浙江 2024 · 数学 q11

题面

在(1,3)上的值域即可判断C；直接作差可判断D.

答案

ABD

解析

对A，因为函数 $f(x)$ 的定义域为R，而 $f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)^{2}=3(x-1)(x-3)$ ，易知当 $x\in(1,3)$ 时， $f'(x)<0$ ，当 $x\in(-\infty,1)$ 或 $x\in(3,+\infty)$ 时， $f'(x)>0$ 函数 $f(x)$ 在 $(-∞,1)$ 上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 $(3,+∞)$ 上单调递增，故x=3是函数 $f(x)$ 的极小值点，正确； 对B，当0<x<1时， $x-x^{2}=x(1-x)>0$ ，所以 $1>x>x^{2}>0$ ， 而由上可知，函数 $f(x)$ 在(0,1)上单调递增，所以 $f(x)>f(x^{2})$ ，错误； 对C，当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数 $f(x)$ 在(1,3)上单调递减， 所以 $f(1)>f(2x-1)>f(3)$ ，即 $-4<f(2x-1)<0$ ，正确； 对D，当-1<x<0时， $f(2-x)-f(x)=(1-x)^{2}(-2-x)-(x-1)^{2}(x-4)=(x-1)^{2}(2-2x)>0$ ， 所以 $f(2-x)>f(x)$ ，正确； 故选：ACD. 11. 造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O.且C上的点满足横坐标大于-2，到点 $F(2,0)$ 的距离与到定直线 $x=a(a<0)$ 的距离之积为4，则（）

A. $a = -2$

$(2 \sqrt{2}, 0)$

C. $C$ 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点 $\left(x_0,y_0\right)$ 在 $C$ 上时， $y_{0}\leq \frac{4}{x_{0} + 2}$

分析

根据题设将原点代入曲线方程后可求 a，故可判断 A 的正误，结合曲线方程可判断 B 的正误，利用特例法可判断 C 的正误，将曲线方程化简后结合不等式的性质可判断 D 的正误.

对于A：设曲线上的动点 $P(x,y)$ ，则 $x > - 2$ 且 $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2\times|x - a| = 4}$

因为曲线过坐标原点，故 $\sqrt{(0 - 2)^2 + 0^2} \times |0 - a| = 4$ ，解得 $a = -2$ ，故A正确.

对于B：又曲线方程为 $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2}\times |x + 2| = 4$ ，而 $x > - 2$

故 $\sqrt{(x - 2)^2 + y^2} \times (x + 2) = 4$.

当 $x = 2\sqrt{2}, y = 0$ 时，$\sqrt{(2\sqrt{2} - 2)^2} \times (2\sqrt{2} + 2) = 8 - 4 = 4$

故 $\left(2\sqrt{2},0\right)$ 在曲线上，故B正确.

对于 C：由曲线的方程可得 $y^{2}=\frac{16}{(x+2)^{2}}-(x-2)^{2}$ ，取 $x=\frac{3}{2}$ ，

则 $y^{2} = \frac{64}{49} - \frac{1}{4}$，而 $\frac{64}{49} - \frac{1}{4} - 1 = \frac{64}{49} - \frac{5}{4} = \frac{256 - 245}{49 \times 4} > 0$，故此时 $y^{2} > 1$，

故 C 在第一象限内点的纵坐标的最大值大于 1，故 C 错误.

对于 D: 当点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 在曲线上时，由 C 的分析可得 $y_{0}^{2} = \frac{16}{\left(x_{0} + 2\right)^{2}} - \left(x_{0} - 2\right)^{2} \leq \frac{16}{\left(x_{0} + 2\right)^{2}}$ ,

故 $-\frac{4}{x_{0}+2}\leq y_{0}\leq\frac{4}{x_{0}+2}$ ，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】思路点睛：根据曲线方程讨论曲线的性质，一般需要将曲线方程变形化简后结合不等式的性质等来处理.