4.1.2 无理数指数幂及其运算性质

这一节做的事只有一件：把 $a^x$ 里指数 $x$ 的取值范围从有理数扩到实数。上一节（4.1.1）已经把指数从整数扩到了有理数，剩下”无理数指数”这一格。课本的办法不是发明新运算，而是用一串有理数幂去”夹”出无理数幂——这一节的核心思想，就是数学里著名的”夹逼”（两边逼近）。

学完这一节，你要能：说出无理数指数幂是怎么定义的（夹逼）、会用三条运算性质对任意实数指数的幂做运算、知道底数必须满足 $a > 0$。

一、无理数指数幂：不是”算”出来的，是”夹”出来的

$5^{\sqrt{2}}$ 是多少？$\sqrt{2} \approx 1.414$ 不是有理数，“乘 $\sqrt{2}$ 次”没法直接理解。课本的走法（以”探究”引导）分四步：

1. 取 $\sqrt{2}$ 的不足近似值：$1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, \dots$（越来越接近，但始终小于 $\sqrt{2}$）；
2. 取 $\sqrt{2}$ 的过剩近似值：$1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, \dots$（越来越接近，但始终大于 $\sqrt{2}$）；
3. 分别计算 $5^x$、$5^y$（用计算工具）：$x$ 递增，$5^x$ 也递增（底数 $>1$）；$y$ 递减，$5^y$ 也递减。比如 $5^{1.4} \approx 9.5$，$5^{1.41} \approx 9.7$，$5^{1.414} \approx 9.7$；另一边 $5^{1.5} \approx 11.2$，$5^{1.42} \approx 9.8$，$5^{1.415} \approx 9.8$——一上一下，同时向同一个数逼近（真值约 $9.74$）；
4. 这个被两串数夹住的数，就定义为 $5^{\sqrt{2}}$。

课本原话把这一步说得很清楚：$5^{\sqrt{2}}$ 是”一串逐渐增大的有理数指数幂 $5^{1.4}$，$5^{1.41}$，$5^{1.414}$，$5^{1.4142}$，…和另一串逐渐减小的有理数指数幂 $5^{1.5}$，$5^{1.42}$，$5^{1.415}$，$5^{1.4143}$，…逐步逼近的结果，它是一个确定的实数”。这就是夹逼：被一个递增序列和一个递减序列从两边夹住，两边的距离趋于 0，夹出来的那个数就是定义。

二、为什么可以这么定义：底数必须为正

把上面的”5”换成任何正数、把 $\sqrt{2}$ 换成任何无理数，论证一字不改：

• 任何一个无理数 $\alpha$ 都有不足/过剩的有理数近似序列（$\sqrt{2}$ 只是示范，其余同理）；
• 只要底数 $a > 0$，两串 $a^x$、$a^y$ 就一增一减地夹逼同一个实数——所以定义”站得住”；
• 于是对一切实数 $x$，$a^x$（$a > 0$）都有意义，且结果总是正数。指数的版图至此完整：整数 → 有理数 → 实数。

为什么底数必须 $a > 0$？ 负数的无理数次幂没有夹逼可言——$x$ 在有理数里取不到”足够近”的序列（比如 $(-2)^x$ 在 $x$ 为分数时可能无意义，正负也乱跳），夹不出一个确定实数。所以 $a^x$ 对无理数 $x$ 只在 $a > 0$ 时定义。

三、运算性质：三条照旧，条件看清

课本直接宣布（第 115 页）：整数指数幂的运算性质也适用于实数指数幂，即对于任意实数 $r, s$，均有：

$$a ^ {r} a ^ {s} = a ^ {r + s} (a > 0, r, s \in \mathbf {R}); \tag {1}$$ $$(a ^ {r}) ^ {s} = a ^ {r s} (a > 0, r, s \in \mathbf {R}); \tag {2}$$ $$(a b) ^ {r} = a ^ {r} b ^ {r} (a > 0, b > 0, r \in \mathbf {R}). \tag {3}$$

直观理由：有理数指数幂已经满足这三条，而无理数指数幂是被有理数幂”夹”出来的——性质会顺着夹逼过程”传”给无理数指数（这个”传”的严格论证大学才做，高中只需会用）。

三条各管一件事，做题前先认型：

• $a^r a^s$：同底相乘，指数相加；
• $(a^r)^s$：幂的幂，指数相乘；
• $(ab)^r$：积的幂，每个因式分别乘方。

习题里的大量错误都出在把三者混用（见”易错点”）。

四、探究与思考：定义是”看”出来的

课本这一节有两个环节，都别跳过——这一节的全部内容就在这两个环节里：

• 探究：填表 4.1-1（不足/过剩近似下的 $5^x$、$5^y$），用计算工具算，观察两串数怎么互相逼近；
• 思考：$2^{\sqrt{3}}$ 也是一个确定的实数吗？——是。把探究里的”5”换成”2”、$\sqrt{2}$ 换成 $\sqrt{3}$，论证一字不改地重复一遍。

两个环节的共同结论：无理数指数幂 = 两串有理数指数幂夹出来的极限。

五、本节没有例题

课本 4.1.2 没配例题（§4.1.1 的例 1–4 已经演示了根式与分数指数幂的运算技巧），练习直接上场检验三条性质。所以本节练习就是例题——把练习第 1 题当例题做一遍：

$\left(2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}}\right)^{2\sqrt{3}}$ 里，先用性质 (3) 的反向把根式写成幂：$\sqrt{m^{\sqrt{3}}} = \left(m^{\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}$；再用 (2) 整体乘方：$2^{\sqrt{3} \times 2\sqrt{3}} \cdot m^{\frac{\sqrt{3}}{2} \times 2\sqrt{3}} = 2^{6} m^{3} = 64m^{3}$。另一问 $a^{\frac{\pi}{3}}a^{\frac{2\pi}{3}}a^{-\pi} = a^{\frac{\pi}{3}+\frac{2\pi}{3}-\pi} = a^{0} = 1$——$\pi$ 是无理数，运算性质照用，按字母处理即可。

六、易错点

1. 底数不是正数还用指数幂：$a^x$（$x$ 无理）只在 $a > 0$ 时定义。$\sqrt[3]{-8}$ 有意义（奇次根），但 $(-8)^{\frac13}$、$(-2)^{\sqrt{2}}$ 都不在这个体系里，别混。
2. 三条性质混用：同底相乘指数相加（$a^r a^s$）、幂的幂指数相乘（$(a^r)^s$）、积的幂拆开（$(ab)^r$）——看到式子先认是哪一种，再动手。
3. 偶次根开出来直接去掉绝对值：$\sqrt{(\pi-4)^2} = |\pi-4| = 4-\pi$，不是 $\pi-4$；$\sqrt[6]{(x-y)^6} = |x-y|$（习题 4.1 第 1 题专考这个）。
4. 把近似值当精确值：$2^{\sqrt{3}} \approx 3.32$ 是计算工具的近似，精确值就写 $2^{\sqrt{3}}$。
5. 指数是字母/无理数时算错合并：$a^{\frac{\pi}{3}}a^{\frac{2\pi}{3}}a^{-\pi}$ 指数相加 $= \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} - \pi = 0$，结果是 $a^0 = 1$，不是 0。

七、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节没有独立考过的真题——“无理数指数幂”在高考里从不单独出现，它教的三条运算性质与 §4.1.1 完全共享”指数幂运算”这个考点（§4.1.1 的真题清单里，如 2022 年第 7 题那种”已知 $2^a$、$2^{3b}$ 求 $4^{a-3b}$“的题，用的就是本节这三条性质）。把三条性质练熟，那类题就只剩”统一底数”一步。

八、怎么读这一节

1. 亲手填一次探究的表 4.1-1：不足/过剩近似下的 $5^x$、$5^y$，看着两串数互相逼近——这是本节定义的全部内容，看过比背过有用；
2. 背三条运算性质，连同它们的条件（$a>0$、$b>0$），做题前先默写一遍；
3. 把练习第 1 题当例题重做（$64m^3$ 那题），体会”根式 → 分数指数幂 → 指数合并”三步；
4. 做练习第 2 题（探究 $2^x$ 与 $\left(\frac12\right)^x$ 的趋势）：$x \to -\infty$ 时 $2^x \to 0$、$x \to +\infty$ 时 $\left(\frac12\right)^x \to 0$——这是下一节指数函数图象的预告；
5. 有余力看习题 4.1 第 10 题：$\left(1+\frac1n\right)^n$ 越来越大却没有最大值，它逼近的是自然常数 $e \approx 2.71828$——整个高中最常用的一个无理数，第 4 章末”小结”和第 5 章对数会用上它。

下一节 4.2 指数函数：$a^x$ 从”一个数”变成”一个函数”。本节保证了 $a^x$ 对一切实数 $x$ 都有定义，4.2 才能研究它的图象与性质。

本节页面覆盖第 114–117 页。练习共 5 道：第 114 页 3 道是课本给 §4.1.1 配的练习（题面印在本节首页上——按”题面在哪一页，详解就住在哪一节”的规矩收在这里，§4.1.1 页面上因此没有习题详解），第 116 页 2 道是本节自己的练习；习题 4.1 共 10 道（复习巩固 1–5、综合运用 6–8、拓广探索 9–10），逐题全做。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 114 页）第 1 题

1. 用根式的形式表示下列各式 $(a>0)$ : (1) $a^{\frac{1}{2}}$ ; (2) $a^{\frac{3}{4}}$ ; (3) $a^{-\frac{3}{5}}$ ; (4) $a^{-\frac{2}{3}}$ .

分数指数幂化根式：$a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$（$a>0$）；负指数先取倒数。

(1) $a^{\frac{1}{2}} = \sqrt{a}$； (2) $a^{\frac{3}{4}} = \sqrt[4]{a^3}$； (3) $a^{-\frac{3}{5}} = \frac{1}{a^{\frac{3}{5}}} = \frac{1}{\sqrt[5]{a^3}}$； (4) $a^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{a^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{a^2}}$。

自检：分子的指数进根号内（$a^3$、$a^2$），分母是指数的根指数；负指数一定落在”倒数”上。反向验算：$\left(\sqrt[4]{a^3}\right)^4 = a^3$ ✓。

练习（第 114 页）第 2 题

2. 用分数指数幂的形式表示并计算下列各式： (1) $\sqrt[3]{x^{2}}(x>0)$ ; (2) $\sqrt[5]{(m-n)^{4}}(m>n)$ ; (3) $\sqrt{p^{6}}\sqrt{p^{5}}(p>0)$ ; (4) $\frac{a^{3}}{\sqrt{a}}(a>0)$ .

根式化分数指数幂：$\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$（$a>0$），然后按运算性质合并。

(1) $\sqrt[3]{x^2} = x^{\frac{2}{3}}$； (2) $\sqrt[5]{(m-n)^4} = (m-n)^{\frac{4}{5}}$（$m > n$ 保证底数为正）； (3) $\sqrt{p^6}\sqrt{p^5} = p^{\frac{6}{2}} \cdot p^{\frac{5}{2}} = p^{3+\frac{5}{2}} = p^{\frac{11}{2}}$（也可以先合并 $\sqrt{p^6 p^5} = \sqrt{p^{11}} = p^{\frac{11}{2}}$）； (4) $\frac{a^3}{\sqrt{a}} = \frac{a^3}{a^{\frac{1}{2}}} = a^{3-\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$。

自检：(3) 用”同底合并”比逐项开根快：$\frac{6}{2} + \frac{5}{2} = \frac{11}{2}$；(4) 除法 = 指数相减。注意 (2) 的底数是 $m-n$ 这个整体（$m>n$ 保证正），(1)(3)(4) 的括号条件（$x>0$、$p>0$、$a>0$）同样是为了底数为正。

练习（第 114 页）第 3 题

3. 计算下列各式： (1) $\left(\frac{36}{49}\right)^{\frac{3}{2}}$ ; (2) $2\sqrt{3} \times 3\sqrt[3]{1.5} \times \sqrt[6]{12}$ ; (3) $a^{\frac{1}{2}}a^{\frac{1}{4}}a^{-\frac{1}{8}}$ (a>0); (4) $2x^{-\frac{1}{3}}\left(\frac{1}{2}x^{\frac{1}{3}}-2x^{-\frac{2}{3}}\right)$ .

(1) 先看出 $36 = 6^2$、$49 = 7^2$，于是 $\frac{3}{2} \times 2 = 3$：

$$\left(\frac{36}{49}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{6^2}{7^2}\right)^{\frac{3}{2}} = \left(\frac{6}{7}\right)^{3} = \frac{216}{343}.$$

(2) 统一底数，全化成 2、3 的幂：$2\sqrt{3} = 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}}$，$3\sqrt[3]{1.5} = 3\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{3}} \cdot 2^{-\frac{1}{3}}$，$\sqrt[6]{12} = \left(2^2 \cdot 3\right)^{\frac{1}{6}} = 2^{\frac{1}{3}} 3^{\frac{1}{6}}$。乘起来后合并指数：

• 2 的指数：$1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$；
• 3 的指数：$\frac{1}{2} + \frac{4}{3} + \frac{1}{6} = \frac{3+8+1}{6} = 2$。

原式 $= 2^1 \cdot 3^2 = 18$。

(3) 同底相乘指数相加：

$$a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{1}{8}} = a^{\frac{4+2-1}{8}} = a^{\frac{5}{8}}.$$

(4) 分配律展开：

$$2x^{-\frac{1}{3}} \cdot \frac{1}{2} x^{\frac{1}{3}} - 2x^{-\frac{1}{3}} \cdot 2x^{-\frac{2}{3}} = x^{0} - 4x^{-1} = 1 - \frac{4}{x}.$$

自检：(1) 先化同底（$\frac{6}{7}$）再乘方，避免先算 $\frac{36}{49}$ 的平方根；(2) 全化成 2、3 的幂再合并指数，分数通分（分母 6）别出错；(4) 展开后 $x^{-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} = x^0 = 1$——是 1 不是 0。

练习（第 116 页）第 1 题

1. 计算下列各式： (1) $\left(2^{\sqrt{3}}\sqrt{m^{\sqrt{3}}}\right)^{2\sqrt{3}}$ ; (2) $a^{\frac{\pi}{3}}a^{\frac{2\pi}{3}}a^{-\pi}.$

(1) 先把根式写成幂（积的幂的反向使用）：

$$\sqrt{m^{\sqrt{3}}} = \left(m^{\sqrt{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}.$$

原式 $= \left(2^{\sqrt{3}} m^{\frac{\sqrt{3}}{2}}\right)^{2\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3}} \cdot m^{\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3}} = 2^{6} m^{3} = 64m^{3}$。

(2) 同底相乘指数相加：

$$a^{\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} - \pi} = a^{0} = 1.$$

自检：无理数指数（$\sqrt{3}$、$\pi$）按字母处理，三条性质照用。(1) 里”根式先化成幂”是常规动作，注意 $\sqrt{3} \cdot 2\sqrt{3} = 2 \times 3 = 6$、$\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 2\sqrt{3} = 3$，别算错；(2) 三个指数相加恰好抵消为 0，结果是 $a^0 = 1$。

练习（第 116 页）第 2 题

2. 利用计算工具，探究下列实数指数幂的变化规律：

(1) x 取负实数，使得 $\left|x\right|$ 的值逐渐增大并趋向于无穷大，计算相应的 $2^{x}(x \in \mathbf{R})$ 的值，观察变化趋势；

(2) $x$ 取正实数, 使得 $x$ 的值逐渐增大并趋向于无穷大, 计算相应的 $\left(\frac{1}{2}\right)^x (x \in \mathbf{R})$ 的值, 观察变化趋势.

(1) 取 $x = -1, -10, -100, \dots$：$2^{-1} = \frac{1}{2}$，$2^{-10} = \frac{1}{1024}$，$2^{-100}$ 已经接近 0。规律：$|x|$ 越大（$x$ 越负），$2^x$ 越小但恒为正，无限接近 0——$x \to -\infty$ 时 $2^x \to 0$。

(2) 取 $x = 1, 10, 100, \dots$：$\left(\frac12\right)^{1} = \frac{1}{2}$，$\left(\frac12\right)^{10} = \frac{1}{1024}$，$\left(\frac12\right)^{100}$ 接近 0。规律：$x$ 越大，$\left(\frac12\right)^x$ 越小但恒为正，无限接近 0——$x \to +\infty$ 时 $\left(\frac12\right)^x \to 0$。

自检：两个现象其实是一个——$\left(\frac12\right)^x = \left(2^{-1}\right)^x = 2^{-x}$，所以 (2) 就是 $2^{-x}$ 在 $x \to +\infty$ 时趋 0，与 (1)（$2^x$ 在 $x \to -\infty$ 时趋 0）互为镜像。这正是下一节指数函数 $y = a^x$ 的预告：$a > 1$ 时 $x$ 越负值越接近 0、$0 < a < 1$ 时 $x$ 越大值越接近 0。

习题 4.1 复习巩固 第 1 题

1. 求下列各式的值： (1) $\sqrt[4]{100^{4}}$ ; (2) $\sqrt[5]{(-0.1)^{5}}$ ; (3) $\sqrt{(\pi-4)^{2}}$ ; (4) $\sqrt[6]{(x-y)^{6}}$ .

(1) $\sqrt[4]{100^{4}} = 100$（偶次根，被开方数 $100^4 > 0$，直接开得正数）； (2) $\sqrt[5]{(-0.1)^{5}} = -0.1$（奇次根，符号直接透出来）； (3) $\sqrt{(\pi-4)^{2}} = |\pi - 4| = 4 - \pi$（偶次根开出来是绝对值——$\pi - 4 < 0$）； (4) $\sqrt[6]{(x-y)^{6}} = |x - y|$（$x - y$ 符号不定，必须留绝对值）。

自检：本题考的是同一个规则——$\sqrt[n]{a^n}$：$n$ 为奇数时等于 $a$，$n$ 为偶数时等于 $|a|$。(3)(4) 两问丢掉绝对值就错；这也是本节易错点第 3 条的实际应用。

习题 4.1 复习巩固 第 2 题

2. 选择题

(1) 设 a > 0，则下列运算中正确的是（）. (A) $a^{\frac{4}{3}}a^{\frac{3}{4}}=a$ (B) $a \div a^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{3}{2}}$ (C) $a^{\frac{2}{3}}a^{-\frac{2}{3}} = 0$ (D) $(a^{\frac{1}{4}})^{4} = a$

(2) 设 a > 0, m, n 是正整数，且 n > 1，则下列各式 $a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^{m}}, a^{0}=1, a^{-\frac{m}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{a^{m}}}$

正确的个数是（）. (A) 3 (B) 2 (C) 1 (D) 0

(1) 逐项验算：

• A：$a^{\frac43}a^{\frac34} = a^{\frac43 + \frac34} = a^{\frac{16+9}{12}} = a^{\frac{25}{12}} \neq a^{1}$ ✗；
• B：$a \div a^{\frac23} = a^{1 - \frac23} = a^{\frac13} \neq a^{\frac32}$ ✗；
• C：$a^{\frac23}a^{-\frac23} = a^{0} = 1 \neq 0$ ✗；
• D：$\left(a^{\frac14}\right)^{4} = a^{\frac14 \times 4} = a$ ✓。

选 D。

(2) 三个式子逐一核对（都是 $a>0$ 下的定义或性质）：

• $a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}$：分数指数幂的定义本身 ✓；
• $a^{0} = 1$：零次幂定义 ✓；
• $a^{-\frac{m}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}$：负分数指数幂的定义 ✓。

3 个全对，选 A。

自检：(1) 的错项全是”指数运算次序”错误——同底相乘加指数、除法减指数、幂的幂乘指数，逐条对照；C 项尤其要小心：$a^{\frac23}a^{-\frac23} = a^0 = 1$，是 1 不是 0。(2) 的三式就是 §4.1.1 的三条定义，逐条核对即可。

习题 4.1 复习巩固 第 3 题

3. 填空题

（1）在 $\left(-\frac{1}{2}\right)^{-1}$ ， $2^{-\frac{1}{2}}$ ， $\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}$ ， $2^{-1}$ 中，最大的数是____；

(2) 按从小到大的顺序，可将 $2^{\sqrt{3}}$ ， $3^{\sqrt{2}}$ ， $\pi^{\sqrt{5}}$ ， $2^{\pi}$ 重新排列为 ____ （可用计算工具）.

(1) 逐个求值：$\left(-\frac12\right)^{-1} = -2$；$2^{-\frac12} = \frac{1}{\sqrt2} \approx 0.71$；$\left(\frac12\right)^{-1} = 2$；$2^{-1} = \frac12 = 0.5$。最大的是 $\left(\frac12\right)^{-1} = 2$。

(2) 用计算工具（课本允许）：$2^{\sqrt{3}} \approx 3.32$，$3^{\sqrt{2}} \approx 4.73$，$2^{\pi} \approx 8.82$，$\pi^{\sqrt{5}} \approx 12.9$。从小到大：

$$2^{\sqrt{3}} < 3^{\sqrt{2}} < 2^{\pi} < \pi^{\sqrt{5}}.$$

自检：(1) 负指数先取倒数再比大小，注意 $\left(-\frac12\right)^{-1} = -2$ 是负数，直接出局；(2) 四个数底数、指数都不同，没有统一的化简路径，课本明说”可用计算工具”，算完照抄近似值排序即可（比较时多留几位小数，别让相邻两数靠四舍五入撞在一起——$2^{\sqrt3}$ 与 $3^{\sqrt2}$ 相差约 1.4，安全）。

习题 4.1 复习巩固 第 4 题

4. 用分数指数幂表示并计算下列各式（式中字母均为正数）： (1) $\sqrt{\frac{b^{3}}{a}\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{6}}}}$ ; (2) $\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a^{\frac{1}{2}}\sqrt{a}}}$ ; (3) $\frac{\sqrt{m}\sqrt[3]{m}\sqrt[4]{m}}{\left(\sqrt[6]{m}\right)^{5}m^{\frac{1}{4}}}$ .

(1) 从内往外：$\sqrt{\frac{a^{2}}{b^{6}}} = \frac{a}{b^{3}}$（$a,b>0$，直接开）。代入：

$$\sqrt{\frac{b^{3}}{a} \cdot \frac{a}{b^{3}}} = \sqrt{1} = 1.$$

(2) 全部写成 $a$ 的幂，从最内层逐层处理：

• 最内 $\sqrt{a} = a^{\frac12}$；
• 第二层：$a^{\frac12} \cdot a^{\frac12} = a^{1}$，开方得 $a^{\frac12}$；
• 第三层：$a^{\frac12} \cdot a^{\frac12} = a^{1}$，开方得 $a^{\frac12}$。

答案 $\sqrt{a} = a^{\frac12}$。

(3) 统一成 $m$ 的幂：

• 分子：$m^{\frac12} m^{\frac13} m^{\frac14} = m^{\frac{6+4+3}{12}} = m^{\frac{13}{12}}$；
• 分母：$\left(m^{\frac16}\right)^{5} m^{\frac14} = m^{\frac56} m^{\frac14} = m^{\frac{10+3}{12}} = m^{\frac{13}{12}}$。

原式 $= m^{\frac{13}{12} - \frac{13}{12}} = m^{0} = 1$。

自检：三问都是”根式 → 分数指数幂 → 合并”的流程。(1) 先化简内层再开方；(2) 层层推进，每层指数算清（$a^{\frac12} \cdot a^{\frac12} = a^1$，再开方回到 $a^{\frac12}$）；(3) 分子分母各自合并，恰好同为 $m^{\frac{13}{12}}$，一比抵消。

习题 4.1 复习巩固 第 5 题

5. 计算下列各式（式中字母均为正数）： (1) $a^{\frac{1}{3}}a^{\frac{3}{4}}a^{\frac{7}{12}}$ ; (2) $a^{\frac{2}{3}}a^{\frac{3}{4}}\div a^{\frac{5}{6}}$ ; (3) $\left(x^{\frac{1}{3}}y^{-\frac{3}{4}}\right)^{12}$ ; (4) $4a^{\frac{2}{3}}b^{-\frac{1}{3}}\div\left(-\frac{2}{3}a^{-\frac{1}{3}}b^{-\frac{1}{3}}\right)$ .

(1) $a^{\frac13 + \frac34 + \frac{7}{12}} = a^{\frac{4+9+7}{12}} = a^{\frac{20}{12}} = a^{\frac53}$； (2) $a^{\frac23 + \frac34 - \frac56} = a^{\frac{8+9-10}{12}} = a^{\frac{7}{12}}$； (3) $\left(x^{\frac13} y^{-\frac34}\right)^{12} = x^{\frac{12}{3}} y^{-\frac{36}{4}} = x^{4} y^{-9} = \frac{x^{4}}{y^{9}}$； (4) 系数、$a$、$b$ 分别处理：

$$\frac{4}{-\frac23} \cdot a^{\frac23 + \frac13} \cdot b^{-\frac13 + \frac13} = -6 \cdot a^{1} \cdot b^{0} = -6a.$$

自检：分数指数加减先通分（分母 12）；(3) 指数相乘：$12 \times \frac13 = 4$、$12 \times (-\frac34) = -9$，负指数落分母；(4) 系数相除得 $-6$（除以 $-\frac23$ 是乘以 $-\frac32$），$b^0 = 1$，别把负号丢了。

习题 4.1 综合运用 第 6 题

6. 如果在某种细菌培养过程中，细菌每 10 min 分裂 1 次（1 个分裂成 2 个），那么经过 1 h，1 个这种细菌可以分裂成 ____ 个.

1 h = 60 min，分裂 $60 \div 10 = 6$ 次。每次数量翻倍（乘 2），6 次后：

$$2^{6} = 64 \ (\text{个}).$$

自检：分裂 $n$ 次就是 $2^n$，别把”时间”当”次数”——1 h 是 6 个 10 min，不是 1 次。答 64。

习题 4.1 综合运用 第 7 题

7.（1）已知 $10^{m} = 2$ ， $10^{n} = 3$ ，求 $10^{\frac{3m - 2n}{2}}$ 的值；

(2) 已知 $a^{2x}=3$ ，求 $\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}}$ 的值.

(1) 把指数拆开再代值：

$$10^{\frac{3m-2n}{2}} = 10^{\frac32 m - n} = \left(10^{m}\right)^{\frac32} \cdot \frac{1}{10^{n}} = \frac{2^{\frac32}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.$$

(2) 由 $a^{2x} = 3$ 且 $a > 0$，得 $a^{x} = \sqrt{3}$。分子用立方和公式分解：

$$a^{3x} + a^{-3x} = \left(a^{x} + a^{-x}\right)\left(a^{2x} - 1 + a^{-2x}\right).$$

代入原式，约去 $a^{x} + a^{-x}$：

$$\frac{a^{3x}+a^{-3x}}{a^{x}+a^{-x}} = a^{2x} - 1 + a^{-2x} = 3 - 1 + \frac{1}{3} = \frac{7}{3}.$$

自检：(1) 的指数是字母，按字母运算（$\frac{3m-2n}{2} = \frac32 m - n$），再用 $(10^m)^{\frac32}$ 代值，$2^{\frac32} = 2\sqrt2$。(2) 不必求出 $a$ 本身——立方和分解把分母整个约掉，只剩 $a^{2x}$ 与 $a^{-2x}$，代 $3$、$\frac13$ 即可。结果 $\frac73$。

习题 4.1 综合运用 第 8 题

8. 已知 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$，求下列各式的值：(1) $a + a^{-1}$；(2) $a^2 + a^{-2}$.

把已知条件两边平方：

$$\left(a^{\frac12} + a^{-\frac12}\right)^{2} = a + 2 + a^{-1} = 9.$$

所以 (1) $a + a^{-1} = 9 - 2 = 7$。

再平方一次：

$$\left(a + a^{-1}\right)^{2} = a^{2} + 2 + a^{-2} = 49.$$

所以 (2) $a^{2} + a^{-2} = 49 - 2 = 47$。

自检：核心套路是”平方一次，指数升一级”——$\left(a^{\frac12} + a^{-\frac12}\right)^2$ 的交叉项 $2 a^{\frac12} a^{-\frac12} = 2$ 是常数，所以每次平方只要在平方结果里减 2。两次平方，得 7、47——全程不需要求出 $a$ 的值。

习题 4.1 拓广探索 第 9 题

9. 从盛有 1 L 纯酒精的容器中倒出 $\frac{1}{3}$ L，然后用水填满；再倒出 $\frac{1}{3}$ L，又用水填满……

(1) 连续进行 5 次，容器中的纯酒精还剩下多少？

(2) 连续进行 n 次，容器中的纯酒精还剩下多少？

每操作一次：倒出 $\frac13$，剩下 $\frac23$；再用水填满后，浓度变为原来的 $\frac23$，而总量回到 1 L，所以纯酒精量也乘 $\frac23$。

(1) 5 次后：

$$1 \times \left(\frac23\right)^{5} = \frac{32}{243} \ (\text{L}).$$

(2) n 次后：$\left(\frac23\right)^{n}$（L）。

自检：关键在”总量不变、纯酒精量等比衰减”——每次操作后纯酒精是上次的 $\frac23$，公比 $\frac23$。$\left(\frac23\right)^{5} = \frac{2^{5}}{3^{5}} = \frac{32}{243}$。

习题 4.1 拓广探索 第 10 题

10.（1）当 $n = 1,2,3,10,100,1000,10000,100000,\dots$ 时，用计算工具计算 $\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ （$n\in \mathbf{N}^*$）的值；

(2) 当 n 越来越大时， $\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ 的底数越来越小，而指数越来越大，那么 $(1+\frac{1}{n})^{n}$ 是否也会越来越大？有没有最大值？

(1) 计算工具逐项求值（保留足够小数位）：

• $n = 1$：$2$；
• $n = 2$：$2.25$；
• $n = 3$：$\left(\frac43\right)^{3} = \frac{64}{27} \approx 2.370$；
• $n = 10$：$\approx 2.594$；
• $n = 100$：$\approx 2.705$；
• $n = 1000$：$\approx 2.717$；
• $n = 10000$：$\approx 2.7181$；
• $n = 100000$：$\approx 2.71827$。

(2) 观察：值在增大，但增长越来越慢，且始终不超过 $2.71828\ldots$——这个数就是自然常数 $e$。所以：确实越来越大，但没有最大值——每一项都小于 $e$，只是无限逼近它，永远到不了。

自检：这题是 $e$ 的第一次出场（第 5 章对数还会用到它）。“无最大值”与”越来越大”并不矛盾：数列单调递增但收敛于 $e$，极限 $e$ 不是数列中的项。对照小数位：$n = 10^5$ 时已经取到 $2.71827$，前五位与 $e \approx 2.71828$ 只差最后一位——逼近得很快。