浙江 2023 · 数学 q21

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题解图（原卷截图 · 含答案与官方解析）

浙江 2023 · 数学 q21 原卷截图（含答案）

文字转写（题面 + 答案 + 官方解析）

题面

21．（12分）（2023•新高考Ⅰ）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 0.6，乙每次投篮的命中率均为 0.8．由抽签确定第 1 次投篮的人选，第 1 次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量XiX_{i}服从两点分布，且\begin{array}{r}{P \left( X_{i}{=} 1 \right) = 1 \cdot{} P \left( X_{i}{=} 0 \right) = q_{i} , i {=} 1 , \ 2 ,} \end{array}$$\cdots , n ,，则E (∑i=1n Xi) =∑i=1n qi\begin{array}{r}{E \ ( \sum_{i = 1}^{n} \ X_{i} ) \ = \sum_{i = 1}^{n} \ q_{i}} \end{array}．记前 n 次（即从第 1 次到第 n 次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P (Xi=1)=1−P (Xi=0)=qi, i=1, 2P \ ( X_{i}{=} 1 ) = 1 - P \ ( X_{i}{=} 0 ) = q_{i} , \ i {=} 1 , \ 2⋯，n，则E (∑i=1n Xi) =∑i=1n qi\begin{array}{r}{E \ ( \sum_{i = 1}^{n} \ X_{i} ) \ = \sum_{i = 1}^{n} \ q_{i}} \end{array}．记前 n 次（即从第 1 次到第 n 次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）

答案

（1）第2次投篮的人是乙的概率为0.6；

（2）第i次投篮的人是甲的概率为Pi=13+16×(25)i−1P_{i}{=} \frac{1}{3}{+} \frac{1}{6}{\times} ( \frac{2}{5} )^{i - 1}；

（3）E ( Y) =518[1 −(25)n]+n3,n∈N∗E \ ( \ Y ) \ = {\frac{5}{1 8}}[1 \ - ( {\frac{2}{5}} )^{n}] + {\frac{n}{3}} , n \in N^{*}

解析

分析

（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P，结合题意，即可得出答案；

（2）由题意设PnP_{n}为第n次投篮的是甲，则Pn+1=0.6Pn+0.2(1−Pn)=0.4Pn+0.2P_{n + 1}{=} 0 . 6 P_{n}{+} 0 . 2 ( 1 - P_{n} ) {=} 0 . 4 P_{n}{+} 0 . 2，构造得Pn+1−13=0.4(Pn−13){P_{n + 1}} - {\frac{1}{3}} = 0 . 4 ( {P_{n}} - {\frac{1}{3}} )），结合等比数列的定义可得{Pn−13}\{P_{n} - \frac{1}{3} \}是首项为I6616,I_{\frac{6}{6}}^{\frac{1}{6}} ,，公比为0.4的等比数列，即可得出答案；

（3）由（2）得Pi=13+16×(25)i−1P_{i}{=} \frac{1}{3}{+} \frac{1}{6}{\times} ( \frac{2}{5} )^{i - 1}，当n∈N∗n \in N^{*}时，E ( Y) =P1+P2+...+PnE \ ( \ Y ) \ {=} P_{1}{+} P_{2}{+} . . . {+} P_{n}，求解即可得出答案．

解答

解：（1）设第2次投篮的人是乙的概率为P,P ,

由题意得P=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6P {=} 0 . 5 {\times} 0 . 4 {+} 0 . 5 {\times} 0 . 8 {=} 0 . 6；

（2）由题意设PnP_{n}为第n次投篮的是甲，

则Pn+1=0.6Pn+0.2(1−Pn)=0.4Pn+0.2,P_{n + 1}{=} 0 . 6 P_{n}{+} 0 . 2 \left( 1 {-} P_{n} \right) {=} 0 . 4 P_{n}{+} 0 . 2 ,

∴Pn+1−13=0.4(Pn−13),\therefore P_{n + 1} - \frac{1}{3} = 0. 4 (P_{n} - \frac{1}{3}),

又P1−13=12−13=16≠0P_{1} - \frac{1}{3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \neq 0，则{Pn−13}\{P_{n} - \frac{1}{3} \}是首项为I16,I {\frac{1}{6}} ,，公比为0.4的等比数列，

∴Pn−13=16×(25)n−1\therefore P_{n} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \times ( \frac{2}{5} ) n^{- 1}，即Pn=13+16×(25)n−1P_{n}{=} \frac{1}{3}{+} \frac{1}{6}{\times} ( \frac{2}{5} )^{{n - 1}}

∴第i次投篮的人是甲的概率为Pi=13+16×(25)i−1P_{i}{=} \frac{1}{3} + \frac{1}{6}{\times} ( \frac{2}{5} )^{i - 1}；

（3）由（2）得Pi=13+16×(25)i−1P_{i}{=} \frac{1}{3}{+} \frac{1}{6}{\times} ( \frac{2}{5} )^{i - 1}

∴\therefore当n∈N∗n {\in} N^{*}时，E(Y)=P1+P2+...+Pn=16∑i=1n(25)i−1+n3=16[1−(25)n]1−25+n3=518[1−(25)+(25)]E {\mathrm{(} Y \mathrm{)}} = P_{1} + P_{2} + . . . + P_{n} = \frac{1}{6} \sum_{i = 1}^{n}{\mathrm{(} \frac{2}{5} \mathrm{)^{i - 1}}} + \frac{n}{3} = \frac{\frac{1}{6}[1 - ( \frac{2}{5} )^{n}]}{1 - \frac{2}{5}} + \frac{n}{3} = \frac{5}{1 8}[1 - {\mathrm{(} \frac{2}{5} )} + {\mathrm{(} \frac{2}{5} )}]n]+�3，

综上所述，E ( Y) =518[1 −(25)n]+n3,n∈N∗E \ ( \ Y ) \ = {\frac{5}{1 8}}[1 \ - ( {\frac{2}{5}} )^{n}] + {\frac{n}{3}} , n \in N^{*}