2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

这一节把初中”三个一次”的套路升级成”三个二次”：二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者的关系。初中我们用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，发现它们的解就藏在函数图象与 $x$ 轴的位置关系里；这一节一模一样：一元二次不等式的解集，由对应二次函数的图象（开口方向 + 零点）完全决定。掌握”先求根、再看图、后写解集”三步，本节就过关。

一、三个概念：一元二次不等式与零点

一元二次不等式：只含一个未知数，且未知数的最高次数是 2 的不等式。一般形式是

零点：对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，使 $ax^2 + bx + c = 0$ 的实数 $x$ 叫做这个函数的零点。零点不是点，是”数”——它是函数图象与 $x$ 轴交点的横坐标。

课本用一道实际问题引出本节：栅栏长 24 m，围矩形区域面积要大于 $20 \, m^2$，求边长。设一条边为 $x$ m，另一条为 $12 - x$ m，得

怎么解？靠图象。

二、图象法：求根 → 看图 → 写解集

画 $y = x^2 - 12x + 20$ 的图象：开口向上，与 $x$ 轴交于 $(2, 0)$ 和 $(10, 0)$（这两个横坐标就是方程 $x^2 - 12x + 20 = 0$ 的根 $x_1 = 2$、$x_2 = 10$，即函数的两个零点）。零点把 $x$ 轴分成三段：

• $x < 2$ 或 $x > 10$ 时，图象在 $x$ 轴上方，$x^2 - 12x + 20 > 0$；
• $2 < x < 10$ 时，图象在 $x$ 轴下方，$x^2 - 12x + 20 < 0$。

所以解集是 $\{x \mid 2 < x < 10\}$，且 $\{x \mid 2 < x < 10\} \subseteq \{x \mid 0 < x < 12\}$，问题解决。

这方法可以推广到一般情形。设 $\Delta = b^2 - 4ac$，一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$（$a > 0$）的根按 $\Delta$ 分三种情况，对应二次函数图象与 $x$ 轴的位置关系也是三种，于是解集也分三种（课本表 2.3-1）：

记法：口诀是”大于取两边，小于取中间”——这只在 $\Delta > 0$ 且 $a > 0$ 时成立；$\Delta = 0$、$\Delta < 0$ 的情形直接对表。三行的结果用”抛物线开口向上、零点把轴分段”的图去推，比死记快。

三、解题套路：例 1–3 定下三步

例 1（$x^2 - 5x + 6 > 0$）：$\Delta > 0$，两根 $x_1 = 2, x_2 = 3$，开口向上”取两边”，解集 $\{x \mid x < 2 \text{ 或 } x > 3\}$。

例 2（$9x^2 - 6x + 1 > 0$）：$\Delta = 0$，两根相等 $x_1 = x_2 = \frac{1}{3}$，图象只在 $\frac{1}{3}$ 处触到 $x$ 轴、其余全在上方，解集 $\{x \mid x \neq \frac{1}{3}\}$。

例 3（$-x^2 + 2x - 3 > 0$）：先把二次项系数化成正数——两边乘 $-1$（不等号反向！），得 $x^2 - 2x + 3 < 0$。$\Delta = -8 < 0$，图象全在 $x$ 轴上方，$< 0$ 无解，解集 $\varnothing$。

标准三步：① 化 $a > 0$ → ② 算 $\Delta$、求根 → ③ 按表写解集。第 ① 步最容易被忽略：系数是负数的题，先乘 $-1$ 变号再往下走，否则”取两边/取中间”的结论方向全反。课本还给了求解框图（图 2.3-5），和这里的三步一致。

推广一：因式乘积型——把”看图”换成”数轴标根”

例 1 的 $x^2-5x+6>0$ 其实是 $(x-2)(x-3)>0$。这才是图象法的本质：乘积的符号由各因式的符号相乘决定，而每个一次因式只在自己的零点处变一次号。这一句话马上把三步推广到课本没写、但高考天天考的形状：

做法（数轴标根）：把所有零点从小到大标在数轴上，它们把数轴切成 $k+1$ 段；在最右边那一段每个因式都为正、乘积必为正，于是从最右段开始向左逐段变号——只要每个零点都是”单根”。写解集时把符合方向的段并起来。

重根怎么办：过奇重根变号，过偶重根不变号。 因为 $(x-x_0)^m$ 在 $x_0$ 两侧的符号差一个 $(-1)^m$：$m$ 为奇数时两侧异号，$m$ 为偶数时两侧同号（例 2 的 $9x^2-6x+1=(3x-1)^2$ 就是二重根，所以图象只”触”到 $x$ 轴不穿过，解集是 $\{x\mid x\neq\frac13\}$ 而不是两段）。

倒过来用，这条规则比正着用更值钱。 它给出一条判据：

若多项式 $F$ 在某个区间上恒 $\geqslant 0$，而 $x_0$ 是该区间内部的零点，那么 $x_0$ 在 $F$ 里必是偶重根。

理由一句话：否则 $F$ 在 $x_0$ 两侧异号，靠近 $x_0$ 的某一侧就出现 $F<0$，与”恒 $\geqslant 0$“矛盾。注意”内部”两个字不能丢——区间端点处的零点只有一侧在区间里，单根照样可以（例如 $F(x)=x$ 在 $[0,+\infty)$ 上恒非负，$0$ 是单根）。

这条判据把一大类含参恒成立题一步降维：不用讨论开口、不用算 $\Delta$，直接说”那个零点必须是重根”，两个因式的零点就被逼到同一点上。

推广二：含参恒成立——三种入手方式，各有各的漏洞

设不等式含参数 $a$，要求它对某个范围内的一切 $x$ 成立。三条常见路子：

1. 看图（讨论）：把参数留在系数里，按开口方向、$\Delta$ 的符号、根与区间的位置分类。最笨但最全，复习参考题 2 第 6 题（”$2kx^2+kx-\frac38<0$ 对一切实数 $x$ 都成立”）就是这一路——翻译成”开口向下且 $\Delta<0$“，再补上 $k=0$ 那个退化情形（$k=0$ 时不等式变成 $-\frac38<0$，恒成立，不能漏）。
2. 参变分离：把 $a$ 解出来，条件变成”$a$ 大于某个函数的最大值”或”$a$ 被两个函数夹住”。好处是参数从系数里跑出来，剩下的是纯函数问题；代价是要能除得动（除以一个式子前必须知道它的符号，否则不等号方向要分岔）。
3. 代特值：随便代一个具体的 $x$，得到关于 $a$ 的一个不等式。这一条最快，也最容易做错——它给出的永远只是必要条件。

第 3 条的正确用法是两段式：先用特值把 $a$ 的候选值逼到极小的范围（必要性），再把候选值代回原式验证（充分性）。只写前一半就是没做完，哪怕答案碰巧对。

代哪个特值最狠？挑那个能让不等式变成等式的 $x$。最典型的是乘积型：若能找到一点 $x_0$ 使两个因式互为相反数，则在那里

与"$F\geqslant 0$"一夹，就只能 $F(x_0)=0$——一个等式，不是一个区间，参数常常一步被逼成唯一值。找这样的 $x_0$ 只需解 $f(x)+g(x)=0$；如果运气好（其实是出题人设计好），参数在这个和里自己抵消，这个 $x_0$ 根本不含参数。

四、实际问题：翻译 + 结合实际收尾

例 4（摩托车流水线）：价值 $y = -20x^2 + 2200x$，要创收 60 000 元以上，得 $-20x^2 + 2200x > 60000$。移项整理成 $x^2 - 110x + 3000 < 0$，解得 $50 < x < 60$。收尾一步：$x$ 只能取整数值，所以”大约应该生产 51～59 辆”。

例 5（刹车距离）：$s = \frac{1}{20}v + \frac{1}{180}v^2 > 39.5$，整理得 $v^2 + 9v - 7110 > 0$。两根一负一正（$v_1 \approx -89.9$，$v_2 \approx 79.9$），收尾一步：车速 $v > 0$，舍去负根，$v > v_2$，而 $79.9 < v_2 < 80$，故”车速至少为 80 km/h”。

实际问题两步都要做：先把自然语言翻译成标准形式的一元二次不等式并求解，再回到问题本身收尾——整数取整、正数舍负根、宽度不能超过矩形边长的一半（练习第 62 页第 2 题：花卉带宽 $x$ 必须小于 3 m，因为宽只有 6 m）。

这一节还把 §2.1 的”问题 2”（杂志定价）收了口：定价 $x$ 满足 $2x^2 - 13x + 20 \leqslant 0$，解集 $\{x \mid 2.5 \leqslant x \leqslant 4\}$——每本定价不低于 2.5 元且不超过 4 元时，提价后的销售总收入不低于 20 万元。§2.1 开头问的问题，到本节结束才真正解完，这正是”二次函数是三个二次的纽带”的体现。

五、易错清单（按失分频率排）

1. 忘了先化 $a > 0$。 $a < 0$ 的题直接套”取两边/取中间”结论全反（例 3 的 $-x^2 + 2x - 3 > 0$ 必须先乘 $-1$ 变号）。做题第一步永远先看二次项系数。
2. $\Delta = 0$ 的情形写错。 $ax^2 + bx + c > 0$（$a > 0$，$\Delta = 0$）的解集是 $\{x \mid x \neq x_1\}$ 不是 $\varnothing$——图象除了那个切点全在 $x$ 轴上方；而 $< 0$ 的解集才是 $\varnothing$。两条别混。
3. 含"$\leqslant$""$\geqslant$"的端点丢没丢。 $ax^2 + bx + c \leqslant 0$（$\Delta > 0$）是闭区间 $[x_1, x_2]$，根要取到；严格不等号才开。做题时圈出不等于号再写区间。
4. 实际问题忘了实际约束。 解出来的是纯数学解集，回到问题还要过滤：$x$ 取整数（例 4）、$v > 0$ 舍负根（例 5）、宽度上限（花卉带 $x < 3$）、售价不低于最低价（削笔器 $x \geqslant 0$）。
5. $\Delta < 0$ 时方向想反。 开口向上且与 $x$ 轴无交点，图象全在 $x$ 轴上方，所以 $> 0$ 解集是 $\mathbf{R}$、$< 0$ 解集是 $\varnothing$。画个草图就不容易错。
6. 含参题漏掉”退化”那一支。 写着”二次不等式”的题，若二次项系数含参，就必须单独讨论系数为零的情形（$2kx^2+kx-\frac38<0$ 里的 $k=0$）。"$ax^2+bx+c$"只有在明说 $a\neq 0$ 时才是二次的，题目没说就得自己分。
7. 代特值当成做完了。 代一个 $x$ 得到 $a$ 的取值，那是必要条件；不回代原式验证充分性，逻辑上一个字都没证。反过来，用特值排除选项、或把范围缩到一个点，都是完全正当的——关键是最后那一行回代不能省。同理，代入某个”零点关系”求参数时，代入用到的信息比原条件少（比如只用了”是零点”、没用”零点在范围内”），所以常会多出增根，必须逐个回头筛。

六、这一节考过的真题（怎么用它们）

页面下方”考过本节的真题”那一段是构建期从知识图谱派生出来的完整清单。本节没有直接考过节的真题——一元二次不等式很少单独成题，它更多是工具：出现在集合运算（习题第 3、5 题：把解集当集合求交并）、定义域（$\sqrt{\cdot}$ 有意义）、以及含参恒成立问题（复习参考题 2 第 6 题：“当 $k$ 取什么值时，$2kx^2 + kx - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立”——这是把”恒成立”翻译成”开口向下且 $\Delta < 0$”）。把本节”求根 → 看图 → 写解集”练熟，这些题就只剩下翻译功夫。

顺着”推广”那两段读一道真题：浙江 2012 年第 17 题。题面是

它把本节的东西全用上了，而且一个字都没超出本节的工具箱：

• 先看那个二次因式。 $g(x)=x^{2}-ax-1$ 开口向上、$g(0)=-1<0$，所以不管 $a$ 取多少，它在 $x>0$ 上恰有一个零点、并在那里由负变正——这正是本节”开口 + 零点决定一切”的直接应用（$\Delta=a^2+4>0$ 恒成立，两根一正一负）。
• 再用”乘积不许变号”。 二次因式在 $x>0$ 上变号一次，而乘积恒非负，所以一次因式 $f(x)=(a-1)x-1$ 必须在同一点、同方向跟着变号。一条直线要做到这件事只有一种可能：斜率为正（$a>1$）且零点恰是那个点。剩下的就是解方程，得 $a=\frac32$（另一个根 $a=0$ 不满足 $a>1$，这就是易错清单第 7 条说的增根）。
• 或者用偶重根判据一步降维：那个正零点在 $(0,+\infty)$ 内部且乘积恒非负，所以它必须是偶重根；而二次因式两根互异、只贡献一次，多出来的一次只能由一次因式提供，于是两个零点重合——和上一条撞到同一件事，但不用讨论斜率。
• 或者代特值：解 $f(x)+g(x)=0$ 得 $x^{2}-x-2=0$——$a$ 自己消掉了，正根是 $x=2$。代进去得 $h(2)=(2a-3)(3-2a)=-(2a-3)^{2}\geqslant 0$，一步逼出 $a=\frac32$。然后必须回代：$a=\frac32$ 时 $h(x)=\frac12(x-2)^{2}(x+\frac12)\geqslant 0$ 对一切 $x>0$ 成立，充分性才算给了。
• 或者参变分离：$x>0$ 时可以除，条件等价于 $a$ 对每个 $x>0$ 都夹在 $x-\frac1x$ 与 $1+\frac1x$ 之间；一个递增一个递减，只在 $\left(2,\frac32\right)$ 相遇，“可行带”缩成一个点。

这道题值得当本节的收尾题：它没有用到本节之外的任何知识（没有导数、没有数列），却把”开口 + 零点 → 符号”、“乘积符号 = 因式符号之积”、“恒非负 ⇒ 内部零点偶重”、“特值只给必要条件”四件事串成一条链。本站为它写了完整攻略（四条路的取舍、以及那个”参数自动消掉”的巧合是怎么被找出来的）。

七、怎么读这一节

1. 先想通图象法为什么对：解不等式 = 看函数图象在 $x$ 轴上方还是下方，零点只是分段点；
2. 把表 2.3-1 的三行用图画出来各画一遍（$\Delta > 0$、$\Delta = 0$、$\Delta < 0$），画完表就不用背了；
3. 做练习（第 60 页）第 1 题过一遍三步流程（六小题覆盖了三种 $\Delta$），再对答案；
4. 最后挑战习题第 4、6 题：第 4 题（竖直上抛）是”解不等式 + 实际取整”，第 6 题（台风）要把几何距离翻译成不等式再解——两道都是”翻译 + 求解 + 收尾”的完整演练，做通本节过关。

下一节 §3.1 函数的概念就正式进入函数章，“零点是图象与 $x$ 轴交点的横坐标”这个观点会在后面研究函数性质时反复用到。

本节页面覆盖第 57–62 页（第 63 页起为本章「小结」与「复习参考题 2」，属章级内容，不在此列），课本习题共 11 道：第 60 页「练习」2 道、第 61 页「练习」1 道、第 62 页「练习」2 道、「习题 2.3」6 道，逐题全做。每道题先逐字引课本的题面（引用块），再写解答。

练习（第 60 页）第 1 题

1. 求下列不等式的解集： (1) $(x+2)(x-3)>0;$ (2) $3x^{2}-7x\leqslant10;$ (3) $-x^{2}+4x-4<0;$ (4) $x^{2}-x+\frac{1}{4}<0;$ (5) $-2x^{2}+x\leqslant-3;$ (6) $x^{2}-3x+4>0.$

(1) $\{x \mid x < -2 \text{ 或 } x > 3\}$。两根 $-2, 3$，$a > 0$ 开口向上，“大于取两边”。

(2) $3x^2 - 7x \leqslant 10$ 移项得 $3x^2 - 7x - 10 \leqslant 0$，因式分解得 $(3x - 10)(x + 1) \leqslant 0$。两根 $-1, \frac{10}{3}$，“小于取中间”，且含等号取端点，解集为 $\left\{x \mid -1 \leqslant x \leqslant \frac{10}{3}\right\}$。

(3) 二次项系数为负，先乘 $-1$：$-x^2 + 4x - 4 < 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 > 0 \Rightarrow (x - 2)^2 > 0$。完全平方恒 $\geqslant 0$，只在 $x = 2$ 时等于 0，所以解集为 $\{x \mid x \neq 2\}$。

(4) $x^2 - x + \frac{1}{4} = (x - \frac{1}{2})^2 \geqslant 0$ 恒成立，$(x - \frac{1}{2})^2 < 0$ 无解，解集为 $\varnothing$。

(5) $-2x^2 + x \leqslant -3$ 移项得 $-2x^2 + x + 3 \leqslant 0$，乘 $-1$ 得 $2x^2 - x - 3 \geqslant 0$，因式分解得 $(2x - 3)(x + 1) \geqslant 0$。两根 $-1, \frac{3}{2}$，“大于取两边”，含等号取端点，解集为 $\left\{x \mid x \leqslant -1 \text{ 或 } x \geqslant \frac{3}{2}\right\}$。

(6) $x^2 - 3x + 4$：$\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = -7 < 0$，开口向上，图象恒在 $x$ 轴上方，解集为 $\mathbf{R}$。

自检：六小题分别对应 $\Delta > 0$（(1)(2)(5)）、$\Delta = 0$（(3)）、$\Delta < 0$（(4)(6)）三种情形，另外 (3)(5) 练了”先化 $a > 0$”，(2)(5) 练了”含等号取端点”。每道题都要先想开口方向再写解集。

练习（第 60 页）第 2 题

2. 当自变量 x 在什么范围取值时，下列函数的值等于 0？大于 0？小于 0？ (1) $y=3x^{2}-6x+2;$ (2) $y=25-x^{2};$ (3) $y=x^{2}+6x+10;$ (4) $y=-3x^{2}+12x-12.$

这题是”解方程 + 解两个不等式”三问合一，直接对每个函数求零点、判开口，然后按”零点把 $x$ 轴分段”写答案。

(1) $y = 3x^2 - 6x + 2$，$\Delta = 36 - 24 = 12 > 0$，零点 $x = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$，开口向上：

• 等于 0：$x = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；
• 大于 0：$x < 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $x > 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$；
• 小于 0：$1 - \frac{\sqrt{3}}{3} < x < 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$。

(2) $y = 25 - x^2$，$a = -1 < 0$ 开口向下，零点 $\pm 5$：

• 等于 0：$x = \pm 5$；
• 大于 0：$-5 < x < 5$（开口向下”取中间”）；
• 小于 0：$x < -5$ 或 $x > 5$。

(3) $y = x^2 + 6x + 10$，$\Delta = 36 - 40 = -4 < 0$，开口向上，图象恒在 $x$ 轴上方：恒大于 0；等于 0、小于 0 均不存在。

(4) $y = -3x^2 + 12x - 12 = -3(x^2 - 4x + 4) = -3(x - 2)^2$，开口向下，与 $x$ 轴相切于 $(2, 0)$：

• 等于 0：$x = 2$；
• 大于 0：不存在（$-3(x-2)^2 \leqslant 0$ 恒成立）；
• 小于 0：$x \neq 2$。

自检：(3)(4) 是 $\Delta < 0$ / $\Delta = 0$ 的隐蔽版——(3) 靠配方看出恒正，(4) 靠配方化成 $-3(x-2)^2$。判”等于 0”实际就是求零点，先求零点再分段，三问一次写全。

练习（第 61 页）第 1 题

1. $x$ 是什么实数时， $\sqrt{x^2 + x - 12}$ 有意义？

$\sqrt{x^2 + x - 12}$ 有意义 $\Leftrightarrow$ 被开方数 $x^2 + x - 12 \geqslant 0$。因式分解得 $(x + 4)(x - 3) \geqslant 0$，两根 $-4, 3$，“大于取两边”，含等号取端点，所以

答案：$x \in (-\infty, -4] \cup [3, +\infty)$。 注意端点 $-4$、$3$ 都能取（被开方数等于 0 时根号仍有意义，值为 0）。

练习（第 62 页）第 2 题

2. 如图，在长为 $8 \mathrm{~m}$，宽为 $6 \mathrm{~m}$ 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪。如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？

设花卉带的宽度为 $x$ m。花卉带四周等宽，草坪是长为 $8 - 2x$、宽为 $6 - 2x$ 的矩形。约束：草坪面积不超过总面积的一半，即

展开并整理：

解得 $1 \leqslant x \leqslant 6$。再结合实际约束：花卉带在宽 6 m 的两侧，$2x < 6$ 即 $x < 3$（长 8 m 两侧的约束 $2x < 8$ 即 $x < 4$ 更宽松）。所以

答案：花卉带的宽度至少 1 m 且小于 3 m。 验算：$x = 1$ 时草坪面积 $(8-2)(6-2) = 24$ 恰好是一半 ✓；$x = 2.5$ 时 $(8-5)(6-5) = 3 < 24$ ✓。

练习（第 62 页）第 3 题

3. 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为 15 元. 若按最低售价销售，每天能卖出 30 个；若一个削笔器的售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 个. 为了使这批削笔器每天获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？

设售价在最低价基础上提高 $x$ 元（$x \geqslant 0$），则售价为 $15 + x$ 元，日销量为 $30 - 2x$ 个。日销售收入为

展开：$450 - 2x^2 > 400 \Rightarrow 2x^2 < 50 \Rightarrow x^2 < 25$，解得 $-5 < x < 5$。结合 $x \geqslant 0$，得 $0 \leqslant x < 5$，即售价

答案：把售价定为不低于 15 元且低于 20 元，每天的销售收入就能超过 400 元。验算：$x = 5$ 时收入 $(15 + 5)(30 - 10) = 400$ 恰好等于 400 不满足”以上”；$x = 4$ 时 $(15 + 4)(30 - 8) = 418 > 400$ ✓。注意提高 $x$ 元的前提是 $30 - 2x > 0$ 即 $x < 15$，这里 $x < 5$ 已自动满足。

习题 2.3 第 1 题

1. 求下列不等式的解集： (1) $13-4x^{2}>0;$ (2) $(x-3)(x-7)<0;$ (3) $x^{2}-3x-10>0;$ (4) $-3x^{2}+5x-4>0.$

(1) $13 - 4x^2 > 0 \Rightarrow 4x^2 < 13 \Rightarrow x^2 < \frac{13}{4}$，解集为 $\left\{x \mid -\frac{\sqrt{13}}{2} < x < \frac{\sqrt{13}}{2}\right\}$。

(2) 两根 $3, 7$，“小于取中间”，解集为 $\{x \mid 3 < x < 7\}$。

(3) $x^2 - 3x - 10 > 0$，因式分解得 $(x - 5)(x + 2) > 0$，两根 $-2, 5$，“大于取两边”，解集为 $\{x \mid x < -2 \text{ 或 } x > 5\}$。

(4) 二次项系数为负，先乘 $-1$：$-3x^2 + 5x - 4 > 0 \Rightarrow 3x^2 - 5x + 4 < 0$。$\Delta = 25 - 48 = -23 < 0$，开口向上，$3x^2 - 5x + 4 < 0$ 无解，解集为 $\varnothing$。

自检：(4) 容易犯的错是乘 $-1$ 时忘了反向——先变号再谈 $\Delta$。(1) 是纯平方形式，直接开方也行（注意取的是开区间，$\frac{\sqrt{13}}{2}$ 处为 0 不取）。

习题 2.3 第 2 题

2. $x$ 是什么实数时，下列各式有意义？(1） $\sqrt{x^2 - 4x + 9}$ ； (2） $\sqrt{-2x^2 + 12x - 18}$

(1) 需要 $x^2 - 4x + 9 \geqslant 0$。配方：$x^2 - 4x + 9 = (x - 2)^2 + 5 > 0$ 恒成立（$\Delta = 16 - 36 = -20 < 0$，开口向上也可判）。所以对任意实数 $x$，$\sqrt{x^2 - 4x + 9}$ 都有意义，$x \in \mathbf{R}$。

(2) 需要 $-2x^2 + 12x - 18 \geqslant 0$。提取 $-2$ 并配方：$-2x^2 + 12x - 18 = -2(x^2 - 6x + 9) = -2(x - 3)^2 \leqslant 0$ 恒成立，等号当且仅当 $x = 3$。所以仅当 $x = 3$ 时被开方数为 0、根式有意义，$x = 3$。

自检：(1) 是”恒正型”（配方式或 $\Delta < 0$），(2) 是”恒负型”（提负号配方）——两题正好对应 $\Delta < 0$ 与 $\Delta = 0$ 两种被开方数的情形，配方之后开口方向一眼可见。

习题 2.3 第 3 题

3. 已知 $M = \{x \mid 4x^2 - 4x - 15 > 0\}$, $N = \{x \mid x^2 - 5x - 6 > 0\}$, 求 $M \cap N$, $M \cup N$.

先分别求两个不等式的解集（集合是数集，求交集并集即在数轴上找公共部分/合并）。

$4x^2 - 4x - 15 > 0$：$(2x - 5)(2x + 3) > 0$，两根 $-\frac{3}{2}, \frac{5}{2}$，所以 $M = \left(-\infty, -\frac{3}{2}\right) \cup \left(\frac{5}{2}, +\infty\right)$。

$x^2 - 5x - 6 > 0$：$(x - 6)(x + 1) > 0$，两根 $-1, 6$，所以 $N = (-\infty, -1) \cup (6, +\infty)$。

在数轴上画两个区间：

• 交集（两边都覆盖的部分）：$(-\infty, -\frac{3}{2}) \cap (-\infty, -1) = (-\infty, -\frac{3}{2})$；$(\frac{5}{2}, +\infty) \cap (6, +\infty) = (6, +\infty)$；其余两段不相交。所以

• 并集（任一覆盖即算）：$(-\infty, -\frac{3}{2}) \subset (-\infty, -1)$，$(6, +\infty) \subset (\frac{5}{2}, +\infty)$，所以

这道题的关键动作：先把”集合”翻译成”数轴上的区间”，交集并集就是”两段覆盖区间的公共段/合并段”。$-\frac{3}{2}$ 与 $-1$、$\frac{5}{2}$ 与 $6$ 的包含关系容易看花眼，画数轴一目了然。

习题 2.3 第 4 题

4. 一名同学以初速度 $v_{0}=12\ m/s$ 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留多长时间（精确到 0.01 s）？

题面下方印着一行注释（独立段落），引在这里：

若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 h 与时间 t 满足关系 $h = v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}$ ，其中 $g \approx 10 \, m/s^{2}$ .

高度关系为 $h = 12t - 5t^2$（$v_0 = 12$，$\frac{1}{2}g = 5$）。“在抛出点 2 m 以上”即 $h > 2$：

解一元二次方程 $5t^2 - 12t + 2 = 0$，$\Delta = 144 - 40 = 104$，两根

结合开口向上，“小于取中间”，$t \in (t_1, t_2)$，且 $t_1 > 0$ 自动成立（$6 - \sqrt{26} > 0$）。排球在 2 m 以上停留的时间为

答案：约 2.04 s。 验算：$t_1 \approx 0.18$ s（上升到 2 m 的时刻）、$t_2 \approx 2.22$ s（下落回到 2 m 的时刻），停留时长约 2.04 s ✓。

习题 2.3 第 5 题

5. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 16 < 0\}$, $B = \{x \mid x^2 - 4x + 3 > 0\}$, 求 $A \cup B$.

$A = \{x \mid x^2 - 16 < 0\} = \{x \mid -4 < x < 4\} = (-4, 4)$。

$B = \{x \mid x^2 - 4x + 3 > 0\}$：$(x - 1)(x - 3) > 0$，两根 $1, 3$，$B = (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$。

$A \cup B = (-4, 4) \cup (-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$。画数轴：$(-4, 4)$ 覆盖 $-4$ 到 $4$；$(-\infty, 1)$ 把左边一直盖到 $-\infty$（与 $(-4, 4)$ 在 $(-4, 1)$ 重叠，合并后从 $-\infty$ 一直覆盖）；$(3, +\infty)$ 把右边从 $3$ 盖到 $+\infty$。三段拼起来正好处处覆盖，所以

这道题的关键动作：画数轴后一眼看出三个区间首尾相接、无缝隙——$(-\infty, 1)$ 与 $(-4, 4)$ 在 $(-4, 1)$ 重叠，$(3, +\infty)$ 与 $(-4, 4)$ 在 $(3, 4)$ 重叠，于是整个数轴都被覆盖。如果忘记 $(-\infty, 1)$ 与 $(3, +\infty)$ 这两段”延伸出去”的部分，就会少答案。

习题 2.3 第 6 题

6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 $45^{\circ}$ 方向 $600 \mathrm{~km}$ 处的热带风暴中心正以 $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度向正北方向移动，距风暴中心 $450 \mathrm{~km}$ 以内的地区都将受到影响。据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 $0.1 \mathrm{~h}$）？

建系翻译成不等式：以码头为原点 $O$，正东为 $x$ 轴正方向、正北为 $y$ 轴正方向。风暴中心初始位置在码头南偏东 $45^{\circ}$ 方向 600 km 处，即 $P_0(300\sqrt{2}, -300\sqrt{2})$。它以 20 km/h 向正北移动，$t$ 小时后位置为

码头受影响的时刻即 $|OP(t)| \leqslant 450$：

$180000 + (20t - 300\sqrt{2})^2 \leqslant 202500$，移项得

即 $|20t - 300\sqrt{2}| \leqslant 150$，解得

影响开始时间：$t_1 = \frac{300\sqrt{2} - 150}{20} \approx \frac{424.3 - 150}{20} \approx 13.7$（h），即从现在起约 13.7 h 后码头开始受影响；

影响时长：$t_2 - t_1 = \frac{300\sqrt{2} + 150}{20} - \frac{300\sqrt{2} - 150}{20} = \frac{300}{20} = 15$（h），即影响时间约 15 h。

这道题的关键动作：把几何信息（方向、距离、移动速度、影响半径）翻译成坐标与距离不等式。更本质的几何：风暴路径是过 $P_0$ 的南北向直线，码头到该直线的距离 $300\sqrt{2} \approx 424.3 < 450$，所以码头一定会被影响；影响段是路径上到码头距离不超过 450 的一段，长 $2\sqrt{450^2 - (300\sqrt{2})^2} = 2\sqrt{22500} = 300$ km，除以速度 20 km/h 得 15 h，与解不等式殊途同归。