4.4.3 不同函数增长的差异

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4.4.3 不同函数增长的差异

在前面的学习中我们看到，一次函数与指数函数的增长方式存在很大差异。事实上，这种差异正是不同类型现实问题具有不同增长规律的反映。因此，如果把握了不同函数增长方式的差异，那么就可以根据现实问题的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律。下面就来研究一次函数、指数函数和对数函数增长方式的差异。

探究

选取适当的指数函数与一次函数，探索它们在区间 $[0, +\infty)$ 上的增长差异，你能描述一下指数函数增长的特点吗？

不妨以函数 $y=2^{x}$ 和 y=2x 为例.

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-3），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-5）。可以看到，函数 $y = 2^x$ 和 $y = 2x$ 的图象有两个交点(1,2)，(2,4)。在区间[0,1)上，函数 $y = 2^x$ 的图象位于 $y = 2x$ 的图象之上， $2^x > 2x$ ；在区间(1,2)上，函数 $y = 2^x$ 的图象位于 $y = 2x$ 的图象之下， $2^x < 2x$ ；在区间(2,3)上，函数 $y = 2^x$ 的图象位于 $y = 2x$ 的图象之上， $2^x > 2x$ 。这表明，虽然这两个函数在[0， $+\infty$ )上都单调递增，但它们的增长速度不同，函数 $y = 2x$ 的增长速度保持不变，而函数 $y = 2^x$ 的增长速度在变化。

下面在更大的范围内，观察 $y=2^{x}$ 和 y=2x 的增长情况.

从表4.4-4和图4.4-6可以看到，当自变量 $x$ 越来越大时， $y = 2^x$ 的图象就像与 $x$ 轴垂直一样， $2^x$ 的值快速增长；而函数 $y = 2x$ 的增长速度依然保持不变，与函数 $y = 2^x$ 的增长速度相比几乎微不足道.

综上所述，虽然函数 $y = 2^x$ 与 $y = 2x$ 在区间 $[0, +\infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上。随着 $x$ 的增大， $y = 2^x$ 的增长速度越来越快，会超过并远远大于 $y = 2x$ 的增长速度。尽管在 $x$ 的一定变化范围内， $2^x$ 会小于 $2x$ ，但由于 $y = 2^x$ 的增长最终会快于 $y = 2x$ 的增长，因此，总会存在一个 $x_0$ ，当 $x > x_0$ 时，恒有 $2^x > 2x$ 。

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一般地，指数函数 $y = a^x (a > 1)$ 与一次函数 $y = kx (k > 0)$ 的增长差异都与上述情况类似。即使 $k$ 的值远远大于 $a$ 的值， $y = a^x (a > 1)$ 的增长速度最终都会大大超过 $y = kx (k > 0)$ 的增长速度。

指数函数不像一次函数那样按同一速度增长，而是越来越快，呈爆炸性增长.

探究

选取适当的对数函数与一次函数，探索它们在区间 $(0, +\infty)$ 上的增长差异，你能描述一下对数函数增长的特点吗？

不妨以函数 $y = \lg x$ 和 $y = \frac{1}{10} x$ 为例.

利用信息技术，列出上述两个函数的自变量与函数值的对应值表（表4.4-5），并在同一直角坐标系中画出它们的图象（图4.4-7）。可以看到，虽然它们在 $(0, +\infty)$ 上都单调递增，但增长速度存在着明显的差异。函数 $y = \frac{1}{10} x$ 的增长速度保持不变，而 $y = \lg x$ 的增长速度在变化。随着 $x$ 的增大，函数 $y = \frac{1}{10} x$ 的图象离 $x$ 轴越来越远，而函数 $y = \lg x$ 的图象越来越平缓，就像与 $x$ 轴平行一样。例如 $\lg 10 = 1, \lg 100 = 2, \lg 1000 = 3,$$\lg 10000 = 4$ ；而 $\frac{1}{10} \times 10 = 1$ ， $\frac{1}{10} \times 100 = 10$ ， $\frac{1}{10} \times 1000 = 100$ ， $\frac{1}{10} \times 10000 = 1000$ 。这说明，当 $x > 10$ ，即 $y = \lg x > 1$ 时， $y = \lg x$ 与 $y = \frac{1}{10} x$ 相比增长得就很慢了。

思考

如果将 $\lg x$ 放大1000倍，再对函数 $y = 1000\lg x$ 和 $y = \frac{1}{10} x$ 的增长情况进行比较，那么仍有上述规律吗？

一般地，虽然对数函数 $y = \log_a x (a > 1)$ 与一次函数 $y = kx (k > 0)$ 在区间 $(0, +\infty)$ 上都单调递增，但它们的增长速度不同。随着 $x$ 的增大，一次函数 $y = kx (k > 0)$ 保持固定的增长速度，而对数函数 $y = \log_a x (a > 1)$ 的增长速度越来越慢。即使 $k$ 的值很小，在一定范围内， $\log_a x$ 可能会大于 $kx$ ，但由于 $\log_a x$ 的增长最终会慢于 $kx$ 的增长，因此总会存在一个 $x_0$ ，当 $x > x_0$ 时，恒有 $\log_a x < kx$ 。

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对数函数比较适合于描述增长速度平缓的变化规律.

探究

类比上述过程，

（1）画出一次函数 $y = 2x$ ，对数函数 $y = \lg x$ 和指数函数 $y = 2^x$ 的图象，并比较它们的增长差异；

(2) 试着概括一次函数 $y = kx (k > 0)$ ，对数函数 $y = \log_{a}x (a > 1)$ 和指数函数 $y = b^{x} (b > 1)$ 的增长差异；

(3) 讨论交流 “直线上升” “对数增长” “指数爆炸” 的含义.

三个变量 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 随变量 $x$ 变化的数据如下表：

其中关于 x 呈指数增长的变量是 ____。

(1)(2)(3)分别是函数 $y = 3^x$ 和 $y = 5x$ 在不同范围的图象，借助计算工具估算出使 $3^x > 5x$ 的 $x$ 的取值范围（精确到0.01）.
如图，对数函数 $y = \lg x$ 的图象与一次函数 $y = f(x)$ 的图象有 $A$ ， $B$ 两个公共点。求一次函数 $y = f(x)$ 的解析式。
函数 $y = f(x)$ 的图象如图所示，则 $y = f(x)$ 可能是（）.

(A) $y = 1 - x^{-1}, x \in (0, +\infty)$ (B) $y = \frac{3}{2} - \left(\frac{1}{2}\right)^x, x \in (0, +\infty)$

习题4.4

复习巩固

求下列函数的定义域： (1) $y=\sqrt[3]{\log_{2}x}$ ; (2) $y=\sqrt{\log_{0.5}(4x-3)}$ .
比较满足下列条件的两个正数 $m$ ， $n$ 的大小： (1) $\log_3 m < \log_3 n$ ; (2) $\log_{0.3} m < \log_{0.3} n$ ; (3) $\log_a m < \log_a n (0 < a < 1)$ ; (4) $\log_a m > \log_a n (a > 1)$ .
在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度 $v$ （单位： $\mathrm{km / s}$ )和燃料的质量 $M$ （单位： $\mathrm{kg}$ ）、火箭（除燃料外）的质量 $m$ （单位： $\mathrm{kg}$ )的函数关系是 $v = 2000\ln \left(1 + \frac{M}{m}\right)$ .当燃料质量是火箭质量的百分之几时，火箭的最大速度可达到 $12\mathrm{km / s}$ ?
函数 $y=\log_{2}x,\ y=\log_{5}x,\ y=\lg x$ 的图象如图所示， (1) 试说明哪个函数对应于哪个图象，并解释为什么； (2) 以已有图象为基础，在同一直角坐标系中画出 $y=\log_{\frac{1}{2}}x$ ， $y=\log_{\frac{1}{5}}x$ ， $y=\log_{\frac{1}{10}}x$ 的图象； (3) 从（2）的图中你发现了什么？

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵。研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $\mathrm{m / s}$ )可以表示为 $v = \frac{1}{2}\log_3\frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鱼的耗氧量的单位数。 (1) 当一条鱼的耗氧量是 2700 个单位时，它的游速是多少？ (2) 计算一条鱼静止时耗氧量的单位数。