浙江 2024 · 数学 q14

题面

14. 甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1, 3, 5, 7，乙的卡片上分别标有数字 2, 4, 6, 8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）. 则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为 ____ .

答案

$\frac{1}{2}$ ##0.5

解析

分析

将每局的得分分别作为随机变量，然后分析其和随机变量即可.

设甲在四轮游戏中的得分分别为 $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$，四轮的总得分为 $X$。

对于任意一轮，甲乙两人在该轮出示每张牌的概率都均等，其中使得甲获胜的出牌组合有六种，从而甲在该轮获胜的概率 $P(X_{k}=1)=\frac{6}{4\times4}=\frac{3}{8}$ ，所以 $E(X_{k})=\frac{3}{8}(k=1,2,3,4)$ .

从而 $E(X) = E(X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}) = \sum_{k=1}^{4} E(X_{k}) = \sum_{k=1}^{4} \frac{3}{8} = \frac{3}{2}$.

记 $p_k = P(X = k)(k = 0,1,2,3)$

如果甲得 0 分，则组合方式是唯一的：必定是甲出 1，3，5，7 分别对应乙出 2，4，6，8，所以 $p_{0}=\frac{1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$ ;

如果甲得3分，则组合方式也是唯一的：必定是甲出1，3，5，7分别对应乙出8，2，4，6，所以 $p_{3}=\frac{1}{A_{4}^{4}}=\frac{1}{24}$ .

而 X 的所有可能取值是 0, 1, 2, 3，故 $p_{0} + p_{1} + p_{2} + p_{3} = 1$ ， $p_{1} + 2p_{2} + 3p_{3} = E(X) = \frac{3}{2}$ . 所以 $p_{1} + p_{2} + \frac{1}{12} = 1$ ， $p_{1} + 2p_{2} + \frac{1}{8} = \frac{3}{2}$ ，两式相减即得 $p_{2} + \frac{1}{24} = \frac{1}{2}$ ，故 $p_{2} + p_{3} = \frac{1}{2}$ . 所以甲的总得分不小于2的概率为 $p_{2}+p_{3}=\frac{1}{2}$ .

故答案为: $\frac{1}{2}$.

【点睛】关键点点睛：本题的关键在于将问题转化为随机变量问题，利用期望的可加性得到等量关系，从而避免繁琐的列举.