浙江 2024 · 数学 q12

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2024 · 数学 q12 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

  1. 设双曲线 C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)C: \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 (a > 0, b > 0) 的左右焦点分别为 F1F_1、F2F_2，过 F2F_2 作平行于 yy 轴的直线交 CC 于 AA，BB 两点，若 ∣F1A∣=13,∣AB∣=10|F_1A| = 13, |AB| = 10，则 CC 的离心率为 ____.

答案

32\frac{3}{2}

解析

分析

由题意画出双曲线大致图象，求出 ∣AF2∣\left|AF_{2}\right| ，结合双曲线第一定义求出 ∣AF1∣\left|AF_{1}\right| ，即可得到a,b,c的值，从而求出离心率.

由题可知 A,B,F2A, B, F_{2} 三点横坐标相等，设A在第一象限，将 x=cx = c 代入 x2a2−y2b2=1\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1得 y=±b2ay=\pm\frac{b^{2}}{a} ，即 A(c,b2a),B(c,−b2a)A\left(c,\frac{b^{2}}{a}\right), B\left(c,-\frac{b^{2}}{a}\right) ，故 ∣AB∣=2b2a=10,∣AF2∣=b2a=5,\left|AB\right|=\frac{2b^{2}}{a}=10,\left|AF_{2}\right|=\frac{b^{2}}{a}=5, 又 ∣AF1∣−∣AF2∣=2a\left|AF_{1}\right|-\left|AF_{2}\right|=2a ，得 ∣AF1∣=∣AF2∣+2a=2a+5=13\left|AF_{1}\right|=\left|AF_{2}\right|+2a=2a+5=13 ，解得a=4，代入 b2a=5\frac{b^{2}}{a}=5 得 b2=20b^{2}=20 ， 故 c2=a2+b2=36c^{2}=a^{2}+b^{2}=36 ，即c=6，所以 e=ca=64=32e=\frac{c}{a}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2} . 故答案为： 32\frac{3}{2}