浙江 2024 · 数学 q17

题面

17. 如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中，$PA \perp$ 底面 $ABCD$，$PA = AC = 2$，$BC = 1, AB = \sqrt{3}$.

(1) 若 $AD \perp PB$ ，证明： $AD \parallel$ 平面 PBC；

(2) 若 $AD \perp DC$，且二面角 $A - CP - D$ 的正弦值为 $\frac{\sqrt{42}}{7}$，求 $AD$.

答案

（1）证明见解析

(2) $\sqrt{3}$

解析

分析

(1)先证出 $AD \perp$ 平面 PAB，即可得 $AD \perp AB$ ，由勾股定理逆定理可得 $BC \perp AB$ ，从而 $AD \parallel BC$ ，再根据线面平行的判定定理即可证出；

（2）过点 $D$ 作 $DE \perp AC$ 于 $E$ ，再过点 $E$ 作 $EF \perp CP$ 于 $F$ ，连接 $DF$ ，根据三垂线法可知，$\angle DFE$ 即为二面角 $A - CP - D$ 的平面角，即可求得 $\tan \angle DFE = \sqrt{6}$ ，再分别用 $AD$ 的长度表示出 $DE, EF$ ，即可解方程求出 $AD$ ：

【小问 1 详解】

(1) 因为 $PA \perp$ 平面 $ABCD$, 而 $AD \subset$ 平面 $ABCD$, 所以 $PA \perp AD$,

又 $AD \perp PB$ ， $PB \cap PA = P$ ， $PB, PA \subset$ 平面 PAB，所以 $AD \perp$ 平面 PAB，

而 $AB \subset$ 平面 PAB，所以 $AD \perp AB$ .

因为 $BC^{2} + AB^{2} = AC^{2}$ ，所以 $BC \perp AB$ ，根据平面知识可知 $AD \parallel BC$ ，

又 $AD \not\subset$ 平面 PBC， $BC \subset$ 平面 PBC，所以 AD // 平面 PBC。

【小问 2 详解】

如图所示，过点 D 作 $DE \perp AC$ 于 E，再过点 E 作 $EF \perp CP$ 于 F，连接 DF，

因为 $PA \perp$ 平面 $ABCD$，所以平面 $PAC \perp$ 平面 $ABCD$，而平面 $PAC \cap$ 平面 $ABCD = AC$，

所以 $DE \perp$ 平面 PAC，又 $EF \perp CP$ ，所以 $CP \perp$ 平面 DEF，

根据二面角的定义可知， $\angle DFE$ 即为二面角 A-CP-D 的平面角，

即 $\sin\angle DFE=\frac{\sqrt{42}}{7}$ ，即 $\tan\angle DFE=\sqrt{6}$ .

因为 $AD \perp DC$，设 $AD = x$，则 $CD = \sqrt{4 - x^2}$，由等面积法可得，$DE = \frac{x\sqrt{4 - x^2}}{2}$，

又 $CE = \sqrt{(4 - x^2) - \frac{x^2(4 - x^2)}{4}} = \frac{4 - x^2}{2}$，而 $\triangle EFC$ 为等腰直角三角形，所以 $EF = \frac{4 - x^2}{2\sqrt{2}}$

故 $\tan\angle DFE=\frac{\frac{x\sqrt{4-x^{2}}}{2}}{\frac{4-x^{2}}{2\sqrt{2}}}=\sqrt{6}$ ，解得 $x=\sqrt{3}$ ，即 $AD=\sqrt{3}$ .