5.1 任意角和弧度制

人教 A 版 · 本节 4 页原书扫描（原文）+ 本站重写的讲解与习题详解没有考过 ↓

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考过本节的真题

没有考过

本站语料里还没有一道真题考到这一节：现有攻略中没有任何一篇，经由引本节作教材出处的实体连到本节。这一段是两跳派生的（节 ← 实体 ← 攻略），源里没有「节 → 题」的手写声明——新的攻略一上站，清单会自己长出来。它说的是本站已上站的那些卷子里没有考到，不是「高考不考这一节」。

讲解

本站对这一节的重写（不是原书转写）：顺序可重组、推导可补全，目标是易读易学 + 与真题关联。原文以上方扫描图为准。

第 5 章从初中”角”的概念出发。初中把角定义在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，但现实世界的圆周运动（钟表、齿轮、筒车）不仅会转出超过 360∘360^{\circ} 的角，而且有方向之分。这一节（5.1）做两件事：推广角的概念（5.1.1 任意角：正角、负角、象限角、终边相同的角），引入角的弧度制（5.1.2，在下一页目录）：用实数来度量角，为后面三角函数（自变量是实数）铺路。

学完这一节，你要能：说清正角/负角/零角的定义，判断一个角是第几象限角，写出与给定角终边相同的角的集合（统一格式 S={β∣β=α+k⋅360∘,k∈Z}S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}），并会处理”在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内找相同终边的角""在指定范围内列终边相同角”这两类题。

一、角的概念推广：正角、负角、零角

初中的角”看图形”（从一点引两条射线），推广后的角”看旋转”：一条射线绕其端点旋转，把射线绕端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，没有做任何旋转的角叫做零角（零角 = 0∘0^{\circ}，始边与终边重合）。

旋转多少圈就是多少度：转一周是 360∘360^{\circ}，转两周是 720∘720^{\circ}；顺时针转则是负的。课本例子：体操”前空翻转体 540 度""后空翻转体 720 度”超过 360∘360^{\circ} 且方向不同；两个咬合的齿轮旋转方向相反。生活经验：钟表的时针、分针旋转时形成的角总是负角（顺时针）。

角可以相加相减：把角 α\alpha 的终边再旋转角 β\beta，得到 α+β\alpha + \beta；相反角记作 −α-\alpha，且像实数一样有 α−β=α+(−β)\alpha - \beta = \alpha + (-\beta)——角的减法转化为角的加法。两个角相等，要求旋转方向相同且旋转量相等（与在哪无关）。

二、象限角

把角放进直角坐标系：角的顶点与原点重合，始边与 xx 轴的非负半轴重合。这样，终边落在第几象限，角就是第几象限角；终边在坐标轴上时，角不属于任何象限。

这种做法的好处：角的大小（旋转量）直接反映在终边的位置上，角的运算对应终边的旋转——“周而复始”的周期现象在坐标系里看得清清楚楚（课本在例 1 后的框注也点明了这一点：终边绕原点旋转 360∘360^{\circ} 回到原位置）。

判断象限角的方法：把角减去（或加上）整数个 360∘360^{\circ}，化成 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内的角，再看落在第几象限。例 1：−950∘12′=129∘48′−3×360∘-950^{\circ}12' = 129^{\circ}48' - 3 \times 360^{\circ}，所以 −950∘12′-950^{\circ}12' 与 129∘48′129^{\circ}48' 终边相同，是第二象限角。

三、终边相同的角：统一的集合表达式

对于任意一条射线，以它为终边的角不唯一（OBOB 可以是 −32∘-32^{\circ} 的终边，也可以是 328∘328^{\circ}、−392∘-392^{\circ} 的终边——它们相差整数个周角）。一般结论：

所有与角 α\alpha 终边相同的角，连同角 α\alpha 在内，构成集合

S={β∣β=α+k⋅360∘,k∈Z}.S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}.

即”任一与角 α\alpha 终边相同的角，都可以表示成角 α\alpha 与整数个周角的和”。这是本节最重要的公式，后面判断象限、解不等式列角都靠它。

例 2（终边在 yy 轴上）：0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内终边在 yy 轴上的角是 90∘90^{\circ} 和 270∘270^{\circ}。集合为

S={β∣β=90∘+k⋅360∘,k∈Z}∪{β∣β=270∘+k⋅360∘,k∈Z},S = \{\beta \mid \beta = 90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\} \cup \{\beta \mid \beta = 270^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\},

注意 270∘=90∘+180∘270^{\circ} = 90^{\circ} + 180^{\circ}，把 kk 分奇偶合并：S={β∣β=90∘+n⋅180∘,n∈Z}S = \{\beta \mid \beta = 90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, n \in \mathbb{Z}\}。合并技巧：当两个集合的角相差 180∘180^{\circ} 的整数倍时，可合并成"α+n⋅180∘\alpha + n \cdot 180^{\circ}"的形式——先各自写成 kk 的集合，再看 kk 的奇偶是否把两个集合拼成一个 Z\mathbb{Z}。

例 3（终边在直线 y=xy = x 上）：0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内满足的是 45∘45^{\circ} 和 225∘225^{\circ}（相差 180∘180^{\circ}），合并得 S={β∣β=45∘+n⋅180∘,n∈Z}S = \{\beta \mid \beta = 45^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}, n \in \mathbb{Z}\}。再求满足 −360∘⩽β<720∘-360^{\circ} \leqslant \beta < 720^{\circ} 的元素：令 nn 从 −2-2 到 33 代入，得 −315∘-315^{\circ}、−135∘-135^{\circ}、45∘45^{\circ}、225∘225^{\circ}、405∘405^{\circ}、585∘585^{\circ} 六个。

注意边界：45∘+3×180∘=585∘<720∘45^{\circ} + 3 \times 180^{\circ} = 585^{\circ} < 720^{\circ} 可取，45∘+4×180∘=765∘⩾720∘45^{\circ} + 4 \times 180^{\circ} = 765^{\circ} \geqslant 720^{\circ} 舍去；左端 −360∘-360^{\circ} 是闭区间，45∘−2×180∘=−315∘⩾−360∘45^{\circ} - 2 \times 180^{\circ} = -315^{\circ} \geqslant -360^{\circ} 可取。端点用不等号直接代入检验，别漏边界。

四、易错点

  1. 负角不是负的度数：−150∘-150^{\circ} 表示顺时针转 150∘150^{\circ}，它比 0∘0^{\circ} “小”不是数学意义上的大小比较——任意角没有”大小”，只有方向与旋转量；写终边相同角集合时 kk 取遍整数，负的 kk 对应顺时针方向；
  2. 坐标轴上的角不属于任何象限：终边在 xx 轴、yy 轴上的角是”轴角”，不是象限角，判断时先排除；
  3. 化成 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内角的余数方向：−950∘12′-950^{\circ}12' 要加 3×360∘3 \times 360^{\circ} 得到正的 129∘48′129^{\circ}48'，而不是"950∘12′−2×360∘=230∘12′950^{\circ}12' - 2 \times 360^{\circ} = 230^{\circ}12'"（这是 −950∘12′+3×360∘=129∘48′-950^{\circ}12' + 3 \times 360^{\circ} = 129^{\circ}48' 的对），因为 −950∘12′+2×360∘=−230∘12′-950^{\circ}12' + 2 \times 360^{\circ} = -230^{\circ}12' 仍为负——要加到结果落在 [0∘,360∘)[0^{\circ}, 360^{\circ}) 内；
  4. 终边相同角的集合别漏 k∈Zk \in \mathbb{Z}：S={β∣β=α+k⋅360∘}S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 360^{\circ}\} 必须注明 k∈Zk \in \mathbb{Z}，否则集合不完整；
  5. 合并集合的奇偶技巧：{90∘+2k⋅180∘}∪{90∘+(2k+1)⋅180∘}\{90^{\circ} + 2k \cdot 180^{\circ}\} \cup \{90^{\circ} + (2k+1) \cdot 180^{\circ}\} 合并成 {90∘+n⋅180∘}\{90^{\circ} + n \cdot 180^{\circ}\}——两个集合相差 180∘180^{\circ} 的奇数倍时才能这样合并，90∘90^{\circ} 与 270∘270^{\circ} 恰好差 180∘180^{\circ}。

五、怎么读这一节

  1. 亲手在纸上画一画 750∘750^{\circ}（转两周 + 30∘30^{\circ}）、−660∘-660^{\circ}（转近两圈）的终边，体会”超过 360∘360^{\circ}“和”负方向”两个推广维度；
  2. 背下终边相同角的集合公式，并用它独立完成例 1、例 2、例 3（尤其例 3 的合并写法）；
  3. 回答课本两个框注问题：“在直角坐标系内讨论角的好处”（终边位置直观对应角的大小、旋转一周回到原位）、探究中的”终边相同的角有什么关系”（相差 k⋅360∘k \cdot 360^{\circ}）；
  4. 做练习 1～5：口答题训练概念（锐角/直角/钝角 vs 象限角的包含关系），3、4 题训练”化归到 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ}“，5 题训练”集合 + 解不等式列元素”。

下一节 5.1.2 弧度制：把角的度量从”度”换成”弧度”——用弧长与半径的比值来度量角，让三角函数成为定义在实数上的函数。

习题详解（本站解答，无官方答案可核）

人教 A 版学生用书不含答案，教师用书与全解不在本站语料里——因此本节习题的解答无官方答案可核，它们是本站写的。每一道都过了独立 verifier 的 refute 优先复核（默认它有问题，找不出问题才放行），但那不等于官方标准答案：拿它对思路，别拿它对分。

本节页面覆盖第 175–178 页，课本习题共 5 道（第 178 页「练习」），逐题全做。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习 第 1 题

1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

锐角是第一象限角（0∘<α<90∘0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}，终边在第一象限）。但第一象限角不一定是锐角——终边在第一象限的角可以转多圈，如 390∘390^{\circ}、−330∘-330^{\circ} 都是第一象限角，却都不是锐角。

直角（90∘90^{\circ}）：终边在 yy 轴正半轴上，是轴角，不属于任何象限。反过来，终边在 yy 轴正半轴上的角（90∘+k⋅360∘90^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}，k∈Zk \in \mathbb{Z}）不一定是直角——k=0k = 0 时它就是 90∘90^{\circ} 本身，恰是直角；k≠0k \ne 0 时如 450∘450^{\circ}、−270∘-270^{\circ}，终边虽也在 yy 轴正半轴上，但旋转圈数不同，不是直角。

钝角（90∘<α<180∘90^{\circ} < \alpha < 180^{\circ}）是第二象限角；但第二象限角不一定是钝角（如 480∘480^{\circ}、−240∘-240^{\circ} 是第二象限角却不是钝角）。

自检：核心区别在于”象限角”只看终边落在哪个象限，不管转了多少圈；而锐角、直角、钝角由度数范围（而非旋转圈数）刻画——第一象限角有无穷多个（30∘+k⋅360∘30^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}），锐角则只是 (0∘,90∘)(0^{\circ}, 90^{\circ}) 内的那些度数（也有无穷多个，如 30∘30^{\circ}、30.1∘30.1^{\circ}、30.01∘30.01^{\circ}，但没有 390∘390^{\circ}——它是第一象限角却不是锐角）；只有直角是唯一的一个度数 90∘90^{\circ}。所以”象限角”的范围被 k⋅360∘k \cdot 360^{\circ} 放大成无穷多个角。直角是轴角，回答”第几象限”时要说”不属于任何象限”。

练习 第 2 题

2.（口答）今天是星期三，那么 7k(k∈Z)7k(k\in \mathbf{Z}) 天后的那一天是星期几？ 7k(k∈Z)7k(k\in \mathbf{Z}) 天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

一周 7 天，星期几以 7 为周期循环：7k7k 天（kk 为任意整数，含负的”天前”）后仍是星期三。

100 天后：100=7×14+2100 = 7 \times 14 + 2，即 100 天 = 14 周多 2 天，星期三再过 2 天是星期五。

自检：这与”终边相同的角相差 k⋅360∘k \cdot 360^{\circ}“是同一个数学结构——星期几是周期为 7 的现象，角是周期为 360∘360^{\circ} 的现象，用”除以周期看余数”即可。7k7k 天前同理仍是星期三（负的 kk 表示往前数，也是 7 的倍数）。100 天的余数 2 决定星期几，别把 14 周当余数。

练习 第 3 题

  1. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角： (1) 420∘420^{\circ} ; (2) −75∘-75^{\circ} ; (3) 855∘855^{\circ} ; (4) −510∘-510^{\circ} .

各角化成 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内的角再判象限：

(1) 420∘=60∘+360∘420^{\circ} = 60^{\circ} + 360^{\circ}：终边与 60∘60^{\circ} 相同，是第一象限角（作图：逆时针转一周再加 60∘60^{\circ}）；

(2) −75∘-75^{\circ}：顺时针转 75∘75^{\circ}，终边在第四象限，是第四象限角；

(3) 855∘=135∘+2×360∘855^{\circ} = 135^{\circ} + 2 \times 360^{\circ}：终边与 135∘135^{\circ} 相同，是第二象限角；

(4) −510∘=−510∘+2×360∘=210∘-510^{\circ} = -510^{\circ} + 2 \times 360^{\circ} = 210^{\circ}：终边与 210∘210^{\circ} 相同，是第三象限角。

自检：逐项验算——420−360=60420 - 360 = 60 ✓；855−720=135855 - 720 = 135 ✓；−510+720=210-510 + 720 = 210 ✓。负角化 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 时加整数个 360∘360^{\circ} 直到非负（−510∘-510^{\circ} 加两个周角），正角减。四个角的终边分处一、四、二、三象限，各不重复。

练习 第 4 题

  1. 在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1) −54∘18′-54^{\circ}18' ; (2) 395∘8′395^{\circ}8' ; (3) −1190∘30′-1190^{\circ}30' .

(1) −54∘18′+360∘=305∘42′-54^{\circ}18' + 360^{\circ} = 305^{\circ}42'：在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内与 −54∘18′-54^{\circ}18' 终边相同的角是 305∘42′305^{\circ}42'，它大于 270∘270^{\circ} 小于 360∘360^{\circ}，是第四象限角。

(2) 395∘8′−360∘=35∘8′395^{\circ}8' - 360^{\circ} = 35^{\circ}8'：与 395∘8′395^{\circ}8' 终边相同的角是 35∘8′35^{\circ}8'，是第一象限角。

(3) −1190∘30′+4×360∘=−1190∘30′+1440∘=249∘30′-1190^{\circ}30' + 4 \times 360^{\circ} = -1190^{\circ}30' + 1440^{\circ} = 249^{\circ}30'：与 −1190∘30′-1190^{\circ}30' 终边相同的角是 249∘30′249^{\circ}30'，大于 180∘180^{\circ} 小于 270∘270^{\circ}，是第三象限角。

自检：305∘42′=360∘−54∘18′305^{\circ}42' = 360^{\circ} - 54^{\circ}18' ✓（顺时针 54∘18′54^{\circ}18' 即逆时针 305∘42′305^{\circ}42'）；35∘8′=395∘8′−360∘35^{\circ}8' = 395^{\circ}8' - 360^{\circ} ✓；第 (3) 题验证”4×360∘4 \times 360^{\circ} 是最小倍数”：−1190∘30′+3×360∘=−110∘30′∉[0∘,360∘)-1190^{\circ}30' + 3 \times 360^{\circ} = -110^{\circ}30' \notin [0^{\circ}, 360^{\circ})，还需再加 360∘360^{\circ}，即共加 1440∘=4×360∘1440^{\circ} = 4 \times 360^{\circ} 后才落入 [0∘,360∘)[0^{\circ}, 360^{\circ}) ✓。分秒要跟着角一起加减（395∘8′395^{\circ}8' 的 8′8' 保留）。

练习 第 5 题

  1. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 −720∘⩽β<360∘-720^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ} 的元素 β\beta：(1) 1303∘18′1303^{\circ} 18'；(2) −225∘-225^{\circ}.

(1) 先把 1303∘18′1303^{\circ}18' 化成 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 内的角：1303∘18′=223∘18′+3×360∘1303^{\circ}18' = 223^{\circ}18' + 3 \times 360^{\circ}。所以与它终边相同的角的集合

S={β∣β=223∘18′+k⋅360∘,k∈Z}.S = \{\beta \mid \beta = 223^{\circ}18' + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}.

求 −720∘⩽β<360∘-720^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ} 的元素：223∘18′−2×360∘=−496∘42′223^{\circ}18' - 2 \times 360^{\circ} = -496^{\circ}42'，223∘18′−1×360∘=−136∘42′223^{\circ}18' - 1 \times 360^{\circ} = -136^{\circ}42'，223∘18′+0×360∘=223∘18′223^{\circ}18' + 0 \times 360^{\circ} = 223^{\circ}18'（+360∘+360^{\circ} 得 583∘18′⩾360∘583^{\circ}18' \geqslant 360^{\circ}，舍去）。满足条件的元素是 −496∘42′-496^{\circ}42'、−136∘42′-136^{\circ}42'、223∘18′223^{\circ}18'。

(2) 与 −225∘-225^{\circ} 终边相同的角的集合

S={β∣β=−225∘+k⋅360∘,k∈Z}.S = \{\beta \mid \beta = -225^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}\}.

（也可写成 β=135∘+k⋅360∘\beta = 135^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}，二者同一个集合。）求 −720∘⩽β<360∘-720^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ} 的元素：−225∘−360∘=−585∘-225^{\circ} - 360^{\circ} = -585^{\circ}，−225∘+0×360∘=−225∘-225^{\circ} + 0 \times 360^{\circ} = -225^{\circ}，−225∘+360∘=135∘-225^{\circ} + 360^{\circ} = 135^{\circ}（再 +360∘+360^{\circ} 得 495∘⩾360∘495^{\circ} \geqslant 360^{\circ}，舍去；−585∘−360∘=−945∘<−720∘-585^{\circ} - 360^{\circ} = -945^{\circ} < -720^{\circ}，舍去）。满足条件的元素是 −585∘-585^{\circ}、−225∘-225^{\circ}、135∘135^{\circ}。

自检：第 (1) 问的集合要用 k∈Zk \in \mathbb{Z} 且把角化成最简形式（223∘18′223^{\circ}18' 而非 1303∘18′1303^{\circ}18'）。列元素时逐个试 kk：由不等式 −720∘⩽β<360∘-720^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ} 解 −720⩽223∘18′+360k<360-720 \leqslant 223^{\circ}18' + 360k < 360 得 −2.62<k<0.38-2.62 < k < 0.38，k=−2,−1,0k = -2, -1, 0 三个 ✓；第 (2) 问同理 −720⩽−225+360k<360-720 \leqslant -225 + 360k < 360 得 −1.375⩽k<1.625-1.375 \leqslant k < 1.625，k=−1,0,1k = -1, 0, 1 三个 ✓。注意右端是开区间（β<360∘\beta < 360^{\circ}），kk 取到使 β\beta 恰好等于 360∘360^{\circ} 的值要舍。

原书转写（OCR，供核对）

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机器转写，如有出入以上方扫描图为准。它是原文可搜索、可复制公式、读屏器读得出的形态， 也是教材原文引文的逐字比对靶。

5.1 任意角和弧度制

圆周运动是一种常见的周期性变化现象. 如图 5.1-1, ⊙O\odot O 上的点 P 以 A 为起点做逆时针方向的旋转. 如何刻画点 P 的位置变化呢?

图5.1-1

我们知道，角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形。在图5.1-1中，射线的端点是圆心 OO ，它从起始位置 OAOA 按逆时针方向旋转到终止位置 OPOP ，形成一个角 α\alpha ，射线 OAOA ， OPOP 分别是角 α\alpha 的始边和终边。当角 α\alpha 确定时，终边 OPOP 的位置就确定了。这时，射线 OPOP 与 ⊙O\odot O 的交点 PP 也就确定了。由此想到，可以借助角 α\alpha 的大小变化刻画点 PP 的位置变化。

由初中知识可知，射线 OAOA 绕端点 OO 按逆时针方向旋转一周回到起始位置，在这个过程中可以得到 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内的角。如果继续旋转，那么所得到的角就超出这个范围了。所以，为了借助角的大小变化刻画圆周运动，需要先扩大角的范围。

5.1.1 任意角

现实生活中随处可见超出 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围的角。例如，体操中有“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”这样的动作名称，这里不仅有超出 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围的角，而且旋转的方向也不相同；又如，图5.1-2是两个齿轮旋转的示意图，被动轮随着主动轮的旋转而旋转，而且被动轮与主动轮有相反的旋转方向。这样，OAOA 绕点 OO 旋转所成的角与 O′BO'B 绕点 O′O' 旋转所成的角就会有不同的方向。因此，要准确地描述这些现象，不仅要知道旋转的度数，还要知道旋转的方向，这就需要对角的概念进行推广。

我们规定，一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.

图 5.1-2

● ●

为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α\alpha”或“∠α\angle \alpha”可以简记成“α\alpha”.

如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角。这样，零角的始边与终边重合。如果 α\alpha 是零角，那么 α=0∘\alpha=0^{\circ} 。图 5.1-3(1) 中的角是一个正角，它等于 750∘750^{\circ} ；图 5.1-3(2) 中，正角 α=210∘\alpha=210^{\circ} ，负角 β=−150∘\beta=-150^{\circ} ， γ=−660∘\gamma=-660^{\circ} 。正常情况下，如果以零时为起始位置，那么钟表的时针或分针在旋转时所形成的角总是负角。

(1)

图5.1-3(2)

这样，我们就把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角。设角 α\alpha 由射线 OAOA 绕端点 OO 旋转而成，角 β\beta 由射线 O′A′O'A' 绕端点 O′O' 旋转而成。如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称 α=β\alpha = \beta。

设 α,β\alpha, \beta 是任意两个角. 我们规定, 把角 α\alpha 的终边旋转角 β\beta, 这时终边所对应的角是 α+β\alpha + \beta.

类似于实数 aa 的相反数是 −a-a，我们引入任意角 α\alpha 的相反角的概念。如图5.1-4，我们把射线 OAOA 绕端点 OO 按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角。角 α\alpha 的相反角记为 −α-\alpha。于是，像实数减法的“减去一个数等于加上这个数的相反数”一样，我们有

α−β=α+(−β).\alpha - \beta = \alpha + (- \beta).

这样，角的减法可以转化为角的加法.

(1)

图5.1-4(2)

图 5.1-5

我们通常在直角坐标系内讨论角. 为了方便, 使角的顶点与原点重合, 角的始边与 xx 轴的非负半轴重合. 那么, 角的终边在第几象限, 就说这个角是第几象限角. 例如, 图 5.1-5 中的 30∘30^{\circ} 角、−120∘-120^{\circ} 角分别是第一象限角和第三象限角. 如果角的终边在坐标轴上, 那么就认为这个角不属于任何一个象限.

你能说说在直角坐标系内讨论角的好处吗？

探究

将角按照上述方法放在直角坐标系中后，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应。反之，对于直角坐标系内任意一条射线 OB（图 5.1-6），以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？

图5.1-6

不难发现，在图5.1-6中，如果 −32∘-32^{\circ} 角的终边是 OBOB ，那么 328∘328^{\circ} ， −392∘-392^{\circ} ，…角的终边都是 OBOB ，并且与 −32∘-32^{\circ} 角终边相同的这些角都可以表示成 −32∘-32^{\circ} 的角与 kk 个 (k∈Z)(k\in \mathbf{Z}) 周角的和，如

328∘=−32∘+360∘(这里k=_),−392∘=−32∘−360∘(这里k=_).\begin{array}{c} 3 2 8 ^ {\circ} = - 3 2 ^ {\circ} + 3 6 0 ^ {\circ} (\text {这里} k = \_), \\ - 3 9 2 ^ {\circ} = - 3 2 ^ {\circ} - 3 6 0 ^ {\circ} (\text {这里} k = \_). \end{array}

设 S={β∣β=−32∘+k⋅360∘,k∈Z}S = \{\beta \mid \beta = -32^{\circ} + k \cdot 360^{\circ}, k \in \mathbf{Z}\}，则 328∘328^{\circ}，−392∘-392^{\circ} 角都是 SS 的元素，−32∘-32^{\circ} 角也是 SS 的元素（此时 k=_k = \_）。因此，所有与 −32∘-32^{\circ} 角终边相同的角，连同 −32∘-32^{\circ} 角在内，都是集合 SS 的元素；反过来，集合 SS 的任一元素显然与 −32∘-32^{\circ} 角的终边相同。

一般地，我们有：

所有与角 α\alpha 终边相同的角，连同角 α\alpha 在内，可构成一个集合

S={β∣β=α+k⋅360∘,k∈Z},S = \{\beta \mid \beta = \alpha + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \},

即任一与角 α\alpha 终边相同的角，都可以表示成角 α\alpha 与整数个周角的和.

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例 1 在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，找出与 −950∘12′-950^{\circ}12' 角终边相同的角，并判定它是第几象限角.

在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转 360∘360^{\circ} 后回到原来的位置。因此，在直角坐标系中讨论角可以很好地表现角的“周而复始”的变化规律。

解： −950∘12′=129∘48′−3×360∘-950^{\circ}12' = 129^{\circ}48' - 3 \times 360^{\circ} ，所以在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，与 −950∘12′-950^{\circ}12' 角终边相同的角是 129∘48′129^{\circ}48' ，它是第二象限角.

例 2 写出终边在 y 轴上的角的集合.

解：在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，终边在 yy 轴上的角有两个，即 90∘90^{\circ}，270∘270^{\circ} 角（图5.1-7）。因此，所有与 90∘90^{\circ} 角终边相同的角构成集合

S1={β∣β=90∘+k⋅360∘,k∈Z},S _ {1} = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \},

图5.1-7

而所有与 270∘270^{\circ} 角终边相同的角构成集合

S2={β∣β=270∘+k⋅360∘,k∈Z},S _ {2} = \{\beta \mid \beta = 2 7 0 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \},

于是，终边在 yy 轴上的角的集合

S=S1∪S2={β∣β=90∘+2k⋅180∘,k∈Z}∪{β∣β=90∘+180∘+2k⋅180∘,k∈Z}={β∣β=90∘+2k⋅180∘,k∈Z}∪{β∣β=90∘+(2k+1)180∘,k∈Z}={β∣β=90∘+n⋅180∘,n∈Z}.\begin{array}{r l} S & = S _ {1} \cup S _ {2} \\ & = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + 2 k \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \cup \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + 1 8 0 ^ {\circ} + 2 k \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \\ & = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + 2 k \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \cup \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + (2 k + 1) 1 8 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \\ & = \{\beta \mid \beta = 9 0 ^ {\circ} + n \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, n \in \mathbf {Z} \}. \end{array}

例3 写出终边在直线 y=xy = x 上的角的集合 SS. SS 中满足不等式 −360∘⩽β<720∘-360^{\circ} \leqslant \beta < 720^{\circ} 的元素 β\beta 有哪些？

解：如图 5.1-8，在直角坐标系中画出直线 y=x，可以发现它与 x 轴的夹角是 45∘45^{\circ} ，在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，终边在直线 y=x 上的角有两个： 45∘45^{\circ} ， 225∘225^{\circ} 。因此，终边在直线 y=x 上的角的集合

S={β∣β=45∘+k⋅360∘,k∈Z}∪{β∣β=225∘+k⋅360∘,k∈Z}={β∣β=45∘+n⋅180∘,n∈Z}.\begin{array}{r l} S = & \{\beta | \beta = 4 5 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \cup \\ & \{\beta | \beta = 2 2 5 ^ {\circ} + k \cdot 3 6 0 ^ {\circ}, k \in \mathbf {Z} \} \\ & = \{\beta | \beta = 4 5 ^ {\circ} + n \cdot 1 8 0 ^ {\circ}, n \in \mathbf {Z} \}. \end{array}

图5.1-8

S 中适合不等式 −360∘⩽β<720∘-360^{\circ} \leqslant \beta < 720^{\circ} 的元素 β\beta 有 45∘−2×180∘=−315∘,45^{\circ}-2\times180^{\circ}=-315^{\circ}, 45∘−1×180∘=−135∘,45^{\circ}-1\times180^{\circ}=-135^{\circ}, 45∘+0×180∘=45∘,45^{\circ}+0\times180^{\circ}=45^{\circ}, 45∘+1×180∘=225∘,45^{\circ}+1\times180^{\circ}=225^{\circ}, 45∘+2×180∘=405∘,45^{\circ}+2\times180^{\circ}=405^{\circ}, 45∘+3×180∘=585∘.45^{\circ}+3\times180^{\circ}=585^{\circ}.

练习

1.（口答）锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.

2.（口答）今天是星期三，那么 7k(k∈Z)7k(k\in \mathbf{Z}) 天后的那一天是星期几？ 7k(k∈Z)7k(k\in \mathbf{Z}) 天前的那一天是星期几？100天后的那一天是星期几？

  1. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角： (1) 420∘420^{\circ} ; (2) −75∘-75^{\circ} ; (3) 855∘855^{\circ} ; (4) −510∘-510^{\circ} .

  2. 在 0∘∼360∘0^{\circ} \sim 360^{\circ} 范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角： (1) −54∘18′-54^{\circ}18' ; (2) 395∘8′395^{\circ}8' ; (3) −1190∘30′-1190^{\circ}30' .

  3. 写出与下列各角终边相同的角的集合，并找出集合中适合不等式 −720∘⩽β<360∘-720^{\circ} \leqslant \beta < 360^{\circ} 的元素 β\beta：(1) 1303∘18′1303^{\circ} 18'；(2) −225∘-225^{\circ}.