{6}\pi\ \text{rad}.$$

(3)

$$1200^{\circ} = 1200 \times \frac{\pi}{180}\ \text{rad} = \frac{20}{3}\pi\ \text{rad}.$$

自检：约分验证——$22.5 / 180 = 0.125 = \frac{1}{8}$ ✓；$-210 / 180 = -\frac{7}{6}$ ✓（同时除以 30）；$1200 / 180 = \frac{20}{3}$ ✓（同时除以 60）。结果化成最简分数，$k\pi$ 形式。

练习 第 2 题

2. 把下列弧度化成角度： (1) $\frac{\pi}{12}$ ; (2) $-\frac{4\pi}{3}$ ; (3) $\frac{3\pi}{10}$ .

弧度化角度：乘 $\frac{180}{\pi}$。

(1)

$$\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{12} \times \frac{180}{\pi} = 15^{\circ}.$$

(2)

$$-\frac{4\pi}{3} = -\frac{4\pi}{3} \times \frac{180}{\pi} = -240^{\circ}.$$

(3)

$$\frac{3\pi}{10} = \frac{3\pi}{10} \times \frac{180}{\pi} = 54^{\circ}.$$

自检：$\pi$ 约掉后只算分数乘 180——$\frac{180}{12} = 15$ ✓；$-\frac{4 \times 180}{3} = -240$ ✓；$\frac{3 \times 180}{10} = 54$ ✓。

练习 第 3 题

3. 用弧度表示：

(1) 终边在 x 轴上的角的集合；

(2) 终边在 y 轴上的角的集合.

(1) 终边在 $x$ 轴上的角：$0^{\circ}$ 对应 $0$，$180^{\circ}$ 对应 $\pi$，两者相差 $\pi$，所以

$$\{\beta \mid \beta = k\pi, k \in \mathbb{Z}\}.$$

(2) 终边在 $y$ 轴上的角：$90^{\circ}$ 对应 $\frac{\pi}{2}$，$270^{\circ}$ 对应 $\frac{3\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi$，两者相差 $\pi$，所以

$$\{\beta \mid \beta = \frac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\}.$$

自检：$x$ 轴正、负半轴对应的弧度 $0$ 与 $\pi$ 相差 $\pi$，取 $k \in \mathbb{Z}$ 覆盖两个方向 ✓；$y$ 轴同理 $\frac{\pi}{2}$ 与 $\frac{3\pi}{2}$ 相差 $\pi$ ✓。与 5.1.1 例 2 的结论 $\{90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\}$ 一致（$90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$，$180^{\circ} = \pi$）。

练习 第 4 题

4. 利用计算工具比较下列各对值的大小：

(1) $\cos 0.75^{\circ}$ 和 $\cos 0.75$ ; (2) $\tan 1.2^{\circ}$ 和 $\tan 1.2$ .

注意：$0.75^{\circ}$ 是 $0.75$ 度（角度制），$0.75$ 是 $0.75$ 弧度（弧度制，省略了 rad）。

(1) 用计算器（或三角函数值）：$0.75^{\circ} \approx 0.0131$ rad 是非常小的角，$\cos 0.75^{\circ} \approx 0.9999$；而 $0.75$ rad $\approx 42.97^{\circ}$，$\cos 0.75 \approx 0.7317$。所以

$$\cos 0.75^{\circ} > \cos 0.75.$$

(2) $\tan 1.2^{\circ} \approx 0.0209$；$1.2$ rad $\approx 68.75^{\circ}$，$\tan 1.2 \approx 2.572$。所以

$$\tan 1.2^{\circ} < \tan 1.2.$$

自检：$0.75^{\circ}$ 接近 $0^{\circ}$，余弦接近 1（$> 0.73$）✓；$1.2$ rad 接近 $70^{\circ}$，正切大于 $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \approx 1.732$（$> 0.021$）✓。这类题的关键是分清”度”与”弧度”——省略 rad 后的数字默认是弧度。

练习 第 5 题

5. 分别用角度制、弧度制下的弧长公式，计算半径为 $1 \mathrm{~m}$ 的圆中，$60^{\circ}$ 的圆心角所对的弧的长度（可用计算工具）.

角度制：$l = \frac{n\pi r}{180}$，$n = 60$，$r = 1$：

$$l = \frac{60 \times \pi \times 1}{180} = \frac{\pi}{3} \approx 1.05\ \text{m}.$$

弧度制：先化弧度 $60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ rad，再 $l = \alpha R = \frac{\pi}{3} \times 1 = \frac{\pi}{3} \approx 1.05$ m。

自检：两种公式结果一致（都是 $\frac{\pi}{3}$ m ≈ 1.047 m）✓。$60^{\circ}$ 是周角的 $\frac{1}{6}$，周长 $2\pi \times 1 = 2\pi$ m 的 $\frac{1}{6}$ 正是 $\frac{\pi}{3}$ m，与直观吻合。

练习 第 6 题

6. 已知半径为 $120 \mathrm{~mm}$ 的圆上, 有一条弧的长是 $144 \mathrm{~mm}$, 求该弧所对的圆心角 (正角) 的弧度数.

由 $|\alpha| = \frac{l}{r}$：

$$\alpha = \frac{l}{r} = \frac{144}{120} = \frac{6}{5} = 1.2\ \text{rad}.$$

自检：$1.2$ rad $\approx 68.8^{\circ}$，不到 $90^{\circ}$，弧长应小于 $\frac{1}{4}$ 周长（$\frac{2\pi \times 120}{4} \approx 188$ mm），$144 < 188$ ✓。反代验证：$1.2 \times 120 = 144$ ✓。

习题5.1 第 1 题

1. 在 $0^{\circ} \sim 360^{\circ}$ 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是哪个象限的角： (1) $-265^{\circ}$ ; (2) $-1000^{\circ}$ ; (3) $-843^{\circ}10'$ ; (4) $3900^{\circ}$ .

把各角加上或减去整数个 $360^{\circ}$，使结果落在 $[0^{\circ}, 360^{\circ})$ 内：

(1) $-265^{\circ} + 360^{\circ} = 95^{\circ}$：第二象限角。

(2) $-1000^{\circ} + 3 \times 360^{\circ} = 80^{\circ}$：第一象限角。

(3) $-843^{\circ}10' + 3 \times 360^{\circ} = 236^{\circ}50'$：第三象限角。

(4) $3900^{\circ} - 10 \times 360^{\circ} = 300^{\circ}$：第四象限角。

自检：$95^{\circ} = 360^{\circ} - 265^{\circ}$ ✓；$-1000 + 1080 = 80$ ✓（加 $2 \times 360 = 720$ 得 $-280$ 仍负，加 $3 \times 360$ 才落入范围）；$-843^{\circ}10' + 1080^{\circ} = 236^{\circ}50'$ ✓；$3900 - 3600 = 300$ ✓。象限判定：$95^{\circ} \in (90^{\circ}, 180^{\circ})$ 第二象限，$80^{\circ} \in (0^{\circ}, 90^{\circ})$ 第一象限，$236^{\circ}50' \in (180^{\circ}, 270^{\circ})$ 第三象限，$300^{\circ} \in (270^{\circ}, 360^{\circ})$ 第四象限 ✓。

习题5.1 第 2 题

2. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 $-360^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ}$ 的元素 $\beta$ ： (1) $60^{\circ}$ ; (2) $-75^{\circ}$ ; (3) $-824^{\circ}30'$ ; (4) $475^{\circ}$ ; (5) $90^{\circ}$ ; (6) $270^{\circ}$ ; (7) $180^{\circ}$ ; (8) $0^{\circ}$ .

方法：集合 $S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$，再解不等式 $-360^{\circ} \leqslant \alpha + 360k < 360^{\circ}$ 取整数 $k$。逐题列出（每题集合写成最简形式）：

(1) $S = \{\beta \mid \beta = 60^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；解 $-360 \leqslant 60 + 360k < 360$ 得 $-1.17 \leqslant k < 0.83$，$k = -1, 0$，故 $\beta = -300^{\circ}, 60^{\circ}$。

(2) $S = \{\beta \mid \beta = -75^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；$-360 \leqslant -75 + 360k < 360$ 得 $-0.79 \leqslant k < 1.21$，$k = 0, 1$，故 $\beta = -75^{\circ}, 285^{\circ}$。

(3) $S = \{\beta \mid \beta = -824^{\circ}30' + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；$-824^{\circ}30' + 2 \times 360^{\circ} = -104^{\circ}30'$，$-824^{\circ}30' + 3 \times 360^{\circ} = 255^{\circ}30'$，故 $\beta = -104^{\circ}30', 255^{\circ}30'$（$k = 1$ 得 $-464^{\circ}30' < -360^{\circ}$，$k = 4$ 得 $615^{\circ}30' \geqslant 360^{\circ}$，均舍）。

(4) $S = \{\beta \mid \beta = 475^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$（等价于 $\beta = 115^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}$）；$\beta = 115^{\circ} - 360^{\circ} = -245^{\circ}, 115^{\circ}$。

(5) $S = \{\beta \mid \beta = 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；$\beta = -270^{\circ}, 90^{\circ}$。

(6) $S = \{\beta \mid \beta = 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；$\beta = -90^{\circ}, 270^{\circ}$。

(7) $S = \{\beta \mid \beta = 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；$\beta = -180^{\circ}, 180^{\circ}$。

(8) $S = \{\beta \mid \beta = 0^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$；解 $-360 \leqslant 360k < 360$ 得 $-1 \leqslant k < 1$，$k = -1, 0$，故 $\beta = -360^{\circ}, 0^{\circ}$。

自检：注意第 (8) 题左端是闭区间——$\beta = -360^{\circ}$ 恰好在边界上，要取；右端是开区间，$\beta = 360^{\circ}$ 不取。逐题反代验证：如 (3) $-104^{\circ}30' + 360^{\circ} = 255^{\circ}30'$，两者相差一个周角且都在 $[-360^{\circ}, 360^{\circ})$ 内 ✓；(4) $475^{\circ} - 360^{\circ} = 115^{\circ}$，$-245^{\circ} + 360^{\circ} = 115^{\circ}$ ✓。

习题5.1 第 3 题

3. 分别用角度和弧度写出第一、二、三、四象限角的集合.

角度制：

• 第一象限：$\{\alpha \mid k \cdot 360^{\circ} < \alpha < 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$
• 第二象限：$\{\alpha \mid 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} < \alpha < 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$
• 第三象限：$\{\alpha \mid 180^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} < \alpha < 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$
• 第四象限：$\{\alpha \mid 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ} < \alpha < 360^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}$

弧度制：

• 第一象限：$\{\alpha \mid 2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
• 第二象限：$\{\alpha \mid \frac{\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < \pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
• 第三象限：$\{\alpha \mid \pi + 2k\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$
• 第四象限：$\{\alpha \mid \frac{3\pi}{2} + 2k\pi < \alpha < 2\pi + 2k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$

自检：四个集合的端点依次是 $0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3\pi}{2}, 2\pi$（即 $0^{\circ}, 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}, 360^{\circ}$），每个区间平移 $2k\pi$ ✓。区间全部是开区间——终边落在坐标轴上的角不属于任何象限，所以端点不能取等号。

习题5.1 第 4 题

4. 一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角等于1弧度吗？为什么？

不等于。1 弧度的定义是”长度等于半径的弧所对的圆心角”，而这里给的是弦长等于半径。

具体算一下：设圆半径 $r$，弦 $AB = r$，圆心角为 $\theta$。过圆心作弦的垂线（平分弦与圆心角），半弦 $\frac{r}{2}$，直角三角形的斜边是 $r$，所以

$$\sin\frac{\theta}{2} = \frac{r/2}{r} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \frac{\theta}{2} = 30^{\circ} \quad \Rightarrow \quad \theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \approx 1.047\ \text{rad}.$$

因为 $\frac{\pi}{3} \approx 1.047 > 1$，所以这条弦所对的圆心角不是 1 弧度，而是约 $1.047$ 弧度（$60^{\circ}$）。

直观解释：同一圆心角下弦长总小于弧长（两点之间线段最短）。1 弧度的角所对的弧长等于半径，它的弦长则小于半径；反过来，要使弦长达到半径这么大，弧长必然大于半径，圆心角也就大于 1 弧度。

自检：$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ ✓，故 $\theta = 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3}$ ✓；$\frac{\pi}{3} \approx 1.047$ rad 与 $\frac{180}{\pi} \times 1.047 \approx 60^{\circ}$ 互验 ✓。关键在”弦”与”弧”之别——弦长等于半径时，对应圆心角比 1 弧度大一点点（$60^{\circ} > 57.3^{\circ}$）。

习题5.1 第 5 题

5. 把下列角度化成弧度： (1) $36^{\circ}$ ; (2) $-150^{\circ}$ ; (3) $1095^{\circ}$ ; (4) $1440^{\circ}$ .

(1) $36^{\circ} = 36 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{5}$ rad。

(2) $-150^{\circ} = -150 \times \frac{\pi}{180} = -\frac{5\pi}{6}$ rad。

(3) $1095^{\circ} = 1095 \times \frac{\pi}{180} = \frac{73\pi}{12}$ rad。

(4) $1440^{\circ} = 1440 \times \frac{\pi}{180} = 8\pi$ rad。

自检：约分——$\frac{36}{180} = \frac{1}{5}$ ✓；$\frac{150}{180} = \frac{5}{6}$ ✓；$\frac{1095}{180} = \frac{73}{12}$（同除以 15）✓；$\frac{1440}{180} = 8$ ✓。$8\pi$ rad $= 4 \times 2\pi$，即 4 个周角，与 $1440^{\circ} = 4 \times 360^{\circ}$ 吻合 ✓。

习题5.1 第 6 题

6. 把下列弧度化成角度（第(3)(4)题精确到 $0.01^{\circ}$）：(1） $-\frac{7}{6}\pi$ ； (2） $-\frac{10}{3}\pi$ ； (3）1.4； (4） $\frac{2}{3}$

(1) $-\frac{7}{6}\pi = -\frac{7}{6} \times 180^{\circ} = -210^{\circ}$。

(2) $-\frac{10}{3}\pi = -\frac{10}{3} \times 180^{\circ} = -600^{\circ}$。

(3) $1.4\ \text{rad} = 1.4 \times \frac{180}{\pi} \approx 80.21^{\circ}$。

(4) $\frac{2}{3}\ \text{rad} = \frac{2}{3} \times \frac{180}{\pi} \approx 38.20^{\circ}$。

自检：(1) $-\frac{7 \times 180}{6} = -210$ ✓；(2) $-\frac{10 \times 180}{3} = -600$ ✓；(3) 用 $\frac{180}{\pi} \approx 57.30$：$1.4 \times 57.30 \approx 80.21$ ✓；(4) $\frac{2}{3} \times 57.30 \approx 38.20$ ✓。第 (3)(4) 题按要求精确到 $0.01^{\circ}$。

习题5.1 第 7 题

7. 选择题

(1) 已知 $\alpha$ 是锐角，那么 $2\alpha$ 是（）. （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）小于 $180^{\circ}$ 的正角 （D）第一或第二象限角

(2) 已知 $\alpha$ 是第一象限角，那么 $\frac{\alpha}{2}$ 是（）. （A）第一象限角 （B）第二象限角 （C）第一或第二象限角 （D）第一或第三象限角

(1) $\alpha$ 是锐角，即 $0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}$，两边乘 2 得 $0^{\circ} < 2\alpha < 180^{\circ}$。所以 $2\alpha$ 是小于 $180^{\circ}$ 的正角，选 （C）。

排除其他：$2\alpha$ 可能落在第一象限（$\alpha = 30^{\circ}$ 时 $2\alpha = 60^{\circ}$，排除（B）“第二象限”）；可能落在第二象限（$\alpha = 60^{\circ}$ 时 $2\alpha = 120^{\circ}$，排除（A）“第一象限”）；还可能恰为 $90^{\circ}$（$\alpha = 45^{\circ}$ 时，终边在 $y$ 轴正半轴，不属于任何象限，排除（D）“第一或第二象限”）。

(2) $\alpha$ 是第一象限角：$2k\pi < \alpha < \frac{\pi}{2} + 2k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），两边除以 2 得

$$k\pi < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} + k\pi.$$

• $k$ 为偶数（$k = 2n$）：$2n\pi < \frac{\alpha}{2} < \frac{\pi}{4} + 2n\pi$，$\frac{\alpha}{2}$ 在第一象限；
• $k$ 为奇数（$k = 2n + 1$）：$\pi + 2n\pi < \frac{\alpha}{2} < \frac{5\pi}{4} + 2n\pi$，$\frac{\alpha}{2}$ 在第三象限。

选 （D）。

自检：(1) 三个反例（$30^{\circ}, 60^{\circ}, 45^{\circ}$）恰好把 A、B、D 逐一排除 ✓，且 $0^{\circ} < 2\alpha < 180^{\circ}$ 严格成立，C 完全准确。(2) 取具体角验证：$\alpha = 60^{\circ}$ 第一象限 → $\frac{\alpha}{2} = 30^{\circ}$ 第一象限；$\alpha = 420^{\circ}$（与 $60^{\circ}$ 终边相同，仍是第一象限角）→ $\frac{\alpha}{2} = 210^{\circ}$ 第三象限 ✓。两象限都可取到，故 D 正确。

习题5.1 第 8 题

8. 要在半径 $OA = 100 \mathrm{~cm}$ 的圆形金属板上截取一块扇形板，使其弧 $AB$ 的长为 $112 \mathrm{~cm}$，那么圆心角 $\angle AOB$ 是多少度（可用计算工具，精确到 $1^{\circ}$）？

由 $l = \alpha R$ 得圆心角（弧度）

$$\alpha = \frac{l}{R} = \frac{112}{100} = 1.12\ \text{rad}.$$

化成度：

$$1.12 \times \frac{180}{\pi} \approx 64.17^{\circ} \approx 64^{\circ}.$$

自检：$64^{\circ} \approx 1.117$ rad，弧长 $= 1.117 \times 100 \approx 112$ cm ✓。反代吻合，且 $64^{\circ}$ 小于 $90^{\circ}$，弧长不足 $\frac{1}{4}$ 圆周长（$\approx 157$ cm），$112 < 157$ ✓。

习题5.1 第 9 题

9. 已知弧长 $50 \, cm$ 的弧所对圆心角为 $200^{\circ}$ ，求这条弧所在的圆的半径（可用计算工具，精确到 $1 \, cm$ ）.

先把圆心角化成弧度：$200^{\circ} = 200 \times \frac{\pi}{180} = \frac{10\pi}{9}$ rad。由 $l = \alpha R$ 得

$$R = \frac{l}{\alpha} = \frac{50}{10\pi/9} = \frac{45}{\pi} \approx 14.32 \approx 14\ \text{cm}.$$

自检：反代验证——$\frac{45}{\pi} \times \frac{10\pi}{9} = 50$ ✓（精确值恰好等于 50，舍入到 14.32 cm 后弧长约 49.99 ≈ 50 ✓）。用角度制公式交叉验证：$l = \frac{n\pi R}{180} = \frac{200 \times \pi \times 14.32}{180} \approx 49.99$ ✓。

习题5.1 第 10 题

10. 每人准备一把扇形的扇子，然后与本小组其他同学的对比，从中选出一把展开后看上去形状较为美观的扇子，并用计算工具算出它的面积 $S_{1}$.

（1）假设这把扇子是从一个圆面中剪下的，而剩余部分的面积为 $S_{2}$ ，求 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值；

(2) 要使 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 的比值为 0.618，则扇子的圆心角应为几度（精确到 $1^{\circ}$ ）？

(1) 设扇子所在圆的半径为 $R$，扇子的圆心角为 $\theta$（弧度），则扇子面积 $S_{1} = \frac{1}{2}\theta R^{2}$，剩余部分圆心角为 $2\pi - \theta$，面积 $S_{2} = \frac{1}{2}(2\pi - \theta)R^{2}$，所以

$$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{1}{2}\theta R^{2}}{\frac{1}{2}(2\pi - \theta)R^{2}} = \frac{\theta}{2\pi - \theta}.$$

比值只由圆心角 $\theta$ 决定，与半径 $R$ 无关——扇子放大缩小不影响”美观比例”。

(2) 令 $\frac{\theta}{2\pi - \theta} = 0.618$：

$$\theta = 0.618(2\pi - \theta) \quad \Rightarrow \quad 1.618\theta = 1.236\pi \quad \Rightarrow \quad \theta = \frac{1.236\pi}{1.618} \approx 2.400\ \text{rad}.$$

化成度：

$$2.400 \times \frac{180}{\pi} \approx 137.5^{\circ} \approx 138^{\circ}.$$

自检：反代验证——$\theta = 2.400$ rad 时 $\frac{2.400}{2\pi - 2.400} = \frac{2.400}{3.883} \approx 0.618$ ✓。$138^{\circ}$ 时剩余角 $222^{\circ}$，$S_1 : S_2 = 138 : 222 \approx 0.6217 \approx 0.618$（精确值用 $137.5^{\circ}$ 时比值恰为 $0.618$）✓。直观上约 $138^{\circ}$ 的扇形（略小于半圆）正是”黄金比例”的展开角。

习题5.1 第 11 题

11.（1）时间经过 $4\mathrm{h}$ （时），时针、分针各转了多少度？各等于多少弧度？

(2) 有人说, 钟的时针和分针一天内会重合 24 次. 你认为这种说法是否正确? 请说明理由. (提示: 从午夜零时算起, 假设分针走了 $t \min$ 会与时针重合, 一天内分针和时针会重合 $n$ 次, 利用分针与时针转动的速度, 建立 $t$ 关于 $n$ 的函数解析式, 并求解.)

(1) 时针每小时转 $30^{\circ}$（$360^{\circ} \div 12$），分针每小时转 $360^{\circ}$。$4$ h 内：

• 时针：$4 \times 30^{\circ} = 120^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$ rad；
• 分针：$4 \times 360^{\circ} = 1440^{\circ} = 8\pi$ rad。

(2) 说法不正确，一天内时针和分针重合 22 次。

理由：分针每分钟转 $6^{\circ}$（$360 \div 60$），时针每分钟转 $0.5^{\circ}$（$30 \div 60$），分针相对时针每分钟多转 $6 - 0.5 = 5.5^{\circ}$。从午夜零时（两针重合）起，设分针走了 $t$ min 时与时针第 $n$ 次重合（$n \in \mathbb{N}^{*}$），此时分针相对时针多转了 $n$ 个整圈，即

$$5.5t = 360n \quad \Rightarrow \quad t = \frac{720n}{11}\ \text{min}.$$

一天有 $1440$ min，要求 $t \leqslant 1440$：

$$\frac{720n}{11} \leqslant 1440 \quad \Rightarrow \quad n \leqslant 22.$$

所以一天内（从零时到 24 时）共重合 $n = 1, 2, \ldots, 22$，即 22 次（零时刻的初始重合不计入；$n = 22$ 对应 $t = 1440$ min 即 24 时整）。不是 24 次。

自检：(1) $120^{\circ} = \frac{2}{3} \times 180^{\circ} = \frac{2\pi}{3}$ ✓；$1440^{\circ} = 4 \times 360^{\circ} = 8\pi$ ✓。(2) 第一次重合时刻 $t = \frac{720}{11} \approx 65.45$ min，即约 1 点 5 分 27 秒——常识吻合（“时针分针第一次重合在 1 点过 5 分多”）✓；每隔 $\frac{720}{11}$ min 重合一次，$1440 \div \frac{720}{11} = 22$ ✓。注意相对速度思想：把”追及”问题看成相对运动，分针每分钟相对多转 $5.5^{\circ}$，一天相对多转 $24 \times 360^{\circ} - 2 \times 360^{\circ} = 22 \times 360^{\circ}$，恰 22 圈，故重合 22 次——两种思路殊途同归。

习题5.1 第 12 题

12. 已知相互啮合的两个齿轮，大轮有 48 齿，小轮有 20 齿.

(1) 当大轮转动一周时，求小轮转动的角度；

(2) 如果大轮的转速为 $180 \mathrm{r} / \mathrm{min}$ (转/分), 小轮的半径为 $10.5 \mathrm{~cm}$, 那么小轮周上一点每 $1 \mathrm{~s}$ 转过的弧长是多少?

啮合的两个齿轮在接触点转过相同的齿数，因此转速与齿数成反比：$n_{\text{小}} : n_{\text{大}} = 48 : 20$。

(1) 大轮转动一周转过 48 齿，小轮相应转过 48 齿，即 $\frac{48}{20} = 2.4$ 周。所以小轮转过的角度

$$2.4 \times 360^{\circ} = 864^{\circ} = \frac{864\pi}{180} = \frac{24\pi}{5} = 4.8\pi\ \text{rad}.$$

(2) 小轮转速 $= 180 \times \frac{48}{20} = 432$ r/min $= 432 \div 60 = 7.2$ r/s。小轮半径 $10.5$ cm，每秒转过弧长

$$l = 7.2 \times 2\pi \times 10.5 = 151.2\pi \approx 475\ \text{cm} \approx 4.75\ \text{m}.$$

自检：(1) $\frac{48}{20} = 2.4$，$2.4 \times 360 = 864$ ✓；$864\pi/180 = 4.8\pi$ ✓。(2) $432 \div 60 = 7.2$ r/s ✓；$2\pi \times 10.5 \approx 65.97$ cm（一周），$\times 7.2 = 475.01$ cm ≈ 4.75 m ✓。量级检查：每秒 7.2 圈、一圈约 66 cm，弧长约 4.75 m，合理。