2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

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2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题。对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？先来看一个问题。

问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉. 若栅栏的长度是 24 m，围成的矩形区域的面积要大于 $20 \, m^{2}$ ，则这个矩形的边长为多少米？

设这个矩形的一条边长为 $x\mathrm{m}$，则另一条边长为$(12 - x)\mathrm{m}$. 由题意，得

$(1 2 - x) x > 2 0,$

其中 $x \in \{x \mid 0 < x < 12\}$. 整理得

x ^ {2} - 1 2 x + 2 0 < 0, x \in \{x \mid 0 < x < 1 2 \}.\tag{①}

求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.

一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（quadratic inequality with one unknown）。一元二次不等式的一般形式是

$a x ^ {2} + b x + c > 0 \text {或} a x ^ {2} + b x + c < 0,$

其中 a, b, c 均为常数， $a \neq 0$ .

思考

在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法。类似地，能否从二次函数的观点看一元二次不等式，进而得到一元二次不等式的求解方法呢？

下面，我们先考察一元二次不等式 $x^{2} - 12x + 20 < 0$ 与二次函数 $y = x^{2} - 12x + 20$ 之间的关系.

如图2.3-1，在平面直角坐标系中画出二次函数 $y = x^{2} - 12x + 20$ 的图象，图象与 $x$ 轴有两个交点。这两个交点的横坐标就是方程 $x^{2} - 12x + 20 = 0$ 的两个实数根 $x_{1} = 2$，$x_{2} = 10$，因此二次函数 $y = x^{2} - 12x + 20$ 的图象与 $x$ 轴的两个交点是(2,0)和(10,0)。

一般地，对于二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$，我们把使 $ax^{2} + bx + c = 0$ 的实数 $x$ 叫做二次函数 $y = ax^{2} + bx + c$ 的零点。于是，二次函数 $y = x^{2} - 12x + 20$ 的两个零点是 $x_{1} = 2$，$x_{2} = 10$。

从图2.3-1可以看出，二次函数 $y = x^{2} - 12x + 20$ 的两个零点 $x_{1} = 2$，$x_{2} = 10$ 将 $x$ 轴分成三段。相应地，当 $x < 2$ 或 $x > 10$ 时，函数图象位于 $x$ 轴上方，此时 $y > 0$，即 $x^{2} - 12x + 20 > 0$；当 $2 < x < 10$ 时，函数图象位于 $x$ 轴下方，此时 $y < 0$，即 $x^{2} - 12x + 20 < 0$。所以，一元二次不等式 $x^{2} - 12x + 20 < 0$ 的解集是

$\{x \mid 2 < x < 1 0 \}.$

因为 $\{x\mid2<x<10\}\subseteq\{x\mid0<x<12\}$ ，因此当围成的矩形的一条边长x满足2<x<10时，围成的矩形区域的面积大于 $20\ m^{2}$ .

上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)$ 和 $ax^2 + bx + c < 0 (a > 0)$ 的解集. 因为一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点，所以先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图象与 $x$ 轴的相关位置确定一元二次不等式的解集.

我们知道，对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0 (a > 0)$，设 $\Delta = b^2 - 4ac$，它的根按照 $\Delta > 0$，$\Delta = 0$，$\Delta < 0$ 可分为三种情况。相应地，二次函数 $y = ax^2 + bx + c (a > 0)$ 的图象与 $x$ 轴的位置关系也分为三种情况。因此，我们分三种情况来讨论对应的一元二次不等式 $ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)$ 和 $ax^2 + bx + c < 0 (a > 0)$ 的解集（表2.3-1）。

例 1 求不等式 $x^{2}-5x+6>0$ 的解集.

分析：因为方程 $x^{2} - 5x + 6 = 0$ 的根是函数 $y = x^{2} - 5x + 6$ 的零点，所以先求出 $x^{2} - 5x + 6 = 0$ 的根，再根据函数图象得到 $x^{2} - 5x + 6 > 0$ 的解集.

解：对于方程 $x^{2} - 5x + 6 = 0$ ，因为 $\Delta > 0$ ，所以它有两个实数根. 解得 $x_{1} = 2, x_{2} = 3$.

画出二次函数 $y=x^{2}-5x+6$ 的图象（图 2.3-2），结合图象得不等式 $x^{2}-5x+6>0$ 的解集为 $\{x\mid x<2,$ 或 $x>3\}$ .

例 2 求不等式 $9x^{2}-6x+1>0$ 的解集.

解：对于方程 $9x^{2} - 6x + 1 = 0$ ，因为 $\Delta = 0$ ，所以它有两个相等的实数根，解得 $x_{1} = x_{2} = \frac{1}{3}$

画出二次函数 $y=9x^{2}-6x+1$ 的图象（图 2.3-3），结合图象得不等式 $9x^{2}-6x+1>0$ 的解集为 $\{x\mid x\neq\frac{1}{3}\}$ .

例 3 求不等式 $-x^{2}+2x-3>0$ 的解集.

解：不等式可化为 $x^{2}-2x+3<0$ .

因为 $\Delta = -8 < 0$ ，所以方程 $x^{2} - 2x + 3 = 0$ 无实数根。 画出二次函数 $y = x^{2} - 2x + 3$ 的图象（图 2.3-4）.

结合图象得不等式 $x^{2}-2x+3<0$ 的解集为 $\varnothing$ .

对于二次项系数是负数（即 a<0）的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解.

● ●

因此，原不等式的解集为∅.

现在，你能解决第2.1节的“问题2”了吗？

利用框图可以清晰地表示求解一元二次不等式的过程. 这里, 我们以求解可化成 $ax^2 + bx + c > 0 (a > 0)$ 形式的不等式为例, 用框图表示其求解过程 (图2.3-5).

练习

1. 求下列不等式的解集： (1) $(x+2)(x-3)>0;$ (2) $3x^{2}-7x\leqslant10;$ (3) $-x^{2}+4x-4<0;$ (4) $x^{2}-x+\frac{1}{4}<0;$ (5) $-2x^{2}+x\leqslant-3;$ (6) $x^{2}-3x+4>0.$

2. 当自变量 x 在什么范围取值时，下列函数的值等于 0？大于 0？小于 0？ (1) $y=3x^{2}-6x+2;$ (2) $y=25-x^{2};$ (3) $y=x^{2}+6x+10;$ (4) $y=-3x^{2}+12x-12.$

利用一元二次不等式可以解决一些实际问题，下面看两个例子.

例 4 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量 x（单位：辆）与创造的价值 y（单位：元）之间有如下的关系：

$y = - 2 0 x ^ {2} + 2 2 0 0 x.$

若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60 000元以上，则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？

解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产 $x$ 辆摩托车, 根据题意, 得

$- 2 0 x ^ {2} + 2 2 0 0 x > 6 0 0 0 0.$

移项整理，得

$x ^ {2} - 1 1 0 x + 3 0 0 0 < 0.$

对于方程 $x^{2}-110x+3\ 000=0,\ \Delta=100>0$ ，方程有两个实数根 $x_{1}=50,\ x_{2}=60$

画出二次函数 $y=x^{2}-110x+3\ 000$ 的图象(图 2.3-6)，结合图象得不等式 $x^{2}-110x+3\ 000<0$ 的解集为 $\{x\mid50<x<60\}$ ，从而原不等式的解集为

$\{x \mid 5 0 < x < 6 0 \}.$

因为 x 只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在 51～59 辆时，这家工厂能够获得 60 000 元以上的收益.

例 5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离 s（单位：m）和汽车刹车前的车速 v（单位：km/h）之间有如下关系：

$s = \frac {1}{2 0} v + \frac {1}{1 8 0} v ^ {2}.$

在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于 $39.5 \, m$ ，那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少（精确到 $1 \, km/h$ ）？

解：根据题意，得

$\frac {1}{2 0} v + \frac {1}{1 8 0} v ^ {2} > 3 9. 5.$

● ●

刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离.

移项整理，得

$v ^ {2} + 9 v - 7 1 1 0 > 0.$

对于方程 $v^{2} + 9v - 7110 = 0$ ， $\Delta >0$ ，方程有两个实数根

$v _ {1} = \frac {- 9 - \sqrt {2 8 5 2 1}}{2}, v _ {2} = \frac {- 9 + \sqrt {2 8 5 2 1}}{2}.$

画出二次函数 $s = v^{2} + 9v - 7110$ 的图象（图2.3-7），结合图象得不等式的解集为 $\{v \mid v < v_{1}$，或 $v > v_{2}\}$，从而原不等式的解集为

$\{v \mid v < v _ {1}, \text {或} v > v _ {2} \}.$

因为车速 $v > 0$ ，所以 $v > v_{2}$ .而 $79.9 < v_{2} < 80$ ，所以这辆汽车刹车前的车速至少为 $80~\mathrm{km / h}$

类似地，第2.1节的不等式①经移项整理，得 $2x^{2} - 13x + 20 \leqslant 0$。用上述方法解这个不等式，得 $\{x \mid 2.5 \leqslant x \leqslant 4\}$。所以，当每本杂志的定价不低于2.5元且不超过4元时，提价后的销售总收入不低于20万元。

练习

1. $x$ 是什么实数时， $\sqrt{x^2 + x - 12}$ 有意义？

2. 如图，在长为 $8 \mathrm{~m}$，宽为 $6 \mathrm{~m}$ 的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪。如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积不超过总面积的一半，那么花卉带的宽度应为多少米？

3. 某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为 15 元. 若按最低售价销售，每天能卖出 30 个；若一个削笔器的售价每提高 1 元，日销售量将减少 2 个. 为了使这批削笔器每天获得 400 元以上的销售收入，应怎样制定这批削笔器的销售价格？

(第2题)

习题2.3

复习巩固

1. 求下列不等式的解集： (1) $13-4x^{2}>0;$ (2) $(x-3)(x-7)<0;$ (3) $x^{2}-3x-10>0;$ (4) $-3x^{2}+5x-4>0.$

2. $x$ 是什么实数时，下列各式有意义？(1） $\sqrt{x^2 - 4x + 9}$ ； (2） $\sqrt{-2x^2 + 12x - 18}$

综合运用

3. 已知 $M = \{x \mid 4x^2 - 4x - 15 > 0\}$, $N = \{x \mid x^2 - 5x - 6 > 0\}$, 求 $M \cap N$, $M \cup N$.

4. 一名同学以初速度 $v_{0}=12\ m/s$ 竖直上抛一排球，排球能够在抛出点 2 m 以上的位置最多停留多长时间（精确到 0.01 s）？

5. 已知集合 $A = \{x \mid x^2 - 16 < 0\}$, $B = \{x \mid x^2 - 4x + 3 > 0\}$, 求 $A \cup B$.

● ●

若不计空气阻力，则竖直上抛的物体距离抛出点的高度 h 与时间 t 满足关系 $h = v_{0}t - \frac{1}{2}gt^{2}$ ，其中 $g \approx 10 \, m/s^{2}$ .

拓广探索

6. 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东 $45^{\circ}$ 方向 $600 \mathrm{~km}$ 处的热带风暴中心正以 $20 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ 的速度向正北方向移动，距风暴中心 $450 \mathrm{~km}$ 以内的地区都将受到影响。据以上预报估计，从现在起多长时间后，该码头将受到热带风暴的影响，影响时间大约为多长（精确到 $0.1 \mathrm{~h}$）？

小结

一、本章知识结构

二、回顾与思考

本章我们类比初中学过的等式与方程学习了不等式的一些知识。与用方程刻画相等关系类似，我们用不等式刻画不等关系。解决不等式问题需要利用不等式的性质，为此，在学习关于实数大小关系的基本事实的基础上，类比等式的性质，先研究了不等式的一些性质；接着，利用不等式的性质研究了基本不等式，并用基本不等式解决了一些最值问题；最后，学习了一元二次不等式，并利用它与二次函数、一元二次方程的联系获得了求解它的一种方法。

关于实数大小关系的基本事实是解决等式、不等式问题的逻辑基础。不等式与等式之间既有共性又有差异，所以可以通过类比等式的内容和研究方法，获得关于不等式的内容和研究方法的启发。其中，“运算中的不变性就是性质”指引我们发现了一些不等式的性质；等号没有方向性而不等号具有方向性，这使我们注意到，在不等式两边同乘一个数（式）时，所乘数（式）的符号对不等号方向的影响；等等。以实数大小关系的基本事实为基础，先通过类比，归纳猜想出不等式性质；再运用逻辑推理证明不等式性质。这个过程不仅可以使我们学习发现数学关系、规律的方法，而且可以培养我们借助直观理解数学内容、通过逻辑推理证明数学结论的思维习惯。

同样地，类比用一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式，我们得到了以二次函数为纽带，把一元二次方程、一元二次不等式联系起来的思想方法，并得到了一种利用函数的零点求一元二次不等式解集的简捷方法.

因此，类比是发现的引路人，在今后的学习中我们会经常用到它。

请你带着下面的问题，复习一下本章内容吧！

1. 举出一些蕴含不等关系的实际例子，并用不等式描述这些不等关系.

2. 你能说说用两个实数大小关系的基本事实解决问题时的基本思路吗？

3. 在类比等式的基本性质研究不等式的基本性质时，你认为应特别注意哪些问题？

4. 两个正数的大小关系是完全确定的，但通过运算就会产生非常奇妙的变化，基本不等式就是其中之一。你还能通过运算（代数变形）得出基本不等式的一些变式吗？通过对变式的研究，你有什么体会？

5. 用基本不等式解决最大值、最小值问题时，你认为应注意哪些问题？

6. 用函数理解方程和不等式是数学的基本思想方法，其中函数的图象、零点、图象与 $x$ 轴的关系等是关键要素。你能以函数观点看一元二次方程、一元二次不等式为例，谈谈体会吗？

复习参考题2

复习巩固

1. 某夏令营有 48 人，出发前要从 A，B 两种型号的帐篷中选择一种。A 型号的帐篷比 B 型号的少 5 顶。若只选 A 型号的，每顶帐篷住 4 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 5 人，则有一顶帐篷没有住满。若只选 B 型号的，每顶帐篷住 3 人，则帐篷不够；每顶帐篷住 4 人，则有帐篷多余。设 A 型号的帐篷有 x 顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来。

2. 用不等号 “＞” 或 “＜” 填空：

(1) 若 a > b，且 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ ，则 ab ____ 0；

(2) 若 $c > a > b > 0$，则 $\frac{a}{c - a} = \frac{b}{c - b}$;

(3) 若 $a > b > c > 0$，则 $\frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + c}$.

3.（1）在面积为定值 $S$ 的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？

（2）在周长为定值 P 的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？ 4. 求下列不等式的解集： (1) $14 - 4x^{2} \geqslant x$ ; (2) $x^{2} - 14x + 45 \leqslant 0$ ; (3) $x^{2} + 6x + 10 > 0$ ; (4) $x(x + 2) > x(3 - x) + 1$ .

综合运用

5. 若 $a, b > 0$，且 $ab = a + b + 3$，求 $ab$ 的取值范围.

6. 当 $k$ 取什么值时，一元二次不等式 $2kx^{2} + kx - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立？

7. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小于10%，而且这个比值越大，采光效果越好.

（1）若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为 $220\mathrm{m}^2$ ，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2）若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？

8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题。请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照下表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由。

拓广探索

9. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形 ABCD 和 EFGH 构成的面积为 $200 \, m^{2}$ 的十字形地域。计划在正方形 MNPQ 上建一座花坛，造价为 $4200 \, 元/m^{2}$ ；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 $210 \, 元/m^{2}$ ；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为 $80 \, 元/m^{2}$ 。设总造价为 S（单位：元），AD 长为 x（单位：m）。当 x 为何值时，S 最小？并求出这个最小值。

10. 购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。哪种购物方式比较经济？你能把所得结论作一些推广吗？

第三章函数的概念与性质

客观世界中有各种各样的运动变化现象。例如，天宫二号在发射过程中，离发射点的距离随时间的变化而变化；一个装满水的蓄水池在使用过程中，水面高度随时间的变化而不断降低；我国高速铁路营业里程逐年增加……所有这些都表现为变量间的对应关系，这种关系常常可用函数模型来描述，并且通过研究函数模型就可以把握相应的运动变化规律。

随着学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具；函数概念及其反映的数学思想方法已渗透到数学的各个领域，是进一步学习数学的重要基础。同时，函数知识有广泛的实际应用，并且是学习其他学科的重要基础。

本章我们将在初中的基础上，通过具体实例学习用集合语言和对应关系刻画函数概念，通过函数的不同表示法加深对函数概念的认识，学习用精确的符号语言刻画函数性质的方法，并通过幂函数的学习感受研究函数的基本内容、过程和方法。在此基础上，学习运用函数理解和处理问题的方法。