浙江 2024 · 数学 q13

题面

13. 若曲线 $y = \mathrm{e}^x + x$ 在点 $(0,1)$ 处的切线也是曲线 $y = \ln (x + 1) + a$ 的切线，则 $a =$ ____.

答案

$\ln 2$

解析

分析

先求出曲线 $y = \mathrm{e}^{x} + x$ 在(0,1)的切线方程，再设曲线 $y = \ln (x + 1) + a$ 的切点为 $\left(x_0,\ln (x_0 + 1) + a\right)$，求出 $y'$，利用公切线斜率相等求出 $x_0$，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解.

由 $y = \mathrm{e}^{x} + x$ 得 $y' = \mathrm{e}^{x} + 1$，$y'|_{x=0} = \mathrm{e}^{0} + 1 = 2$，

故曲线 $y=e^{x}+x$ 在 $(0,1)$ 处的切线方程为 $y=2x+1$ ;

由 $y=\ln(x+1)+a$ 得 $y'=\frac{1}{x+1}$ ,

设切线与曲线 $y=\ln(x+1)+a$ 相切的切点为 $(x_{0},\ln(x_{0}+1)+a)$ ,

由两曲线有公切线得 $y'=\frac{1}{x_{0}+1}=2$ ，解得 $x_{0}=-\frac{1}{2}$ ，则切点为 $\left(-\frac{1}{2},a+\ln\frac{1}{2}\right)$ ，

切线方程为 $y=2\left(x+\frac{1}{2}\right)+a+\ln\frac{1}{2}=2x+1+a-\ln2$ ,

根据两切线重合, 所以 $a - \ln 2 = 0$ ，解得 $a = \ln 2$ .

故答案为: $\ln 2$