前两节解决”方程的解在哪、解是多少”，这最后一节回到最根本的问题：怎么把一个现实问题翻译成函数模型，再用模型去解释和预测。§3.4 的”函数的应用（一）“已经学过建模型，这一节（函数的应用（二））用四个完整例子把”应用”做深：例 3、例 4 是把现实数据代入已知模型（人口模型、碳 14 测年），例 5、例 6 是从若干候选模型中选一个（投资方案、奖励方案），最后归纳出用函数建模解决实际问题的完整过程。

学完这一节，你要能：分清”已知模型直接套”和”自己建模型”两条路，会代入数据定参数，会在几个候选模型中做选择并用条件逐条验证，能把整个建模过程按四步讲清楚。

一、已知模型的直接应用：例 3 马尔萨斯人口模型

1798 年马尔萨斯提出自然状态下的人口增长模型

$$y = y_0 \mathrm{e}^{rt},$$

其中 $t$ 表示经过的时间，$y_0$ 表示 $t = 0$ 时的人口数，$r$ 表示人口的增长率。例 3 的任务就是把我国的真实人口数据代入这个已知模型：我国 1950 年末人口 55196 万、1959 年末人口 67207 万，设 $t = 0$ 对应 1950 年末，则

$$67207 = 55196\mathrm{e}^{9r} \Rightarrow r \approx 0.021876,$$

得到我国 1950～1959 年的人口增长模型 $y = 55196\mathrm{e}^{0.021876t}$（$t \in [0, 9]$）。代入 $t = 1, 2, \dots, 8$ 算出的预测值与国家统计局公布的 1951～1958 年实际人口基本吻合，说明模型在这一段成立。

用模型做预测：令 $y = 130000$（13 亿 = 130000 万），由计算工具得 $t \approx 39.15$——按此模型大约在 1950 年后第 40 年（即 1990 年）人口达到 13 亿。但实际 1990 年人口只有 11.43 亿，直到 2005 年才破 13 亿。课本”思考”给出的解释：我国从 20 世纪 70 年代起实施计划生育政策，人口增长条件不再符合马尔萨斯模型（自然状态下、增长率恒定）的前提，模型自然失效。

这就是这一节要反复强调的第一条经验：在用已知函数模型刻画实际问题时，应注意模型的适用条件。模型是”某个范围内”的规律，超出范围（政策变化、条件改变）就失效，不能盲目外推。

二、例 4 碳 14 测年：自己建模型并求解

生物死亡后体内碳 14 按确定的衰减率衰减，属于指数衰减，因此选择函数 $y = ka^x$ 建模。设初始量为 $k$、衰减率为 $p$，经过 $x$ 年残余量为 $y = k(1-p)^x$。利用碳 14 的半衰期为 5730 年：

$$k(1-p)^{5730} = \frac{1}{2}k \Rightarrow 1 - p = \sqrt[5730]{\frac{1}{2}},$$

于是 $y = k\left(\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}\right)^x$。2010 年良渚古城水坝草茎样本残留量约为初始量的 55.2%：

$$\left(\sqrt[5730]{\frac{1}{2}}\right)^x = 0.552 \Rightarrow x = \log_{\sqrt[5730]{1/2}} 0.552 \approx 4912,$$

2010 年之前的 4912 年是公元前 2903 年——水坝大概是公元前 2903 年建成的。这就是考古学里碳 14 断代的完整流程：由半衰期定底数 → 由残留比例解指数方程 → 换算成年代。它和例 3 的区别在于：例 3 是”给定模型 + 两组数据求参数 $r$“，例 4 是”模型结构（指数衰减）+ 物理常数（半衰期）直接定参数”。

三、增长差异与模型选择：例 5 投资方案

例 5 给三种投资方案：方案一每天回报 40 元（常数函数 $y = 40$）；方案二第一天 10 元，每天多 10 元（线性函数 $y = 10x$）；方案三第一天 0.4 元，每天翻一番（指数函数 $y = 0.4 \times 2^{x-1}$）。用表格和图象比较三者增长情况：

• 每天所得回报：第 1～3 天方案一最多；第 4 天方案一、方案二一样多；第 5～8 天方案二最多；从第 9 天开始方案三比其他两个多得多，到第 30 天单日回报已超过 2 亿元；
• 累计回报：投资 1～6 天选方案一；第 7 天方案一或方案二；8～10 天选方案二；11 天（含）以上选方案三。

结论的关键是三种增长的增长方式不同：常数函数增长量为 0，线性函数增长量固定（每天多 10），指数函数”增长量成倍增加”。短期看线性、常数占优，长期看指数增长无出其右——这正是 §4.4.3”不同函数增长的差异”在应用中的体现。做题时这类”选方案”问题的标准流程：先列函数，再算增长（表 + 图），最后按投资时长分段下结论。

四、例 6 奖励模型：候选模型逐条验证

某公司规定：销售利润达到 10 万元后按利润奖励，奖金 $y$（万元）随利润 $x$（万元）增加而增加，且奖金不超过 5 万元、不超过利润的 25%。在三个候选模型 $y = 0.25x$、$y = \log_7 x + 1$、$y = 1.002^x$ 中选一个，只需在区间 $[10, 1000]$ 上逐条验证：

1. 奖金不超过 5 万元：$y = 0.25x$ 在 $x = 20$ 时已等于 5，$x > 20$ 时超过 5，不合格；$y = 1.002^x$ 在 $(805, 806)$ 内某点 $x_0$ 满足 $1.002^{x_0} = 5$，之后超过 5，也不合格；$y = \log_7 x + 1$ 单调递增，$x = 1000$ 时 $y = \log_7 1000 + 1 \approx 4.55 < 5$，合格；
2. 奖金不超过利润的 25%：只需验证 $\log_7 x + 1 \leqslant 0.25x$ 对 $x \in [10, 1000]$ 恒成立。令 $f(x) = \log_7 x + 1 - 0.25x$，由图象（图 4.5-9）知 $f$ 在 $[10, 1000]$ 上单调递减，故 $f(x) \leqslant f(10) \approx -0.3167 < 0$，恒成立 ✓。

结论：$y = \log_7 x + 1$ 是唯一满足公司要求的模型。这个例子的方法论：先看图排除（图象始终在 $y = 5$ 下方），再计算确认（端点值 + 单调性）——图象给方向，计算给证明。

五、建模的一般过程：归纳

课本最后的”归纳”总结了用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程（图 4.5-10）：

$$\text{实际情景} \xrightarrow{\text{提出问题}} \text{数学模型} \xrightarrow{\text{数学方法}} \text{数学结果} \xrightarrow{\text{检验}} \text{实际结果},$$

具体拆成四步：

1. 分析和理解实际问题：看清问题的增长情况是”对数增长”、“直线上升”还是”指数爆炸”（这决定了选什么函数）；
2. 构建数学模型：根据增长情况选择函数类型，把实际问题化归为数学问题（定自变量、因变量、初始条件）；
3. 求解函数模型：通过运算、推理求参数、求结果（例 3 解指数方程求 $t$、例 4 用对数求 $x$）；
4. 回到实际问题：用模型描述变化规律、解决有关问题，并注意模型的适用条件和结果检验（例 3 的”思考”就是第 4 步）。

这四步是高考”应用题”的标准骨架，也是新课标”数学建模”活动课的基本流程。期间常常需要信息技术帮忙画图、运算（指数方程、对数方程往往只能求近似解）。

六、易错点

1. 单位换算：例 3 里 13 亿要换成 130000 万才能代入以万为单位的模型；$t$ 的单位（年、月、天）也要和题目对牢（练习第 2 题的倍增期是月、问的是年）；
2. 底数大于 1 还是小于 1：增长模型 $y = y_0 \mathrm{e}^{rt}$（$r > 0$）、$y = ab^x$（$b > 1$）底数大于 1；衰减模型 $y = k(1-p)^x$（$0 < 1-p < 1$）底数小于 1。碳 14 测年用衰减模型，别取反；
3. 指数方程用对数解：$a^x = b$ 形如方程两边取对数：$x = \log_a b$；例 4 用”半衰期 5730 年”先定出底数 $\sqrt[5730]{1/2}$，再解残留比例方程；
4. 模型的适用条件：模型在”条件不变”的范围内才成立。人口模型因政策失效、投资方案因时长不同选择不同——下结论前先交代适用范围；
5. 候选模型逐条验证：例 6 的两条要求都要验证（不超过 5 万、不超过利润 25%），只验证一条不够；验证”恒成立”要靠单调性把区间端点带到极值处（$f(x) \leqslant f(10)$），不是只代一两个点看。

七、怎么读这一节

1. 亲手把例 3 的 $r$ 算一遍（$67207 = 55196\mathrm{e}^{9r} \Rightarrow r \approx 0.021876$），再代入 $y = 130000$ 解出 $t \approx 39.15$——指数方程两边的操作（取对数）要熟练；
2. 例 4 完整走一遍碳 14 流程：半衰期 → 底数 → 残留比例 → 对数方程 → 换算年代（4912 年 → 公元前 2903 年）；
3. 例 5 亲手列三种方案的前几天回报并观察”从第几天起方案三反超”，体会指数增长的爆发力；
4. 例 6 用单调性验证 $\log_7 x + 1 \leqslant 0.25x$ 的思路要背下来：最大值在端点 $f(10) < 0$；
5. 背下建模四步，并用自己的话复述：分析增长 → 选函数建模型 → 求解 → 检验回到实际。

这一节是第 4 章的收尾：前三节给了”零点存在定理 + 二分法”两个工具，这一节把整个”函数”概念放回现实世界——函数是描述客观世界变化规律的数学模型，也是全章（乃至整个必修一函数主线）的落点。下一章”三角函数”把函数家族扩展到周期性变化。

本节页面覆盖第 155–163 页，课本习题共 19 道：第 157 页「练习」3 道、第 161 页「练习」2 道、「习题 4.5」14 道（复习巩固 1–6、综合运用 7–12、拓广探索 13–14），逐题全做。第 164 页起「文献阅读与数学写作（牛顿冷却模型）」及章末「小结」「复习参考题 4」是章级内容，不在本节详解范围。练习第 2 题的两张数据表、习题第 2 题的对应值表、第 12 题和第 14 题的数据表都在页面插图中，解答按表读出（注明课本页码）。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 157 页）第 1 题

1. 已知 1650 年世界人口为 5 亿，当时人口的年增长率为 0.3%；1970 年世界人口为 36 亿，当时人口的年增长率为 2.1%.

（1）用马尔萨斯人口模型计算，什么时候世界人口是1650年的2倍？什么时候世界人口是1970年的2倍？

（2）实际上，1850年以前世界人口就超过了10亿；而2004年世界人口还没有达到72亿。你对同样的模型得出的两个结果有何看法？

(1) 马尔萨斯模型 $y = y_0\mathrm{e}^{rt}$。1650 年 $y_0 = 5$（亿），$r = 0.3\% = 0.003$，人口达到 2 倍即 $y = 10$：

$$10 = 5\mathrm{e}^{0.003t} \Rightarrow 0.003t = \ln 2 \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{0.003} \approx 231 \text{（年）},$$

即约在 1650 年后的第 231 年，即 1881 年左右世界人口达到 10 亿。

1970 年 $y_0 = 36$（亿），$r = 2.1\% = 0.021$，达到 2 倍即 $y = 72$：

$$72 = 36\mathrm{e}^{0.021t} \Rightarrow t = \frac{\ln 2}{0.021} \approx 33 \text{（年）},$$

即约在 1970 年后的第 33 年，即 2003 年左右世界人口达到 72 亿。

(2) 看法：同一模型套在不同时期的初始条件上，得到了两个与事实都不完全相符的预测——实际 1850 年以前世界人口就超过了 10 亿（比模型预测的 1881 年早 30 多年），而 2004 年世界人口还没达到 72 亿（比模型预测的 2003 年晚）。这说明马尔萨斯模型（假设增长率恒定）不能精确刻画世界人口长期变化：1650～1850 年间的实际增长比 0.3%/年更快，1970 年后的实际增长又比 2.1%/年更慢。模型的适用条件（增长率恒定）决定了它只适用于局部时段，把同一模型外推到几十年甚至上百年之外，误差会不断累积。

自检：$\ln 2 \approx 0.6931$：$0.6931/0.003 = 231.05$，$0.6931/0.021 = 33.01$，与答案一致。这两个”差半年”的巧合（231 年 → 1881 年、33 年 → 2003 年）恰好都是”约半个世纪前后”，正是题目第 (2) 问想让你意识到的问题：模型是近似工具，不是精确预言。

练习（第 157 页）第 2 题

2. 在一段时间内，某地的野兔快速繁殖，野兔总只数的倍增期为 21 个月，那么 1 万只野兔增长到 1 亿只野兔大约需要多少年？

“倍增期为 21 个月”即每 21 个月总数翻一番，指数模型为 $y = 10^4 \times 2^{t/21}$（$t$ 单位：月）。令 $y = 10^8$：

$$10^4 \times 2^{t/21} = 10^8 \Rightarrow 2^{t/21} = 10^4 \Rightarrow \frac{t}{21} = \log_2 10^4 = 4\log_2 10,$$ $$t = 21 \times 4\log_2 10 = 84 \times \frac{\ln 10}{\ln 2} \approx 84 \times 3.3219 \approx 279 \text{（月）},$$

$279$ 个月 $= 23.25$ 年，所以大约需要 23 年。

自检：$\log_2 10^4 \approx 13.29$，$21 \times 13.29 \approx 279$ 个月 ≈ 23 年。换一种验算：21 个月翻一番，23 年 $= 276$ 个月 ≈ $13$ 个倍增期，$10^4 \times 2^{13} = 8.2 \times 10^7$ 已接近 $10^8$，量级吻合。注意月份换算成年要除以 12，别直接拿 279 当年数。

练习（第 157 页）第 3 题

3.1959年，考古学家在河南洛阳偃师市区二里头村发掘出了一批古建筑群，从其中的某样本中检测出碳14的残余量约为初始量的 $62.76\%$ ，能否以此推断二里头遗址大概是什么年代的？

仿照例 4 的碳 14 断代流程。碳 14 半衰期为 5730 年，残留量 $y = k\left(\sqrt[5730]{\frac12}\right)^x$。残留量为初始量的 $62.76\%$：

$$\left(\sqrt[5730]{\frac12}\right)^x = 0.6276 \Rightarrow x = \log_{\sqrt[5730]{1/2}} 0.6276 = \frac{\ln 0.6276}{\ln \frac12} \times 5730,$$ $$\frac{\ln 0.6276}{\ln 0.5} = \frac{-0.4658}{-0.6931} \approx 0.6721, \quad x \approx 0.6721 \times 5730 \approx 3851 \text{（年）}.$$

1959 年之前的约 3851 年是约公元前 1893 年，所以推断二里头遗址大概是 公元前 1900 年左右（约 3800 多年前）建成的，与考古学界公认的二里头遗址年代（约公元前 1900—前 1600 年）相符。

自检：残留比例越大说明年代越近：$62.76\% > 55.2\%$（例 4 良渚的残留量），所以二里头应比良渚水坝（公元前 2903 年）晚，约公元前 1893 年晚于公元前 2903 年 ✓。也可验算反推：公元前 1893 年距今约 $1893 - 1 + 1959 = 3851$ 年，残留量 $0.5^{3851/5730} = 0.5^{0.672} \approx 0.6276$ ✓。注意”公元前 N 年”换算：年份差要减 1（公元纪年没有 0 年），课本例 4 的 2010 − 4912 得公元前 2903 年也是这么来的。

练习（第 161 页）第 1 题

1. 某地今年1月，2月，3月患某种传染病的人数分别为52，61，68. 为了预测以后各月的患病人数，甲选择了模型 $y = ax^{2} + bx + c$，乙选择了模型 $y = pq^{x} + r$，其中 $y$ 为患病人数， $x$ 为月份数， $a$， $b$， $c$， $p$， $q$， $r$ 都是常数. 结果4月，5月，6月份的患病人数分别为74，78，83，你认为谁选择的模型更符合实际？

令 $x = 1, 2, 3$ 对应 1、2、3 月，$y = 52, 61, 68$。

甲的二次模型：$\begin{cases} a + b + c = 52 \\ 4a + 2b + c = 61 \\ 9a + 3b + c = 68 \end{cases}$。两两相减得 $3a + b = 9$、$5a + b = 7$，解得 $a = -1$，$b = 12$，$c = 41$，即 $y = -x^2 + 12x + 41$。代入 4、5、6 月（$x = 4, 5, 6$）：$y(4) = -16 + 48 + 41 = 73$，$y(5) = -25 + 60 + 41 = 76$，$y(6) = -36 + 72 + 41 = 77$。与实际 74、78、83 相比，偏差为 1、2、6。

乙的指数模型：$pq + r = 52$，$pq^2 + r = 61$，$pq^3 + r = 68$。两两相减得 $pq(q - 1) = 9$、$pq^2(q - 1) = 7$，相除得 $q = \frac79$，代回得 $pq = \frac{9}{q-1} = -\frac{81}{2}$，$p = pq \div q = -\frac{81}{2} \times \frac97 = -\frac{729}{14}$，$r = 68 - pq^3 = 68 + \frac{729}{14} \times \frac{343}{729} = 68 + \frac{49}{2} = \frac{185}{2}$。预测：$y(4) = pq^4 + r = -\frac{343}{18} + \frac{185}{2} \approx 73.4$，$y(5) = pq^5 + r = -\frac{2401}{162} + \frac{185}{2} \approx 77.7$，$y(6) = pq^6 + r = -\frac{16807}{1458} + \frac{185}{2} \approx 81.0$，偏差为 0.6、0.3、2.0。

比较两种模型的预测误差：对 4、5、6 三个月，甲模型偏差总和 $1 + 2 + 6 = 9$，乙模型偏差总和 $0.6 + 0.3 + 2.0 \approx 2.9$——乙的模型更符合实际。

自检：两个模型都由 1～3 月的三点唯一确定（二次三参数、指数三参数），所以比较的是”外推能力”。甲模型预测 $73/76/77$，到 6 月明显跟不上实际 83（偏差 6）；乙模型 $q = \frac79 < 1$ 意味着患病人数增长放缓、趋向稳定值 $\frac{185}{2} = 92.5$，预测 $73.4/77.7/81.0$ 与实际 $74/78/83$ 几乎逐月贴近——增长放缓的趋势正与 4～6 月实际相符（68 → 74 → 78 → 83 增量 6、4、5 在放缓），所以乙更优。这个结论与课本标准答案一致：指数模型描述”增速放缓、趋向饱和”的传染病传播，比二次模型贴切。注意 $y(6) = 81.0$ 与实际 83 仍差 2.0，两个模型都不完美——题目只要求”更符合实际”，相对更好即可。

练习（第 161 页）第 2 题

2. 由于提高了养殖技术并扩大了养殖规模，某地的肉鸡产量在不断增加。2008～2018年的11年，上市的肉鸡数量如下：

同期该地的人口数如下：

（1）分别求出能近似地反映上述两组数据变化规律的函数；

（2）如果2017年该地上市的肉鸡基本能满足本地的需求，那么2018年是否能满足市场的需求？

（3）按上述两表的变化趋势，你对该地2018年后肉鸡市场的发展有何建议？

题面附表（课本第 161 页）：

(1) 设 $x$ 为年份与 2008 的差（$x = 0, 1, \dots, 10$ 对应 2008～2018）。

肉鸡数量：每年增加量基本恒定（7690 → 7850 增 160，7850 → 8000 增 150，之后每年增 150 或 160），可用线性函数近似。取首尾两点定斜率：$\frac{9230 - 7690}{10} = 154$，得

$$y = 154x + 7690 \quad (x \in [0, 10]).$$

检验中间点：$x = 9$（2017 年）时 $y = 154 \times 9 + 7690 = 9076 \approx 9080$，与实际数据很接近。

人口数：每年增长比例基本恒定（101.2/100.0 ≈ 101.6/101.2 ≈ 103.6/102.4 ≈ 1.012），可用指数函数近似：

$$y = 100 \times 1.012^{x} \quad (x \in [0, 10]).$$

检验：$100 \times 1.012^1 = 101.2$，$100 \times 1.012^2 = 102.4$，$100 \times 1.012^3 = 103.6$，$100 \times 1.012^9 = 111.3$，$100 \times 1.012^{10} = 112.7$——与表中 11 个数据几乎全部吻合。

(2) 用”人均肉鸡量”衡量供需。2017 年：$\frac{9080}{111.3} \approx 81.6$（吨/万人）；2018 年：$\frac{9230}{112.7} \approx 81.9$（吨/万人）。2018 年人均肉鸡量比 2017 年略高，而题设 2017 年已基本满足本地需求，所以 2018 年能继续满足市场的需求。

(3) 建议（开放，答出要点即可）：肉鸡产量年增约 $\frac{154}{7690} \approx 2.0\%$，人口年增约 1.2%，产量增速持续快于人口增速，人均肉鸡量逐年上升——2018 年后如不控制扩产速度，市场将出现供过于求；建议适度控制养殖规模扩张，或开拓外地市场、发展加工产业链，保持供需平衡。

自检：两个模型的选型依据是”变化量”：肉鸡每年增加的量基本固定（150～160 吨/年）→ 线性；人口每年增加的倍数基本固定（约 1.2%）→ 指数。这是 §4.4.3”直线上升 vs 指数增长”的直接应用。第 (2) 问的精确计算：$9080/111.3 = 81.58$，$9230/112.7 = 81.90$，2018 年人均略增 ✓。若只看总量（9230 > 9080）也得”能满足”的结论，但用人均才严谨——人口也在增长。

习题 4.5 第 1 题（复习巩固）

1. 下列函数图象与 $x$ 轴均有交点, 其中不能用二分法求其零点的是____. (填至上所有符合条件的图号)

题面附图（课本第 162 页）四个图：① 开口向下的抛物线，顶点与 $x$ 轴相切（只接触、不穿过，零点两侧函数值不变号）；② 过原点的直线，穿过 $x$ 轴一次（零点处变号）；③ 波浪形曲线，与 $x$ 轴相切三次（均只接触不穿过，图象恒在 $x$ 轴上方，函数值不变号）；④ 分段折线，有两处跳跃间断点（空心圈标记），其中一段穿过 $x$ 轴一次。

二分法要求两条前提：图象在区间上连续不断、区间端点函数值异号（$f(a)f(b) < 0$）。逐图判断：

• 图①：零点处函数值不变号（顶点相切，两侧同号），任何区间两端同号，无法用 $f(a)f(b) < 0$ 确定零点区间 → 不能用二分法；
• 图②：连续且零点处变号，取 $a < 0 < b$ 即有 $f(a)f(b) < 0$ → 能用二分法；
• 图③：与图①同理，三个零点都是切点，函数值始终不变号 → 不能用二分法；
• 图④：图象不连续（有跳跃间断点），不满足二分法”图象连续不断”的前提 → 不能用二分法。

所以答案是 ①③④。

自检：二分法的两个前提缺一不可——①③ 死在”不变号”（图象与 $x$ 轴相切，零点存在但区间端点永远同号），④ 死在”不连续”（零点存在且变号，但二分法只对连续函数保证逼近）。② 的直线”穿过” $x$ 轴变号且连续，是唯一能用的。填”至上”即”填上”（原书排印如此，题目要求填所有符合条件的图号）。

习题 4.5 第 2 题（复习巩固）

函数 $y = f(x)$ 在哪几个区间内一定有零点？为什么？

（课本原题题号因版面原因未印出，题面为完整第 2 题。）题面附表（课本第 162 页）——函数 $y = f(x)$ 的对应值表：

前提说明：本题只给对应值表，题面没有出现”图象连续不断”的字样。零点存在定理有两条前提——图象连续不断、端点函数值异号；仅凭有限个表值，严格地说推不出连续性（存在与表值完全一致、各开区间内取常值且处处无零点的间断函数）。但在教材语境下（4.5 节”用零点存在定理判断零点”的配套练习），这类”由对应值表判断零点”的题默认函数图象是连续不断的（否则无从谈起），以下按此默认作答。

用零点存在定理（连续 + 端点异号 → 区间内至少有一个零点）：

• $(2, 3)$：$f(2) = 15.552 > 0$，$f(3) = -3.92 < 0$，异号 → 一定有零点；
• $(3, 4)$：$f(3) = -3.92 < 0$，$f(4) = 10.88 > 0$，异号 → 一定有零点；
• $(4, 5)$：$f(4) = 10.88 > 0$，$f(5) = -52.488 < 0$，异号 → 一定有零点；
• $(1, 2)$：$f(1) = 136.136$、$f(2) = 15.552$ 同号；$(5, 6)$：$f(5) = -52.488$、$f(6) = -232.064$ 同号——不能由定理判断（同号也可能有零点，比如 $y = x^2$）。

所以函数 $y = f(x)$ 在 (2, 3)、(3, 4)、(4, 5) 内一定有零点，依据是零点存在定理：$f$ 的图象连续（默认），且这些区间端点的函数值异号。

自检：$f(2)f(3) = 15.552 \times (-3.92) < 0$ ✓，$f(3)f(4) = (-3.92) \times 10.88 < 0$ ✓，$f(4)f(5) = 10.88 \times (-52.488) < 0$ ✓。符号序列为 $+ + - + - -$：每相邻两项异号就有一次”穿轴”（2→3、3→4、4→5 共 3 次），与三个区间对应。问的是”一定有零点”，所以只答定理能保证的区间，同号的 (1, 2)、(5, 6) 不能答”有”（只能说”不一定”）。若不作”图象连续”的默认，那么严格答案只能是：异号区间可能有零点，但”一定有”无从保证——本题按教材默认连续作答。

习题 4.5 第 3 题（复习巩固）

3. 已知函数 $f(x) = x^3 - 2x + 1$，求证：方程 $f(x) = x$ 在 $(-1, 2)$ 内至少有两个实数解.

方程 $f(x) = x$ 即 $x^3 - 2x + 1 = x$，移项得 $x^3 - 3x + 1 = 0$。设 $h(x) = x^3 - 3x + 1$，则 $h$ 是多项式函数，在 $\mathbb{R}$ 上连续。计算：

$$h(-1) = -1 + 3 + 1 = 3 > 0, \quad h(0) = 1 > 0, \quad h(1) = 1 - 3 + 1 = -1 < 0, \quad h(2) = 8 - 6 + 1 = 3 > 0.$$

• 在 $(0, 1)$ 上：$h(0)h(1) = 1 \times (-1) < 0$，由零点存在定理，$h$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个零点；
• 在 $(1, 2)$ 上：$h(1)h(2) = (-1) \times 3 < 0$，由零点存在定理，$h$ 在 $(1, 2)$ 内至少有一个零点。

两个区间互不相交，所以方程 $f(x) = x$ 在 $(-1, 2)$ 内至少有两个实数解。

自检：$h$ 的真实零点约 $-1.88$、$0.35$、$1.53$——其中 $0.35 \in (0, 1)$、$1.53 \in (1, 2)$ 正是定理给出的两个区间（还有一个在 $(-2, -1)$ 内，但本题只需证”至少两个”）。注意 $h(-1) > 0$ 与 $h(0) > 0$ 同号，说明第一个零点在 $(0, 1)$ 内而不是 $(-1, 0)$——定区间时要把端点值逐个算对。移项方向：$f(x) = x \Rightarrow x^3 - 3x + 1 = 0$，别把 $2x$ 留在左边。

习题 4.5 第 4 题（复习巩固）

4. 利用信息技术，用二分法求函数 $f(x) = \ln x - \frac{2}{x}$ 的零点（精确度为0.1）.

先找初始区间：$f(2) = \ln 2 - 1 \approx -0.307 < 0$，$f(3) = \ln 3 - \frac23 \approx 0.432 > 0$，$f(2)f(3) < 0$，且 $f$ 在 $(0, +\infty)$ 上连续，可以进行二分。逐次取中点：

此时 $|2.375 - 2.3125| = 0.0625 < 0.1$，达到精确度，停止。零点近似值可取 2.3125（或 2.375，区间内任意一点都满足精确度）。

自检：真实零点约 $2.35$（$\ln x = \frac2x$ 即 $x \ln x = 2$，解得 $x \approx 2.3458$），落在 $[2.3125, 2.375]$ 内且与近似值距离 $< 0.1$ ✓。每步判号：$f(2.5) > 0$ 且 $f(2) < 0$ → 零点在 $(2, 2.5)$，方向别拿反。$f$ 在 $(0, +\infty)$ 上单调递增（$\ln x$ 增、$-\frac2x$ 增），零点唯一，二分不会漏解。

习题 4.5 第 5 题（复习巩固）

5. 利用信息技术，用二分法求方程 $0.8^{x} - 1 = \ln x$ 的近似解（精确度为0.1）.

移项设 $f(x) = 0.8^x - 1 - \ln x$（定义域 $x > 0$）。找初始区间：$f(0.5) = 0.8^{0.5} - 1 - \ln 0.5 \approx 0.894 - 1 + 0.693 = 0.587 > 0$，$f(1) = 0.8 - 1 - 0 = -0.2 < 0$，$f(0.5)f(1) < 0$，且 $f$ 在 $(0.5, 1)$ 上连续，可以进行二分。逐次取中点：

此时 $|0.875 - 0.8125| = 0.0625 < 0.1$，达到精确度，停止。原方程的近似解可取 0.8125（或 0.875）。

自检：真实解约 $0.84$（$0.8^{0.84} \approx 0.828$，$1 + \ln 0.84 \approx 0.826$），落在 $[0.8125, 0.875]$ 内 ✓。注意 $f(0.75) > 0$ 与 $f(0.5) > 0$ 同号，零点在 $(0.75, 1)$ 而不在 $(0.5, 0.75)$——二分法每步只保留与端点异号的一半区间。唯一性论证：$f(x) = 0.8^x - 1 - \ln x$ 在定义域 $(0, +\infty)$ 上严格递减（$0.8^x$ 严格递减，$-\ln x$ 严格递减，两项之和仍严格递减），且 $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$（$-\ln x \to +\infty$ 主导），$\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty$（$0.8^x \to 0$，$-\ln x \to -\infty$）。连续严格递减函数在每个取值上恰好穿过一次，所以方程恰有一个实根——已由二分区间 $(0.5, 1)$ 套住（$f(2) \approx 0.64 - 1 - 0.69 = -1.05 < 0$ 后保持为负，与单调性一致）。

习题 4.5 第 6 题（复习巩固）

6. 一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存 2 KB，然后每 3 分自身复制一次，复制后所占内存是原来的 2 倍。那么开机后多少分，该病毒会占据 64 MB 内存（1 MB=1024 KB）？

每 3 分钟翻一番，这是指数增长：开机 $t$ 分钟后占据内存

$$M(t) = 2 \times 2^{t/3} \text{（KB）}.$$

64 MB $= 64 \times 1024 = 65536$ KB。令 $M(t) = 65536$：

$$2 \times 2^{t/3} = 65536 \Rightarrow 2^{t/3} = 2^{15} \Rightarrow \frac{t}{3} = 15 \Rightarrow t = 45 \text{（分）}.$$

所以开机后 45 分钟，该病毒占据 64 MB 内存。

自检：$65536 = 2^{16}$，故 $2 \times 2^{t/3} = 2^{16} \Rightarrow 2^{t/3} = 2^{15}$，即从 2 KB 到 64 MB 共翻 $15$ 番，每番 3 分钟，$15 \times 3 = 45$ 分钟 ✓。逐次验证：45 分钟时 $2 \times 2^{15} = 65536$ KB $= 64$ MB ✓；42 分钟时 $2 \times 2^{14} = 32768$ KB $= 32$ MB，还不到——所以 45 分钟是首次达到 64 MB 的时刻。单位换算（1 MB = 1024 KB）在这题里最关键，别按 1000 换。

习题 4.5 第 7 题（综合运用）

7. 设函数 $f(x) = ax^{2} + bx + c (a > 0, b, c \in \mathbb{R})$，且 $f(1) = -\frac{a}{2}$，求证：函数 $f(x)$ 在 (0, 2)

（课本此处排版断行，完整题面为”求证：函数 $f(x)$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一个零点”。）

由 $f(1) = -\frac{a}{2}$ 得 $a + b + c = -\frac{a}{2}$，即 $b + c = -\frac{3a}{2}$。于是

$$f(0) = c, \qquad f(2) = 4a + 2b + c = 4a + 2b + \left(-\frac{3a}{2} - b\right) = \frac{5a}{2} + b.$$

两式相加：$f(0) + f(2) = \frac{5a}{2} + b + c = \frac{5a}{2} - \frac{3a}{2} = a > 0$（题设 $a > 0$）。

所以 $f(0)$ 与 $f(2)$ 中至少有一个为正。而 $f(1) = -\frac{a}{2} < 0$：

• 若 $f(0) > 0$，则 $f(0)f(1) < 0$，由零点存在定理，$f$ 在 $(0, 1)$ 内至少有一个零点；
• 若 $f(0) \leqslant 0$（此时 $f(2) = a - f(0) > 0$），则 $f(1)f(2) < 0$，由零点存在定理，$f$ 在 $(1, 2)$ 内至少有一个零点。

两种情形都推出 $f$ 在 $(0, 2)$ 内至少有一个零点，得证。

自检：思路要点是”从 $f(0) + f(2) = a > 0$ 推出端点至少一个与 $f(1) < 0$ 异号”。验算 $f(2)$ 的化简：$f(2) = 4a + 2b + c$，代入 $c = -\frac{3a}{2} - b$ 得 $4a + 2b - \frac{3a}{2} - b = \frac{5a}{2} + b$ ✓；$f(0) + f(2) = c + \frac{5a}{2} + b = (b + c) + \frac{5a}{2} = -\frac{3a}{2} + \frac{5a}{2} = a$ ✓。二次函数 $f$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续，零点存在定理可用。举例验证：取 $a = 2$，$b = -5$，$c = 2$（满足 $b + c = -3 = -\frac{3a}{2}$），则 $f(x) = 2x^2 - 5x + 2$，零点 $x = \frac12$ 和 $x = 2$——$\frac12 \in (0, 2)$ ✓，且 $f(0) = 2 > 0$ 走第一种情形。此题”至少有一个零点”用零点存在定理即可，不必证唯一。

习题 4.5 第 8 题（综合运用）

8. 已知函数 $f(x) = -x^{2} - 3x - 2$，$g(x) = 2 - [f(x)]^{2}$，

(1) 求函数 $y=g(x)$ 的解析式；

(2) 利用信息技术，画出函数 $y=g(x)$ 的图象；

(3) 求函数 $y=g(x)$ 的零点(精确度为 0.1).

(1) 代入 $f(x)$：

$$g(x) = 2 - [f(x)]^2 = 2 - (-x^2 - 3x - 2)^2 = 2 - (x^2 + 3x + 2)^2.$$

（$(-x^2 - 3x - 2)^2 = (x^2 + 3x + 2)^2$，因为平方去掉符号。）

(2) 图象（由信息技术画出）：$g(x) = 2 - (x^2 + 3x + 2)^2$ 在 $x \approx -2.8$ 与 $x \approx -0.2$ 处与 $x$ 轴相交，中间 $\left(x^2 + 3x + 2 = 0\right)$ 即 $x = -2$ 或 $x = -1$ 时 $g$ 取得最大值 $2$——所以图象在 $(-2, -1)$ 附近有一个向上的尖峰（峰值 2），两翼下降到 $x$ 轴下方。

(3) 令 $g(x) = 0$，即 $[f(x)]^2 = 2$，即 $f(x) = \sqrt{2}$ 或 $f(x) = -\sqrt{2}$。

先看 $f(x) = \sqrt{2}$：$f(x) = -x^2 - 3x - 2$ 是开口向下的抛物线，顶点 $x = -\frac{3}{2}$ 处 $f\left(-\frac32\right) = \frac14$——$f$ 的最大值只有 $\frac14 < \sqrt{2} \approx 1.414$，所以 $f(x) = \sqrt{2}$ 无解。

再看 $f(x) = -\sqrt{2}$：

$$-x^2 - 3x - 2 = -\sqrt{2} \Rightarrow x^2 + 3x + (2 - \sqrt{2}) = 0,$$ $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(2 - \sqrt{2})}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{1 + 4\sqrt{2}}}{2}.$$

$\sqrt{1 + 4\sqrt{2}} \approx \sqrt{6.657} \approx 2.580$，所以 $x \approx \frac{-3 + 2.58}{2} = -0.21$ 或 $x \approx \frac{-3 - 2.58}{2} = -2.79$。精确到 0.1，$g(x)$ 的零点为约 $-2.8$ 和 $-0.2$。

自检：$f(x) = -x^2 - 3x - 2 = -(x + 1)(x + 2)$ 的最大值在 $x = -\frac32$：$-\frac94 + \frac92 - 2 = \frac14$，确实 $< \sqrt2$，所以 $f(x) = \sqrt2$ 的情形被排除（用最大值排除，比硬解判别式更干净）；$f(x) = -\sqrt2$ 的判别式 $\Delta = 9 - 4(2 - \sqrt2) = 1 + 4\sqrt2 > 0$，两个根 $-2.79$、$-0.21$ 分别落在 $(-3, -2)$ 与 $(-1, 0)$ 内 ✓。精确值 $-0.210$、$-2.790$ 四舍五入到一位小数即 $-0.2$、$-2.8$。注意 (3) 问的”零点”是 $g$ 与 $x$ 轴交点，即 $[f(x)]^2 = 2$——不要理解成 $g(x) = 0$ 时 $f$ 的零点。

习题 4.5 第 9 题（综合运用）

9. 如图，某池塘里浮萍的面积 $y$ （单位： $\mathrm{m}^2$ ）与时间 $t$ （单位：月）的关系为 $y = a^t$. 关于下列说法：

题面附图（课本第 162 页）：指数曲线 $y = a^t$ 上虚线标出点 $(1, 2)$，代入 $y = a^t$ 得 $a = 2$，即 $y = 2^t$。课本给出的下列说法：

① 浮萍每月的增长率为 1;

② 第 5 个月时，浮萍面积就会超过 $30 \, m^{2}$ ;

③ 浮萍每月增加的面积都相等；

(第9题)

④ 若浮萍蔓延到 $2\mathrm{m}^2$ ， $3\mathrm{m}^2$ ， $6\mathrm{m}^2$ 所经过的时间分别是 $t_1$ ， $t_2$ ， $t_3$ ，则 $t_1 + t_2 = t_3$

其中正确的说法是（）.

逐条判断：

① 每月增长率：面积从 $2^t$ 增到 $2^{t+1}$，增长率 $= \frac{2^{t+1} - 2^t}{2^t} = 2 - 1 = 1$，即每月翻一番、增长率为 1 ✓ 正确；

② 第 5 个月：$2^5 = 32 > 30$（$\mathrm{m}^2$）✓ 正确；

③ 每月增加的面积：第 $t$ 月比第 $t-1$ 月增加 $2^t - 2^{t-1} = 2^{t-1}$（$\mathrm{m}^2$）——随 $t$ 增长而增长，不相等 ✗ 错误；

④ 由 $2^{t_1} = 2$、$2^{t_2} = 3$、$2^{t_3} = 6$ 得 $t_1 = \log_2 2 = 1$，$t_2 = \log_2 3$，$t_3 = \log_2 6 = \log_2 (2 \times 3) = \log_2 2 + \log_2 3 = 1 + t_2$，所以 $t_1 + t_2 = t_3$ ✓ 正确。

正确的说法是 ①②④，选 (C)。

自检：①的增长率 1 是”相对增长”（翻倍 = 增长 100%），与 ③的”绝对增量”（$2^{t-1}$ 逐月增大）是一对经典陷阱——指数增长”增长率恒定、增量越来越大”，区别于线性增长”增量恒定”。④ 用的是对数运算律 $\log_a (mn) = \log_a m + \log_a n$。若图上点不是 $(1, 2)$，则 $a$ 取该点坐标，其余步骤不变。选项排查：③ 错则 (B)(D) 排除，(A) 缺 ④ 排除，故选 C。

习题 4.5 第 10 题（综合运用）

10. 一种药在病人血液中的量保持在 $1500 \mathrm{mg}$ 以上时才有疗效，而低于 $500 \mathrm{mg}$ 时病人就有危险。现给某病人的静脉注射了这种药 $2500 \mathrm{mg}$，如果药在血液中以每小时 $20\%$ 的比例衰减，那么应在什么时间范围再向病人的血液补充这种药（精确到 $0.1 \mathrm{~h}$）？

药量每小时衰减 20%，即每小时乘以 $1 - 20\% = 0.8$。注射后 $t$ 小时药量为

$$y(t) = 2500 \times 0.8^t \text{（mg）}.$$

降到 1500 mg（疗效下限）的时刻：

$$2500 \times 0.8^t = 1500 \Rightarrow 0.8^t = 0.6 \Rightarrow t = \frac{\ln 0.6}{\ln 0.8} \approx \frac{-0.5108}{-0.2231} \approx 2.29 \approx 2.3 \text{（h）}.$$

降到 500 mg（危险下限）的时刻：

$$2500 \times 0.8^t = 500 \Rightarrow 0.8^t = 0.2 \Rightarrow t = \frac{\ln 0.2}{\ln 0.8} \approx \frac{-1.6094}{-0.2231} \approx 7.21 \approx 7.2 \text{（h）}.$$

所以在注射后 约 2.3 h 至 7.2 h 的时间范围内应向病人补充这种药：晚于 2.3 h 补，药量会掉到 1500 mg 以下失去疗效；晚于 7.2 h 补，药量会低于 500 mg 危及病人。

自检：衰减模型 $y = 2500 \times 0.8^t$ 单调递减：$y(0) = 2500$，$y(2.3) = 2500 \times 0.8^{2.29} \approx 2500 \times 0.600 \approx 1500$ ✓，$y(7.2) = 2500 \times 0.8^{7.21} \approx 2500 \times 0.200 \approx 500$ ✓。所以补充时间窗是 $[2.3, 7.2]$ h。这是指数方程的对数求解：$a^t = b \Rightarrow t = \frac{\ln b}{\ln a}$，注意 $0.8 < 1$，$\ln 0.8 < 0$、$\ln 0.6 < 0$，比值为正。若题目问”最迟”则答 7.2 h，问”最早”则答 2.3 h——本题问时间范围，两个都要给。

习题 4.5 第 11 题（综合运用）

11. 人类已进入大数据时代. 目前, 数据量已经从 TB (1 TB = 1024 GB) 级别跃升到 PB (1 PB = 1024 TB), EB (1 EB = 1024 PB) 乃至 ZB (1 ZB = 1024 EB) 级别. 曾经的研究结果表明, 2008 年全球产生的数据量为 0.49 ZB, 2009 年的数据量为 0.8 ZB, 2010 年增长到 1.2 ZB, 2011 年的数据量更是高达 1.82 ZB.

（1）为了较好地描述2008年起全球产生的数据量与时间 $x$ （单位：年）的关系，根据上述数据信息，从函数 $f(x) = kx + b$ 和 $g(x) = ab^{x}$ 中选择一个，并求出解析式.

(2) 根据（1）中所求函数模型，估计 2018 年全球所产生的数据量，并与所公布数据比较，你有何看法？

(1) 令 $x = 0, 1, 2, 3$ 对应 2008～2011 年，数据量为 $y = 0.49, 0.8, 1.2, 1.82$（ZB）。

先看增长方式：相邻两年比值 $0.8/0.49 \approx 1.63$，$1.2/0.8 = 1.5$，$1.82/1.2 \approx 1.52$——比值基本稳定在 1.5 上下，说明数据量大致按固定的倍数增长（指数增长的特征）；而相邻两年差值为 0.31、0.40、0.62，越来越大，不满足线性模型”差值恒定”的特征。所以应选择指数模型 $g(x) = ab^x$。

取 2008 年与 2011 年两组数据确定参数：$ab^0 = 0.49$，$ab^3 = 1.82$，得

$$a = 0.49, \quad b^3 = \frac{1.82}{0.49} \approx 3.7143 \Rightarrow b \approx 1.5487,$$

所以 $g(x) = 0.49 \times 1.5487^x$（$x$ 为年份减 2008）。检验中间点：$g(1) = 0.49 \times 1.5487 \approx 0.759$（实际 0.8），$g(2) = 0.49 \times 1.5487^2 \approx 1.175$（实际 1.2）——与实际数据相当接近。

(2) 2018 年对应 $x = 10$：

$$g(10) = 0.49 \times 1.5487^{10} \approx 0.49 \times 79.3 \approx 38.9 \approx 39 \text{（ZB）}.$$

估计 2018 年全球数据量约为 39 ZB。与实际公布的 2018 年全球数据量（约 33 ZB）相比，模型估计偏高一些——说明 2011 年之后全球数据量的增长速度比前几年有所放缓，指数模型对未来做了偏高外推；但模型在数量级上仍相当接近，用它描述 2008～2011 年的增长规律是合适的。

自检：$1.5487^{10} = \mathrm{e}^{10 \ln 1.5487} = \mathrm{e}^{10 \times 0.4374} = \mathrm{e}^{4.374} \approx 79.3$，$0.49 \times 79.3 \approx 38.9$ ✓。模型选择的依据要说成”比值恒定 vs 差值恒定”（对应 §4.4.3 指数增长 vs 直线上升），不要只凭”看起来像”下结论。若用最小二乘拟合全部四点得 $g(x) \approx 0.50 \times 1.54^x$，2018 年估计 $\approx 38.5$ ZB，与上面首尾两点法的 38.9 基本一致——两种定参法结论稳健。

习题 4.5 第 12 题（综合运用）

12. 某地不同身高的未成年男性的体重平均值如下表：

(1) 根据表中提供的数据建立恰当的函数模型，使它能近似地反映这个地区未成年男性平均体重 $y$ （单位： $\mathrm{kg}$ ）与身高 $x$ （单位： $\mathrm{cm}$ ）的函数关系，并写出这个函数的解析式.

(2) 若体重超过相同身高男性体重平均值的 1.2 倍为偏胖，低于 0.8 倍为偏瘦，那么该地一名身高为 175 cm，体重为 78 kg 的在校男生的体重是否正常？

题面附表（课本第 163 页）：

(1) 观察数据：身高从 60 到 170 cm（约 2.8 倍），体重从 6.13 到 55.05 kg（约 9.0 倍）——体重增长远快于身高增长。生物学常识和图形都提示体重与身高的平方大致成正比（身形近似等比放大，体积/质量与尺度平方相关），用二次函数 $y = ax^2$ 建模。由第一组数据（$x = 60$，$y = 6.13$）定参数：

$$a = \frac{6.13}{60^2} \approx 0.0017,$$

取 $y = 0.0017x^2$。检验几个点：$x = 60$ 时 $y = 0.0017 \times 3600 = 6.12$（实际 6.13，几乎重合）；$x = 150$ 时 $y = 0.0017 \times 22500 = 38.25$（实际 38.85）；$x = 170$ 时 $y = 0.0017 \times 28900 = 49.13$（实际 55.05）——中等身高段误差较小，较高段略偏低，整体能近似反映体重随身高的增长规律。所以函数解析式为

$$y = 0.0017x^2 \quad (60 \leqslant x \leqslant 175).$$

(2) 用模型预测身高 175 cm 的平均体重：$y = 0.0017 \times 175^2 = 0.0017 \times 30625 \approx 52.1$（kg）。该男生体重 78 kg，$\frac{78}{52.1} \approx 1.50 > 1.2$，超过平均值的 1.5 倍——属于偏胖，体重不正常。

自检：$6.13/3600 = 0.001703$，$55.05/28900 = 0.001905$，两端的 $a$ 略有差异，取近似 $0.0017$ 是合理的折中（150 cm 处 $38.25$ vs 实际 $38.85$，误差不到 2%）。判定是否偏胖只与比值 $78/52.1 \approx 1.50$ 有关：即使改用两端拟合的另一组参数（$a \approx 0.0019$，$y(175) \approx 58.1$ kg），比值 $78/58.1 \approx 1.34$ 仍大于 1.2——结论稳健，无论用哪种合理模型，该男生都偏胖。这题的关键是”建模型 → 代入预测 → 与 1.2 倍阈值比较”，模型不必完美，结论要经得起参数扰动。

习题 4.5 第 13 题（拓广探索）

13. 有一道题 “若函数 $f(x)=24ax^{2}+4x-1$ 在区间 $(-1,1)$ 内恰有一个零点，求实数 a 的取值范围”，某同学给出了如下解答： 由 $f(-1)f(1)=(24a-5)(24a+3)<0$ ，解得 $-\frac{1}{8}<a<\frac{5}{24}$ . 所以，实数 a 的取值范围是 $\left(-\frac{1}{8}, \frac{5}{24}\right)$ . 上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并给出正确的解答.

不正确。同学只处理了 $f(-1)f(1) < 0$（图象”跨过”区间）的情形，漏掉了三种”恰有一个零点”但端点函数值不异号的情形。

正确的完整解答，分情况讨论：

情形一：$a = 0$。$f(x) = 4x - 1$ 是一次函数，零点 $x = \frac14 \in (-1, 1)$，恰有一个 ✓。同学把 $a = 0$ 代入 $f(-1)f(1) = (24a-5)(24a+3) = -15 < 0$ 也满足不等式，所以 $a = 0$ 其实落在他的区间 $(-1/8, 5/24)$ 内——但他在推导中把 $f$ 当作二次函数处理，逻辑上有缺陷。

情形二：$f(-1)f(1) < 0$（$a \neq 0$）。由零点存在定理，$f$ 在 $(-1, 1)$ 内至少有一个零点；而二次函数 $f(-1)$ 与 $f(1)$ 异号时零点个数为奇数个（跨轴），二次方程至多两个实根，故恰好一个：

$$(24a - 5)(24a + 3) < 0 \Rightarrow -\frac18 < a < \frac{5}{24}.$$

情形三：$f(-1) = 0$ 或 $f(1) = 0$（零点在端点）。$f(-1) = 24a - 5 = 0 \Rightarrow a = \frac{5}{24}$：$f(x) = 5x^2 + 4x - 1 = (5x - 1)(x + 1)$，零点 $x = \frac15$（在 $(-1,1)$ 内）与 $x = -1$（端点，不在开区间内）——恰有一个在 $(-1,1)$ 内 ✓。$f(1) = 24a + 3 = 0 \Rightarrow a = -\frac18$：$f(x) = -3x^2 + 4x - 1 = -(3x - 1)(x - 1)$，零点 $x = \frac13$（在区间内）与 $x = 1$（端点）——恰有一个在 $(-1,1)$ 内 ✓。这两个端点值要单独讨论，$f(-1)f(1) = 0$ 时同学的"$< 0$"条件不适用。

情形四：$\Delta = 0$（图象与 $x$ 轴相切）。$f(x) = 24ax^2 + 4x - 1$ 的判别式 $\Delta = 16 + 96a = 0 \Rightarrow a = -\frac16$。此时 $f(x) = -4x^2 + 4x - 1 = -\left(2x - 1\right)^2$，零点 $x = \frac12 \in (-1, 1)$（二重根，恰一个零点）✓。而 $f(-1)f(1) = (-9) \times (-1) = 9 > 0$，端点同号，同学的解答覆盖不到。

综合四种情形：

$$a \in \left\{-\frac16\right\} \cup \left[-\frac18, \frac{5}{24}\right].$$

自检：逐情形验证——$a = 0$：$4x - 1 = 0$ 的根 $\frac14 \in (-1,1)$ ✓；$a = -\frac18$：$-(3x-1)(x-1)$ 在开区间内只有 $x = \frac13$ ✓（$x = 1$ 是端点，$(-1,1)$ 不含端点）；$a = \frac{5}{24}$：$(5x-1)(x+1)$ 在开区间内只有 $x = \frac15$ ✓；$a = -\frac16$：$-\left(2x-1\right)^2$ 的零点 $x = \frac12$ ✓。$a \in (-1/8, 5/24)$ 开区间内的情形由情形二覆盖，端点 $-\frac18$、$\frac{5}{24}$ 由情形三补充，$-\frac16$ 由情形四补充。同学的解答错在：只写了”端点异号”这一种充分条件，没有穷举”恰有一个零点”的全部可能（端点取零、判别式为零、一次函数）。这类”给出解答请你评判”的题，先找反例（如 $a = 0$）说明不完整，再分情况补全。

习题 4.5 第 14 题（拓广探索）

14. 从甲地到乙地的距离约为 240 km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量 Q（单位：L）与速度 v（单位：km/h）（0≤v≤120）的下列数据：

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，现有以下三种模型供选择：

$Q = a v ^ {3} + b v ^ {2} + c v, Q = 0. 5 ^ {v} + a, Q = k \log_ {a} v + b.$

(1) 选出你认为最符合实际的函数模型，并写出相应的函数解析式；

(2) 从甲地到乙地，这辆车应以什么速度行驶才能使总耗油量最少？

题面附表（课本第 163 页）：

(1) 先排除两个模型：$Q = 0.5^v + a$ 随 $v$ 增大单调递减并趋于常数 $a$，而数据先升后升且 $v = 0$ 时 $Q = 0$ 要求 $a = -1$，与”高速耗油大”不符；$Q = k\log_a v + b$ 在 $v = 0$ 处无定义，无法刻画 $Q(0) = 0$，且对数函数无最小值点。所以选三次模型 $Q = av^3 + bv^2 + cv$（它过原点 $Q(0) = 0$，与数据吻合）。

用三组数据 $(40, 6.667)$、$(60, 8.125)$、$(80, 10)$ 定参数：

$$\begin{cases} 64000a + 1600b + 40c = 6.667 \\ 216000a + 3600b + 60c = 8.125 \\ 512000a + 6400b + 80c = 10 \end{cases}$$

解得 $a = \frac{1}{38400}$，$b = -\frac{1}{240}$，$c = \frac{7}{24}$，即

$$Q = \frac{v^3}{38400} - \frac{v^2}{240} + \frac{7v}{24}.$$

用第 4 组数据检验：$v = 120$ 时 $Q = \frac{120^3}{38400} - \frac{120^2}{240} + \frac{7 \times 120}{24} = 45 - 60 + 35 = 20$，与实际数据 20 完全吻合 ✓。

(2) 从甲到乙距离 240 km，以速度 $v$ 行驶需 $\frac{240}{v}$ 小时，总耗油量

$$W(v) = Q \cdot \frac{240}{v} = \left(\frac{v^3}{38400} - \frac{v^2}{240} + \frac{7v}{24}\right) \cdot \frac{240}{v} = 240\left(\frac{v^2}{38400} - \frac{v}{240} + \frac{7}{24}\right).$$

括号内是开口向上的二次函数，最小值在顶点：

$$v = -\frac{-1/240}{2 \times (1/38400)} = \frac{1}{240} \times 19200 = 80 \text{（km/h）}.$$

所以这辆车应以 80 km/h 的速度行驶，总耗油量最少，最少耗油 $W(80) = 240 \times \left(\frac{80^2}{38400} - \frac{80}{240} + \frac{7}{24}\right) = 240 \times \frac18 = 30$（L）。

自检：三次模型在 $v = 0$、40、60、80、120 五点上的值：$Q(0) = 0$ ✓，$Q(40) = \frac{64000}{38400} - \frac{1600}{240} + \frac{280}{24} = \frac53 - \frac{20}{3} + \frac{35}{3} = \frac{20}{3} \approx 6.667$ ✓，$Q(60) = \frac{216000}{38400} - \frac{3600}{240} + \frac{420}{24} = 5.625 - 15 + 17.5 = 8.125$ ✓，$Q(80) = \frac{512000}{38400} - \frac{6400}{240} + \frac{560}{24} = \frac{40}{3} - \frac{80}{3} + \frac{70}{3} = 10$ ✓，$Q(120) = 20$ ✓——五个点全部命中，所以这个三次模型是”插值”出来的精确拟合，用它求最省油速度 $v = 80$ km/h 是可靠的。总耗油 $W(v) = 240(av^2 + bv + c)$ 的化简：$Q \cdot \frac{240}{v} = (av^3 + bv^2 + cv) \cdot \frac{240}{v} = 240av^2 + 240bv + 240c$ ✓。速度 $v = 80$ 落在定义域 $0 \le v \le 120$ 内，答案有效。这题是”先选模型（排除法 + 过原点）→ 定参（解三元一次方程组）→ 检验（第 4 个点）→ 求最值（二次函数顶点）“的完整应用流程。