浙江 2023 · 数学 q20

题面

20．（12分）（2023•新高考Ⅰ）设等差数列$\left\{a_{n} \right\}$的公差为d，且$d {>} 1$．令$b_{n}{=} \frac{n^{2} + n}{a_{n}}$，记$S_{n} ,$，$T_{n}$分别为数列$\left\{a_{n} \right\} , \quad \left\{b_{n} \right\}$的前n项和

（1）若$3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} , \enspace \thinspace S_{3} + T_{3} = 2 1$，求$\left\{a_{n} \right\}$的通项公式；

（2）若$\left\{b_{n} \right\}$为等差数列，且$S 9 9 - T 9 9 = 9 9$，求$d .$

$T_{n}$分别为数列$\left\{a_{n} \right\} , \quad \left\{b_{n} \right\}$的前n项和

（1）若$3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} , \enspace \thinspace S_{3} + T_{3} = 2 1$，求$\left\{a_{n} \right\}$的通项公式；

（2）若$\left\{b_{n} \right\}$为等差数列，且$S 9 9 - T 9 9 = 9 9$，求$d .$

答案

见试题解答内容

解析

分析

（1）根据题意及等差数列的通项公式与求和公式，建立方程组，即可求解；

（2）根据题意及等差数列的通项公式的特点，可设$a_{n}{=} t n$，则$b_{n} = \frac{n + 1}{t}$，且$d {=} t {>} 1$或设$a_{n}{=} k \ ( n {+} 1 )$），则$b_{n} = {\frac{n}{k}} ;$，且$d {=} k {>} 1$，再分类讨论，建立方程，即可求解

解答

解：$( 1 ) \because 3 a_{2} = 3 a_{1} + a_{3} , \enspace S_{3} + T_{3} = 2 1$

$\therefore$根据题意可得$\left\{\begin{array}{l l}{3 ( a_{1} + d ) = 3 a_{1} + a_{1} + 2 d} \\ {3 a_{1} + 3 d + ( \frac{2}{a_{1}} + \frac{6}{a_{1} + d} + \frac{1 2}{a_{1} + 2 d} ) = 2 1} \end{array} \right. ,$

$\therefore \left\{\begin{array}{l} a_{1} = d \\ 6 d + \frac{9}{d} = 2 1 \end{array} , \right.$

$\therefore 2 d^{2} - 7 d + 3 = 0$，又$d {>} 1$

$\therefore$解得$d {=} 3 , \therefore a_{1}{=} d {=} 3$

$\therefore a_{n} = a_{1} + (n - 1) d = 3 n, n \in N^{*};$

（2）$\because \{a_{n} \}$为等差数列，$\left\{b_{n} \right\}$为等差数列，且$b_{n}{=} \frac{n^{2} + n}{a_{n}} ,$

$\therefore$根据等差数列的通项公式的特点，可设$a_{n}{=} t n$，则$b_{n} = \frac{n + 1}{t}$，且$d {=} t {>} 1$；

或设$a_{n}{=} k \ ( n {+} 1 )$），则$b_{n} = {\frac{n}{k}} ;$，且$d {=} k {>} 1$

①当$a_{n} = t n , b_{n} = \frac{n + 1}{t} , d = t > 1$时，

则$S_{9 9} - T_{9 9} = \frac{( t + 9 9 t ) \times 9 9}{2} - ( \frac{2}{t} + \frac{1 0 0}{t} ) \times \frac{9 9}{2} = 9 9 ,$

$\therefore 5 0 t - {\frac{5 1}{t}} = 1 , \ \therefore 5 0 t^{2} - t - 5 1 {=} 0$，又$d {=} t {>} 1$

$\therefore$解得$d {=} t {=} \frac{5 1}{5 0}$；

②当$a_{n} = k \ ( n + 1 ) , \ b_{n} = {\frac{n}{k}} , \ d = k {>} 1$时，

则$S_{9 9} - T_{9 9} = {\frac{( 2 k + 1 0 0 k ) \times 9 9}{2}} - ( {\frac{1}{k}} + {\frac{9 9}{k}} ) \times{\frac{9 9}{2}} = 9 9 ,$

$\therefore 5 1 k - \frac{5 0}{k} = 1 , : \cdot 5 1 k^{2} - k - 5 0 = 0$，又$d {=} k {>} 1$

$\therefore$此时k无解，

$\therefore$综合可得$d {=} \frac{5 1}{5 0}$